2.1. ZLOŽENÉ ÚROKOVANIE. Pri jednoduchom úrokovaní počítame úrok vždy zo začiatočného kapitálu K

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "2.1. ZLOŽENÉ ÚROKOVANIE. Pri jednoduchom úrokovaní počítame úrok vždy zo začiatočného kapitálu K"

Σπύρο Μαγγίνας
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 . Zložeé úrokovaie.. ZLOŽENÉ ÚROOVNIE Pri jedoducho úrokovaí počíae úrok vždy zo začiaočého kapiálu. Jedoduché úrokovaie používae vedy, keď doba, za korú sa počía úrok, je krašia (ešia) ako úroková perióda. k doba, za korú počíae úrok, je dlhšia ako úroková perióda, ak vedy úroky pripisujee k isie a koci úrokovej periódy a v asledujúco období úo suu zúročíe. Hovoríe o "úrokovaí úrokov", eda o zložeo úrokovaí. Pri zložeo úrokovaí budee používať ieo ozačeia: - začiaočá hodoa kapiálu i ( p) - úrokovacia sadzba (iera) pre daú úrokovú periódu - dĺžka úrokového obdobia (poče úrokových periód) - hodoa kapiálu po úrokových periódach ký bude áras kapiálu po úrokových periódach? apiál a začiaku. periódy : apiál a koci. periódy : U i ( i) apiál a koci. periódy : i ( i) ( i M apiál a koci -ej periódy : ( i) - budúca (výsledá, koečá) hodoa kapiálu - príoá (súčasá, začiaočá) hodoa kapiálu Pre výpoče budúcej hodoy kapiálu plaí vzťah ) () ( i) Zo vzťahu () vyjadríe vzorec a výpoče príoej hodoy kapiálu () ( i) Zo vzťahu () vyjadríe vzorec a výpoče úrokovej sadzby i Odvodeie: (3) i ( i) ( i) /

2 . Zložeé úrokovaie ( i) / i Zo vzťahu () vyjadríe vzorec a výpoče dĺžky úrokového obdobia l l (4) l( i) Odvodeie: ( i) l ( i) / ol l( i) l l( i) l l l( i) l l l( i) Veličiu r ) ( i azývae úrokovací fakor pre periód. celkový úrok po periódach U [( i) ] ( r ) ( i) prírasok (úroky) v k-ej perióde u k ( i) k i Príklad. Nájdie budúcu hodou kapiálu p.j. po -ich rokoch, vložeého a úče, korý poskyuje 8% ročú úrokovú ieru. Príklad Príklad.3 Já si ovoril úče v bake pri 9% ročej úrokovej iere a vložil aň p.j. Po 3 rokoch vybral z úču 5 p.j. kou suou bude dispoovať po ďalších 4 rokoch?

3 . Zložeé úrokovaie Príklad.4 Podik chce získať kapiál porebý a ivesovaie. Chce a o využiť foru zaesaeckých obligácií v oiálej hodoe p.j. splaých o päť rokov. kú á saoviť ceu jedej obligácie, ak uvažuje s 5%-ou ročou úrokovou ierou? Príklad.5 Pri akej ročej úrokovej iere sa daý vklad zdvojásobí za obdobie 5-ich rokov? Príklad.6 k uvažujee 6% ročú úrokovú ieru, koľko rokov porebujee, aby vklad p.j. vzrásol a 3 p.j.? VZŤH MEDZI JEDNODUCHÝM ZLOŽENÝM ÚROOVNÍM ( i) lieára fukcia pre ( i) expoeciála fukcia pre pre pre [, ] [, ( i) ] spoločé body grafov Náras kapiálu závisí od doby úrokovaia a plaí : k < ( i) > ( i) k k ( i) ( i) > ( i) < ( i) ( i) ( i) 3

4 . Zložeé úrokovaie P o z á k a. Pri úrokovo období krašo ako úroková perióda, pre korú je saoveá úroková iera (zvyčaje rok), je výhodejšie pre ajieľa vkladu použiť jedoduché úrokovaie. Pri dlhšo období ako jeda úroková perióda je výhodejšie použiť zložeé úrokovaie. P o z á k a. Rozdiel edzi jedoduchý a zložeý úrokovaí sa prejaví ý viac, čí je úrokové obdobie dlhšie. Príklad.7 Vypočíaje áras suy p.j. vložeej a úče pri 6% ročej úrokovej iere a dobu 5,, rokov pri jedoducho a zložeo úrokovaí... NOMINÁLNE EFETÍVNE ÚROOVÉ SDZBY Sybolo i se ozačovali úrokovú sadzbu za periódu - azývae ju efekíva úroková sadzba ; za periódu se považovali rok. V bakových operáciách sa úroky počíajú ie jedekrá roče, ale iekoľkokrá roče. Dobu edzi dvoa asledujúcii výpočai úrokov azývae (ročou) koverziou, poče ročých koverzíí ozačíe ( ). Pri akýcho rasakciách býva určeá ročá úroková iera a poče koverzií. Takúo ročú úrokovú sadzbu azývae oiálou úrokovou sadzbou. () Ozačeie: j alebo i V asledujúco exe budee používať ieo ozačeia: j oiála úroková sadzba i efekíva úroková sadzba (za periódu koverzie) poče koverzií poče rokov - poče úrokových periód overzia Poče koverzií za rok polročá švrťročá 4 esačá deá 365(36) úroková sadzba za rok i poce koverzií za rok j Úrokovací fakor je r ( i ) j 4

5 . Zložeé úrokovaie Vzorce a výpoče základých veličí, ak j j i je efekíva úroková sadzba: j j l l j l Príklad.8. Nájdie budúcu hodou vkladu 5 p.j. pri švrťročo úrokovaí a 6%-ej oiálej úrokovej iere za 5 rokov. Príklad.9. Vypočíaje, či je výhodejšie uložiť vklad 5 p.j. a 4%-ú oiálu úrokovú ieru pri ročo alebo polročo úrokovaí a obdobie rokov. Príklad.. Obča si ovoril úče v bake s vklado p.j. Baka poskyuje 4%-ú oiálu úrokovú ieru pri polročo úrokovaí. Na koci. a. roka obča zvýši vklad o ďalších 5 p.j. kú veľkú suu bude ať obča a úče po 5-ich rokoch? Príklad.. Rieše predchádzajúci príklad za predpokladu, že baka poskyuje švrťročý úrok pri 8%-ej oiálej úrokovej iere! Príklad.. Podik chce vyvoriť zabezpečovací fod ak, aby al a ňo p.j. porebých a výeu oporebovaého sroja o ri roky. oľko usí vložiť do fodu eraz, ak baka poskyuje švrťročý úrok pri 8%-ej úrokovej iere? Príklad.3. Uvažujee o ákupe vkladového lisu v hodoe 5 p.j., korý sa á á vráiť o 5 rokov v hodoe p.j. Predpokladá sa esačé úrokovaie. kej oiálej úrokovej iere zodpovedá výos z oho vkladového lisu? 5

6 . Zložeé úrokovaie.3. ZMIEŠNÉ ÚROOVNIE Pre úrokové obdobie N, kde N je celé číslo, (,) N N N ( i) ( i ( i ) ( i) ( i ) ) N Pr. 4. Vypočíaje budúcu hodou z vkladu p.j. uložeého pri 4 %-ej oiálej úrokovej iere a dobu 5 rokov a 5 esiacov. Riešeie: Pre úrokové obdobie N, N je celé číslo,, (,) N i ) ( i) ( i ) ( Pr. 5. Vypočíaje a akú suu vzrásol kapiál p.j. pri ročej úrokovej sadzbe i,9 od do Riešeie:.4. EVIVLENTNÉ ÚROOVÉ SDZBY Defiícia: Nech j je oiála úroková sadzba pri ročých koverziách. Poo ročú úrokovú sadzbu i e, korá za rok poskyuje e isý výos, azývae ekvivaleá efekíva ročá úroková sadzba. Pr. 6. Baka poskyuje a vklady a) esačé, b) deé úroky pri oiálej úrokovej sadzbe j,55. Vypočíaje zodpovedajúcu ekvivaleú efekívu ročú úrokovú sadzbu..5. DISONTOVNIE PRI ZLOŽENOM ÚROOVNÍ Pri aeaicko diskoovaí (odúročeí) je disko rový rozdielu j D, kde Pri obchodo diskoovaí je disko rový úroko zo splaej hodoy diskoej sadzbe : pri daej M ( d ) d ( d ) d ( d ) ( d ) 6

7 . Zložeé úrokovaie Príoá hodoa z kapiálu pri daej diskoej sadzbe d je za úrokových periód ( d) Obchodý disko pre zložeé úrokovaie je [ ( d ] D ) ( d) Príklad.7. Vypočíaje aeaický a obchodý disko zo suy p.j. pri rovakej ročej úrokovej a diskoej sadzbe rovej,8 za obdobie roch rokov. Bakári počíajú disko z vyššej suy, ež akú reále vyplácajú. Pri zložeo úrokovaí je rozdiel edzi D a a Dob väčší ež pri jedoducho úrokovaí, preo zodpovedajúce úrokové a diskoé sadzby usia byť rôze. EVIVLENTNÉ ÚROOVÉ DISONTNÉ SDZBY ( ) ( i) d aeaický disko obchodý disko d i d i i d i d (*) ( ) d EVIVLENTNÉ EFETÍVNE NOMINÁLNE DISONTNÉ SDZBY ( d ) ( ) d ( ) 7

8 . Zložeé úrokovaie Príklad.8. Zeka oiálej hodoy p.j. je splaá o 3 roky a 9 esiacov. ká je jej príoá hodoa pri polročo úrokovaí a 8%-ej oiálej úrokovej iere? Príklad.9. Pá Nový požičal pai Bielej.. 99 suu p.j. pri 8 %-ej oiálej úrokovej iere a polročo úrokovaí. Pai Biela podpísala dlžobý úpis, že vrái pôžičku spolu s úroki o 5 rokov. Pai Biela chce dlžobý úpis získať aspäť už Pá Nový súhlasí pri použií aeaického diskou s %-ou oiálou úrokovou ierou s polročý úrokovaí. oľko usí zaplaiť pai Biela páovi Novéu a vyrovaie dlhu?.6. ÚLOHY Z FINNČNEJ EVIVLENCIE Pricíp fiačej ekvivalecie ožo používať aj pri zložeo úrokovaí. Príklad.. Zeka oiálej hodoy 66 9,76 p.j. je splaá o 5 rokov a je predávaá pri 8 % ročej úrokovej iere. Iá zeka oiálej hodoy 77,9 p.j. je splaá o 7 rokov pri rovakej úrokovej iere. Zisie, či sú ieo zeky "fiače ekvivaleé". P o z á k a. Pre zložeé úrokovaie plaí: ak sú dva kapiály ekvivaleé k ejakéu dáuu, ak sú ekvivaleé aj k iéu dáuu, eda ekvivalecia ezávisí od času. Príklad.. Dlh v sue p.j. sa á zaplaiť o 3 roky. Dlh chcee ahradiť ekvivaleou plabou o 5 rokov, realizovaou pri oiálej úrokovej sadzbe,7 pri polročo úrokovaí. ká veľká á byť áo plaba?.7. NTICIPTÍVNE ÚROOVNIE Predlehoý (aicipaívy) úrok je splaý a začiaku úrokového obdobia, ide eda o rovaký pricíp ako pri obchodo diskoe. začiaočý kapiál U koečý kapiál úrok Príklad.3. Dlžík žiada o pôžičku vo výške 5 p.j. a dobu roku. icipaívy úrok je 6%, verieľ si zo suy 5 zráža 6%-ý úrok vopred a vyplaí dlžíkovi le 47 p.j. Dlžík usí po roku zaplaiť 5 p.j. 8

9 . Zložeé úrokovaie Sybolika: - začiaočá hodoa kapiálu - hodoa kapiálu po úrokových periódach - poče úrokových periód i - aicipaíva úroková sadzba za úrokovú periódu ( rok) oečý kapiál po. úrokovej perióde: i oečý kapiál po. úrokovej perióde: i ( i) i ( i M oečý kapiál po -ej úrokovej perióde: ) i ( i ) i ( i) i ( i ) budúca hodoa kapiálu pri aicipaívo úrokovaí ( i ) príoá hodoa kapiálu pri aicipaívo úrokovaí ( ) i Príklad.4. kú suu zaplaí dlžík z pôžičky p.j. pri 9% aicipaívo úrokovaí o 5 rokov? EVIVLENTNÉ DEURZÍVNE NTICIPTÍVNE ÚROOVÉ SDZBY Porováe úrokovacie fakory i (*) i.8. SPOJITÉ ÚROOVNIE - diskrée úrokovaie r.. r. r r - spojié úrokovaie poče koverzií sa blíži do ekoeča j j() - oiála úroková sadzba v závislosi od poču koverzií 9

10 . Zložeé úrokovaie Ozačeie: li j( ) úroková iezia (úroková sadzba pre spojié úrokovaie) Budúca hodoa pre zložeé úrokovaie je j, budúca hodoa pre spojié úrokovaie bude Plaí li e li li e li li li e e ( ) vzorec pre budúcu hodou e (*) vzorec pre príoú hodou e Zo vzorca (*) vyjadríe a l l l l Príklad.5. Vypočíaje budúcu hodou kapiálu 5 p.j., korý je uložeý v bake pri 3% spojio úrokovaí a dobu 3 roky a esiace. Riešeie: 5..,,3, 3 3 p j 6 3, 6,3 3,6 e 5 e 5497,9 Príklad.6. Cea byu v určio ese vzrásla za 5 rokov a 5 p.j. pri spojio vzrase s 3%-ý ročý prírasko. ká bola cea byu pred 5-ii roki? Riešeie: 5,,3, 5,3 5 e 5 e 43353,99 p.j. Cea byu pred 5-ii roki bola 43353, 99 p.j.

11 . Zložeé úrokovaie.9. VZŤHY PRE ZODPOVEDJÚCE VELIČINY ZLOŽENÉHO SPOJITÉHO ÚROOVNI Porováe budúce hodoy: ( i) ( i) e e i e i e l( i) l e l( i) ( ) (**) ν e i e e odúročieľ ν e (***) diskoá sadzba i e e d e i e e e d e (****). VŠEOBECNÁ TEÓRI ÚROOVÝCH SDZIEB Doeraz za daých podieok boli úrokové a diskoé sadzby košaé. Pri dlhších časových iervaloch oo eplaí, úrokové a diskoé sadzby sa eia ( apr. pod vplyvo iflácie). Úrokové sadzby (resp. iery) sú fukciai času. Ozačeie: i(). Za oho predpokladu je ožé vo všeobecej eórii úrokových sadzieb odvodiť vzťahy: budúca hodoa kapiálu e ( ) d príoá hodoa kapiálu e ( ) d kde, sú časové okaihy, <, () je úroková iezia.

12 . Zložeé úrokovaie Pr. Nech úroková iezia pre časovú jedoku rok je ( ),5 (,9), pre každé. Zisie príoú hodou p.j. splaých o 3 roky! Riešeie: e ( ) d,, 3, ( ),5 (,9) Príoá hodoa: e ( ) d d,5 (,9) e 3,5 (,9) d e vzorec x x a a dx c l a 3,9,5 l,9 3,9,9,5 l,9 e e, 86 e 8793, p.j.

Σχετικά έγγραφα

Úrokovanie. Úrokovanie. Monika Molnárová. Technická univerzita Košice.

Úrokovanie. Úrokovanie. Monika Molnárová. Technická univerzita Košice. Úrokovanie Monika Molnárová Technická univerzita Košice monika.molnarova@tuke.sk Obsah 1 Úrokovanie Úvod Jednoduché úrokovanie Zložené úrokovanie Zmiešané úrokovanie Spojité úrokovanie Princíp finančnej