Είναι i ö ö y ( ; ) ç ep ç - ˆ ep ç ( p ø ø ) ö ø () Έστω () Τότε η () γράφεται i ö ö y ( ; ) ç ep ç ep ç - ( - ˆ p ø ø ) ö ø (3) Από την (3) βλέπουμε ότι η y ( ; ) περιγράφει μια συνοχική κατάσταση μάλιστα μια τυχαία συνοχική κατάσταση ενός αρμονικού ταλαντωτή με κλίμακα μήκους. Αν συμβολίσουμε τον τελεστή καταστροφής του ταλαντωτή κλίμακας μήκους με ( ), θα είναι, σύμφωνα με όσα αναφέραμε στην παρουσίαση της παρούσας ανάρτησης, ˆ ö ˆ ( )y ( ; ) ç i y ( ; ) ç p 0 ø () όπου p0 είναι η κλίμακα ορμής του ταλαντωτή κλίμακας μήκους. Μπορείτε, αν θέλετε, να αποδείξετε τη σχέση () κάνοντας τις πράξεις. Οι μέσες τιμές της θέσης της ορμής στην κατάσταση που περιγράφει η y ( ; ) εξακολουθούν να είναι, αντίστοιχα, p, δηλαδή ˆ ˆ. Αυτό μπορούμε να το διαπιστώσουμε υπολογίζοντάς τις απευθείας, στην αναπαράσταση θέσης (το αφήνουμε στον αναγνώστη). Ένα ποιοτικό επιχείρημα για να πειστούμε ότι οι μέσες τιμές δεν αλλάζουν είναι ότι αποτελούν ένα είδος αρχικών συνθηκών, οι οποίες δεν συνδέονται με την κλίμακα μήκους του ταλαντωτή. Η μέση ενέργεια στην κατάσταση που περιγράφει η y ( ; ) ας τη συμβολίσουμε με είναι 8//08
mw ˆ m (5) Πρέπει, επομένως, να υπολογίσουμε τις μέσες τιμές του τετραγώνου της θέσης της ορμής στην κατάσταση που περιγράφει η y ( ; ). Εφόσον έχουμε τη μορφή της κυματοσυνάρτησης y ( ; ), μπορούμε να κάνουμε τους υπολογισμούς στην αναπαράσταση θέσης, δηλαδή ˆ ò dy ( ; ) y ( ; ) * - d ö ò dy ( ; ) ç -i y ( ; ) - ò dy * ( ; )y ( ; ) d ø - - * Προτρέπουμε τον αναγνώστη να υπολογίσει τα ολοκληρώματα. Εμείς εδώ θα υπολογίσουμε τις μέσες τιμές ˆ εκμεταλλευόμενοι το γεγονός ότι η κατάσταση που περιγράφει η y ( ; ) είναι συνοχική κατάσταση του ταλαντωτή, οπότε η αβεβαιότητα θέσης ορμής θα είναι ελάχιστη οι επιμέρους αβεβαιότητες (θέσης ορμής) θα είναι ισομοιρασμένες, δηλαδή θα είναι ( D ) (6) ( Dp ) p0 (7) Θυμίζουμε ότι σε όλες τις συνοχικές καταστάσεις ενός αρμονικού ταλαντωτή, οι αβεβαιότητες της θέσης της ορμής είναι ίσες, αντίστοιχα, με τις αβεβαιότητες της θέσης της ορμής στη βασική του κατάσταση, που όπως ξέρουμε είναι συνοχική κατάσταση με ιδιοτιμή μηδέν. Από τις σχέσεις (6) (7) μπορούμε, αφού ξέρουμε τις μέσες τιμές της θέσης της ορμής, να υπολογίσουμε τις μέσες τιμές του τετραγώνου της θέσης της ορμής. Πράγματι, από την (6) παίρνουμε 8//08
ˆ - ˆ Όμως ˆ ˆ Οπότε ˆ - ˆ Αν υψώσουμε στο τετράγωνο αντικαταστήσουμε το από τη (), θα πάρουμε ˆ ˆ (8) Με την ίδια λογική, η (7) γράφεται - p0 (9) Η κλίμακα ορμής p0 η κλίμακα μήκους του ταλαντωτή συνδέονται με τη σχέση p0 (0) Πράγματι, είναι mw mw p0 Οπότε, από τη (0) παίρνουμε p0 αν αντικαταστήσουμε το από τη (), θα πάρουμε p0 Οπότε η (9) γράφεται 3 8//08
- Þ - () Αν αντικαταστήσουμε τις (8) () στην (5), θα πάρουμε για τη μέση ενέργεια της κατάστασης που περιγράφει η y ( ; ) y ( ; ), m mw ö mw ç ˆ mw ˆ m ø m mw mw ˆ m m Αν στην προηγούμενη ισότητα αντικαταστήσουμε την κλίμακα μήκους mw, θα πάρουμε m mw mw mw ˆ m mw w w mw ˆ m ö w ç mw ˆ ø m ö w ç mw ˆ ø m () Η () μάς δίνει τη μέση ενέργεια της συμπιεσμένης κατάστασης του αρχικού ταλαντωτή, κλίμακας μήκους, που περιγράφει η κυματοσυνάρτηση (). Παρατηρήστε ότι η μέση ενέργεια απειρίζεται στα άκρα του διαστήματος τιμών της παραμέτρου, δηλαδή για 0 για. Οι αβεβαιότητες θέσης ορμής του ταλαντωτή στη συμπιεσμένη κατάσταση που περιγράφει η κυματοσυνάρτηση () είναι, αντίστοιχα, 8//08
( D ) p0 ( Dp ) ( D ) (3) () ( Dp ) Για 0, από τη (3) παίρνουμε ( D ) 0 από τη () παίρνουμε ( Dp ). Η συμπιεσμένη κατάσταση που περιγράφει η κυματοσυνάρτηση () για 0 είναι μια ιδιοκατάσταση της θέσης, μάλιστα y ( ; 0 ) : d ( - ˆ ). Επειδή στις ιδιοκαταστάσεις της θέσης απειρίζεται η αβεβαιότητα της ορμής, απειρίζεται η μέση τιμή του τετραγώνου της ορμής, επομένως η μέση κινητική ενέργεια απειρίζεται κι αυτή παρασύροντας στο άπειρο τη μέση ενέργεια. Οι ιδιοκαταστάσεις της θέσης είναι, σε κάθε συνεχές δυναμικό, καταστάσεις άπειρης ενέργειας. Για, από τη (3) παίρνουμε ( D ) από τη () παίρνουμε ( Dp ) 0. Η συμπιεσμένη κατάσταση που περιγράφει η κυματοσυνάρτηση () για είναι μια ιδιοκατάσταση της ορμής. 5 8//08
Επειδή στις ιδιοκαταστάσεις της ορμής απειρίζεται η αβεβαιότητα της θέσης, απειρίζεται η μέση τιμή του τετραγώνου της θέσης, επομένως η μέση δυναμική ενέργεια του ταλαντωτή απειρίζεται συμπαρασύροντας στο άπειρο τη μέση ενέργειά του. Λόγω της μορφής του δυναμικού του αρμονικού ταλαντωτή (που είναι τετραγωνικό ως προς τη θέση), οι ιδιοκαταστάσεις της ορμής είναι καταστάσεις άπειρης ενέργειας. Θέλουμε τώρα να υπολογίσουμε την τιμή της παραμέτρου συμπίεσης που ελαχιστοποιεί τη μέση ενέργεια (). Είναι d ö w ç - ø d Η παράγωγος μηδενίζεται όταν - >0 } 0Þ Η δεύτερη παράγωγος είναι d d w >0 3 Επομένως, η ενέργεια είναι η ελάχιστη μέση ενέργεια. Συμπεραίνουμε, λοιπόν, ότι η μέση ενέργεια της συμπιεσμένης κατάστασης ελαχιστοποιείται όταν, δηλαδή όταν η συμπιεσμένη κατάσταση γίνει η αντίστοιχη συνοχική κατάσταση, που περιγράφεται από την κυματοσυνάρτηση i ö ö y ( ;) y ( ) ç ep ç ep ç - ( - ˆ p ø ø ) ö. ø Για, η () μάς δίνει w mw ˆ mw ˆ 0 m m 6 8//08
CoerentStte mw ˆ 0 m (5) Η (5) μάς δίνει τη μέση ενέργειας μιας τυχαίας συνοχικής κατάστασης του αρμονικού ταλαντωτή συναρτήσει της μέσης τιμής της θέσης της μέσης τιμής της ορμής στην εν λόγω κατάσταση. Αν ˆ 0 0, η (5) μάς δίνει 0. Αυτή είναι η περίπτωση που η συνοχική μας κατάσταση είναι η βασική κατάσταση του ταλαντωτή. Στην ανάρτηση «Οι ιδιοκαταστάσεις του τελεστή καταστροφής ως καταστάσεις ελάχιστης αβεβαιότητας Συνοχικές καταστάσεις του αρμονικού ταλαντωτή» είδαμε ότι οι συνοχικές καταστάσεις είναι γκαουσιανές καμπάνες σταθερού πλάτους που ταλαντώνονται σύμφωνα με τους κλασικούς τύπους της αρμονικής ταλάντωσης. Μπορούμε, επομένως, να αντιστοιχίσουμε στη μέση τιμή της θέσης της ορμής τη θέση την ορμή του κλασικού αρμονικού ταλαντωτή. Τότε η (5) μάς δίνει, αν παραλείψουμε την ελάχιστη ενέργεια 0 της βασικής κατάστασης, η οποία οφείλεται στη μη μηδενική αβεβαιότητα θέσης ορμής, την ενέργεια του κλασικού αρμονικού ταλαντωτή. Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. skonstn@otmil.com 7 8//08