8 Vyrovnávanie časových radov

Transcript

1 8 Vrovávaie časových radov Pre riadiacich pracovíkov je dôležiá aalýza údajov z časových radov jedolivých ukazovaeľov, ab a ich základe vedeli odhadúť vývoj ýcho veličí a prijímať rozhoduia. V ejo a asledujúcich dvoch kapiolách budeme veovať pozorosť modelom časových radov, ich aalýze a progosickému vužiiu. Východiskom pre vorbu šaisických radov sú údaje. Najťažšou úlohou je eraz práve získavaie údajov, koré b ám umožili vvoriť progosický model a pomocou eho poom riešiť špecifický rozhodovací problém. Taký údaj, a základe korého prijíma riadiaci pracovík rozhoduie, azývame iformácia. Získaé údaje b mali mať ieo vlasosi: a) Spoľahlivosť a presosť. Zdroj, od korého údaje získavame, b mal bť hodoverý a mal b klásť dôraz a presosť zazameávaých údajov. b) Relevaosť. Zameá o, že údaje b mali reprezeovať okolosi, pre koré sa áslede vužívajú v procese výsavb, kvaifikácie a aplikácie modelu. c) Koziseosť. Spracovaeľ údajov b mal zabezpečiť adväzosť údajov z pohľadu ich vecého obsahu v jedolivých obdobiach vzhľadom a ich obsahovú šrukúru v miulých obdobiach. d) Akuálosť. Čím skôr má riadiaci pracovík údaje k dispozícii, ým väčší výzam majú pre aalýzu, pre progózu i pre riadeie. Šaisické údaje, koré máme k dispozícii a začiaku šaisického skúmaia, sú číselou charakerisikou šaisických jedoiek. Usporadúvame ich do šaisických radov, koré môžu mať charaker: - prierezových údajov, koré voria pozorovaia zozbieraé v jedom časovom okamihu, - časových údajov,.j. pozorovaia sú zazameaé v za sebou asledujúcich obdobiach. Údaje zosaveé v časových radoch musia zodpovedať ýmo požiadavkám: a) šaisické údaje sú zoradeé chroologick, b) šaisické údaje musia bť porovaeľé z pohľadu: - dĺžk časového obdobia, za koré sa údaje zazameávajú, - veľkosi priesorového celku, v korom sa údaje zazameávajú - spôsobu získaia údajov a použiých merých jedoiek skúmaých veličí. 8. Základé charakerisik časových radov Časové rad vvárame posuposťou priesorovo a vece porovaeľých údajov, pričom sú ieo údaje jedozače usporiadaé z pohľadu času. Jedolivé hodo časového radu ozačujme. Idexom vjadrujeme jedolivé časové bod, v korých sme amerali 39

2 príslušú hodou premeej, pričom plaí, že,,...,. Písmeom u vjadrujeme dĺžku časového radu,.j. poče hodô,,..., v skúmaom časovom rade. Podľa periodici, s akou zazameávame údaje pozorovaej premeej, rozdeľujeme časové rad a - dlhodobé s periodiciou jedého roku, medzi koré môžeme zaradiť apríklad ročé hodo HDP, - krákodobé s periodiciou krašou ako jede rok, apr. rad švrťročých, mesačých, ýždeých alebo deých údajov. Ako príklad uvedieme deé údaje o vývoji meového kurzu eura voči americkému doláru od. jauára 004 do 30. júa 004. Časové rad čleíme podľa vjadrovaých veličí a a) okamihové, koré vjadrujú sav skúmaého javu k daému časovému okamihu (apr. sav a bakovom úče ku kocu kaledáreho mesiaca), a b) iervalové, koré sa viažu a určié časové obdobie (apr. mzdové áklad za obdobie jedého mesiaca). Okamihové časové rad charakerizujeme ich priemerom. Celkový priemer z okamihových hodô časového radu získame zv. chroologickým priemerom ch, korý uvádzame v vare ch (8.) pričom z období môžeme zosaviť - čiaskových priemerov. Čiaskový priemer z obdobia poom určíme zo vzťahu + + kde je počiaočý sav v období, je sav a koci obdobia. + Uvedeý vzťah (8.) používame a výpoče priemerej hodo ved, keď je vzdialeosť medzi pozorovaiami radu rovaká. V prípade, že vzdialeosť medzi pozorovaiami radu ie je rovaká, použijeme a výpoče vážeý chroologický priemer ch d d... d (8.) d i kde d je dĺžka medzi dvomi pozorovaiami okamihovej premeej. 40

3 Iervalové časové rad zlučujeme v čase sčíavaím. Predovšekým v krákodobých časových radoch sa údaje kvôli porovaiu očisťujú ak, ab vjadrovali hodou veliči za rovako dlhé časové úsek. Uvádzame vzťah pre očisťovaie údajov a kaledáre di m (8.3) m kde je hodoa premeej v mesiaci, m je poče kaledárch dí v mesiaci, m je priemerá dĺžka kaledáreho mesiaca. Výsledkom výpoču sú poom kaledáre očiseé údaje za príslušý mesiac, korými ahradzujeme pôvodý rad údajov, korý ezohľadňoval rozdielu dĺžku časového iervalu. Časové rad vvárame aj z odvodeých veličí, a o buď z priemerých hodô skúmaej premeej alebo z pomerých hodô skúmaej premeej, koré zvčaje košruujeme a pricípe bázických a reťazových idexov. V šaisických ročekách sa sreávame apríklad s časovými radmi zazameávajúcimi vývoj hrubého domáceho produku vzhľadom a východiskové obdobie, korý vývoj sa vjadruje pomocou relaívch ukazovaeľov. Damiku šaisického radu sledujeme ak, že zazameávame zme vo vývoji skúmaej veliči v jedolivých obdobiach. Zme meriame buď pomocou - absolúch diferecií alebo - pomerých čísel. Absolúe diferecie (prírask alebo úbk) defiujeme ako veliči majúce vlasý rozmer, koré získame ako rozdiel susedých hodô v časovom rade. Ak uvažujeme časový rad hodô,,..., premeej v časových bodoch,,...,, ak rad prvých diferecií defiujeme všeobecým predpisom () pre,3,..., (8.4) Celkový poče prvých diferecií je. Z prvých diferecií získavame druhý diferečý rad, ako rozdiel susedých hodô prvého diferečého radu. Druhý diferečý rad vjadruje zrýchleie (spomaleie) vývoja v časovom rade a môžeme ho defiovať vzťahom () () () pre 3,4,..., (8.5) Celkový poče druhých diferecií je. Aalogick určujeme prvé diferecie všších supňov. Pomer druhých diferecií k prvým difereciám vjadruje koeficie zrýchleia (spomaleia), korý vjadríme vzorcom 4

4 () () ϕ (8.6) () () Priemerá absolúa diferecia sa vpočía z absolúch diferecií pomocou arimeického priemeru, a o () () (8.7) Na vjadreie damik časového radu používame aj pomeré čísla, koré sú a rozdiel od absolúch diferecií emajú rozmer. Časo sa používa koeficie rasu príslušej veliči, koré vjadríme všeobecým vzťahom k pre,3,...,. (8.8) Priemerý koeficie rasu časového radu vpočíame ako geomerický priemer koeficieov rasu 3... k k k k (8.9) ak časový rad začía hodoou. Ďalším z pomerých ukazovaeľov vjadrujúcich vývoj hodô časového radu je koeficie prírasku, korý defiujeme ako podiel absolúej diferecie v čase a hodo skúmaej premeej v čase -. Vjadríme ho vo vzorci () κ pre,3,...,. (8.0) Jedoduchou úpravou výrazu (8.0) zisíme vzťah medzi koeficieom rasu a koeficieom prírasku κ k pre,3,...,. Relaívu zmeu hodô časového radu môžeme popísať iež ukazovaeľom vo vzťahu k východiskovej hodoe časového radu. Vzike ako časový rad bázických idexov, koré defiujeme vo vzťahu b i 00 (%) pre,,...,. (8.) 0 4

5 Hodoa 0 u predsavuje bázu, ku korej vzťahujeme všek hodo časového radu. Časový rad bázických idexov ak vjadruje celkový red skúmaej premeej vzhľadom a východiskové obdobie. Posupé zme skúmaej premeej vjadríme pomocou reťazových idexov. Ide v podsae o koeficie rasu (8.8), koré vjadríme v perceách r i 00 (%) pre,3,...,. (8.) Podrobosi o idexoch, o ich vlasosiach a o vzťahoch medzi imi ájdeme v lieraúre [7]. 8. Charakerisik presosi predpovede Presosť použiých progosických meód overujeme pomocou vbraých charakerisík. Všek uvádzaé charakerisik vchádzajú z reziduálej odchýlk vjadreej vzťahom e ˆ (8.3) Smbolom e ozačujeme zv. rezíduum. Čím je hodoa rezíduí bližšia ule, ým presejší model sa podarilo získať. Jeda z meód hodoeia presosi predpovede vužíva absolúu hodou reziduálej odchýlk. Nazývame ju priemerá absolúa chba a ozačíme skrakou PACH. Túo charakerisiku vužívame ved, keď chceme vjadriť chbu progóz v ých isých jedokách, koré sú vlasé hodoám pôvodého šaisického radu. PACH ˆ (8.4) Charakerisika presosi predpovede založeá a švorcoch rezíduí sa azýva priemerá švorcová chba (PŠCH). Táo charakerisika pealizuje veľké odchýlk predpovede, preože chba je umoceá a druhú. Na základe priemerej švorcovej chb preferujeme model, korý vkazuje miere hodo chýb predpovede pred akým, korý vkazuje veľmi ízke hodo chýb a jedu exrému hodou chb predpovede. PŠCH ( ˆ ) (8.5) Nieked je užiočé vjadreie chb predpovede s vužiím relaívch mier presosi. Medzi akéo charakerisik parí priemerá absolúa perceuála chba (PAPCH). Spôsob výpoču ejo charakerisik je e, že vjadríme odchýlku predpovede v absolúej hodoe v každom z období, a vdelíme ju empirickou hodoou závisle premeej z daého obdobia, a poom vpočíame priemer zo všekých ýcho chýb. Meodiku používame ved, keď chceme zdôraziť veľkosť progózovaej premeej a pomer medzi veľkosťou chb a veľkosťou progózovaej premeej. Túo charakerisiku používame zvlášť ved, keď je hodoa premeej vsoká. Keďže ide o relaívu charakerisiku presosi, môžeme ju 43

6 vužiť aj pre porovaie presosi rovakých alebo rozličých echík a dvoch celkom odlišých šaisických radoch. PAPCH ˆ (8.6) O prípadom skresleí progosického modelu sa môžeme presvedčiť, keď použijeme priemerú perceuálu chbu (PPCH). Vpočíame odchýlku predpovede v každom období a delíme ju empirickou hodoou závisle premeej z daého obdobia. Následe vpočíame priemer zo všekých relaívch chýb. Ak je progóza eskresleá, ak výsledá hodoa PPCH sa približuje ule. Ak je výsledkov vsoko egaíve perceo, ak progóza je adhodoeá. Ak je aopak výsledá hodoa PPCH vsoko poziíva, ak progosická meóda podhodocuje skuočosť. PPCH ( ˆ ) (8.7) Maažér očakáva, že dobrá predpovedá meóda vkazuje ízku hodou chb predpovede, korá sa výzame eodchľuje od svojho priemeru,.j. je košaá. Popísaé charakerisik presosi predpovede vužívame a ieo účel: - porovaie presosi dvoch alebo viacerých rozličých meód, - použieľosť a spoľahlivosť príslušej meód, - vhľadaie opimálej progosickej meód. 8.3 Naivé model Naivé model vjadrujú hpoéz o vzťahu medzi dvoma hodoa ej isej premeej, korú sledujeme v obdobiach bezprosrede asledujúcich po sebe []. Na rozdiel od iých progosických echík ich môžeme použiť pre vorbu progóz aj ved, keď dispoujeme malým rozsahom empirických pozorovaí. Teo p modelov slúži iež a porovaie presosi predpovede s osaými progosickými modelmi, apríklad s regresými modelmi. Jede z pov aivých modelov vchádza z predpokladu, že očakávaú hodou premeej v budúcom období ˆ + ajlepšie vsihuje hodoa premeej z bežého obdobia. Súčase predpokladáme, že vzikuá chba formulovaého vzťahu je áhodá zložka modelu s ulovou sredou hodoou a košaým rozplom. ˆ (8.8) + Všeku váhu sme v modeli položili a súčasé pozorovaie a jeho hodou sme vzali ako jediú určujúcu pre budúci vývoj premeej Nieked hovoríme aj zv. predpovedi bez zme. Ak hodo premeej v čase rasú, ak môžeme použiť iý p aivého modelu. Teo p určuje budúcu hodou pomocou súčasej hodo veliči zväčšeého o zmeu zazameaú oproi jej predchádzajúcej hodoe. Model môžeme zapísať v vare 44

7 ˆ + + ( ) (8.9) Model vchádza z predpokladu, že rovaký prírasok ako zazameávame v súčasom období, zazameáme aj v období progózovaom. Spomeieme eše jede p aivého modelu, korý vchádza z predpokladu, že miera zme premeej môže presejšie deermiovať jej budúci vývoj ako jej absolúa zmea. Predpoveď poom geerujeme pomocou vzťahu ˆ + (8.0) Model používame ved, ak očakávame expoeciál ras premeej. Koeficie rasu premeej je košaý, absolúe prírask rasú. V lieraúre [3] sa uvádzajú model, koré berú do úvah sezóe výkv skúmaej premeej. Ak vvárame predpoveď pre švrťrok, ak môžeme použiť model ˆ (8.) + 3 Na základe oho modelu budeme predpovedať v budúcom švrťroku rovakú hodou premeej ako v om isom švrťroku predchádzajúceho roku. Model (8.) má evýhodu v om, že eberie do úvah všek zme, koré sa asali od miulého roku. Preo používame model, korý zahŕňa ak sezó, ako aj redový výkv. Uvádzame ho v vare 4 ˆ (8.) 4 Ku kvarálej hodoe premeej z miulého roku pripočíame priemerú zmeu zazameaú za miulé šri kvarál, čím zahrieme do modelu odhad redu. Príklad 8. Naivé model Za kľúčovú deermiau vývoja ivesícií v podiku považuje jeho vedeie možsvo výkoov. Pomocou aivých modelov predpovedajme výšku výkoov (v is. oskm) a druhý kvarál roku 004 a základe švrťročých údajov zapísaých v ab. 8.. Za obdobie kvaifikácie modelu považujme obdobia rokov 00q-004q, eda plaí, že 9. Podľa modelu (8.8) považujeme pri saoveí progóz za ajdôležiejšie predchádzajúce obdobie ˆ 9+ 9 ˆ

8 ˆ 0 Chba predpovede e Ako vidíme aj a obr. 8. údaje o prepravých výkooch vkazujú súpajúci red, dokoca v jedom z období sa javí výzamejšia sezóa odchýlka. Použijeme eda ié p aivých modelov a vhodoíme ich chb predpovede. Obdobie Výko 00-Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q4 867 Výko (is. oskm) Q 0- Q 0- Q3 0- Q4 03- Q 03- Q 03- Q3 03- Q4 04- Q 04- Q 04- Q3 04- Q4 Tab. 8. Prepravé výko Obr. 8. Prepravé výko Podľa modelu (8.9) získame predpokladaú hodou výkoov v desiaom období ˆ ( 9 9 ) ˆ ( ) 8306 ˆ 0 Chba predpovede e Ako vidíme, chba predpovede sa oproi modelu (8.8) výraze zížila. Nakoiec sa pokúsime a odhad použiť iekorý z modelov zohľadňujúci sezó výkv. Keďže porebujeme v modeli zohľadiť i rasúci vývoj veliči i kvarál výkv, vberieme model (8.), a vpočíame hodou progóz a desiae obdobie ˆ ˆ ,5 ˆ Chba predpovede e 7983, , 75. Pomocou aivých modelov môžeme pomere jedoducho dospieť k predpovedi prepravých výkoov. Riziká ich použiia spočívajú v om, že predpovedaá hodoa závisí iba od vbraých hodô z časového radu, čo v koečom dôsledku môže výzame skresliť progózu. 46

9 8.4 Vrovávaie časového radu kĺzavými priemermi Pod pojmom vrovávaie časového radu rozumieme vlučovaie sezóch a áhodých výkvov v časovom rade. Až po jeho očiseí môžeme posudzovať vývojovú edeciu skúmaého javu. K ajpoužívaejším meódam v praxi parí meóda kĺzavých priemerov. Pricíp meód spočíva vo výpoče priemerých hodô skúmaej premeej z určiého (zvoleého) poču empirických hodô časového radu. Vpočíaú priemerú hodou priraďujeme k prosredému obdobiu zv. kĺzavej časi časového radu. Dĺžku kĺzavej časi (h) volíme epáre číslo, eda plaí h m +. Miera očiseia časového radu závisí od zvoleej dĺžk kĺzavej časi. Ak zvolíme vsokú dĺžku kĺzavej časi, ak vrovaý časový rad má hladký priebeh, ale sraíme väčší poče hodô vrovaého časového radu. Predovšekým sraa akuálch hodô spôsobuje komplikácie pri vorbe progóz a základe vrovaého časového radu. Ak zvolíme ízku dĺžku kĺzavej časi radu, ak sraíme meej priemerých hodô, avšak vo vrovaom rade sa môžu sále objavovať výkv podobé ým, koré sme zazameávali aj v rade empirických hodô. Vrovaie časových radov jedoduchou meódou kĺzavých priemerov vjadríme vzorcom m + m m + + m (8.3) m + Vážeý kĺzavý priemer vjadríme vzťahom w + ( + ) w + ( + ) w ( m m m (8.4) w + w + w wm ) w kde w je ozačeie pre použié váh. Kĺzavý priemer používame a vrovaie radu a elimiáciu sezóch výkvov. Pri ejo elimiácii volíme dĺžku kĺzavej časi rovú perióde sezóeho výkvu. Jedým zo spôsobov, ako vrovať časový rad, korý evidee vkazuje lieár red, je použiť zv. dvojié kĺzavé priemer. V prvom kroku vpočíame z empirických hodô radu kĺzavé priemer a v druhom kroku určíme kĺzavé priemer z hodô vpočíaých v prvom kroku, zv. dvojié kĺzavé priemer m + m m + + m (8.5) m + V iekorých prípadoch však musíme zvoliť dĺžku kĺzavej časi rovú páremu číslu (apr. v švrťročých radoch, kde h 4 ). Vpočíaé kĺzavé priemer zodpovedajú prosredému obdobiu ( m +,..., m ), koré ekorešpoduje s pôvodým empirickým radom hodô, akoľko ide o eceločíselý bod. Cerovaie spočíva vo výpoče priemerej hodo z každých dvoch po sebe asledujúcich kĺzavých priemerov. Vpočíaý priemer (zv. cerovaý) zodpovedá príslušému obdobiu, korému ak môžeme priradiť vpočíaú vrovaú hodou. Pri výpoče kĺzavých priemerov, ak h je páre číslo, posupujeme podľa vzorca 47

10 h / + h / h / + + h / 0,5 (8.6) h h / h / + + h / + 0,5 (8.7) h Cerovaý kĺzavý priemer pre obdobie vpočíame 0, ,5 (8.8) Progosické vužiie meód kĺzavých priemerov spočíva v uplaeí akého prísupu, korý považuje vpočíaú hodou kĺzavého priemeru z akuálch hodô ajeskorších období za hodou progózovaú pre budúce obdobie. Takýo prísup sa uplaňuje v lieraúre [3], pochopieľe výsledá hodoa predpovede opäť závisí od zvoleej dĺžk kĺzavej časi časového radu. Každú ďalšiu ovú predpoveď košruujeme zo zvoleého poču bezprosrede predchádzajúcich hodô empirických pozorovaí, pričom ajskorší údaj vpúšťame. Príklad 8. Vrovaie časového radu kĺzavými priemermi Pri aalýze vývoja čisých ivesícií v dopravom podiku (viď príklad 7.) za obdobie jeho exisecie sojíme pred úlohou vrovaia oho radu. Vrovaie vkoáme pomocou 3- čleých kĺzavých priemerov. Idex čisých ivesícií je vjadreý v perceách a ako vidíme aj z obr. 8., vkazuje približe lieár red. Na základe oho ziseia použijeme ďalej aj dvojiý 3-čleý kĺzavý priemer, ab sme lepšie vsihli vývoj čisých ivesícií v čase. Kĺzavý priemer Dvojiý kĺzavý priemer Obdobie Idex 3-čleý odchýlka 3-čleý odchýlka 00 X X X X 95 03,33-8,33 X X 3 5,67 3,33,67 3, ,78 7, 5 0,67 -,67,78 -, ,67-3,67 4,67-4, ,67,33 30,33 0, ,67-3,67 36,89 -, ,33 6,67 44,56 5, ,67-6,67 5, -6, 60 58,33,67 59, 0, ,67,33 X X 3 73 X X X X Tab. 8. Výpoče kĺzavých priemerov Jedolivé 3-čleé priemer v reťom sĺpci v ab. 8. vpočíame podľa vzťahu (8.3), uvedieme spôsob výpoču prvého člea vrovaého radu ,33 48

11 pričom h 3, z čoho vplýva, že m. Dvojié kĺzavé priemer vpočíame podľa vzorca (8.5), uvedieme opäť iba vzorový výpoče prvého člea vrovaého radu pre m ,33 +, ,67 Idex čisých ivesícií Empirické hodo 3-čleý kĺzavý priemer Obr. 8. Vrovaie radu pomocou 3-čleých kĺzavých priemerov Idex čisých ivesícií Empirické hodo dvojiý 3-čleý kĺzavý priemer Obr. 8.3 Vrovaie radu pomocou dvojiých 3-čleých kĺzavých priemerov Ako je vido aj z obr. 8.3, ak pri výpoče dvojiých kĺzavých priemerov srácame rovaký poče priemerov, ako keb sme ráali jedoduché 5-čleé kĺzavé priemer. Príklad 8.3 Cerovaé kĺzavé priemer Máme ďalej za úlohu vrovať časový rad kvarálch údajov o vývoji výkoov dopravého podiku za obdobie 00q-004q4 (viď príkladu 8.). Údaje sú zapísaé v reťom sĺpci abuľk 8.3 (v is. oskm) spolu s osaými výpočami. Nakoľko dispoujeme švrťročými údajmi, veľkosť kĺzavej časi zvolíme h 4, zvolíme a vrovaie meódu cerovaých kĺzavých priemerov. 49

12 Cerovaý kĺzavý priemer Kĺzavý priemer Obdobie Kvarál Výko 4-čleý odchýlka Obdobie 4-čleý 0-Q 7045 X X,5 X 0-Q 734 X X, Q , ,65 3,5 7546, Q ,65-47,65 4,5 7674, Q ,5-03,5 5,5 7755, Q ,875 4,5 6, Q ,5 57,875 7,5 8044, Q ,65-6,65 8, Q ,875-88,875 9,5 890, Q ,5 9,875 0,5 836,5 04-Q X X,5 X 04-Q4 867 X X,5 X Tab. 8.3 Výpoče cerovaých kĺzavých priemerov Čiaskové výpoč kĺzavých priemerov, pre h 4, sú zahrué v 6. a 7. sĺpci ab. 8.3: Posupujeme podľa vzorcov (8.6), (8.7). Uvedieme vzorový výpoče prvých dvoch čleov radu + + h / 3 4 / / 3 0,5 + + h / / 3 + 0, ,75 Cerovaý kĺzavý priemer pre obdobie 3 vpočíame podľa (8.8) ,75 3 0,5 3+ 0, ,37 Výko (is. oskm) Empirické hodo Cerovaý 4-čleý kĺzavý priemer Q 0- Q 0- Q3 0- Q4 03- Q 03- Q 03- Q3 03- Q4 04- Q 04- Q 04- Q3 04- Q4 Obr. 8.4 Vrovaie radu pomocou cerovaých 4-čleých kĺzavých priemerov Vrovaie radu 4-čleými kĺzavými priemermi sme zázorili a obr

13 8.5 Expoeciále vrovávaie časových radov Expoeciále vrovávaie parí medzi zv. adapíve model, korých hlavou vlasosťou je, že ajovšie pozorovaia časového radu považujeme za ajdôležiejšie pre vvoreie progóz. Zdôrazeie ajeskorších hodô premeej je možé dosiahuť voľbou odlišých váh jedolivých pozorovaí ak, ab ie ajovšie údaje mali ajväčšiu váhu. Expoeciále vrovávaie sa v praxi vužíva ajmä a krákodobé progózovaie. Výhodou meód je jej eáročosť a ízke áklad. Meodika zohľadňuje miulý vývoj sledovaej veliči pomocou jej vážeých priemerov. Výkv časového radu sa vrovávajú a získavajú sa očiseé časové rad Browovo expoeciále vrovávaie Meóda expoeciáleho vrovávaia obsahuje auomaické vážeie všekých predchádzajúcich údajov a o ak, že váh klesajú expoeciále s časom. Najeskorším pozorovaiam priraďujeme ajväčšie hodo váh a čím sú pozorovaia saršie, ým sú ižšie hodo ich váh. Výhoda expoeciáleho vrovávaia spočíva iež v om, že a vvoreie progóz posačuje iekoľko údajov časového radu. Meódou expoeciáleho vrovaia určujeme progózu a jedo obdobie dopredu a je vhodá iba pre časové rad s košaým redom. Pricíp meód vjadruje [5] rovosťou Nová predpoveď Sará predpoveď + Určiá časť z chb predpovede Jedoduchý vzorec, korý vjadruje eo pricíp Nová predpoveď Sará predpoveď + α (Najeskoršie pozorovaie Sará predpoveď) kde α je vrovávacia košaa. Formále zapíšeme v vare ˆ ˆ ( ˆ + + α ) (8.9) Po úprave (8.9) dosávame var ˆ ( ) ˆ + α + α (8.30) kde ˆ + ová vrovaá hodoa, korá je progózou a asledujúce obdobie, α je vrovávacia košaa ( 0 α ), ové pozorovaie, akuála hodoa z obdobia, ŷ vrovaá hodoa z obdobia, korá bola progózovaá a oo obdobie. 5

14 Hodoa vrovávacej koša sa môže achádzať v iervale od 0 do. Čím je hodoa koša vššia (bližšia k ), ým je predpoveď cilivejšia a súčasé podmiek a aopak v prípade, že jej hodoa je ižšia, ak dávame ižšiu váhu súčasým pozorovaiam. Ak je hodoa koša blízka jedej, ak vrovaý rad je podobý pôvodému, akže vrovaie je slabé. Čím je hodoa koša bližšia ule, ým je vrovaie radu silejšie a rad je hladší. Práve výber vrovávacej koša je veľmi dôležiý pri aplikovaí meód. V lieraúre [4] odporúčajú auori posupovať ak, že zvolíme iekoľko vrovávajúcich košá a porovávame šadardé odchýlk rezíduí príslušých radov expoeciálch priemerov. Najvhodejší je e model, korého šadardá odchýlka rezíduí je ajižšia. Príklad 8.4 Browovo expoeciále vrovaie V riešeom príklade si ukážeme, akým spôsobom môžeme vužiť Browovo expoeciále vrovaie a vrovaie časového radu a saoveie progóz. Dispoujeme kvarálmi údajmi o prepravých výkooch v is. oskm v rokoch Všek empirické údaje, vrovaé hodo i rezíduá sú v abuľke 8.4. Pri výpoče vrovaých hodô posupujeme podľa vzorca (8.30). Prioriou je voľba vrovávacej koša alfa. Siuácia sa výraze zjedoduší ved, ak sa úloha rieši s vužiím programového vbaveia počíača. Uvádzame výpoč pre α 0, 6. Východiskovú vrovaú hodou zvolíme rovú jej empirickej hodoe. Obdobie Kvarál Výko Vrovaé hodo Rezíduá 00-Q Q Q ,3 7, Q ,93-547, Q ,58-747, Q , -7, Q ,65 355, Q ,4-8, Q ,3 3, Q ,73-03, Q ,73-59, Q ,8 353,75 Tab. 8.4 Empirické a vrovaé hodo Pre poriadok uvedieme spôsob výpoču druhého a reieho vrovaého údaja ˆ ˆ α + ( α) 0, ( 0,6) α + ( α) ˆ 0, ( 0,6) , ˆ3 Progózu a riáse obdobie saovíme podľa rovakého vzorca ˆ ˆ 3 α + ( α) 0, ( 0,6) 846,8 83, Na prvý kvarál roku 005 predpokladáme prepravé výko vo výške asi 83 is. oskm. 5

15 8.5. Holovo expoeciále vrovávaie U mohých ekoomických javov môžeme pozorovať v krákch časových úsekoch lieár red. Holova meóda expoeciáleho vrovaia berie do úvah eo vývoj a umožňuje ám vvoriť a základe modelu progózu ďalšieho vývoja skúmaej premeej. Ide o zv. dvojié expoeciále vrovaie. V modeli predpokladáme aj redovú zložku, preo odhadujeme okrem bežej hodo premeej aj bežý prírasok vvolaý redom. Holova meóda uplaňuje vrovaie úrove aj prírasku priamo prosredícvom špecifických košá pre obidve zložk. Práve o považujeme za ajväčšiu výhodu ejo meód, eda vsokú flexibiliu pri avrhovaí vrovávacích košá. Progózu a budúce obdobie vvoríme sčíaím obidvoch vrovaých zložiek modelu. Meóda pozosáva z roch rovíc [3]:. Expoeciále vrovaý rad (odhad priebežej úrove): L α + α)( L T ) (8.3) ( +. Odhad redu: T β β (8.3) ( L L ) + ( ) T 3. Predpoveď a p období: ˆ L + pt (8.33) + p kde L je ová vrovaá hodoa (odhad priebežej úrove), α vrovávacia košaa pre úroveň ( 0 α ), ové pozorovaie (akuála hodoa v období ), β vrovávacia košaa pre odhad redu ( 0 β ), T odhad redu, p poče období predpovede, ˆ predpoveď premeej a p období do budúcosi. + p Bližším rozborom rovice (8.3) zisíme, že vrovaú hodou získavame z dvoch zdrojov. Prvým zdrojom je skuočá hodoa v príslušom období, druhým zdrojom je predchádzajúca vrovaá hodoa zväčšeá o redovú zložku z miulého obdobia. Košaa alfa udáva váh skuočej hodoe a redovému prvku vo vrovaom modeli. Košaa bea v rovici (8.3) určuje odhad redu. Odhad redu T kocipujeme ako vážeý priemer z dvoch redových zložiek. Prvú zložku defiujeme zmeou v úrovi vrovaých hodô z obdobia súčasého a predchádzajúceho. Druhú zložku poom určuje hodoa predchádzajúceho vrovaého redu. L 53

16 Predpoveď vpočíavame a zvoleý poče období dopredu (p). Jej hodoa vzike po vásobeí redového odhadu počom období a pripočíaím priebežej hodo premeej. Hodo obidvoch košá volíme ezávisle, kriériom voľb je priemerá švorcová chb. Čím väčšie váh použijeme, ým väčšie zme v kompoeoch rovíc asaú, a ým vrovaejší bude výsledý model. Opače plaí, že použiím meších váh sa ám model výrazejšie evrová. Teoreick môžeme použiť všek kombiácie vrovávacích košá alfa a bea, a vbrať kombiáciu s ajmešou hodoou PŠCH. Pre odhad východiskových hodô L a T v roviciach (8.3) a (8.3) uvedieme dve možosi. Buď prvú vrovaú hodou L zvolíme oožú s prvým pozorovaím, red poom zvolíme rový ule. Alebo amieso prvej vrovaej hodo L dosadíme priemerú hodou z prvých piaich pozorovaí, a red dopočíame ako priemerý prírasok v prvých piaich obdobiach. Príklad 8.5 Holovo expoeciále vrovaie Holovo expoeciále vrovaie použijeme a výpoče eoreických hodô idexu čisých ivesícií z príkladu 7.. Ide o vývoj ivesičej akivi dopravého podiku v dvaásich po sebe asledujúcich obdobiach. Údaje podľa grafického vjadreia vkazujú približe lieár vzosup. Prehľad empirických a eoreických hodô sa achádza v abuľke 8.5. Obdobie Idex L T hodo Rezíduá Vrovaé ,5 -, ,75, ,45 7,55 4 5,454 6, ,3505 9, ,605 7, ,00745, ,0498 5, , , ,307 6,79 30,0546 0, ,038 5, , , ,39 7,5606 4, , ,839 6,4898 5,8957-6, ,57 6, , , ,8874 8,056 64, ,875 Tab. 8.5 Empirické a vrovaé hodo Výpoč sme vkoali pre vrovávacie koša α 0,3; β 0, 7. Prvú hodou L položíme rovú empirickej hodoe z príslušého pozorovaia, prvú hodou redu T zas položíme rovú ule. Vrovaú hodou z prvého obdobia položíme rovú hodoe empirického pozorovaia oho isého obdobia. Aleraív spôsob určeia b spočíval vo vužií regresého modelu a vrovaie empirických hodô, pričom odhaduú úrovňovú košau modelu b sme dosadili za prvú hodou L a sklo regresej priamk poom za prvú hodou T. Uvedieme priebežé výpoč pre dvaáse obdobie podľa (8.3) a (8.3) 54

17 L α + ( α)( L + T ) 0, ( 0,3)(57,57+ 6,9677) 65,8874 T β ( L L ) + ( β ) T 0,7(65, ,57) + ( 0,7)6,9677 8,05 Progózovaú hodou a riáse obdobie vpočíame podľa (8.33) ˆ + L + T 65, ,05 74,0889 Na základe rezíduí môžeme vpočíať charakerisiku presosi predpovede podľa (8.5) PŠCH 76,987. Oázk. Defiuje pojem diferecia a uveďe spôsob jej výpoču z hodô časového radu.. Porovaje uvedeé charakerisik presosi predpovede. 3. Na akom pricípe je založeá echika vrovávaia časových radov kĺzavými priemermi? 4. Ako vriešie siuáciu, ked je dĺžka kĺzavej časi časového radu rová páremu číslu? 5. Ked sa používa a vrovaie hodô časového radu Browovo a ked Holovo expoeciále vrovávaie? Lieraúra [] GARAJ, V.: Úvod do ekoomerického modelovaia. Braislava: Ekoomická uiverzia, 993. [] GARAJ, V., ŠUJAN, I.: Ekoomeria. Braislava: ALFA, 980. [3] HANKE, J.E., WICHERN, D.W.: Busiess Forecasig. New Jerse: Pearso Educaio, Ic., 003. [4] CHAJDIAK, J., RUBLÍKOVÁ, E., GUDÁBA, M.: Šaisické meód v praxi. Braislava: Sais, 994. [5] LUCEY, T.: Quaiaive Techiques. Lodo: DP Publicaios Ld., 99. [6] MIKOLAJ, J., VANČO, B.: Ekoomeria pre maažérov. Košice: Mulipri s.r.o., 004. [7] MIKOLAJ, J., VANČO, B.: Šaisika pre maažérov. Žilia: Fakula špeciáleho ižiiersva ŽU,