13 Γενική Μηχανική 1 Γενικότητες Κινηματική το Υλικού Σημείο 15/9/14 Η Φσική της Α Λκείο σε 8.1 sec 1. Γενικότητες Κινηματική το λικού σημείο Μεταβολή & Ρθμός μεταβολής Μεταβολή ενός μεγέθος ονομάζομε τη διαφορά της αρχικής το τιμής από την τελική. ή ήή ήή Σμβολίζεται με το γράμμα Δ:......... Οι μονάδες της μεταβολής είναι η μονάδες το μεγέθος.......... ύ......... ί......... ό ή έ Ο ρθμός μεταβολής ενός μεγέθος ορίζεται ως εξής: ό ή όά Έτσι, αν ένα μέγεθος Α, μεταβάλλεται κατά ΔΑ, και η μεταβολή ατή A A A διαρκεί χρονικό διάστημα Δ (= τελ αρχ ), ο ρθμός μεταβολής το μεγέθος A είναι: Οι μονάδες το ρθμού μεταβολής είναι οι μονάδες μέτρησης το μεγέθος προς τη μονάδα το χρόνο. Ο ρθμός μεταβολής εκφράζει το πόσο γρήγορα μεταβάλλεται το μέγεθος (κατά μέσο όρο) μέσα στο εν λόγω χρονικό διάστημα. 3 Κωνσταντίνος Χ. Παύλο (ΓΕΛ Μεσοποταμίας) 1
13 Γενική Μηχανική 1 Γενικότητες Κινηματική το Υλικού Σημείο 15/9/14 Κίνηση, Σύστημα Αναφοράς & Σντεταγμένων Μηχανική Μεταφορική Κίνηση: μετατόπιση των σωμάτων σε σχέση με κάποια άλλα τα οποία αθαίρετα θεωρούμε ακίνητα. Η κίνηση είναι έννοια σχετική: Η ταχύτητα ενός αντικειμένο δεν εξαρτάται μόνο από την κίνηση το αντικειμένο αλλά και από την κίνηση το παρατηρητή. Για τη μελέτη της κίνησης επιλέγομε ένα σύστημα αναφοράς. Τα σστήματα αναφοράς σνδέονται πάντα με κάποιο σώμα, αφού ο χώρος χωρίς σώματα δε νοείται. Άρα: ένα σώμα κινείται όταν αλλάζει θέση ως προς κάποιο σύστημα αναφοράς Πρακτικά χρησιμοποιούμε ένα σύστημα σντεταγμένων, δηλ ορίζομε μια αμφιμονότιμη απεικόνιση μεταξύ των σημείων το χώρο και των διατεταγμένων τριάδων (x, y, z). Ένα σύστημα σντεταγμένων αποτελείται από: 1. Ένα ορισμένο σημείο, την αρχή. Καθορισμένες διεθύνσεις ή άξονες, 3. Οδηγίες πο ορίζον πως θα καθορίζονται τα σημεία στο χώρο ως προς την αρχή και τος άξονες. 4 Κίνηση, Σύστημα Αναφοράς & Σντεταγμένων Μονοδιάστατη περίπτωση Ο καθορισμός το άξονα μπορεί να γίνει με άπειρος (!!!) τρόπος. Η επιλογή το άξονα είναι δικό μας θέμα και τα κριτήρια πο ακολοθούμε είναι τα εξής (ένα): 1. Να κάνομε τη ζωή μας εύκολη: a. Η διεύθνση το άξονα να σμπίπτει με τη διεύθνση της κίνησης. b. Η αρχή το άξονα να τοποθετείται στην αρχική θέση το σώματος. c. Η φορά το άξονα να σμπίπτει με την (αρχική) φορά κίνησης. 5 Κίνηση, Σύστημα Αναφοράς & Σντεταγμένων Δισδιάστατη περίπτωση Καρτεσιανές Σντεταγμένες Ονομάζεται και ορθογώνιο σύστημα σντεταγμένων Τα σημεία σημειώνονται (x, y) Προσέξτε ότι το ζεγάρι των αριθμών x και y είναι διατεταγμένο, πράγμα πο σημαίνει ότι πρώτα γράφομε τον αριθμό x και μετά τον αριθμό y. Ο αριθμός x ονομάζεται τετμημένη και ο y τεταγμένη Οι δύο άξονες δεν είναι ανάγκη να είναι κάθετοι μεταξύ τος. Ούτε επίσης να έχον την ίδια κλίμακα. Εμείς στα επόμενα, πάντα θα θεωρούμε ότι οι άξονες είναι μεταξύ τος κάθετοι. 6 Κωνσταντίνος Χ. Παύλο (ΓΕΛ Μεσοποταμίας)
13 Γενική Μηχανική 1 Γενικότητες Κινηματική το Υλικού Σημείο 15/9/14 Κίνηση, Σύστημα Αναφοράς & Σντεταγμένων Δισδιάστατη περίπτωση Καρτεσιανές & Πολικές Σντεταγμένες y r x y, x x, y r, x r, y r 7 Αδρανειακά Σστήματα Οι νόμοι της κλασικής μηχανικής (το Newon) ισχύον για ακίνητα ή για κινούμενα με σταθερή ταχύτητα, σστήματα αναφοράς. Ατά ονομάζονται αδρανειακά σστήματα αναφοράς. 8 Ορισμοί Υλικό σημείο ή σημειακή μάζα ή σημειακό σώμα είναι ένα (ποθετικό ιδανικό) σώμα πο έχει μάζα αλλά δεν έχει διαστάσεις (δεν καταλαμβάνει όγκο). Μπορούμε να θεωρήσομε ότι ένα σώμα είναι λικό σημείο αν το σώμα εκτελεί μόνο μεταφορική κίνηση και οι διαστάσεις το δεν επηρεάζον το πρόβλημα. Τροχιά: το σύνολο των διαδοχικών σημείων από τα οποία διέρχεται ένα σώμα κατά τη διάρκεια της κίνησής το. Το διάνσμα θέσης έχει ως αρχή την αρχή το σστήματος σντεταγμένων και ως τέλος το σημείο στο οποίο βρίσκεται το σώμα. Το διάνσμα θέσης ακολοθεί το σώμα στην κίνησή το. 9 Κωνσταντίνος Χ. Παύλο (ΓΕΛ Μεσοποταμίας) 3
13 Γενική Μηχανική 1 Γενικότητες Κινηματική το Υλικού Σημείο 15/9/14 Ορισμοί Η μετατόπιση είναι ένα διάνσμα πο ως αρχή έχει την αρχική θέση το σώματος και ως τέλος την τελική θέση. Προσοχή: Η μετατόπιση δεν σμπίπτει (γενικά) με τη διαδρομή πο ακολοθεί το σώμα. y r r r 1 Χρησιμοποιώντας το διάνσμα θέσης η μετατόπιση ορίζεται ως: r r r r 1 r x 1 Μετατόπιση 1 D x x x Στη μονοδιάστατη περίπτωση χρησιμοποιούμε τις αλγεβρικές τιμές των διανσμάτων: x x x Αν x x x και καταλαβαίνομε πως το σώμα κινήθηκε προς αξανόμενα x. Αν x x x και καταλαβαίνομε πως το σώμα κινήθηκε προς μειούμενα x. 11 Διάγραμμα θέσης χρόνο (1 D) Το διάγραμμα θέσης (x) χρόνο () μας περιγράφει το πο βρίσκεται το σώμα ανά πάσα χρονική στιγμή. Ακόμη κι αν η κίνηση είναι εθύγραμμη, το διάγραμμα ατό δεν είναι κατ ανάγκη εθεία γραμμή. Είναι η γραφική παράσταση της εξίσωσης κίνησης: x x 1 Κωνσταντίνος Χ. Παύλο (ΓΕΛ Μεσοποταμίας) 4
13 Γενική Μηχανική 1 Γενικότητες Κινηματική το Υλικού Σημείο 15/9/14 Η Ταχύτητα Η ταχύτητα ως φσικό μέγεθος απαντά σε δύο ερωτήματα για την κίνηση ενός σώματος: 1. Πόσο γρήγορα;. Προς τα πού; Ορισμός: η ταχύτητα ισούται με το ρθμό μεταβολής της θέσης: r Η ταχύτητα ως διάνσμα είναι εφαπτόμενη στην τροχιά το σώματος και έχει φορά τη φορά της κίνησης: r r 13 Η Ταχύτητα 1 D Επειδή στις μονοδιάστατες κινήσεις για τον προσδιορισμό της κατεύθνσης είναι αρκετό ένα πρόσημο (+) ή ( ): x x x x Αν το σώμα κινείται προς τον θετικό ημιάξονα (δλδ προς αξανόμενα x) θα ισχύει: x τελ > x αρχ και σνεπώς > Αν το σώμα κινείται προς τον αρνητικό ημιάξονα (δλδ προς μειούμενα x) θα ισχύει: x τελ < x αρχ και σνεπώς < -4-3 - -1 +1 + +3 +4 x / m 14 Η Φσική της Α Λκείο σε 8.1 sec 1.1. Η Εθύγραμμη Ομαλή Κίνηση 15 Κωνσταντίνος Χ. Παύλο (ΓΕΛ Μεσοποταμίας) 5
13 Γενική Μηχανική 1 Γενικότητες Κινηματική το Υλικού Σημείο 15/9/14 Εθύγραμμη Ομαλή Κίνηση (ΕΟΚ) Εθύγραμμη ομαλή κίνηση ονομάζεται η κίνηση πο γίνεται με σταθερή ταχύτητα: έ : ό.. ύ : ή Σε οποιαδήποτε ίσα χρονικά διαστήματα το σώμα διανύει την ίδια απόσταση. Από τον ορισμό της ταχύτητας (επειδή μιλάμε για εθύγραμμες κινήσεις δε θα χρησιμοποιήσομε διανύσματα) έχομε: x x x xx x x 16 ΕΟΚ Διάγραμμα x Γενικά, η σχέση x = x() πο σνδέει τη θέση το σώματος και τον χρόνο ονομάζεται εξίσωση κίνησης ή/και εξίσωση θέσης. Με απλά λόγια η εξίσωση ατή μας λέει: πες μο τον χρόνο () να σο πω πο (x) είναι το σώμα. Στην εθύγραμμη ομαλή κίνηση η εξίσωση κίνησης είναι μια γραμμική σχέση (δλδ σχέση αναλογίας) της μορφής y ax b : x x x x y a x b x x > < 17 ΕΟΚ Διάγραμμα x Η κλίση της εθείας στο διάγραμμα x- μας δίνει την ταχύτητα κίνησης: x 1 ( 1 ) x ( ) x / m x x x1 1 x x x 1 ω Δx > x ω Δ 1 18 Κωνσταντίνος Χ. Παύλο (ΓΕΛ Μεσοποταμίας) 6
13 Γενική Μηχανική 1 Γενικότητες Κινηματική το Υλικού Σημείο 15/9/14 ΕΟΚ Διάγραμμα Το διάγραμμα ταχύτητας χρόνο στην εθύγραμμη ομαλή κίνηση είναι μια εθεία γραμμή παράλληλη στον άξονα των χρόνων, αφού = σταθ. Το εμβαδό το σκιασμένο τμήματος είναι: ό άύ x Δλδ από το διάγραμμα μπορούμε πολογίζοντας το εμβαδό να βρούμε τη μετατόπιση 1 19 Η Φσική της Α Λκείο σε 8.1 sec 1.3. Μεταβαλλόμενες κινήσεις Η Επιτάχνση Μεταβαλλόμενη ταχύτητα Στιγμιαία ταχύτητα: Είναι η ταχύτητα πο έχει το αντικείμενο σε μια οποιαδήποτε χρονική στιγμή της κίνησής το ή σε οποιοδήποτε σημείο της τροχιάς το lim r Η μέση ταχύτητα είναι μέγεθος μονόμετρο και μας δείχνει τη σταθερή ταχύτητα πο θα έπρεπε να έχει το σώμα για να καλύψει την ίδια απόσταση στον ίδιο χρόνο. ά S έ ύ ό Στον πολογισμό της μέσης ταχύτητας δεν ενδιαφερόμαστε για το τι γίνεται ανάμεσα στην αρχή και στο τέλος της κίνησης. Η μέση ταχύτητα είναι πάντα > : 1 Κωνσταντίνος Χ. Παύλο (ΓΕΛ Μεσοποταμίας) 7
13 Γενική Μηχανική 1 Γενικότητες Κινηματική το Υλικού Σημείο 15/9/14 Η επιτάχνση Τη μεταβολή της ταχύτητας στη φσική την ονομάζομε επιτάχνση. Προσοχή: Θεωρητικά δεν πάρχει διάκριση ανάμεσα στην επιτάχνση και την επιβράδνση. Ορισμός: Ο ρθμός μεταβολής της ταχύτητας: Η ταχύτητα είναι μέγεθος διανσματικό. Άρα μπορούμε να αλλάξομε: 1. Το μέτρο της (δηλ το πόσο γρήγορα κινείται το σώμα). Την κατεύθνσή της (δηλ το προς τα πού κινείται το σώμα) Ατό λοιπόν το κάνει η επιτάχνση! Η επιτάχνση Η επιτάχνση αποτελείται από δύο κάθετες μεταξύ τος σνιστώσες: a a a Την επιτρόχια επιτάχνση (ή εφαπτομενική) η οποία μεταβάλλει μόνο το μέτρο της ταχύτητας: Έχει την διεύθνση της εφαπτομένης στην τροχιά (όπως η ταχύτητα) Είναι ομόρροπη με την ταχύτητα αν το μέτρο της ταχύτητας αξάνεται. Είναι αντίρροπη της ταχύτητας αν το μέτρο της ταχύτητας μειώνεται. Την κεντρομόλο επιτάχνση η οποία μεταβάλλει μόνο την κατεύθνση της ταχύτητας: Είναι κάθετη στη διεύθνση της εφαπτομένης στην τροχιά. Έχει κατεύθνση προς το κοίλο μέρος της τροχιάς. a a R 3 Η επιτάχνση Στο σημείο Α το μέτρο της ταχύτητας μειώνεται αφού: A Στο σημείο Β το μέτρο της ταχύτητας αξάνεται αφού: B a a a a a a a a, Α A Β 4 B Κωνσταντίνος Χ. Παύλο (ΓΕΛ Μεσοποταμίας) 8
13 Γενική Μηχανική 1 Γενικότητες Κινηματική το Υλικού Σημείο 15/9/14 Εθ. Ομαλά Επιταχ. Κίνηση (ΕΟΕΚ) Είναι προφανές πως σε μια εθύγραμμη κίνηση (δηλ σε μια κίνηση της οποίας η τροχιά είναι εθεία γραμμή) δεν θα πάρχει η κεντρομόλος σνιστώσα. Άρα: a a a a a ύ ί a Η κίνηση της οποίας η επιτάχνση είναι σταθερή ονομάζεται εθύγραμμη ομαλά επιταχνόμενη κίνηση: έ : ό.. ύ : ή 5 Εθ. Ομαλά Επιταχ. Κίνηση (ΕΟΕΚ) Είναι προφανές πως σε μια εθύγραμμη κίνηση (δηλ σε μια κίνηση της οποίας η τροχιά είναι εθεία γραμμή) δεν θα πάρχει η κεντρομόλος σνιστώσα. Άρα: a a a a a ύ ί a Η κίνηση της οποίας η επιτάχνση είναι σταθερή ονομάζεται εθύγραμμη ομαλά επιταχνόμενη κίνηση: έ : ό.. ύ : ή,, Επειδή μιλάμε για εθύγραμμες κινήσεις, αντί για κατεθύνσεις διανσμάτων μας βολεύει να χρησιμοποιούμε αλγεβρικές τιμές (πρακτικά πρόσημα +/ ): 6 Εθ. Ομαλά Επιταχ. Κίνηση (ΕΟΕΚ) Είναι προφανές πως σε μια εθύγραμμη κίνηση (δηλ σε μια κίνηση της οποίας η τροχιά είναι εθεία γραμμή) δεν θα πάρχει η κεντρομόλος σνιστώσα. Άρα: επιτάχνση ω επιτάχνση επιβράδνση 1 ω ω Δ Δ 1 7 1 1 Κωνσταντίνος Χ. Παύλο (ΓΕΛ Μεσοποταμίας) 9
13 Γενική Μηχανική 1 Γενικότητες Κινηματική το Υλικού Σημείο 15/9/14 Εθ. Ομαλά Επιταχ. Κίνηση (ΕΟΕΚ) Από το διάγραμμα ταχύτητας χρόνο πολογίζομε την μετατόπιση η οποία ισούται με το σκιασμένο εμβαδό: επιτάχνση ( ή ά ά ά ) ό ί ύ x x 1 xxx x 1 x x 8 Εθ. Ομαλά Επιταχ. Κίνηση (ΕΟΕΚ) επιταχνόμενη a a 1 x x a επιβραδνόμενη a a 1 x x a a a 1 x 1 x x a x a 9 Κωνσταντίνος Χ. Παύλο (ΓΕΛ Μεσοποταμίας) 1