Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Ολοκληρωτικός Λογισμός μιας μεταβλητής Ι

Transcript

1 Μέθοδοι ολοκλήρωσης Ολοκληρωτικός Λογισμός μιας μεταβλητής Ι

2 (A) Μέθοδος Αντικατάστασης f ( g( )) g '( ) d = f ( u) du Βήμα 1 ο : Αντικαθιστώ u u=g() & du=g ()d ψάχνω το f(u)du Βήμα ο : Ολοκληρώνω ως προς u Βήμα 3 ο : Αντικαθιστώ με την αρχική έκφραση g() το u 3 sin d =? π.χ.: Αν u= 3 du=3 d 1/3 du= d Άρα: sin d= sinudu= - cosu+ c= - cos + c ΠΡΟΣΟΧΗ: Ενδεχομένως να χρειάζεται για την ολοκλήρωση και περισσότερες της μία αντικατάστασης du

3 Άσκηση 1 η : Άσκηση η : Άσκηση 3 η : Άσκηση 4 η : Άσκηση 5 η : Ασκήσεις? d = u= +1 du=d d= du=ln u +c=ln +1 +c +1 u (+1) d=? 3 3 u ( + 1) u=+1 du=d (+1) d= u du= + c= + c cos -3cos -7 4 sind=? cos τ ότε Αν u=cos du=-sind : u -3u -7 u u 1 cos 1 cos du= du+ du+7 du= 3cos 7 c u u + u u 3 e d=? (1+e ) e Αν u=1+ e du = e d d= du= c c (1+e ) + = + u u 1+e tand=? sin 1 tan=, αν u=cos du= sind tand= du ln u +c ln cos +c cos = = u Άσκηση: Να κάνετε όμοια για την cot Υπόδειξη: u=sin

4 Μέθοδος μερικών κλασμάτων Υπενθύμιση της διαδικασίας: 1. Κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα. Αθροίζουμε τα ομώνυμα κλάσματα 3. Απλοποιούμε τα κλάσματα

5 Παράδειγμα 1 ο άθροισμα μερικών κλασμάτων: ο κάνω ομώνυμα & αθροίζω: ( ) ( ) ( ) 3 ο τέλος απλοποιώ: Άρα για να βρω το ( ) ( ) ( ) 3 + = ( ) ( ) ( ) ( ) = + = = = d 3 αρκεί να κάνω τα βήματα προς τα πίσω (3 ο ο 1 ο ): d = d + d = 3 ln 3 + c + ln c

6 (B) Μέθοδος Ρητών Συναρτήσεων 1. Αν ο βαθμός του αριθμητή < βαθμού του παρονομαστή : αναλύω σε απλά κλάσματα (μέθοδος μερικών κλασμάτων). Αν ο βαθμού του αριθμητή βαθμός του παρονομαστή : (i) κάνω την διαίρεση: βρίσκω το p() σύμφωνα με τα γνωστά f() v ( ) = p ( ) + g() h ( ) (ii) αναλύω σε απλά κλάσματα το v ( ) h ( )

7 Μέθοδος Ρητών Συναρτήσεων συνέχεια Έστω η g() έχει ρίζες ϵ R: αν έχει μία ρίζα α: αν έχει μία ρίζα α πολλαπλότητας ν: f() Α = g() a f() Α1 Α Α3 Αν = g() α ( α) ( α) ( α) ν Έστω η g() έχει (ή περισσότερες) ρίζες ϵ R: αν έχει ρίζες, α & β: f() Α Β = + g() ( α) ( β) αν μία ρίζα είναι πολλαπλότητας ν χρησιμοποιούμε και την πολλαπλότητα αυτής όπως στο προηγούμενο ανάλογα για περισσότερες ρίζες

8 Μέθοδος Ρητών Συναρτήσεων συνέχεια Έστω η g() έχει ρίζες ένα ζευγάρι συζυγών (α ± βi) ϵ C : αν έχει ένα ζευγάρι ρίζες συζυγών (α ± βi) : f() Α + B = g() ( a) + b αν έχει ένα ζευγάρι ρίζες συζυγών (α ± βi) πολλαπλότητας ν: f() Α 1+ B1 Α + B Α 3+ B3 Α ν + Bν = g() ( a) + b [( a) + b ] [( a) + b ] [( a) + b ] ν

9 Ασκήσεις 5 3 Άσκηση 1 η : Ι= d =? 3 O παρονομαστής g() έχει ρίζες: {-1, 3} ϵ R 5 3 Α B A = = B = 3 Α B ( + ) d = ln ln 3 + c Άρα: Ι = Άσκηση η : + 1 Ι= d = ( 1)( )( 3) O παρονομαστής g() έχει 3 ρίζες: {1,, 3} ϵ R + 1 A B C A = 1 = + + ( 1)( )( 3) 1 3 B = -5 C = 5? Άρα: I = ln ln c

10 Άσκηση 3 η : Ασκήσεις (συνέχεια) O παρονομαστής g() έχει 3 ρίζες: {-1, - πολλαπλότητας } ϵ R Άρα Ι =. = Άσκηση 4 η : O παρονομαστής g() έχει 4 ρίζες: ϵ C συζυγείς και 1 ϵ R διπλή Άρα Ι = Ι= d =? ( )( + 1) 6+ 7 A B C = + + ( )( + 1) ( + ) 5 ln + + ln c + Ι= 1? ( + 1)( 1) d = 1 A + B C D = + + ( + 1)( 1) ( 1) A = 1 B = -1 C = 5 A = 1/ B = 0 C = -1/ D = 1/ d c [ + + ] = ln 1 + ln ( 1) ( + 1) ( 1) 4

11 Άσκηση 5 η : Επειδή ο βαθμός αριθμητή βαθμός παρονομαστή διαιρώ: Δηλ. Άρα Ι = Ασκήσεις (συνέχεια) 3 3+ Ι= d =? : Π=+5, Υ= = ( + 5) ( 5) d = + d + d Τελικά: Ι = ( /)+5-4 ln - +0 ln -3 +c Το ο ολοκλήρωμα στο ο μέλος έχει ρίζες στον παρονομαστή g(): {, 3} A B A = -4 = + B = & f/g = -4ln - +0ln -3 +c

12 (Γ) Μέθοδος κατά παράγοντες f( g ) '( d ) = f( g ) ( ) f'( gd ) ( ) ΠΡΟΣΟΧΗ στην επιλογή της g () Υπενθύμιση: προέρχεται από την παραγοντοποίηση του γινόμενου: (f() g()) = f () g() + f() g () (έκφραση που έχω αν ολοκληρώσω τον παραπάνω τύπο) Παράδειγμα: e d=? Άρα (e ) d = e - e d = e - e + c = e (-1) + c

13 Άσκηση 1 η : e d = Ασκήσεις? Αναλύω εκ νέου ανά παράγοντες ( )' = ( )' = = [ ( )' ] = e d e e d e e d e e d [ ' ] = [ ] = ( ) + e e e d e e e d e e e c Άσκηση η : sin d =? Έτσι λύνονται όλα της μορφής p() e a d, a ϵ R* ( cos )' cos cos cos sin d = + d c = Όμοια για όλα της μορφής p()sin(a)d & p() cos(a) d, a ϵ R* 3 (4 + 1) ln d =? Άσκηση 3 η : ( + )'ln d= ( + )ln ( + ) d= ( + )ln + c 4 Όμοια για όλα της μορφής p() ln(a) d, a ϵ R*

14 Άσκηση 4 η : Ασκήσεις (συνέχεια) I = e sin( ) d =? Αναλύω εκ νέου ανά παράγοντες e sin( ) e cos( ) d = e sin( ) [ ( e )'cos( ) d] = e sin( ) [ e cos( ) + e sin( ) d] = e sin( ) e cos( ) 4I e sin( ) e cos( ) Άρα 5I= e sin( ) e cos( ) I= 5 5 Όμοια για όλα της μορφής e a cos(a) d & e a sin(a) d, a ϵ R*

15 Άσκηση Μετά από όσα μάθατε, πώς θα βρείτε το: ln d =? Λύση: Επιλέγουμε την (Γ) μέθοδο «κατά παράγοντες»: 1 ln d = ( ) ' ln d = ln (ln ) ' d = 1 = ln d= ln d= ln + c