Bilergo Zienifiko-Tekniko MATEMATIKA II ANALISIA Igncio Zulog B.H.I. (Eibr
ARGIBIDEA Anlisi -FUNTZIOAK (II...- - Oinrrizko funziok...- - Simerik...- - Funzioen konposizio...- - -LIMITEAK. JARRAITUTASUNA...- - Albo-iek...- - Limie infiniuk punu ben. Limiek infiniun...- - Limieen klkulu...- - Adr infiniuk. Asinok...- - Jrriusun...- - Jrriusunri buruzko eoremk...- - -DERIBATUA (II...- 6 - Funzio ben bez beseko ldke-s...- 6 - Funzioen deribu punu ben...- 7 - Funzio deribu...- 9 - Albo-deribuk...- - Deribgrrisun e jrriusun...- - Deribuen klkulu. Formulk...- - Deribzio logrimiko...- 7 - Deribzio er inpliziun...- 7 - Ondoz-ondoko deribuk...- 8 - Funzio deribgrriei buruzko eoremk...- - L hôpil...- - -DERIBATUEN ZENBAIT APLIKAZIO...- 9 - Funzio gorkorrk e beherkorrk...- 9 - Mimo e minimo erlibok (muurrk...- 9 - Ahur e gnbilsun. Inflesio-punuk...- - Opimizzio problemk...- - Funzioen dierzpen grfikok...- 7 - -JATORRIZKO FUNTZIOAK. INTEGRAL MUGATUGABEA...- 68 - Jorrizko funzio. Inegrl mugugbe...- 68 - Berehlko inegrlk...- 69 - Inegrzio-meodok...- 7-6-INTEGRAL MUGATUA... 8 Inegrl muguren konzepu... 8 Riemnn-en behe e goi-burk... 8 Inegrl funzio-zler funzio... 8 BARROW-ren erregel... 8 Klkulu inegrlren bezbeseko eorem... 9 Azlerk... 9 - -
-FUNTZIOAK (II Anlisi -k hr dizkeen blioen mulzori funzioren eisenzi-eremu esen zio, e D(f ern dierziko dugu. Adibidez, y funzion -k ezin du blio hru berz, eisenzi-eremu R {} d. f ( Eisenzi- eremu: R- {} b f ( 8 8 > Eisenzi-eremu: R [-,] Funziok (y hrzen diuen blio guzien mulzori ibilre esen zio. Adibidez, y funzioren ibilre [, d. Arike. Aurki izzu ondoko funzioen eisenzi-eremu: y y ln (9 Oinrrizko funziok y y y y ln( <. milko funzio polinomikok: y b (zuzenk, zuzenren mld d. b denen, zuzen (, punuik pszen d. OX rdz y zuzen d, e OY rdz zuzen. y k zuzen, horizonl d k, orde, berikl. Zein d irudiko zuzenren dierzpen nliiko? OY A(, e B(, punueik pszen d. A y mld y B OX Bi ern egingo dugu: I yb form du. A(, punu zuzenen dgo hos, (b Berdin (, punu: (b. Berz, b e -/. Zuzenren ekuzio: y -/ II P(,y punu b e m mld ezguuz, zuzenren ekuzio y y m( d. Punu, A(, d e m -/. Berz, y - -/( - y -/ - -
Anlisi.,. e. milko funzio polinomikok y - y y - - y fh L ^ 7.. - - -. - -7. y fhl.7...7.. - - y - fhl. 7.. -6 - - -. fhl^^ - - - - - fhl^^... - - -. -.. milko funzio irrzionlk y - - y è Eisenzi-eremu: y è!!!!! - { } y è Eisenzi-eremu: OY { } y 6 y è!!!!!!!!! - -9 - - 6 OX - -
Arike Zein d funzio huen dierzpen nliiko? f H L Anlisi fhl 6 H -, 8 L 8 H,L H,L H -, L - - - - - - Aldernziz proporzionlk diren funziok y - fhlê Eisenzi-eremu: D(f R Asino berikl: zuzen (OY rdz. -, -,... y...,,... y - -... f ( f ( - - - Asino horizonl: y zuzen (OX rdz - f ( ± y - fhlêhl Eisenzi-eremu: D(f R Asino berikl: zuzen,9,999... y - -...,,... y... f ( f ( - - Asino horizonl: y zuzen (OX rdz f ( ± - - -
Funzio esponenzilk: Anlisi y - (/ 9 Asino horizonl (OX rdz eskuin ldeik y / - - 9 y - Edozein -renz (Eisenzi-eremu:R, funzioren, blio, y, bei d posiibo Ibilre: ( - - Oinrri e zenbki (,788... duen funzio esponenzilk y e 7.9 y e e e e y e,7... e 7,89... - /e,678....67 - Asino horizonl (OX rdz ezker ldeik y e - fhle^hl 7.9 Asino horizonl (OX rdz eskuin ldeik e e e - y - e - 7,89... e -,8... e -,... - -
Oinrri e zenbki (,788... duen funzio logrimikok Anlisi Ez dgo zenbki negiboen logrimorik y ln (- Eisenzi-eremu: {>} Asino berikl: zuzen f ( fhllnhl.99.69 y ln ln,69, -,69 Aldernzizko funziok: y e e y ln ye y yln Bi grfikok simerikok dir y zuzenrekiko. y e kurbren punuen osgik, hos, (,, (`99,... ruku zlzen dir hurrenez hurren y ln funzion: (,, (, `99,... - - - - - 6 -
Zik definiuriko funziok Anlisi y 8 < < < denen, y - zuzen irudikzen d. < denen, y funzio. y,999,998 denen, y 8 funzio. y 8 Arike Zein d funzio huen dierzpen nliiko?. 6 9 H-,L - - H,-L - -. 6 9. - - 7 -
Blio bsoluuk y Anlisi fhl y ( < y - - - - y-- y - - - - f H L 8 y y < y / 6 y - y - - - y f H L Ab s H ^ L y ( < < > - - - y f H L y ^ y ( ( < - - - - y - ^ - - - 8 -
Anlisi - 9 - - - - - y y8 y- y- y < ( < - - - < < ( ( ( y > < < y - - - 6 - - - fhl y y- y - y - -- -- - - - < 8 y < ( ( ( ( 8 ( ( ( ( y
Funzio rigonomerikok Anlisi y sin y s i n p H Å ÅÅÅ ÅÅ, L y sin -9º - º º. 9º 8º 7º - 6º π π Eisenzi-eremu: R Ibilre: [-, ] Funzio periodiko : sin sin ( k π Periodo 6º. -. - π 6 π p π π H Å ÅÅÅ ÅÅÅ p ÅÅÅÅÅ, - L r d i n k y cos y cos H p,l y cos -9º º 6º. 9º 8º - 7º 6º π π. -. Eisenzi-eremu: R Ibilre: [-, ] Funzio periodiko : cos cos ( kπ Periodo 6º - π π p π H p,- L π π rdink y g Eisenzi-eremu: R {-9º, 9º, 7º,...} y g Ibilre: R Funzio periodiko: g g ( kπ Asino beriklk π π π,,,... punuen. π π. - π π π π π π rdink - -
Anlisi Simerik Simeri Y rdzri begir Y 9 8 7 6 - - - X - - fhl f simeriko d y rdzri begir e ek irudi berdin duenen, hos, f( f(- denen Adibidez: e - e - Mo horieko funziok funzio bikoiik direl esen d. Simeri (, punuri begir Y 6 fhl 8 - - - - X -8-6 - f simeriko d (, punuri begir e ek irudi urkko duenen, hos, f(- f(- denen 8 - -8 Mo horieko funziok funzio bkoiik direl esen d. - Arike Azer ezzu ondoko funzioen simerik: y y y y - -
Funzioen konposizio Adibide : Emn dizgun f ( e g( - funziok. Klkul dizgun (g o f( e (f o g( funzio konposuk. (g o f( g[f(] g ( ( (f o g( ksun, f funzio g-ren emizri pliku behr zio: Anlisi g( f(g(. Hu d, (f o g( f[g(] f[-] (f o g e (g o f ez dir berdink Arikek. f( e g( iznik, klkul izzu f o g e g o f funzio konposuk. Beezen l d rukze propiee? Klkul izzu (f o g( e (g o f(. Egiz ezzu y ( funzio funzio konposu del. Horrerko,hr izzu f( e g( - funziok e klkulu (f o g(. - -
Albo-iek Demgun -LIMITEAK. JARRAITUTASUNA < f ( funzio e bzisko punu f-ren lbo-ie ezkerrldeik rnz donen d, e eskuinldeik rnz donen d. Honel idziko diugu: f ( f ( f(,9,9,99,99,999,999 Anlisi f(,,9,,99,,999 Funzio bek punu ben ie izngo du bldin lbo-iek berdink direnen hu d: f ( f ( Aurreko dibiden, f funziok ez du ierik punun. Limie eisizen bd, bkrr d. Ezin diu bi blio ezberdin eduki. Adibide Demgun < f ( funzio. Klkulu f ( e f ( b. f ( f ( 6 f ( f ( 6 Ez dgo f ( f ( 6 Limie infiniuk punu ben. Limiek infiniun. y Y Ezkerreko grfikon, funzio blior hurbilzen d ldgi rnz donen. Hu d, f ( X O Y O X Aldiz, grfiko honen, funziok r jozen du ldgik ernz hurbilzen eskuineik. Hu d: f ( OY Arike. Demgun ondoko grfiko. Zenb d? f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( y - - - OX - -
Limieen klkulu Anlisi (.( 6 Indeerminzio ksuk k. Ksu horren, ieren blio edo d. Adibidez, f ( funzion f ( e - f ( b indeerminzio. Hori gindizeko, deskonposu fkoreen zenbkizile e izendzile, e ondoren sinplifiku. Adibidez, (.( (.( m P(... c indeerminzio. Bldin funzio f ( bd, hiru n Q( b... ksu huek ger diezke: m > n ize. Ordun, f ( ±. Adibidez, m < n ize. Ksu honen ieren blio d. Ese berko, m n ize. Ordun, f ( b Arike. Klkul izzu: 6 ( - -
Anlisi Adr infiniuk. Asinok Asino horizonlk y Grfiko y zuzener hurbilzen d ldgi rnz donen. Hu d, f ( y zuzen f funzioren sino horizonl del esen d. f ( L beezen bd, y L zuzen f ± funzioren sino horizonl del esen d. P( Fuzio rrzionlen ksun, f (, sino horizonlk lorzeko, nhiko d Q( frkzioko zenbkizileko e izendzileko polinomioen milk zerze. Adibide. Loru P(-ren mil Q(-ren mil bino ikigo bd, y zuzen (OX rdz d sino horizonl. Bik, P( e Q(, mil berekok bdir, mil hori drmen koefizieneen reko zidur d sino horizonl. f ( e g( funzioen sino horizonlk. f ( f (. Berz, y zuzen f-ren sino horizonl d, lde bieik. b f ( f (. Berz, y zuzen (OX rdz f-ren sino horizonl d, lde bieik. Funzio esponenzilen ksun ere gerzen dir sino horizonlk. 7.9.67 y e - Demgun y e funzio. e e e y zuzen (OX rdz d f-ren sino horizonl, e, ksu honen, hurbilke ezker ldeik soilik egien d. Funzio esponenzilen, berrezile egien den ksuen, OX rdz du sino horizonlz. - -
Anlisi Asino beriklk OY - - OX Ezkerreko grfikon, funziok -rnz jozen du ldgik rnz hurbilzen ezkerreik, e -rnz ldgi rnz hurbilzen eskuineik. Hu d: f ( e f ( zuzen f funzioren sino berikl del esen d. Funzio bek sino berikl izngo du punun, bldin e f ( ± bd. P( Fuzio rrzionlen ksun, f (,sino berikl edukiko du Q( Q( izendzile egien duen -ren blioen, bldin e -ren blio horierko P( zenbkizile ere nulzen ez bd. Adibide. Loru f ( e 9 g ( funzioen sino beriklk. I -9 e - f ( f ( Berz, - e zuzenk dir f-ren sino beriklk. II - ( g( Berz, g funziok ez du sino beriklik punun, ez inon. Funzio logrimikoen ere gerzen dir sino beriklk. Demgun y ln (- funzio. y y lnh-l Eisenzi eremu: (, ln denez, ldgi rnz hurbilzen eskuineik, funziok -rnz jozen du hu d, f (. Horregik, zuzen f funzioren sino berikl d. - 6 -
Anlisi Arike ebzi Demgun y funzio. Aurkiu eisenzi-eremu e sino beriklk e horizonlk. Ondoren, dierzi grfikoki. y Eisenzi-eremu: R {} 8 Asino berikl: zuzen. f ( f ( Asino horizonl: y zuzen. f ( ± y - y - - OX Arike ebzi Aurkiu y ln( e y ln( - funzioen sino beriklk. Ondoren, dierzi grfikoki bi funziok I y ln ( - Eisenzi eremu: (, (, Asino beriklk: e - zuzenk f( II y ln ( - f( y ln ln...... ylnh -L - - è!!! - - è!!! Bi funziok BIKOITIAK dir hu d, simerikok dir OY rdzrekiko Eisenzi eremu: (-, Asino beriklk: e - zuzenk f ( f ( y ln ln...... - ylnh- L ln - è!!! - è!!! - 7 -
Asino zehirrk Oro hr, y m b zuzen d sino zehirr. m e b klkulu behr dir. Horrerko, ondoko fi formulk plikuko diugu: m b ± ± f ( m e m [ f ( m] b ± iznik iznik Anlisi ymb P( Fuzio rrzionlen ksun, f (, f funzio Q( bek sino zehirr edukiko du P( zenbkizileren mil Q( izendzileren mil bino unie b hndigo denen. Adibide. Demgun f ( funzio m b f ( ( [ f ( m ] y - Berz, y - zuzen f-ren sino zehirr d. - - - Arike. Loru Ohrrk: y funzioren sinok Funzio polinomikoek ez due sinorik Funzio bek infiniu sino berikl eduki dizke. Adibidez, y g funziok Funzio bek gehienez sino horizonl b eduki dezke bzun lde beik, e bese bzuen bi ldeeik ( - rnz e - - rnz. Funzio bek sino zehirrk bldin bdiu ez du sino horizonlik, e ldernziz ere bi. Grfiko bek mozu dezke sino zehirr. Hl ere, iksro honen zerzen diugun funzioen ez d hori gerzen. - 8 -
Anlisi - 9 - Arikek.. Lor izzu ondoko funzioen sino beriklk, horizonlk e zehirrk.. Klkulu e b prmeroen bliok b f ( funzioren ksun zuzen sino berikl e y zuzen sino horizonl izn diezen. ln ( 6 y h y g e y f y e y d y c y b y
Jrriusun Anlisi Definizio. f funzio jrriu d punun, bldin hiru bldinz huek beezen bdir: f( eisizen d. f ( eisizen d e finiu d. f ( f ( d. Berz, jrriu ez bd punuren ben, ondoko rrzoi bengik izngo d: g funzio ez d eisizen punun hu d, ez dgo g( bliorik. h funzio een egien d punun, ezkerldeko e eskuinldeko iek besberdink direlko hos, ez d eisizen h( i funzio een egien d punun, zeren i( eisizen den rren, horren blio ez d i( blioren berdin.. dibide Azeru ondoko funzioren jrriusun: y Azer dezgun - punun: f(- (- f ( ( f ( f ( ez d eisizen. Berz, een d - punun. < < Azer dezgun punun: f( f ( f ( f ( f ( denez jrriu d punun. - -
. dibide Azeru ondoko funzioren jrriusun prmeroren rber y > Anlisi denen, f funzio punuen jrriu d. E en? punun ie edukizeko, - izn behr du hu d, ½. Berz: denen, f funzio jrriu d punu guzien denen, f funzio een d punun. dibide f ( Azeru ondoko funzioren jrrisun: y f( ez d eisizen, punu ez bi f-ren eisenzieremuko. Berz, ez d jrriu n. Zein moko een duen deerminzeko, punuko lbo-iek klkulu behr diugu. Berz, f funziok sino berikl du e juzi infiniuko een du punun.. dibide Azeru y funzioren jrriusun. f( ez d eisizen, bzisko punu ez bi f-ren eisenzi-eremuko. Berz, ez d jrriu n. bzisko punu guzien, funziok y form hrzen du, zeren ( y bi E ie punun zer d: f (. f (. Grfiko y zuzenren d, zulo b duelrik bzisko punun. ( Ez du zenzurik jrriusunri buruz hiz egie funzio eisizen ez den eremun. Adib., y funzio ezin d jrriu izn < reko punuen. y bldin bd - -
Anlisi - - 6 y. dibide Aurkiu k-ren blio, k y funzio jrriu izn ddin bzisko punun. f( k ( ( ( f( ( f bee behr denez, k izn behrko du 6. dibide 6 y funzio emnik, klkulu f( delkok izn behr duen blio, f funzio jrriu izn ddin bzisko punun f( bd, f funzio jrriu d punu guzien. Honelko funzio b izer bihuruko lizeke: Jrriusun re ben Tre ben jrriu d funzio b bldin reko punu guzien jrriu denen. y funzio ez d jrriu [-, ] ren, brneko punu ben ( een bi b < y funzio ez d jrriu [, ] ren. Zergik? c y e funzio polinomiko guzik jrriuk dir R oson. ( ( ( 6
Jrriusunri buruzko eoremk Anlisi Bolzno-ren eorem Bldin [, b] re iin f funzio jrriu bd e reren muurren urkko zeinuko bliok hrzen bdiu, ordun guienez c (, b punu b dgo, zeinen f(c den. Grfikon ikusen denez, f(> e f(b> dir, e, funzio jrriu denez, eisizen d guienez c (, b punu b dgo, zeinen f(c den. fhl Arike ebzi Bolzno-ren eorem erbiliz, egizu ekuziok soluzio b duel (, ren. f( funzio jrriu d R mulzon. f( > e f( -< dir. Berz, (, reko guienez c punu ben f(c izn behr du. fhbl c b Bireko blioen eorem Bldin f funzio jrriu bd [, b] re iin, ordun funziok f( e f(b bireko blio guzik hrzen diu. Hos, f( e f(b bireko edozein K bliorko, eisizen d guienez c (, b blio b, f(c K egien duen. fhbl K f Arike ebzi Emn dezgun f( funzio. Eisizen l d [, ] reko c punuren b, f(c egien duen? Funzio jrriu d f( e f( 6 dir. blio e 6ren bireko d. Berz, Bireko blioen eorem-ren rber, eisizen d guienez c punu b, f(c egien duen. fhl c b - -
Akozio eorem Bldin f funzio jrriu bd [, b] re iin, ordun bornu d. Anlisi K Grfikoko funzion, - Goi-borne: K - Behe-borne: f(b b fhbl Aldernziz ez d egi. Eserko y Zi oso ( funzio bornu d [, ] ren, bin een d bzisko punun. fhl [, b] re ii izn behr du. Ese berko, y funzio jrriu d ( 6 ren, bin ez du goi-bornerik zeren bi. Weiersrss-en eorem Bldin f funzio jrriu bd [, b] re iin, ordun funziok bere mimo bsoluu e minimo bsoluu diu [, b] ren. Minimo bsoluu Tre ii izn behr du. Adibidez, mimorik. Mimo bsoluu b Teorem honek urreko eorem inplikzen du, hu d, funzio bornu del. Grfikon rgi dgo, [, b] ren jrriu bd, derrigorren mimo e minimo bsoluuk eduki behr diuel. Funziok mimo e minimoren bireko blio guzik hrzen diu. y funzio jrriu d (, -en, bin ez du Mrrzu zuzen b, e zuzenren lde bkoizen hru punu bn. Arkz ppereik lu gbe (jrriu, irudiku bi punuen ren edonolko kurb b. Derrigorren, kurbk zuzen zehrkuko du (Bolzno. Zuzen OX rdz bd, rkz posiiboik negibor -edo ldernziz- psuko d. Mendiko errepide bek nonbien duk bere korik luen (Weiersrss - -
Arikek Anlisi. Azeru funzio huen jrriusun: y 9 y e y y. Loru e b prmeroek izn behr duen blio funzio hu jrriu izn ddin R mulzok. y b < > (Sol.: e b-8. 8 6 y funzio emnik, ze blio hru behrko luke f funziok bzis-punun, jrriu izn ddin. (Sol.:. Azeru funzio huen jrriusun e urkiu sinok. Ondoren, egizu dierzpen grfiko y < y y y ln ( y ln (. Egizu 7 ekuziok soluzio errel b bduel. Erbili Bolznoren eorem. 6. Egiz ezzu y funziok [, ] reko punu ben OX rdz mozen duel. E y funziok [, ] ren? 7. Emn dezgun f( funzio. Egizu biezpen huen ezbid: f jrriu d [, ] ren b Eisizen d c (, reko punu b, non f ( c den. c Eisizen d c (, reko punu b,non f(c den. 8. Arrzoiu ondoko funziok bornuk diren l ez, goi e behe bornek emnez. Esn mimo edo minimorik duen l ez. f(, [-, ] g (, [, ] h(, [, ] - -
-DERIBATUA (II Anlisi Funzio ben bez beseko ldke-s Konsider dezgun irudiko grfikon dierziko f funzio, e P (, f( e P (b, f(b punuk. fhbl Zuzenebkizile P Funzioren bez beseko ldke-s -ren e b-ren ren hue d: f ( b f ( BBAT [, b] b fhl P b- fhl fhbl-fhl b Zidur horren blio α ngeluren ngene rigonomerikoren blioren berdin d e, hori, ldi beren, P e P punueik pszen den zuzenren (kurbrekiko ebkizile mldren berdin d. f funziok [, b] ren duen bez beseko ldke-s grfikoren (, f( e (b, f(b punueik pszen den zuzen ebkizileren mldren berdin d. BBATren inerprezio fisiko Higikri bek denborren rber duen posizioren funzio konsideruz gero, re beko bez beseko ldke-sk higikri horrek re horren duen bez beseko bidur dierziko du. Bzuen, f funzioren BBAT er honen dierzen d: f y edo. dibide Demgun f ( funzio. Klkulu: - Bez beseko ldke-s [, ] ren. - e bzis punueik pszen den zuzen ebkizileren mld. - Aurreko zuzen ebkizilek OX rdzrekin erzen duen ngeluren ngene. - Higikri ben posizio denborren funzion bez beseko bidur h e h biren? fhl fh L ÅÅÅÅ ÅÅ s ( ern dierzen bd, zenb d glderk modu beren klkulzen dir, e blio ber due hu d: f ( f ( BBAT [, ] shl y Å ÅÅÅ ÅÅÅ Å ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ - 6 -
Funzioen deribu punu ben Anlisi Punu beko lduiuneko ldke-sk grrnzi hndi du funzioen zerken e memikoki funziok punu horren duen deribu derizo. fhbl fhl P Q Q Abzisk blioik gero e hurbilgo duden b, b, b... bliok hrzen, horiei dgozkien PQ, PQ, PQ... zuzen ebkizilek hinb e hurbilgo dude punuik pszen den zuzen ngenerekin edo zuzen ukizilerekin. b b b b Zuzen ukizile horren mld PQ n zuzen ebkizileen mlden ie izngo d, legi, f funzioren BBATen f ( b f ( ie:. f ( ern dierzen d. b b Konur ziezkeenez, h b- eginez, b h dugu. Giner, b blio -rnz joen denen h b- blio zerornz joen d. Berz, er honen idz dezkegu urreko f ( h f ( dierzpen: f '( h h Berz, honko hu biez dezkegu: Q Q fhl f funziok bzisko punun duen deribu funzioren grfikoko (, f( punuko zuzen ukizileren mld d. Deriburen inerprezio fisiko Higikri bek denborren rber duen posizioren funzio konsideruz gero, ldiuneko deribuk higikriren ldiuneko bidur dierzen digu. Gehikunzen nozio erbiliz, er honen dierz dezkegu f (: f df f '( d Adibide Definizio erbili, klkul dezgun f ( funzioren deribu punun. ( h f ( h f ( ( h h h h f '( h h h h h h h h h( h h, h h h Modu errzgon klkul dieke hu d, deribuen formulk erbili: f '( f '(, - 7 -
Anlisi. dibide. Demgun f ( funzio. Klkulu: - Aldiuneko ldke-s blioko bzis punun. - bzis punuik pszen den zuzen ukizileren mld. shl ÅÅÅÅÅÅÅ fhl ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - f-ren deribu bzis punun. - Higikri ben posizio denborren funzion s ( ern dierzen bd, zenb d ldiuneko bidur seg. denen? glderk modu beren klkulzen dir, e blio ber due hu d: f (, Zuzen ukizileren ekuzio Loru f ( funzioren grfikok bzisko punun duen zuzen ukizileren ekuzio. Ondoko d zuzen ben punu-mld moko ekuzio: y y m( P(, y e m mld loru behr diugu. Punu: bd, f ( d. Berz, zuzen (, ¼ punuik pszen d Mld, f (, lehengo klkulu dugu: m f (, Blio horiek y y m( ekuzion ordezkuz, y,( edo y Arikek. Deriburen definizio erbiliz, urkiu f( funzioren deribu bzisko punun.. Izn bedi y funzio. Aurki ezzu bez beseko ldke-s [, ] ren. Zein d bere esngur geomeriko? baurki ezzu ldiuneko ldke-s bzisko punun.zein d bere esngur geomeriko? - 8 -
. Izn bedi f( - 8 funzio. Lor ezzu bzisko punuik pszen den zuzen ukizileren ekuzio. bzein punun zuzen ukizile d OX rdzren prlelo? czein punun zuzen ukizile d -y zuzenren prlelo?. Idzi zuzen ukizile horren ekuzio. Anlisi. Ondoko grfiko duen f( funzion, nolkok dir deribuen blioen zeinuk, b, c, d, e e f punuen? Posiibo, negibo l zero? b c d e f Y X Funzio deribu f funzio b konsider dezkegu, bzisko punu bkoizri f funziok punu horren duen deriburen blio egokizen dion. f '( h f ( h h f ( Horrel definiuriko funziori f-ren funzio deribu derizo edo, lbur esnd, deribu. f( iznik, zein d funzio deribu? E bigrren deribu e hirugrren? f '( f ''( 6 f '''( 6 f'''hl f''hl f'hl Hon hemen f(, f (, f ( 6 e f ( 6 funzio deribuen grfikok. fhl Punu ben klkulu nhi iznez gero, nhiko d funzio deribun -ren blio ordezkze. - 9 -
Albo-deribuk Funzio b deribgrri d punu ben bldin e soilik bldin punu horren ezkerrldeko e eskuinldeko deribuk berdink bdir. Anlisi Adibide Klkulu f ( funziok bzisko punun diuen lbo- deribuk f ( < Ezkerrldeko deribu: f '( berz, f '( Eskuinldeko deribu: f '( berz, f '( f '( e f '( desberdink direnez, ez d eisizen f '( Adibide Klkulu f ( funziok bzisko punun diuen lbo- ( > deribuk Ezkerrldeko deribu: f '( berz, f '( Eskuinldeko deribu: f '(.(. f '(.(. f '( f '( denez gero, f funzio ez d deribgrri punun Deribgrrisun e jrriusun bzisko punun f funzio deribgrri izn ddin, behrrezko d f jrriu ize punu horren. Nolnhi den, deribgrri izeko punun ez d nhiko punun jrriu ize, zeren ger biieke punun f jrriu ize bin deribgrri ez ize. Ese berko,ipu berri diugun bi funziok: f ( e f ( ( < Lehen punun jrriu d, bin ez d deribgrri Bigrren punun jrriu d, bin ez d deribgrri. Bldin f funzio deribgrri bd punun, ordun f funzio jrriu d punun. - -
Anlisi Adibide Azeru f ( funzioren jrriusun e deribgrrisun punun. Mrrzu funzio. f ( ( Jrriusun punun : f ( f ( Jrriu d f( < Deribgrrisun punun: f '( Ez d deribgrri f '( fhl y- y- 6 Adibide Azeru f ( < < funzioren jrriusun e deribgrrisun. Mrrzu funzio. punun: Jrriusun punun : f ( f ( f( Jrriu d Deribgrrisun punun: f '( : f '( f '(. f '( Ez d deribgrri punun punun: f ( f ( f( Ez d jrriu n. Berz, ez d deribgrri punun. Inuiiboki zer esn genezke: Grfikoren norbide b-ben ldzen bd punu ben (erpin irudikzen d, punu horren funzio ez d deribgrri - -
Anlisi - - Adibide > ( f funzio emnik, deerminu -ren blio, funzio jrriu e deribgrri izn ddin punun. Jrriusun punun : f ( ( f ( f( - Jrriu izeko punun, bee behr du hu d: e 8 9 ± Ikus dezgun -ren bi blio horienz f funzio deribgrri den punun Deribgrrisun punun denen: > ( f '( '( : '( '( '( : '( f f f f f f Deribgrri d denen. Deribgrrisun punun denen: > ( f '( '( : '( '( '( : '( f f f f f f Ez d deribgrri denen Adibide 6 Azeru y funzioren deribgrrisun punun, deriburen definizio erbili. < y jrriu d -n, zeren ( ( ( f f f bi Deribgrrisun: ( ( ( ( ' ( ( ( ( ' h h h h h f h f f h h h h h f h f f h h h h h h
Anlisi - - Arikek. Azeru funzio huen jrriusun e deribgrrisun, dierziko punuen: ( f, - punun < ( f, punun < ( f, punun < ( g, punun. Azeru funzio huen jrriusun e deribgrrisun. ( f < < 8 8 ( g. Izn bedi > bd bd b f (. Azeru f funzio zuzen errel oson deribgrri izeko e b prmeroen bliorik eisizen den.. Azeru irudin dierziko funzioren deribgrrisun.
Deribuen klkulu. Formulk Anlisi Ergikek: y k. g( y' k. g '( y f ( ± g( y' f '( ± g '( y f (. g( y' f '(. g( f (. g' ( f ( y g( y' f '(. g( [ g( ] f (. g'( Funzio konposuren deribu: keren erregel y (f o g( y f [g(]. g ( Adibidek I y sin funzio funzio konposu b d, f( sin e g( direlrik. Izn ere, (f o g( f[g(] f( sin Bere deribu: y f [g(]. g ( cos[g(].g ( cos. II f( - e g( ln funziok emnd, klkulu f(g( e g(f( funzioen deribuk. Keren erregel: f(g( f (g(. g ( g(-. g ( ln ln. Aldez urreik, f(g( funzio klkul dieke, e ondoren deribu hu d: f(g( f(ln (ln -. Bere deribu: (ln. g(f( g (f(. f ( Edo, g(f( klkulu e gero:. g(f( g( - ln ( -. Bere deribu: Orokorren, funzio konposu denen u lerz dierziko dugu hu d, y sin [g(] edo y sin u funzioren deribu y u.cos u idziko dugu. - -
Anlisi Adibide ebzik. Demgun f funzio punu guzien deribgrri den e f (, f ( - e f ( del. Izn bedi g ondoko funzio: g ( [ f ( ] f (. Klkulu g ( Ebzpen: g ( [. f(]. f ( f ( 8. f(. f ( f ( g ( 8[ f (. f ( f (. f (] f ( g ( 8[f (. f ( f (. f (] f ( 8 [( -(-.] 6. f( ( e g( iznik, klkulu f ( edo f [g(]. Zenb d (f o g (? f[g(] [g( ] f ( f [g(] [g(] ( b (f o g ( f [g(].g ( edo f (.g (.[g(]. (.. Emn dezgun g( f( funzio del e f( e f ( 6 direl. Zenb d g(? E g (? g( f( f( g ( (f ( f (.. Berz, g ( f (.. 6. Arikek. Ondoko funziok emnd: f( e g( sin, erbili keren erregel ondoko funzioen deribu klkulzeko: H( f(g( e J( g(f(. f e g funziok zuzen errel oson deribgrrik direl jkind, e f( g ( e g[f(] funzio konposuren deribuk punun blio duel jkind, urki ezzu f ( delkoren blio. - -
Anlisi Funzio bkunk Deribuen ul Funzio konposuk f( k f ( f( f ( Nozio errzeko, u delkok -ren funzio b dierzen du f( n f ( f( f ( f( n f ( f( ln f ( n n f( u n f ( nu n u' n n n f( u f ( f( n u f ( f( ln u n f ( u u' u ' n u u' u n f( log f ( ln f( log u f ( u' u ln f( e f ( e f( e u f ( e u u' f( f (. ln f( e u f ( u u' ln f( sin f ( cos f( sin u f ( u' cosu f( cos f ( -sin f( cos u f ( u' sin u f( g f ( sec f( g u f ( u ' u' sec u cos cos u f( cog f ( cosec sin f( cog u f ( u ' u' cosec u sin u f( sec f ( g. sec f( sec u f ( u' g u. secu f( cosec f ( - cog. cosec f( cosec u f ( u'co g u. cosec u f( rc sin f ( f( rc sin u f ( u' u f( rc cos f ( f( rc cos u f ( u' u f( rc g f ( f( rc cog f ( f( rc g u u' f ( u f( rc cog u u' f ( u - 6 -
Anlisi Deribzio logrimiko Oinrri e berrezile modur funzio b duen funzioen deribuk klkulzeko erbilzen d meodo hu. Adibide. Demgun y funzio. Hiru pusu: I Logrimo neperrrk hruko diugu berdinzren bi len e logrimoen propieek plikuko diugu: Ln y ln. ln II Deribu egingo diugu berdinzren bi lk: y '.ln. ln y III Bkndu egingo dugu y e ordezku egingo dugu y bere dierzpenz: Arike. Derib izzu ondoko funziok: y ' y.(ln.(ln y y g y y e y ( Deribzio er inpliziun Bzuen ez d errz izen ldgi b beseren funzion bknze hl ere, deribu klkulu behr izen d. Horie gerzen d funzio honen ksun: y y 6 y ldgiern deribu klkulzeko, prozedur hu erbiliko dugu: - Deribu egingo diugu berdinzren l bik, y ldgi -ren funzio del konun iznik. - Bkndu egingo dugu y deribu: y. y ' y ' ( y ( y 6 y.y y y '(y y ' y y - 7 -
Arike ebzi Loru y 6y zirkunferenzik P (8, punun duen zuzen ukizileren ekuzio Zuzenren mld y (8 Anlisi Derib dezgun er inpliziun: y.y 6y Sinplifiku egingo dugu: y.y y y (y y ' y 8 Zuzen ukizileren mld y '( 8, Zuzen: y ( 8 y 8 Arike Deerminu y 6 - y zirkunferenzik P (, punun duen zuzen ukizileren ekuzio. (Sol: y Ondoz-ondoko deribuk f ( funzion, deribgrri den ren, f ( defini dieke. Er beren, hirugrren, lugrren...n. deribu. Adibide y funzioren n. deribu y ( y ' ( y IV ( y '' (... y n ( n y' '' n!( 6( ( n ( n n! ( n - 8 -
Anlisi Arikek. Grfiko huen, zienek dierzen du f funzio e zeinek f funzio deribu?. Ze blio hrzen du funzio honen deribuk, e punuen? Arrzon ezzu. fhl y - 6. Klkulu ondoko funzioen deribuk: ( y sin.cos y ( y y e y ln y (.sin cos (.cos sin y y rc g y g (6 y sin y cos y ( rc sin (sin y.cos. Aurki ezzu y e funzioren n. deribu - 9 -
Anlisi. f ( funzio emnd, klkulu f (, f ( e f ( 6. Emn dezgu f ( funzio. Aurki ezzu zuen ukizileen ekuzio bzisko punun b Zein punun d zuzen ukizile prlelo y - zuzenrekin? Zein d zuzen horren ekuzio? 7. Aurkiu y zuzenrekin prlelok diren kurbren zuzen ukizileen ekuziok y 8. 8 f ( b funzion klkulu e b-ren bliok, funzio (-, 6 punuik psu e punu horren zuzen ukizile horizonl izn ddin. 9. f( b funzio (, punuik pszen d e punu horren duen zuzen ukizile y zuzenren prlelo d. Aurki izu e b. y kurbik knpo dgoen P(, punuik bi zuzen ukizile pszen dir. B OX rdz d klkulu beseren ekuzio.. Demgun f( e g( bi funzio deribgrrik honko bldinzekin: g(, f ( - e g ( -. Klkulu (f o g( funzio konposuren deribu.. f funziori buruz ondoko dkigu: punu guzien deribgrri d e, horrez gin, f( e f (. izn bedi ondoko funzio: h ( h( f ( e ( f (. Klkulu. Klkulu e b-ren bliok ondoko funzio jrriu e deribgrri izn ddin R mulzon. y b >. Egiz ezzu f ( funzio ez del deribgrri bzisko punun.. Esn zeinzu punun ez den deribgrri f ( funzio. Egizu dierzpen grfiko. - -
Anlisi Funzio deribgrriei buruzko eoremk Rolle-ren eorem Izn bedi f( funzio. Ondoko hiru bldinzk beezen bdir: [,b] re iin jrriu izn. (,b re irekin deribgrri izn. f( f(b (,b ren eisizen d guienez "c" punu b, non f (c egien duen. Esnhi geomeriko Emn dizgun Rolle-ren eoremren hipoesi beezen diuzen bi grfiko huek: fhlfhbl fhlfhbl c b c b Mendiko errepide b b igo e gero jisi egien bduzu (edo ldernziz, ibilbideren guienez une ben zure uo horizonlki ipiniko d (f (c. Adibide. Demgun f( -76 funzio. Azeru e beezen diuen Rolle-ren eoremren hipoesik [-, ] ren, e ernzun biezko bd, loru f'(c egien duen c-ren blio. f funzio polinomiko d. Berz, jrriu d [-, ] ren e deribgrri d (-, ren. Giner f(- e f( dir. f-k Rolle-ren eoremren hipoesik beezen diuenez, f funziok f (c den c (, punu b izngo du guienez hos, guienez muur erlibo b izngo du. Muur hori klkulzeko f ( ekuzio ebziko dugu: f( 7 7 7 7 e Bik dude (-, ren. Horz, bi punun beezen d Rolle-ren eorem: 7 7 c e c - - c c -
Adibide Azer dezgun Rolle-ren eorem f ( ( funzion [, ] ren f( e f( Jrriu d [, ] ren Ez d deribgrri punun, e bzisko punu hori (, reren brrun dgo. Berz, ezin d pliku Rolle-ren eorem. Anlisi Lgrnge-ren bez beseko blioren eorem Izn bedi f( funzio. Ondoko bi bldinzk beezen bdir: [,b] re iin jrriu izn. (,b re irekin deribgrri izn. (,b ren eisizen d guienez "c" punu b, hue beezen duen: f ( b f ( f '( c ( b Inerprezio geomeriko Emn dizgun Lgrnge-ren eoremren hipoesi beezen duen grfiko hu: fhl fhbl B fhl Zuzenebkizile A b- c fhbl- fhl b X A e B punueik pszen den zuzen ebkizileren mld e c bzisko punun f-k duen zuzen ukizileren mld berdink dir (bi zuzenk prlelok dir Adibide. Demgun f( funzio. Azeru e beezen duen Lgrnge-ren eoremren hipoesik [-, ] ren. Horrel bd, urki ezzu eoremk biezzen duen re horreko c punu b. f funzio polinomiko d. Berz, jrriu d [-, ] ren e deribgrri d (-, ren. fh L Egin dezgun dierzpen grfiko: A (-, e B (, punueik pszen den zuzenren mld: f ( b f ( ( b ( B Beslde, f ( Berz, edo c Biluriko punu P (, d. A P - c X - -
Cuchy-ren eorem Izn biez [,b] ren jrriuk e (,b ren deribgrrik diren f( e g( funziok, non g '( den. f '( c f ( b f ( Eisizen d c (, b punu b, zer beezen duen: g'( c g( b g( Adibide Aplik dezgun Cuchy-ren eorem f( e g( funzioei [,] ren, e urkiu c punu. Bi funziok jrriuk dir [,] ren e deribgrrik (, ren. Berz, f '( c f ( f ( g'( c g( g( 7 7 9 Anlisi (, ARIKETAK. Emn dezgun f( funzio. Eisizen l d (, reko punuren b, non f-ren zuzen ukizile OX rdzren prlelo den?. Apliku Rolle-ren eorem.. Ondoko funzioek zeru e beezen diuzen Rolle-ren eoremren hipoesik. Horrel bd, loru c-ren bliok. y - [,] ren b y g [, π ] ren c y [, ] ren d y ( [', [, ]. Klkulu, b e c-ren bliok f ( b c < funziok Rolle-ren eoremren hipoesik bee dizn. Aurkiu punu.. Klkulu b-ren blio f( - funziok Rolle-ren eoremren hipoesik bee dizn [, b] ren. Zein d eoremk beeko duen punu? - -
Anlisi. Posible den ksuen, plik ezzu lgrnge-ren bez beseko eorem ondoko funzioei. Aurkiu punuk. f( - [-, -] ren b g( ln [e, e ] ren c [, ] h ( (, ] [, ] ren < 6. Egiz ezzu f ( funziok bez 9 beseko blioren eoremren hipoesik beezen diuel [, 6] biren. Zein punun beeko du eorem? 7. f( funzio jrriu e deribgrri d R mulzon e bere deribuek f '( beezen due edozein -enz. Horrez gin, f( bd, egiz dezkegu f ( izngo del? (Erbili bez beseko blioren eorem. 8. f( funzio jrriu e deribgrri d R mulzon e f( d. Bldin [, ] reko c punu ben f (c 8 bd, zein izngo d f(-en blio? 9. Aplik ezzu Cuchy-ren eorem f( e g( ln funzioei [, e] ren. - -
L hôpil Anlisi Ikus dezgun nol ebz diezkeen deribuen bidez ieen gerzen diren indeerminziok. Izn biez f e g bi funzio deribgrri punuren ingurune ben, f ( f ( edo iznik, ondoko beezen d: g( g( f ( f '( g( g '( e. dibide Limie hori klkulzerkon lorzen d. Berz, L Hôpil-en ru plikuko dugu: e e e Lehenengo deriburekin ez bd indeerminzio desegien, berriro ere L Hôpil-en ru plikzen jrriu behrko dugu. sin. dibide lorzen d. L Hôpil-en ru plikuko dugu: sin cos cos sin 6 sin cos 6 6 6. Berriro L Hôpil:. Berriro L Hôpil: Ohrrk: Indeerminziorik ez dgoenen, ez d L Hôpil-en formulrik pliku behr. Deribzen den bkoizen, probu egin behr d indeerminzio jrrizen duen l ez. - -
Ginerko indeerminzioen klkulu Ginerko indeerminziok ere ebz diezke ru horren bidez, behin edo moko indeerminzio loru ondoren. Azer dizgun ondoko hiru ksuk: Anlisi. indeerminzio ksu. Adibidez.ln.( erzen d. Adierz dezgun ziki ern: d bieik egokien?. Prob dizgun bik: ln edo ln Zein (.ln. Hsierko ie bino zilgo / ln ln bihuru zigu. ln b ( Hori d uker proposen. Ohrr:. ksuen logrimo bldin bdgo, hobe logrimo zenbkizilen dierze. ksu. Adibidez, ln ln erzen d. Ksu honen prenesi brruko ergike egin behr d. ln ln ln lorzen denez, ( ln., e indeerminzio ksuk. Adibidez, sin Jrriu hiru pusu huek:. Emndko ieri deiu A hu d, sin A - 6 -
Anlisi - 7 -. Hru logrimo neperrrk.. (ln sin ln ln ln sin sin A Horrel.( indeerminzio loru d. Aurki dezgun soluzio: cos sin sin cos sin ln (ln sin ln A. L Hôpil pkiluz, sin cos cos sin. Klkulu A: ln e A A Arike ebzik ( ( e (Ez dgo indeerminziorik (cos Hiru pusuk:. A (cos. sin cos cos cos sin cos sin ln(cos ln(cos ln(cos ln A. e e e A A ln / / cos cos ( ( sin ( cos ( sin e e e e e e e e e e ln ln ln
ARIKETAK Anlisi. L Hôpil-en formul ezin d erbili klkulzeko. Zergik?. Kriik ezzu ondoko ieren soluzio: 6 6 6 6 6 6. Azer ezzu ondoko ie A prmeroren rber: sin A. Izn bedi L cos. sin A L-ren klkulu buruzeko A-ren zein bliorko plik dieke L Hôpil-en formul? Arrzon ezzu ernzun e bilu L ksu guzien.. L Hôpil-en erregelk moko indeerminzioren iek zerzeko blio du. Nol pszen d. mokoeik urreko mokoer? 6. Klkul izzu ondoko iek: (.ln co g (.ln ( e 6 ( ( e ( cos - 8 -
-DERIBATUEN ZENBAIT APLIKAZIO Funzio gorkorrk e beherkorrk Anlisi y f( y f( Gorkorr punun f ( > Beherkorr punun f ( < Teoremk: y f( funzio gorkorr d punun bldin f (> bd y f( funzio beherkorr d punun bldin f (< bd Mimo e minimo erlibok (muurrk f > M f < f < Min f > Mimo bd ren ezker lden gorkorr d (f > e eskuin lden beherkorr (f <. Berz, deribgrri denez punun, ezker e eskuin deribuk berdink izn behr dir hu d, f ( Minimoren ksun, ren ezker lden f < d e eskuinen f >. Berz, punun f ( izn behr du. Behrrezko bldinz. punun, mimo e minimo erliborik bdu, derrigorren f ( izn behr du, Bldinz hori ez d nhiko. Ger dieke f ( ize e punun ez edukize ez mimo ez minimorik. Adibidez, y funziok punun Nhikosun bldinzk. f ( iznik, nol ziuru punun mimo edo minimo erliborik duen l ez?. Bi ern egin dieke: I f ( noski. Giner, ren lboen deribu zeinuz ldzen bd, mimo edo minimo izngo du f < f > f > f < min m Alboeko deribuen zeinuk berdink bdir, ez du mimo ez minimorik - 9 -
Anlisi II f ( iznik, bldin: - f (> bd, minimo erlibo du punun - f (< bd, mimo erlibo du punun E zer gerzen d f ( e f ( bdir? Jrriu ondoko eorem: Izn bedi f ( f ( f (... f n- ( e f n (. Zer beezen d: - n bikoii bd, mimo edo minimo du: f n (> bd, minimo : f n (< bd, mimo - n bkoii bd, ez du mimo ez minimorik. Inflesio du punun Arike. Azer izzu funzio huen monooni (gorpen e beherpen e muur erlibok (mimo-minimok. y b y c y d y Ahur e gnbilsun. Inflesio-punuk y f( y f( y f( y f( Gnbil Ahurr Infleio-punu Infle-pun. punun hurr edo konkbo del diogu, bldin -ren ingurunen f( funzioren blio zuzen ukizileren bino hndigo denen hos, kurb zuzenren goiik donen Gnbil edo konbeu d bldin f(-ren blio zuzen ukizileren bino ikigo denen hos, kurb zuzenren zpiik donen Alde ben hndigo e besen ikigo (edo ldernziz denen, inflesio-punu du denen -Kurb zi hori konkbo(hurr d goiik ikusi. Zuzen ukizileen mldk A, B, C...F punuen gero e hndigok dir (A-n negibo, B-n ez d hin negibo, D-n posiibo d... Berz, f ( funzio gorkorr d. f gorkorr bd, f -ren deribu (f posiibo d. Berz, f( konkbo f gorkorr f (> - Kurb zi hori konkeu (gnbil d. Zuzen ukizileen mldk gero e ikigok dir. Berz, deribu funzio, f (, funzio beherkorr d. f( konkeu f beherkorr f (< Behrrezko bldinz: punu inflesio bldin bdu, derrigorren f ( izn behr du. Bldinz hori ez d nhiko. Lehen gerukoren rzo ber dukgu. - -
Anlisi Inflesio punuren nhikosun bldinzk. f ( iznik, nol ziuru punun inflesiorik duen l ez?. Bi err egin dieke: I f ( noski. Giner, ren lboen deribu zeinuz ldzen bd, bdu mimo edo minimo f < f > f > f < Inf-punu Inf-punu Alboeko bigrren deribuen zeinuk berdink bdir, ez du inflesio-punurik II f ( iznik, bldin f ( bd, inflesio du punun E zer gerzen d f ( e f ( bdir? Jrriu ondoko eorem: Izn bedi f ( f (... f n- ( e f n (. Zer beezen d: - n bkoii bd, inflesio-punu du denen - n bikoii bd, ez du inflesio-punurik. Ohrrk Funzio bek, infiniu mimo edo minimo erlibo eduki dizke. Adibidez, y sin. Muur erlibo edo lokl del diogu, punun, inguruneko punuen bino blio hndigo (m edo ikigo (min hrzen duelko. Definizio-eremun edo re ben hrzen duen blio hndienri mimo bsoluu deizen diogu e ikienri minimo bsoluu (Gogoru Weiersrss-en eorem - Mimo bsoluu: punun Minimo bsoluu: - punun Mimo erlibo: o punun Minimo erlibo: punun Ger dieke muur erlibok e bsoluuk berdink ize. Adibidez: y sin, y cos, - -
Anlisi ARIKETAK - Kirolri bek hiru orduko leismo jokoen konzenrzeko duen gisun honko funzio honek emen du: f( (-, orduk iznik: Klkulu zein biren gehizen den konzenrzio gisun e zein biren guizen den. Noiz d nulu? b Konzenrzio, noiz d mimo? - Aurkiu y funzioren hur e gnbil rek e infleio-punuk. Aurki izzu ere gorpen e beherpen rek e muur erlibok. Ondoren egizu dierzpen grfiko. - Azeru funzio huen gorpen e beherpen, muur erlibok, hur e gnbilsun e inflesio-punuk. Egizu dierzpen grfikok y - -9 b y - Aurki ezzu -ren blio y funziok bere minimo punun / blio dezn. - Aurki izzu e b, y b funziok infleio-punu b izn dezn (-,- punun. 6- y b c kurbk bzis rdz ebkizen du - punun e infleiopunu du (,-en. Klkulu, b, c e idzi funzio. 7- Ondoko grfiko f funzio ben f funzio deriburen d. Y f ( X Aurkiu f funzioren gorpen e beherpen rek. b Deermin izzu muur erlibok c Esn zeinzuk diren re hur e gnbilk d Klkulu infleio-punuk 8- Ondoko grfiko, f( funzioren deriburen d hu d, f (-en. - f ( Aurki izzu: f-ren gorpen e beherpen rek b f-ren muur erlibok c Tre zur e gnbilk d Infleio-punuk - -
Anlisi 9- Aurkiu y -8 funzioren mimo, minimo erlibok e infleio-punuk. - Aurkiu f( funzioren muur erlibok. - Ondoko, f funzioren grfiko d: X Ginonzeko bese lu grfikoen ren f bere deriburen e f ( bere bigrren deriburen dude. Geldizen diren bese bi grfikoek ez due zerikusirik urrekoekin. Grfikok re beren irudiku dudel jkinik, lu grfiko horien ren, zeinzuk dir f e f -ri dgozkienk? Arrzonu. - -
Opimizzio problemk Anlisi Zienzi, ekonomi, poliik e brreko rlo skon, e hinb memik problemn, funziok opimizze, hu d, hien mimo e minimok urkize, inereszen zigu. Hori gerzen d, dibidez, bldinz jkin bzuen pen lnegi ben produkzio kosu minimizu nhi bdugu, edo lursil ben brzkien produkzio mimizu nhi bdugu hezesun e enperur bldinz jkin bzuen. Horrelko problemk ebzeko, honkok egin behrko diugu: - Opimizu behrreko funzio er. - Funzio horrek bi ldgi edo gehigo bduzk, ekuzio lgungrrik urkiu, ldgi bkr ben bidez dierzi hl izn dezgun. - Funzioren mimo edo minimo erlibok urkiu. - Emizk inerpreu, nolko problem den konun iznik zenzurik ez duenk bzeruz. Adibide: Lursil hndi b dukgu errepide ben ondon, e hren zlerko. mero krruko zi errekngelur bi hesi jrri nhi diogu knping b egieko. Hesik knping oso inguruko luke errepide ondoko hmr mero izn ezik, bern srrer jrriko dugu e. Hesi knie ikien erbili knping nol jrri behr dugun urkiu nhi bdugu, opimizzio problem ben urren gude. y Alboko irudiri begiru, honko funzio opimizu bhr yugul ikusiko dugu: y - f(, y y - Bi ldgiko funzio denez, ekuzio lgungrri b urkiu behrko dugu. Ksu honen, bdkigu knpingren zler. m -ko del berz:. y. y. Y ordezkuz f(, y-n, hon zer dugun: f ( Aurki dizgun funzio horren minimo erlibok: (.. f f ( edo -. f (, > minimo erlibo b d f ( f (, < mimo erlibo b d Hesiren luzer minimizu nhi dugunez, funzioren blio minimo bino ez dugu izngo konun:. blio hori funzion ordezkuz, y erko zigu berz, hon plneuriko problemren ebzpen: meroko ldeko eremu krru b egingo dugu e 9 mero hesi erbiliko. - -
Arikek (Opimizzio Anlisi - Aurkiu bi zenbki, euren bur emen duenk, jkinik berien ldernzizkoen bur minimo del. - Deskonpos ezzu bi bugin 8 zenbki, hien biderkdur mimo izn ddin. - cm-ko perimero duen lukizuzen guzien ren, zeinek du digonlik ikien? - cm-ko perimero duen ringelu isoszele guzien ren, zeinek du zler mimo? - Bi zenbkiren reko bur d, zenbki ben kubo bider bese mimo iznik. Klkulu zenbkik. 6- m.-ko sok bekin, osu zler mimodun zeli lukizuzen. 7- zm -ko bolumen duen zilindro guzieik, bilu zler mimodun. 8- m.-ko errdio duen zirkulu ben, inskrib ezzu zler mimodun lukizuzen. 9- Bi meroko sok b bi zin bnzen d, zi bekin krru b e beserekin zirkunferenzi irudikzen diugulrik. Klkulu zi bkoizren luzer, bi irudien zleren bur minimo izn ddin. - m. e m.-ko ldek diuen lmin bi, lu erzen krru bn ebkizen diogu. m. m. Lor diekeen bolumen mimoko ku irekiren dimensiok klkulu - -
ARIKETAK (Deribuen plikziok Anlisi - Egon l dieke bere punu guzien deribgrri den funzio, punun minimo b dukn e f ( egizzen duen?. Arrzon ezzu ernzun. - Ger l dieke funzio ben deribu punu ben zero ize e punu horren ipuriko funziok ez mimorik ez minimorik ez edukize?. Arrzon ezzu ernzun lburki. - Zer esn nhi du f( funzio deribgrri bek delkon infleio-punu b edukizek? - Prbol ben grfikok, bdu infleio-punurik? Arrzon ezzu. - Zenb infleio-punu eduki dizke gehienez hirugrren milko funzio polinomiko bek? Arrzon ezzu. 6- Aurkiu ondoko funzioen muur erlibok (m-minimok e infleio-punuk: y - b y e - c y ln d y ( ( e y 7- y b funzio nulu egien d bzis punun e infleio du / denen. Bil izzu, b, mimo e minimok. 8- Grfikon dierzen den funzio, hirugrren milko polinomio d. Ikusen denez, (, punun mimo e (, punun minimo du. Zein funzio d? X 9- y funziok (-, - punun minimo du. Aurkiu e b e b gorkor e beherkor rek. - Hirugrren milko funzio polinomiko bek, muur erlibo b duk (, punun e (, punuik pszen zion zuzen ukizile y - d. Aurkiu funzio. - 6 -
Funzioen dierzpen grfikok Anlisi Funziok, zilsunk diuenen edo zerke skon behr duenen, komeni d urreko gien ikusi diugun blibide guzik erbilze. Horrerko, informzio e eknik ugri diugu eskur. Funzio zein eremun zeru behr den - Ize eremu. Jrriu d? Deribgrri? - Periodikosun - Simerik Asinok Deribuk - Gorpen e beherpen - Punu kriikok edo singulrrk: mimo e minimo erlibok - Ahur e gnbilsun. Infleio-punuk Punu osgrrik loru - Ardzekin ebki-punuk - Kurb irudikzeko blio duen bese punu bzuk Ohrr. Srrin, ez dir behr izngo resn guzi horiek grfiko b irudikzeko. Gehienen, begird bekin kurbren iur jkin hl d e elemenu guirekin grfiko egin. Hl ere, behr den ksurko, nol erbilzen diren jkie on d. Ize-eremu Zein -enz dgo definiu f( funzio? Gogor dezgun: Funzio polinomikok, e -, sin, cos,, n (n, bkoii,...i.e. R f ( y zikien, I.e. R - { / g( }. Adib. g( y I.e. R - { ± } y I.e. R g e sec ez dude definiu 9º, 7º,... ngeluen y f ( I.e. { / f( } Adib. I. e. { } y y I. e. (, ] [, y I. e. [,] y I.e. R rcsin e rccos. I.e. [-, ] Ez dgo e zenbki negiboen logrimorik. Berz, y ln( I. e. (, y ln( I. e. (, (, Arike. Klkulu hurrengo funzioen ize-eremuk: y y 9 ln( < - 7 -
Anlisi - 8 - Funzio konposkeren ize-eremu F( funzioren definizio-eremu I [, 9] re del dkigu. Aurkiu, modu rrzoiun, ondoko funzioen definizio-eremuk. ( F G ( ( F H ( ( F J EBAZPENA F(-en definizio-eremu jkind, G(, H( e J( funzioen definizio-eremu urkize zer d: f( erko ldke eginez sorzen diren funzio berrien definizio-eremuk urkize. ldgiren irudi-mulzo ezguzen dugu e ldgiren urre-irudik er behr diugu. Klkulu huek egieko ldgiren definizio-eremuren erzen plneuko diugu ekuziok. G(-ren definizio-eremu 7 9 Hu d, [ ],9, 7 G(-ren definizio-eremu, 7 d H(-ren definizio-eremu 9 Hu d, [-, -] [, ] [, 9] H(-ren definizio-eremu [-, -] [, ] d J(-ren definizio-eremu - 9 9 Hu d, [-, ] [, ] [, 9] J(-ren definizio-eremu [-, ] [, ] d
Koordenuekin ebki-punuk OX rdzrekin. Egin y e ebzi ekuzio. OY rdzrekin. Egin e ebzi ekuzio. Anlisi Simerik OY rdzrekiko f(- f( Adib., y y cos y b O jorri-punurekiko f(- -f( Adib., y y sin, y c OX rdzrekiko: y ± f ( denen. Adib., y ± Periodikosun f( f( p f( p... Periodo p. Adibidez: y sin, zeren sin sin( 6º. Periodo 6º edo π y g, zeren g g ( π. Periodo: π edo 8º. Srrin, ln guzi hori (simerik, sinok, gorkor - beherkor rek, infleio-punuk, hur rek,e.. ez d behrrezko. begird bekin kurbren iur jkin hl d e elemenu guirekin kurb gehienk dierz diezke. - 9 -
Egin dezgun funzioen errepso lbur b: y -Zuzen b d. -Ardzekin ebki punuk: (, - e (/, - / Anlisi y b c. -Prbol b d. < denen, mimo du. > denen, minimo - Aurkiu rdzekin ebki-punuk y - -(, punuik pszen d. - Simeriko O-rekiko. - Beherkorr d. y - - Ardzekin ebki punuk - Mimo b e minimo b diu - Infleio punu b du y - Jrriu d R guzin - Ez d deribgrri - punun y ± - Ize-eremu: I.e. { / } - Ardzekin ebki punuk - Simeriko OX-ekiko y edo y ± - Zirkunferenzi d - I.e. [-, ] - Ardzekin ebki punuk - Simerik OY, OX e O-rekiko. - y edo y ± - Hiperbol b d - I (-, -] [, - Ardzekin ebki-punuk - Simerik OY, OX e O-rekiko - 6 -
Anlisi y e - Ize-eremu R - (, punuik do - Asino horizonl OX rdz, - lden y e - - Ize-eremu R - (, punuik do - Asino horizonl OX rdz, lden y ln(- -I.e. { / <} - Asino berikl: zuzen - (, punuik do, zeren ln bi y ln( -I.e. (-, - Mimo b - Ardzekin ebki punuk: y ln y ± - Bi sino beriklk: e - zuzenk Ln - - y ln( - I.e. (, (, - OX rdzrekin ebki punuk ± - Bi sino beriklk: e - zuzenk - - - 6 -
Anlisi Hl ere, funziok zilsun hndik diuenen edo konkreuki zerke skon b egie eskzen denen, erbili l honen hsiern ikusiko punu guzik. Adibidek: - Irudiku y funzio. I.E. R {} Een punun: f ( f ( ezinezko Ardzekin ebki-punuk: y /, P(, Ez du simeririk Asinok. Berikl: zuzen Horizonl: y zuzen Mimo-minimok: y Ez du m-min. Beherkorr I.e. guzin. Infleio-punuk: y Ez du infleio-punurik > denen, y >, f( hurr < denen, y <, f( gnbil Blio-ul -/ - 6 -
- Irudiku I.e. R {} y funzio. Anlisi Asinok: Berikl: zuzen (Funziok ezin dir sinplifiku Zehirr: y zuzen Ardzekin ebkipunuk: y P(, y Gorkor-beherkor rek.mimo-minimok. y ( Berz, P (, P (, 7 e. M edo minimo posiblek y > y < y < y > 7 min m Gorkorr: (, ( 7, Beherkorr: (,7 {} Mimo: y M(, Minimo: 7 y 9 N(7, 9 (7, 9 (, Arikek Adierzi grfikoki ondoko funziok: y y ln y y e y 6 9 y y 7 ( < ( ( - 6 - y 8 y - - y y y
GALDERAK Anlisi - Noiz esen d f( funziok delkorko sino berikl b duel? - Iksle bek, f( funziok, gehienez bi sino berikl eduki dizkeel dio. Egi l d? - f funzio punun jrriu izn ddin, ldeeko iek egoez gin, zeinzuk dir esku behrreko bldinzk? - Egi l d, funzio b punu ben jrriu bd, ordun punu horren deribgrri del? Arrzon ezzu ernzun. - Funzio b bere punu guzien deribgrri bd e bere deribu posiibo bd, egi l d funzio punu guzien posiibo del? Jusifik ezzu ernzun. 6- Emn dezgun y funzio. Apliku ondoko eoremk ipzen diren reen e dierzi esnhi: Bolznoren eorem, [, ] ren. b Bireko blioen eorem. Funziok, hr dezke -, blio, [-, ] denen? c Akozio eorem. Bornu l dgo [-, ] ren? d Weiersrss-en eorem. Zein d mimo e zein minimo [-, ] ren? e Rolle, [-, ] ren. f Gehikunz finiuen edo Lgrnge-ren eorem [, ] ren. Egizu funzioren grfiko e konprobu eorem guzi horiek beezen direl. 7- Funzio b zenbki errel guzien jrriu bd e ondoko desberdinzk egizzen bdiu: f(< -, < - denen e f( >, > denen, ziur l dieke f( beeko duen punu b guienez dgoel? Zergik? 8- f( funzio, deribgrri l d punun? 9- Klkulu y funzioren ize-eremu. - F( funzioren ize-eremu [-, ] d. Aurkiu ondokoen ize-eremuk: G( F b H( F( c I( F( - Demgun g( f( funzio e f ( del. Zenb d g (? - Demgun f e g funzio deribgrrik direl e g(, f ( - e (f[g(] 8. Zenb d g (? - Demgun f funzio deribgrri punu guzien e f( e f (. Izn bedi ondoko funzio: h ( f ( ( f ( f (. Klkulu h ( - 6 -
Anlisi - Demgun f funzio punu guzien deribgrri e f(, f ( e f ( -. f ( Izn bedi g ( e funzio. Klkulu g ( - f( A B funzio gorkorr d (-, ] ren e beherkorr [, ren. Giner, bdkigu punun hrzen duen blio L del, L honko ie hu delrik: sin L. Klkul izzu rrzonuki A e B-ren bliok. ln 6- Azer ezzu ondoko ie prmeroren rber: ( 7- Aurkiu y funzioren sino zehirrk prmeroren rber. 8- Demgun f funzio deribgrri del punu guzien, bere deribuk f`( edozein - en bliorko beezen duel e f( del. Frog ezzu f( del. 9- Aurki izzu y ln( funzioren ize-eremu, gorkor e beherkor rek e hursun rek. - f( ( funzio emnik, egizu f (, f ( e f ( direl. f( funziok b l du mimo, minimo edo infleio-punurik punun? - Grfiko hu f funzioren d. f ( Aurki izzu: f-ren gorpen e beherpen rek b f-ren muur erlibok c Ahur e gnbil rek d Infleio-punuk - 6 -
Anlisi ARIKETAK - Emn dezgun f( ln( funzio. Aurkiu: Ize-eremu. b Jrriusun e deribgrrisun. c punuik pszen den zuzen ukizileren ekuzio. d Zein punun bere zuzen ukizile d y zuzenrekiko prlelo? Aurkiu zuzen hori. - Bil izzu y zirkunferenzi-erdiren zuzen ukizileen ekuziok e punuen. - Aurki izzu y kurbren zuzen ukizile e ukize-punu, ukizile kurbik knpo dgoen P(, punuik ps ddin. - Emn dezgun f( sin( p < funzio. Egiz ezzu jrriu del, p prmerok edozein blio duelrik. b Aurki ezzu p, funzio deribgrri izn ddin bere ize-eremun. - Azl ezzu rrzonuki zein punun ez d deribgrri y funzio. 6- Azeru y < funzioren deribgrrisun 7- Aurkiu e b prmerok ondoko funzio deribgrri izn ddin R mulzon. cos y b > 8- Enunziu Rolle-ren eorem. Klkulu p, m e n-ren bliok, ondoko funziok p Rolle-ren eoremren hipoesik bee dizn: f ( m n < 9- Enunziu Bezbeseko Blioren eorem. Erbili orem ondoko bi ksuen: y funzion [, 9] ren. Azldu geomerikoki bere esnhi. b y e funzion I n [n, n] ren, n zenbki rrun iznik. - Egiz ezzu ondorengo funziok, Bezbeseko Blioren eoremren bldinzk beezen diuen l ez e urkiu eoremk irgrzen diuen punuk: f ( 7 [,] (,] - 66 -
- Klkulu ondorengo iek: Anlisi e e sin b c ln - Aurki izzu ondoko funzioen definizio eremu, gorkorsun e beherkorsun rek,muur erlibok e sinozk: y e b y ln c y e e d y e y 9 ( ( - Klkulu y - 6 6 kurbren infleio-punuik pszen den zuzen ukizileren ekuzio. - y b c d funziok, infleio-punu du -n, minimo -en e (, punuik pszen d. Aurkiu, b e c. - Zein funziori dgokio ondorengo grfiko? - 6- Bigrren milko funzio polinomiko bek muur erlibo b duk (, punun. Giner, bzis-punuik pszen den zuzen ukizile y - d. Aurki ezzu funzio. 7- y b funziori buruz, bdkigu (, punuik igrozen del e y zuzenren prlelo den ngene b duel punu horren. Aurkiu e b. b Aurkiu muur erlibok e hur e gnbil rek. 8- Emn dezgun f( funzio. Jrriu l d punu guzien? Deribgrri l d? b Egizu funzioren ikerke (Ize-eremu, simerik, muurrk e dierzi grfikoki. 9- Prlelepipedo ben bolumen 7 zm d. Bil ezzu zler mimodun prlelepipedo, jkinik lde bek bese lderen erdi neurzen duel. - Aurki izzu perimero hndieneko lukizuzenren ldek, lukizuzen R errdioko zirkunferenzierdi ben inskriburik e bere ldeeko b zirkunferenzierdiren dimeroren ginen dgoelrik. - 67 -
-JATORRIZKO FUNTZIOAK. INTEGRAL MUGATUGABEA Anlisi Jorrizko funzio. Inegrl mugugbe f( funzio ben jorrizko funzio F( izngo d, zer beezen bd: F`( f(. Adibide: f( funzioren jorrizko funzio F( d, zeren e ( `. E ez bkrrik, bizik e, -,..., ke, ere bi. Funzio guzi huen deribu d. Jorrizko funzioen mulzo oso f ( d -en bidez dierzen d, e inegrl muggbe esen zio. Berz d k, d l k... Diferenzil e inegrl ldernzizkok dir: d f ( d f ( k Propieek.- Funzioen reko burren inegrl, inegrlen bur d: ( ( g( d f ( d f g( d.- Konsne e funzio ben reko biderkdurren inegrl, konsne bider funzioren inegrl d. k f ( d k f ( d Propiee huek, deribuen ikusi geniuen nzeko propieeen ondoriok dir. - 68 -
Berehlko inegrlk Funzioen deribuk e inegrlren konzepu konun hrurik, Deribu F( f(, ondorengo ul lorzen d: Inegrl Anlisi d k n n n n u d k n u u` d k n d u` ln k d ln u k u u u d k ln u` d k ln u u e d e k e u` d e k sin d kos k u ` sin u d kosu k kos d sin k u` kosu d sin u k d u` sek d g k kos u` sek u d d gu k kos u d u` kosek d kg k sin u` kosek u d d kgu k sin u g d ln sek k u` gu d ln seku k kg d ln sin k u` kgu d ln sin u k d u` rk sin k u d rk sin u k d u` rkg k u d rkgu k d rksek k u` d rkseku k u u Arikek. Aurki ezzu f( funzio, jkinik f`( e f( 6 direl.. Aurkiu G funzio, jkinik G``( 6, G ( e G( direl.. f( funzioren jorrizko guzien mulzoik, klkul ezzu - enz nulzen den.. y sin funzioren jorrizko funzio guzieik, bil ezzu (, punuik pszen den.. Zenb funzioren deribu d f( - funzio? Aurrekoen ren urkiu b non bere grfiko (, punuik pszen den. - 69 -