9 Model redov Vrovávaie časových radov poocou redových fucií parí ajčasejšie používaý eóda v progosie, poocou orých viee vsihúť vývojovú edeciu súaého javu. Meódu uplaňujee pre vváraie ráodoých progóz a ieoľo odoí dopredu. V odeloch redu vjadrujee závislosť súaej preeej od časovej preeej (), orá adoúda hodo,,...,. Vužívae prio eódu aješích švorcov pre odhad paraerov redových fucií lieárch v paraeroch. Pre odhad paraerov zložiejších fucií používae ieoré z ďalších eód odhadu paraerov. 9. Lieár red Vývoj súaej preeej v závislosi od spoaicej časovej veliči (), ôžee popísať lieár redo. Ide o dvojparaericú fuciu pu + + u (9.) de je východisová ošaa, udáva hodou závisle preeej v čase, je paraeer, orý vjadruje ošaú zeu závisle preeej vvolaú zvýšeí hodo časovej preeej, u je áhodá zloža odelu. Paraeer vjadruje príraso súaej preeej za jedou času. Lieár red vužívae ved, a sú asolúe príras resp. ú sále a druhý diferečý rad je priliže ulový. Prvá derivácia redovej fucie podľa časovej preeej sa azýva rasová fucia. Lieára redová fucia á ošaú rasovú fuciu Odhaduý lieár odel á var + (9.) Bodovú progózu zísae po dosadeí za i do vzťahu + + ( i) (9.3) i + Bodová progóza je presá ved, eď v udúcich odoiach edôjde výrazej zee iulého vývoja. 56
Vzhľado a o, že fucia (9.) je lieára v paraeroch, a a jej odhad použijee eódu aješích švorcov. To zaeá vriešiť dve orále rovice + + Riešeí orálch rovíc je (9.4) (9.5) Ao sa uvádza v lieraúre [8] úpravou časovej preeej ôžee výpoče paraerov zjedodušiť. Ide o o, že časovú preeú ovle defiujee a, a jej začiao ol v o ode, v oro áe chrooic prvé pozorovaie v časovo rade. Zavediee ovú časovú preeú, pre orú ude plaiť, že, a oo isé plaí pre aždú jej epáru ociu. Rovao prieerá hodoa časovej preeej sa rová ule. Saoú rasforáciu usuočíe, a a plailo: pre časový rad s epár počo pozorovaí, ( ) pre časový rad s pár počo pozorovaí. Riešeie súsav orálch rovíc ôžee zapísať eraz v vare (9.6) ( ) (9.7) Vpočíaý paraeer radu a paraeer časovej preeej. ierpreujee ao arieicý prieer vrovávaého časového vjadruje zeu hodo preeej vvolaú jedoovou zeou 57
Keďže odové progóz so seou esú vsoý supeň eiso, dopĺňae výpoče o zv. iervalový odhad závisle preeej. Pri oo pe odhadu určuje horú a dolú hraičú hodou, edzi orýi sa achádza so zvoleou pravdepodoosťou hodoa závisle preeej. Pri výpoče iervalového odhadu posupujee aaic ao pri výpoče iervalového odhadu v regreso odeli (viď ap. 7.). lieár red rasová fucia lieáreho redu > < Prílad 9. Lieár red Or. 9. Lieár red a jeho rasová fucia Pri praicej apliácii lieáreho redového odelu adviažee a úlohu riešeú v príladoch 7. až 7.4. Dve ezávisle preeé, oré deeriujú vývoj čisých ivesícií se zvolili čisý zis ( ) a úroovú ieru ( ). Ich očaávaé hodo v progózovao odoí, oré se zísali z odelu redu, se poo dosadzovali do vvoreého auzáleho odelu. V oo prílade si podroejšie vsvelíe spôso vrovaia časového radu a saoveia predpovede poocou lieáreho odelu redu. Ro 99 9 9 99 9,8 9,6 4 993 3 9, 33 7,6 9 994 4 9, 448 36,4 6 995 5 9 6 45 5 996 6 3 8,7 78 5, 36 997 7 36 8, 95 57,4 49 998 8 4 8,5 68 64 999 9 3 7 7 63 8 66 7,4 66 74 75 7, 95 78, 7,4 4 88,8 44 Súče 78 63,4 75 69, 65 Prieer 6,5 35,9 8,36 X X X Ta. 9. Východisové údaje pre výpoče lieáreho redu Východisové údaje vývoji idexu čisého zisu a úroovej ier (oidvoje v perceách) a čiasové výpoč zhriee do auľ 9.. Na zálade vzorcov (9.5) a (9.4) poo vpočíae paraere redu. 58
69, 6,5,4 65 6,5,3466 8,36 (,3466) 6,5 9,889 Model lieáreho redu úroovej ier zapíšee v vare 9,889,34 38,53 6,7 R,8 DW,4 Podľa odelu (9.3) saovíe odovú progózu a odoie 3 a 4 (3) 9,889,34 3 (4) 9,889,34 4 6,847 6,63 Poocou šadardej odchýl, orú vpočíae podľa vzťahu (7.8) a príslušého vailu Sudeovho rozdeleia sa dopracujee iervalovéu odhadu úroovej ier pre odoie 3 a 4, orého spoľahlivosť je 95%.,75 7,93 pre 3. odoie, 5 (3),48 7,74 pre 4. odoie. 5 (4) Odoe a zálade vpočíaých údajov z a. 9. vaifiujee paraere odelu redu pre čisý zis a zísae a odel redu čisého zisu 85,3 + 7,787,9 8 R,86 DW,3 Pre odoie 3 a 4 poo dosávae odové predpovede (3) 85,3 + 7,787 3 (4) 85,3 + 7,787 4 86,53 94,3 Iervalové odhad predpovedaej hodo čisého zisu ajú hraice 56,8 (3) 6,99 pre 3. odoie, 6,8 (4) 5,83 pre 4. odoie. 59
9. Kvadraicý red Poere časo používae v praxi vadraicý red. Model zapíšee v vare + + + (9.8) u Model používae a vrovaie časového radu ved, eď hodo závisle preeej zo začiau rasú lieáre, ale s rasúci časo sa ich ras uď zrýchľuje aleo spoaľuje. Poôcou pri voľe vadraicého redu ôžu ť aj diferecie. A sú prvé diferecie priliže lieáre a druhé diferecie priliže ošaé v čase, a poo ôžee zvoliť a vrovaie radu vadraicý red. A, a fucia (9.8) ajsôr lesá a po dosiahuí svojho iia rasie. A, a fucia (9.8) ajsôr rasie a po dosiahuí svojho axia ďalej lesá. Rasová fucia odelu á var + Scheaic je prieeh vadraicej fucie i jej rasovej fucie zázoreý a or. 9.. vadraicý red rasová fucia vadraicého redu > > < < Or. 9. Kvadraicý red a jeho rasová fucia Preože áo fucia je aiež lieára z hľadisa paraerov, použijee a odhad jej paraerov eódu aješích švorcov. Vchádzae prio z orálch rovíc + + 3 + + 3 4 + + 6
Teo vzťah plaí pre časový rad, v oro se prvéu čleu časového radu priradili hodou pozorovaia. A se počiao časového radu posuuli a opäť použijee preeú, pre orú plaí, že + ( ) ( ) ( ) ( ), poo orále rovice vjadríe v vare + ( ) 4 Paraeer vpočíae z druhej rovice, paraere, z prvej a reej rovice. Vpočíaé hodo paraerov zapíšee do vadraicého odelu + + Dosadíe za časové odoie ( + i) a zísae odovú predpoveď a oo odoie. 9.3 Expoeciál red Expoeciál red používae a vrovávaie časových radov ved, a sa hodo závisle preeej eia rýchlejšie ao časová preeá. Hodoa závisle preeej rasie ajprv poal a poo rasie sále rýchlejší epo. Perceuála zea edzi jedolivýi pozorovaiai je rovaá,.j. oeficie rasu je ošaý. Model zapíšee u de (9.9) de hodoa udáva priesečí s osou,.j. východisovú úroveň závisle preeej, a hodoa ( ) udáva oečú ieru rasu v %. expoeciál red > < < Or. 9.3 Expoeciál red 6
Odhad paraerov odelu zísavae a, že eo rasforujee a lieár v paraeroch. Logariicou rasforáciou dosávae var l l l l + + u Model pre určeie predpovede á var l β + β de β β je odhad l, a eda plaí, že e, β β je odhad l, a eda plaí, že e, aže odhaduú rovicu zapíšee v vare (9.) a ráodoú predpoveď dosávae po dosadeí progózovaého odoia (i) do (9.) + i + i A použijee preeú a plaí, že, poo sa výpoče zjedodušuje l l l l ( ) (9.) Paraeer predsavuje geoericý prieer časového radu, paraero vjadrujee prieerý oeficie rasu, eda geoericý prieer z jedolivých predpoladaých oeficieov rasu vjadrujúcich predpoladaý expoeciál red [7]. Odhad paraerov expoeciálej fucie ôžee voať iež eódou vraých odov, orá sa uvádza aprílad v lieraúre [8]. Na časovej osi,,... veriee dva od a +. V ýcho odoch položíe epiricú hodou časového radu rovú jej eoreicej hodoe defiovaej vzťaho (9.) (9.3) + + (9.4) 6
A vdelíe rovicu (9.4) rovicou (9.3) dosávae výraz + + odiaľ zísae rovice pre odhad paraerov odelu v vare + (9.5) (9.6) Zlepšeie vlasosí odhadov paraerov ôžee docieliť použií eód vážeých aješích švorcov. V súlade so vzťaho (7.) ôžee preforulovať podieu w i. ) ( A použijee váh, a dosaee orále rovice w + + Riešeí ýcho orálch rovíc zísae vzorce pre odhad paraerov odelu (9.7) V praxi výzaý odelo s aspoou a ez iflexého odu je odifiovaý expoeciál red. Ide o fuciu defiovaú v vare + pre (9.8) 63
< > < < > < > < < > > > > > Or. 9.4 Modifiovaý expoeciál red Model (9.8) eožo ariic rasforovať a lieár var, a eda ai použiť eódu aješích švorcov pre odhad paraerov. Pre výpoče paraerov za daých oolosí používae eódu vraých odov, orú uvádzae podľa lieraúr []. Pricíp eód vraých odov spočíva v o, že a časovej osi veriee apr. ri od, oré sú od sea vzdialeé o e isý poče odoí, a ýo časový odo zodpovedajúce hodo preeej vezee za zálad výpoču. O rozosúpeí plaí, že ( ) /, a je páre číslo, aleo ( ) /, a je epáre číslo. Vraé hodo ozačíe soli,, orých výrazo sú var, + + + + Paraere,, vjadríe zo súsav rovíc, pre ich odhad plaí (9.9) Určiý edosao ejo eód je, že a výpoče paraerov evužívae vše pozorovaia časového radu. V praxi sa ôžee sreúť aj s výpočový posupo, orý azývae eóda čiasových súčov []. Naieso jedolivých hodô radu používae čiasové súč za určié časové úse. Časový rad dĺž, pre orý plaí, že 3 ( je prirodzeé číslo), rozdelíe a ri 64
rovao veľé časi s rozsaho pozorovaí. V aždej supie položíe pre jedolivé odoia,,..., epiricé hodo rové ich eoreicý hodoá (9.8). Z vpočíaých hodô v jedolivých supiách určíe ich súče. 3+ + + S S S3 (9.) Za pooci čiasových súčov zísae vzorce pre odhad paraerov odelu S S 3 S S (9.) ( S S) (9.) ( ) S ( ) (9.3) Poiaľ ie je spleá požiadava celového poču pozorovaí časového radu delieľého roi, a vecháe poreý poče pozorovaí a začiau radu. + i + i + (9.4) Predpoladaú hodou súaej preeej v progózovao odoí o, čo dosadíe vpočíaé hodo do vzťahu (9.4). ( + i) dosaee po Prílad 9. Expoeciál red V dopravo podiu vhodocujee výo vjadreé v is. os (preeá ). Vrovaje eo časový rad expoeciál redo a vpočíaje odovú predpoveď a asledujúce dve odoia. Východisové údaje a čiasové výpoč sú v a. 9.. A použijee ao ezávisle preeú, poo použijee a výpoče vzorce (9.) l l 5,8,5 β l l ( ) 6,354,4944 β 33 65
de β je odhad β je odhad,5 l, a eda plaí, že e 3668, 48,4944 l, a eda plaí, že e, 5 Ro l l ( ) 994-9 5,36-9,756 8 995-7 6355,794-7,559 49 996 3-5 83,475-5,377 5 997 4-3 956,84-3,84 9 998 5-35,374 -,374 999 6 386,566,5655 7 3 4754,76 3,835 9 8 5 558,849 54,463 5 9 7 49,7996 75,5977 49 3 9 5748,959 98,6389 8 Sua 55 383354 5,8 6,354 33 Prieer 5,5 38335,4,58,6354 33 Ta. 9. Čiasové výpoč expoeciál red Vpočíaé paraere dosadíe do rovice expoeciáleho redu (9.) 3668,48, 5 z orého odelu vplýva, že prieeré ročé epo rasu výoov je päť perce. Dosadeí za i do vzťahu (9.) dosávae predpoveď a asledujúce odoie 3668,48,5 6736,55 V rou 4 odhadujee výšu dosiahuých výoov a priliže 6 736 is. os. Prílad 9.3 Modifiovaý expoeciál red eóda vraých odov Na odhad redu vývoja prepravých výoov a saoveie progóz ďalej použijee odifiovaý expoeciál red. Na odhad paraerov redu použijee eódu vraých odov. Rozosúpeie údajov je ( ) / 4, a vraé od sú,. Vraé hodo ozačíe soli 6355 386 5748,., Dosadeí do vzťahov (9.) vpočíae paraere,, 5748 386 386 6355 4,355 6, 66
386 6355 4,355 6355 86,899 86,899 3538, Rovica odifiovaého expoeciáleho redu vpočíaého eódou vraých odov 3538, + 86,9, 355 Bodovú progózu a odoie dosaee po dosadeí do vzťahu (9.4) + 3538, + 86,9,355 78,8 Poocou vraých odov predpovedáe a ro 4 prepravé výo vo výše priliže 78 is. os. Prílad 9.4 Modifiovaý expoeciál red eóda čiasových súčov Na výpoče odelu odifiovaého expoeciáleho redu použijee eódu čiasových súčov. Rad á dĺžu, rozdelíe ho a ri rovaé časi s rozsaho 3 pozorovaia, prvé pozorovaie vechávae. Na zálade vzťahu (9.) vpočíae súč v jedolivých supiách 4 S 8374 S 779 S3 5674 7 5 Za pooci čiasových súčov zísae odhad paraerov odelu podľa (9.) až (9.3) S 3 3 S S S 5674 779 779 8374,46,46 ( S S) (779 8374) 78,946 ( 3 ),46(,46 ) S 3 ( ) (,46 ) 8374 78,946,46,46 575,544 3 Rovicu odifiovaého expoeciáleho redu zapíšee v vare 8 575,544 + 78,946, 46 Bodová progóza pre i 67
575,544 + 78,946,46 + 675,579 S vužií eód čiasových súčov predpovedáe a ro 4 prepravé výo vo výše priliže 67 53 is. os. Prílad 9.5 Vhodocovaie presosi použiých odelov Po voaí odhadu progosicého odelu asleduje vhodoeie presosi oho odelu. V ap. 8. se uviedli záladé ier, orýi saovujee presosť odelov. V adväzosi a riešeé prílad 9. až 9.4 vhodoíe, orý z použiých odelov je ajpresejší. Do úvah vezee ri odel: - expoeciál red: 3668,48, 5 - odifiovaý expoeciál red (MVB): - odifiovaý expoeciál red (MČS): 3538, + 86,9, 355 3 575,544 + 78,946, 46 3 5 3854,54 8945,859 44,338 6355 444,9 383,9 7855,8 3 83 446,4 3543,5586 3469,3 4 956 44585,353 386,34 3549,3 5 35 4684,6 464,667 39,94 6 386 4955,35 474,6758 43338,733 7 4754 563,9 598,3933 47664,769 8 558 5493,775 5748,57 589,84 9 49 5693,464 6366,338 569,99 5748 59748,637 746,974 6873,9 Ta. 9.3 Epiricé a vrovaé hodo porovávaých odelov Tauľa 9.3 osahuje vše epiricé hodo prepravých výoov a vše eoreicé hodo, oré se zísali z odhaduých odelov redov. Vpočíae prieerú švorcovú chu podľa (8.5) a prieerú perceuálu chu podľa (8.7) všeých pov odelov. Uvediee výpoče oidvoch charaerisí pre odifiovaý expoeciál red vpočíaý eódou čiasových súčov. PŠCH PPCH ( ( 3 ) 43853 4385, 3 3 ) (,98747),98747 Výpoče oidvoch charaerisí (PŠCH, PPCH) pre vše ri odel spolu aj s čiasovýi výpočai sú v a. 9.4. Z porovaia vplýva, že ajpresejší je odel odifiovaého expoeciáleho redu vpočíaý eódou čiasových súčov. Asolúa aj relaíva charaerisia presosi predpovede sú v oo odeli výraze ižšie v porovaí s osaýi odeli. 68
3 ) / ( ) / ( ) / ( 3-344,54-3845,859 699,6648 -,53444 -,53,7875-485,9-5475,9-5,8 -,53444 -,777 -,569 3-449,4-683,559-356,3 3 -,556 -,4 -,54 4-549,353-9465,3-693,3 4 -,59 -,3463 -,898 5-4799,6-589,67-787,94 5 -,467 -,3377 -,45 6-534,35-849,676-477,733 6 -,776 -,8 -,5 7-4459,89-486,393-5,7694 7 -,9457 -,35 -,83 8-3935,7749-73,6-93,84 8 -,783 -,437 -,3844 9-79,4636-465,3-79,99 9 -,67 -,986 -,667-67,6368-945,97-439,9 -,3945 -,5 -,764 Súče švor. 544876 84864 43853 Súče -3,78 -,4587 -,98747 Prieer 54488 8486 4385,3 Prieer -,38 -,459 -,9875 Ta. 9.4 Výpoče charaerisí presosi predpovede 9.4 Logisicý red Logisicá redová fucia parí do supi rasových odelov. Model dore vsihuje vývojovú edeciu vo viacerých prieselých odveviach, predovšeý poiaľ ide živoý clus výroov po ich zavedeí a rh. Kriva sleduje vývoj výrou a rhu od jeho uvedeie a rh, cez posupé zvšovaie predaja a jeho ásledé spoaleie až po asýeie rhu ýo produo. Logisicý odel ol s úspecho apliovaý pri odelovaí dopu po predeoch dlhodoej spore, edzi oré ôžee zaradiť aprílad elevízor, auooil, prač a pod. Ide o výrou predeov v odoroch, oré vazujú vsoú príjovú pružosť dopu. Aalýza a progóza dopu po predeoch dlhodoej spore á veľý výza aj z pohľadu rozhodovaia o ivesíciách. Pre aažéra je dôležié sledovať vývoj dopu po produe a rhu, a ť pripraveý a iovácie produu v prípade, že sa rh ascuje a predaj sa v podsae oedzuje a ahrádzaie oporeovaých produov. Dop po produoch dlhodoej spore je ovplveý ohýi deeriaai, edzi oré ôžee zaradiť dispoiilý príje, ceu produu, výša úroovej ier a áup daého ovaru a splá aleo pri preáje ovaru. Z ioeooicých faorov ôžee uviesť pschoicé, sociále a deograficé vplv, aprílad óda, živoá úroveň aleo poče ovaeľov. Za ajvhodejšiu šaisicú jedou pri súaí dopu po predeoch dlhodoej spore považujee doácosť. V prípade uvedeia ového výrou a rh očaávae vššie príras predaja až po určiej adapačej doe, v prieehu orej sa sporeieľ oozauje s výroo a zísava iforácie o jeho fuciách. Logisicá riva parí do supi S-rivie, pričo jej iflexý od ju rozdeľuje a dve sericé časi. Na jej vjadreie sa používa viacero zápisov, podľa [] uvádzae var a (9.5) c + e de a je aspoou fucie a vjadruje zv. hladiu asýeia. 69
Poocou odelu ôžee siulovať jedolivé šádiá eooicej živoosi ového aleo iovovaého výrou. Teo prechádza roa fázai, oré sú azačeé aj a orázu (9.5). Počiaočá fáza sa azýva fáza zrodu, ed sa výroo preiá a rh a začía sa presadzovať a rhu zvčaje s podporou predaja a relaou. Druhá fáza je charaerizovaá ao rozvojová, a v ráci ej výroo dosahuje ajrýchlejší ras predaja. V druhej časi ejo fáz sa začíajú prejavovať liace prv, oré lia progresív ras veliči v čase. Vývojové edecie sa začíajú spoaľovať. Záverečú fázu charaerizujee ao fázu asýeia, dochádza ďalšieu polesu rasu veliči až zv. sauračej hladie. Teo poles je ezvraý sigálo o o, že rh je výroo asýeý. a.fáza.fáza 3.fáza a / iflexý od a/( + ) Or. 9.5 Logisicá riva Jedolivé isicé riv, oré vjadrujú prieeh predaja rozličých produov sa odlišujú prieeho v jedolivých fázach ao aj dĺžou ýcho fáz. K odhadu paraerov isicej fucie ôžee dospieť aprílad poocou rasforácie odelu a aý var, orý doážee odhadúť zái eódai. Taouo rasforáciou je úprava isicej fucie a odifiovaú expoeciálu fuciu. Prevráeá hodoa vzťahu (9.5) á var + a e a c Susiúciou Y A a B a C e c (9.6) zísae var odifiovaého expoeciáleho redu Y + A BC (9.7) 7
Na vriešeie odelu (9.7) ôžee použiť eód odhadu paraerov odifiovaého expoeciáleho redu uvedeé v apiole 9.3, a o eódu vraých odov aleo eódu čiasových súčov. Poo ao určíe paraere odelu (9.7) odvodíe paraere pôvodej isicej fucie dosadeí vpočíaých hodô do vzťahu (9.6), z orých vplýva, že a ab c lc (9.8) A V lieraúre [7] sa ôžee sreúť aj s iý zápiso isicej riv, a o v vare + e f ( ) de je ošaa a f() je poloicá fucia času: f ( ) a + + c + K A á fucia času var: f ( ) a +, poo isicý red adoúda var: + e a+ Paraere a,, odelu sa ajjedoduchšie vpočíajú eódou vraých odov, pričo plaia uvedeé rovosi + + + a a+ 3 a+ 4 Po ich úprave a ariicej rasforácii sa vjadria paraere odelu zo vzťahov: ( ( ) ) a ( 3 3 Medzi progosicé odel v vare S-riv parí aj Goperzová riva. Na rozdiel od isicej fucie je asericá, ťažiso jej hodô v čase je za jej iflexý odo. Ide o fuciu pu ) c a (9.9) Saoveí hodô paraerov a,, c rivu prispôsoíe rôz šruúra vsupých údajov. Horá aspoa je určeá hodoou paraera a odelu. Podľa veľosi paraerov a ich rozpäia ožo určiť rôze var S rivie a ich uieseie v jedolivých vadraoch. Pri odhade paraerov odelu je vhodé voať liearizujúcu rasforáciu, a áslede použijee odhadu paraerov eódu čiasových súčov. 7
c a (9.3) + A je poreé posuúť rivu po veriálej osi hore aleo dole, ožo dopliť uvedeý vzťah o adiívu ošau a var (9.3). Oáz. Charaerizuje jedolivé p redových fucií a ožosi ich vužiia v aažee.. Aý je výza rasovej fucie pri odelovaí vývoja súaej veliči? 3. Popíše všeoece spôso odvodeia orálch rovíc v odeloch redu. 4. Porovaje vše uvedeé eód odhadu paraerov expoeciáleho redu. 5. Vsvelie pricíp zv. rasových odelov, uveďe prílad ich vužiia v praxi. Lieraúra [] GARAJ, V.: Úvod do eooericého odelovaia. Braislava: Eooicá uiverzia, 993. [] CHAJDIAK, J., RUBLÍKOVÁ, E., GUDÁBA, M.: Šaisicé eód v praxi. Braislava: Sais, 994. [3] HINDLS, R., HRONOVÁ, S., NOVÁK, I.: Aalýza dá v aažersé rozhodováí. Praha: Grada Pulishig, 999. [4] KOZÁK, J., SEGER, J.: Jedoduché saisicé eod v progosice. Praha: SNTL, 994. [5] LEVINE, D.M., STEPHAN, D., KREHBIEL, T.C., BERENSON, M.L.: Saisics for Maagers Usig Microsof Excel. New Jerse: Pearso Educaio, Ic.,. [6] MIKOLAJ, J., VANČO, B.: Eooeria pre aažérov. Košice: Mulipri, s.r.o, 4. [7] MIKOLAJ, J., VANČO, B.: Šaisia pre aažérov. Žilia: Faula špeciáleho ižiiersva ŽU, 3. [8] SEGER, J., HINDLS, R.: Saisicé eod v rží hospodářsví. Praha: Vicoria Pulishig, 995. 7