Ηράκλειο, 24 Σεπτεµβρίου 2007. Αρ. Πρωτ.: 54

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ /ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ.Ε. Ν. ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ Μπουνάκης ηµήτριος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών Ταχ. /νση : Μονοφατσίου 8 Ταχ. Κώδικας Τηλ. υπηρεσίας : 2810342206 Τηλ. Κατοικίας : 2810241674 : 712 01 ΗΡΑΚΛΕΙΟ Κινητό : 6976465429 e-mail : dimitrmp@sch.gr Ηράκλειο, 24 Σεπτεµβρίου 2007 Αρ. Πρωτ.: 54 Προς : Τους κ.κ. ιευθυντές και καθηγητές Μαθηµατικών των Σχολείων του Ν. Ηρακλείου, αρµοδιότητας µου Κοιν.: 1. Περιφερειακό /ντή Εκπ/σης Κρήτης 2. Προϊστάµενο Επιστηµονικής & Παιδαγωγικής Καθοδήγησης /θµιας Εκπ/σης Κρήτης 3. /νση /θµιας Εκπ/σης Ν. Ηρακλείου 4. 1 ο & 2 ο Γραφείο.Ε. Ν. Ηρακλείου 5. Γραφείο ΤΕΕ Πληροφορίες : Μιχάλης Βαβουρανάκης e-mail : grss@dide.ira.sch.gr Τηλέφωνο - FAX :2810342206 ΘΕΜΑ : «ιδακτικό υλικό A Γυµνασίου» Aγαπητοί συνάδελφοι, Στην προσπάθεια για υποβοήθηση του διδακτικού σας έργου σας στέλνω µερικές πρώτες παρατηρήσεις, επισηµάνσεις και συµπληρώσεις µου στα νέα σχολικά βιβλία και γενικά στο µάθηµα των Μαθηµατικών Α Γυµνασίου. Σύντοµα θα σας στείλω παρατηρήσεις και για τις άλλες τάξεις. Αφού τις µελετήσετε και τις κρίνετε, θα αποφασίσετε ποιες θα εφαρµόσετε και ποιες όχι. Περιµένω και τις δικές σας παρατηρήσεις και συµπληρώσεις, ώστε να δηµιουργήσουµε ένα όσο το δυνατόν πλήρη κατάλογο ο οποίος αφενός θα υποστηρίζει το έργο σας, αφετέρου θα αποσταλεί στο Π. Ι. για µελλοντική βελτίωση των νέων βιβλίων. Με την ευκαιρία σας επισηµαίνω ότι, για το διδακτικό υλικό που θα σας στέλνω, ανεξάρτητα από την αρχειοθέτηση που θα κάνει το σχολείο και τα δικά σας προσωπικά αντίγραφα που θα βγάζετε, χρήσιµο είναι να υπάρχει ένα αντίγραφο του υλικού αυτού και στο σχολείο σε αυτόνοµο φάκελο. Καλό θα ταν λοιπόν, αν θέλει ένας συνάδελφος, π.χ. αυτός που διδάσκει στο Α1, να φροντίζει ένα φάκελο («ιδακτικής Μαθηµατικών») που θα παραµένει στο σχολείο, ο οποίος θα περιέχει, ανά τάξη, όλα αυτά τα έγγραφα αλλά και άλλα σχετικά µε την ιδακτική των Μαθηµατικών. Πιστεύω ότι διαχρονικά θα είναι πολύ χρήσιµος, αφού θα ναι διαθέσιµος ανά πάσα στιγµή, από όλους τους συναδέλφους µόνιµους και µη, νέους και παλιούς, αλλά προπάντων για τους µελλοντικούς νέους συναδέλφους.

Ι ΑΚΤΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ - ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ - ΑΛΓΕΒΡΑ 1.A.1.1 Φυσικοί αριθµοί. Στην σελίδα 13, βιβλίο µαθητή, άσκηση 7(δ), στην απάντηση, αναφέρεται ότι «από τον αριθµό 32 ως τον αριθµό 122 υπάρχουν 90 αριθµοί». ηλαδή δεν υπολογίζουν οι συγγραφείς τον 32. Μερικοί συνάδελφοι επεσήµαναν ότι αυτό είναι «λάθος». Πράγµατι υπάρχει µια ασάφεια για τον αριθµό 32, ενώ ο 122 συµφωνούµε όλοι ότι συµπεριλαµβάνεται αν και δεν δηλώνεται σαφώς µε το «ως (και) τον αριθµό 122». Στην καθηµερινή λαϊκή χρήση της έκφρασης ο 32 περιλαµβάνεται. Έτσι π.χ. ακούµε συχνά ότι από τις 20 του µήνα, που έχει γίνει κάποιο γεγονός, ως τις 28 του ίδιου µήνα, έχουν περάσει 9 µέρες (π.χ. «εννιάµερα») και όχι 8, όπως αυστηρά είναι. Όµως λέµε όλοι ότι, από τις 2 η ώρα µέχρι τις 8 είναι 6 ώρες και όχι 7. Επίσης λέµε ότι από τον Σεπτέµβριο του 1995 µέχρι τον Σεπτέµβριο του 2007 είναι 12 έτη και όχι 13. Υπάρχει λοιπόν εν µέρει διάσταση καθηµερινής και αυστηρής (επιστηµονικής) έκφρασης και οι συγγραφείς επιµένουν (όπως φαίνεται και από την ανάλογη ερώτηση 7(στ)) να υιοθετούν την δεύτερη, που είναι γενικότερη, την οποία πιστεύω ότι είναι σωστό να δεχθούµε (διατηρείται έτσι και η «προσθετικότητα» στην έκφραση «από τον µέχρι τον») αλλά να επισηµάνουµε στους µαθητές και το περιορισµένο περιεχόµενο της λαϊκής έκφρασης «από τον». Έτσι στην περίπτωση που θέλουµε να συµπεριλάβουµε τον αριθµό 32 πρέπει να το δηλώσουµε σαφώς, διαφορετικά (συµφωνούµε) να µην συµπεριλαµβάνεται. 2. Α.1.4 Ευκλείδεια διαίρεση. = δ π + υ, υ < δ ή υ=0 Επισηµαίνουµε εδώ ότι το πηλίκο π µας δείχνει (µας δηλώνει) πόσες (ακέραιες) φορές ο διαιρέτης (δ) χωρεί µέσα στον ιαιρετέο ( ) και µάλιστα τον µεγαλύτερο αριθµό φορών. Αυτό είναι χρήσιµο σε πολλά προβλήµατα Ασκήσεις (Α.1.4 - Α.1.5) 1. Πόσα είναι τα πολλαπλάσια του 4, από το 1 µέχρι το 102; µέχρι το 2007; 2.Το δροµολόγιο ενός πλοίου µετ επιστροφής διαρκεί 4 ηµέρες. Τα δροµολόγια αρχίζουν την 1 Ιουλίου. Πόσα δροµολόγια θα κάνει το πλοίο µέχρι της 31 Αυγούστου; 3. ίσεκτα έτη (µε το νέο ηµερολόγιο) είναι τα έτη που, αν είναι πολλαπλάσια του 100 πρέπει να διαιρούνται µε το 400 και αν δεν είναι πολλαπλάσια του 100 πρέπει να διαιρούνται µε το 4. Πόσα είναι τα δίσεκτα έτη από το 1900 (συµπεριλαµβανόµενου) µέχρι (και) το 2008; (Απ. 27) 4.(Ίσως) Πόσα είναι τα πολλαπλάσια του 4, από το 1 µέχρι το 2007, που δεν διαιρούνται µε το 3; (501-167=334)

3. Α.1.5 ΜΚ ΕΚΠ - ιαιρετότητα. Πρόβληµα δηµιουργίας κινήτρων για το ΕΚΠ ( ραστηριότητα): Ένας πλανόδιος ψαράς επισκέπτεται ένα χωριό κάθε 4 µέρες ενώ ένας µανάβης κάθε 6 µέρες. Την πρώτη του µήνα βρέθηκαν και οι δυο στο χωριό. Μετά από πόσες µέρες το λιγότερο θα ξανασυναντηθούν; Σε ποια ηµεροµηνία;.εκπ(4, 6) = 12, (13) (υπάρχει ανάλογο πρόβληµα στο βιβλίο µαθητή ως εφαρµογή) Πρόβληµα Στις 13 Νοεµβρίου 2007 είναι ηµέρα Τρίτη! Ποιος θα ναι ο αµέσως επόµενος µήνας µε Τρίτη και 13; (Aπ.13/5/2008) Στην ιαιρετότητα (ένα ακόµη κριτήριο). Ένας αριθµός διαιρείται µε το 11 αν το άθροισµα των ψηφίων του περιττής τάξης µείον το άθροισµα των ψηφίων του άρτιας τάξης είναι πολλαπλάσιο του 11. Π.χ. ο αριθµός, 84623 : 8+6+3 -(4+2) = 11 708191 : (7+8+9) - (0+1+1) = 22 172619 :1+0+1 - (7+8+9) = -22, κλπ. Υπάρχουν κριτήρια διαιρετότητας και για το 7, 13. (βλ. βιβλίο «Καγκουρό» 2007, σελ.51) 4. Α.2.1 Έννοια του κλάσµατος Στην σελίδα 35, βιβλίο µαθητή, αναγράφεται ότι για το κλάσµα ν κ πρέπει ν 0. Θα πρέπει να το δικαιολογήσουµε, επισηµαίνοντας ότι δεν γίνεται να χωρίσουµε την ακεραία µονάδα σε 0 κοµµάτια, δεν έχει έννοια. Σε επόµενη όµως ενότητα και ίσως σε µεγαλύτερη τάξη πρέπει, δοθείσης ή µη αφορµής, να πούµε όλη την αλήθεια: Α. Το κλάσµα π.χ. 0 3, όπως κάθε κλάσµα, θα πρέπει να παριστάνει µια διαίρεση, του 3 µε το 0, άρα το αποτέλεσµα - πηλίκο - πρέπει να είναι ένας αριθµός που πολλαπλασιαζόµενος µε το 0 να δίνει 3, αδύνατο αφού δεν υπάρχει κανείς! Άρα δεν παριστάνει αριθµό, δεν έχει έννοια ένα τέτοιο κλάσµα. 0 Β. Το κλάσµα θα πρέπει να παριστάνει την διαίρεση του 0 µε το 0. Έτσι θα πρέπει να 0 είναι ένας αριθµός που πολλαπλασιαζόµενος µε τον (διαιρέτη-παρανοµαστή) 0 να δίνει τον (διαιρετέο-αριθµητή) 0, άρα είναι ίσο µε κάθε αριθµό (ρητό). Όµως όλες οι πράξεις που έχουµε δει, µεταξύ δυο αριθµών, δίνουν ένα µόνο αριθµό ως αποτέλεσµα (µονοσήµαντο της απεικόνησης-πράξης). Άρα δεν µπορούµε να δεχθούµε αυτή την πράξη. Γι αυτό πάντοτε θεωρούµε τα κλάσµατα µε παρανοµαστή διάφορο του µηδενός. Όµως ο αριθµητής ενός κλάσµατος µπορεί να είναι µηδέν και µάλιστα µόνο στην περίπτωση αυτή ένα κλάσµα είναι ίσο µε µηδέν.

5. Κλάσµατα γνωστά πράγµατα Αν χωρίσουµε την ακεραία µονάδα (ενός µεγέθους) σε ν, ν = 1,2,,ίσα µέρη, το καθένα από αυτά, ως γνωστό, λέγεται κλασµατική µονάδα και συµβολίζεται µε ν 1. Ένα κλάσµα κ 1 1 1 προκύπτει από την κλασµατική µονάδα µε την επανάληψή της κ φορές: +ν ν ν ν + + ν 1 = κ ν 1 = ν κ. 1 κ Άµεση συνέπεια ν = 1 και ν = κ (κ, ν φυσικοί, ν 0) ν ν κ Η ισότητα ν = κ είναι σηµαντική γιατί µας δικαιολογεί και τον κανόνα («ορισµό») της ν κ διαίρεσης φυσικών κ : ν = ν εφόσον ο (ρητός) αριθµός που πολλαπλασιάζει τον ν για να προκύψει ο κ είναι το κλάσµα κ. ν 6. Κλάσµα και λόγος Στα πλαίσια της Αριθµητικής ένα κλάσµα προκύπτει ως αποτέλεσµα, δηλαδή πηλίκο, µιας διαίρεσης µερισµού: Παράδειγµα 1 Σ ένα διάλειµµα 75 µαθητές χωρίζονται σε 25 οµάδες - παρέες µε ίσο αριθµό κάθε µια. Πόσους µαθητές έχει κάθε παρέα; Εδώ έχουµε µια διαίρεση, ένα µερισµό του διαιρετέου 76 σε 25 ίσα µέρη: κάθε παρέα θα έχει 75 :25 = 3 µαθητές. 1 1 75 Το 3 είναι το του 75, δηλαδή 75= = 3 µαθητές 25 25 25 75 Το αποτέλεσµα (πηλίκο) σε µια διαίρεση µερισµού, εδώ =3 µαθητές, είναι µέγεθος 25 οµοειδές µε τον διαιρετέο. Ανάλογο πρόβληµα διαίρεσης µερισµού θα είχαµε αν 25 µαθητές µοιραστούν 75 25 1 σοκολάτες, οπότε καθένας θα πάρει = σοκ. 75 3 Παράδειγµα 2 Στο Γυµνάσιο µιας κωµόπολης η Α Γυµνασίου έχει 75 µαθητές, ενώ η αντίστοιχη τάξη σ ένα Γυµνάσιο ενός χωριού έχει 25. Πόσες φορές περισσότεροι είναι οι µαθητές της κωµόπολης; Εδώ έχουµε πάλι µια διαίρεση, των ίδιων αριθµών, αλλά οµοειδών µεγεθών. Αυτή η διαίρεση εκφράζει το λόγο των δυο αυτών µεγεθών. Το αποτέλεσµα, 75 : 25 = 3 δίνει τον

αφηρηµένο αριθµό 3, άρα 3 φορές περισσότεροι οι µαθητές του πρώτου Γυµνασίου. Εδώ έχουµε µια διαίρεση µετρήσεως. ιαίρεση µετρήσεως κάνουµε γενικά όταν θέλουµε να µετρήσουµε ένα µέγεθος, π.χ. ευθ. τµήµα, γωνία, µάζα, δύναµη, έργο κλπ. Στην διαίρεση αυτή µετρήσεως, ο διαιρετέος και ο διαιρέτης είναι οµοειδή µεγέθη και το 75 πηλίκο = 3 («καθαρός αριθµός») εκφράζει το λόγο των µεγεθών αυτών, δηλαδή 25 πόσες φορές το ένα «χωρεί» µέσα στο άλλο. Ανάλογο πρόβληµα διαίρεσης µετρήσεως θα είχαµε αν ζητούσαµε να βρούµε, οι µαθητές της Α Γυµνασίου του χωριού τι µέρος είναι των µαθητών της κωµόπολης, οπότε θα 25 1 βρίσκαµε το =. 75 3 Η διαφορά κλάσµατος και λόγου φαίνεται και από τις λέξεις που χρησιµοποιούµε : τον κ αριθµό όταν πρόκειται για κλάσµα τον διαβάζουµε «κ διά ν», ενώ όταν πρόκειται για ν λόγο «κ προς ν». Στην Άλγεβρα χρησιµοποιούµε τον αριθµό ν κ στην αφηρηµένη του µορφή, χωρίς να µας ενδιαφέρει αν πρόκειται για κλάσµα ή λόγο (συνήθως τον λέµε ) κλάσµα.. Ας σηµειωθεί ότι στην Φυσική πολλά µεγέθη προκύπτουν ορίζονται από δυο άλλα, µε την διαίρεσή τους και χρησιµοποιούµε και εκεί, καταχρηστικά ίσως, τον όρο λόγο, π.χ. Ο λόγος του διαστήµατος προς τον χρόνο δίνει το µέτρο της ταχύτητας, το ηλεκτρικό φορτίο προς τον χρόνο την ένταση του ρεύµατος κλπ. 7. Α.2.4. Πρόσθεση και αφαίρεση κλασµάτων 1. Eπισήµανση του λάθους: Πολλές φορές, ιδίως µετά τον πολλαπλασιασµό των κλασµάτων, ορισµένοι µαθητές προσθέτουν ή και αφαιρούν τα κλάσµατα µε ανάλογο τρόπο. Με παραδείγµατα, όπως τα παρακάτω, τους πείθουµε ότι αυτό δεν είναι σωστό. Η επισήµανση αυτή µπορεί να γίνει και κατά την διδασκαλία της πρόσθεσης και αφαίρεσης κλασµάτων 2 4 6 1 + = =, 3 15 18 3 1 4 + 3 4 = 4 8 = 1 2 2 1 1 = = 1κλπ. 5 4 1 Παρατηρήστε ότι στις προσθέσεις, το άθροισµα είναι προφανώς µικρότερο του ενός προσθετέου, ενώ στην αφαίρεση µεγαλύτερο. 2. Ένας πολύ χρήσιµος λογιστικός αυτοµατισµός που πρέπει να επισηµανθεί στην πρόσθεση και αφαίρεση κλασµάτων είναι να δηµιουργούν τα γινόµενα «σταυρωτά» : π.χ.

3 2 15± 8 ± =, 4 5 20 2 5± 2 1± =, γενικά: 5 5 α γ αδ± βγ ± =. β δ βδ 8. Α.2.6 : ιαίρεση κλασµάτων Εκεί (βιβλίο µαθητή, θυµόµαστε Μαθαίνουµε) αναφέρεται ότι: «Για να διαιρέσουµε δυο φυσικούς αριθµούς αρκεί να πολλαπλασιάσουµε τον διαιρετέο µε τον αντίστροφο του διαιρέτη. α : β = α β 1» Αυτό είναι µεν σωστό αλλά αυθαίρετο διδακτικά, «εκ των άνω», έστω και αν το θυµούνται από το ηµοτικό, και δεν ενδείκνυται για την τάξη αυτή. Κατ αρχήν θα ξεχωρίσουµε την περίπτωση που ο διαιρέτης χωρεί ακριβώς στον διαιρετέο (ευκλείδεια τέλεια διαίρεση). Στην συνέχεια θα παρατηρήσουµε (θυµηθούµε..) την (πολλαπλασιαστική) ιδιότητα του (ακέραιου) πηλίκου. Μετά εξετάζουµε την περίπτωση που ο διαιρέτης δεν χωρεί ακριβώς στον διαιρετέο, οπότε αναζητούµε αριθµό - «πηλίκο» µε ανάλογη ιδιότητα. Αυτόν όµως µας τον προσφέρει η (παραπάνω) παρατήρηση 3 Τέλος θα αναφέρουµε και αυτό που γράφει το βιβλίο και θα επισηµαίνουµε ότι κάθε κλάσµα παριστάνει µια διαίρεση κλπ. 9. Α.5.1 Ποσοστά Είναι χρήσιµο να επισηµανθεί το εξής: Αν η τιµή πώλησης π.χ. ενός πουλόβερ είναι 150 και ο ΦΠΑ 19% τότε για την εύρεση της τιµής αγοράς, αντί να υπολογίσουµε χωριστά τον ΦΠΑ και να προσθέσουµε (όπως γίνεται σ όλα τα παραδείγµατα του σχολικού βιβλίου), µπορούµε να παρατηρήσουµε ότι: 19 19 150 + 150= (1+ ) 150 = 1,19 150 100 100 Εις το εξής λοιπόν απ ευθείας : 150 1,19= (1+0,19 = 1,19). Αυτό ακριβώς γίνεται στην πράξη από τους πωλητές στα καταστήµατα! Όµοια, αν είχαµε έκπτωση π.χ. 20% στην τιµή πώλησης ενός παντελονιού αξίας 65, τότε θα το αγοράζαµε 65 0,80 = 52 (1-0,20 = 0,80) κοκ. 10. Α.7.4 Αφαίρεση ρητών αριθµών Στόχος µας είναι µέσα από παραδείγµατα να δικαιολογήσουµε τον σχετικό κανόνα και να µην τον λάβουµε δεδοµένο εξ αρχής. Για την απαλοιφή παρενθέσεων καλό είναι να διατεθεί χωριστή διδακτική ώρα (ή και 2 ώρες) και να γίνουν αρκετές ασκήσεις. Έχοντας υπόψη την δραστηριότητα της ενότητας Α.7.4 δηµιουργούµε κατ αρχή στον πίνακα (και οι µαθητές στα τετράδια τους) ένα πίνακα µε τις θερµοκρασίες των όλων µηνών. 1. Οµόσηµοι ακέραιοι : Πόσο πιο κρύος είναι ο µήνας Ιούνιος από τον Ιούλιο;

Θα µας πουν (διαισθητικά) 4 βαθµούς, δηλαδή -4, αλλά πια πράξη θα µας το εκφράσει (δηλώσει) αυτό; αφαίρεση (+32) - (+36), δηλαδή (+32) - (+36) = -4. Αλλά και (+32) + (-36) = -4, άρα (+32) - ( +36) = (+32) + ( - 36). (επισηµαίνουµε µε χρωµατιστή κιµωλία την αλλαγή της πράξης και του προσήµου και ότι το -4 εκφράζει την διαφορά της θερµοκρασίας του Ιουλίου από την θερµοκρασία του Ιουνίου) Σηµειώνουµε και εδώ τους όρους Μειωτέος, Αφαιρετέος, ιαφορά και οι µαθητές θα επαληθεύουν ότι η διαφορά = -4. όταν προστεθεί στον αφαιρετέο Α = +36, µας δίνει τον Μειωτέο Μ = +32 (Μ - Α = και Μ = Α +, χρήσιµο στις εξισώσεις) 2. Ετερόσηµοι ακέραιοι Πόσο πιο ζεστός είναι ο Απρίλιος από τον Φεβρουάριο; Όπως προηγουµένως θα καταλήξουµε ότι (+18) - (-4) = +22, άρα (+18) - (-4) = (+18) + ( +4) = +22. Άσκηση: πια είναι η διαφορά θερµοκρασίας του Απριλίου από τον Φεβρουάριο; Κανόνας Γενικά αν α, β ρητοί, τότε α - β = α + ( - β). Ασκήσεις 1. Μια χειµωνιάτικη µέρα η θερµοκρασία µέσα σ ένα σπίτι ήταν 18 ο πάνω από το µηδέν και έξω από αυτό 5 ο κάτω από το µηδέν. Ποια είναι η διαφορά των δυο χώρων; (δυο περιπτώσεις, επισήµανση «του...από»)) 2. Αν από το σηµείο µε τεµηµένη +12 µεταβούµε στο σηµείο µε τετµηµένη +10. Πόσες µονάδες θα έχουµε κινηθεί; 3. Ο δύτης Α (ντώνης) βρίσκεται 5 µέτρα κάτω από την θάλασσα ενώ ο ύτης Β (ασίλης) 2 µέτρα. Πόσα µέτρα πιο πάνω βρίσκεται ο Β; 4. Ένα στρατιωτικό αεροπλάνο µια ορισµένη χρονική στιγµή πετά σε ύψος 1000m και την ίδια στιγµή ένα υποβρύχιο βρίσκεται από κάτω του και σε βάθος 100m. Πόσο πιο κάτω βρίσκεται το υποβρύχιο από το αεροπλάνο; 11. Α.7.5. Πολλαπλασιασµός ακεραίων - ρητών Στόχος µας και εδώ είναι µέσα από παραδείγµατα να δικαιολογήσουµε τον σχετικό κανόνα και να µην τον λάβουµε δεδοµένο εξ αρχής. Α. Ο Πολλαπλασιασµός θετικών ακεραίων ρητών γίνεται «εύκολα κατανοητός» µε απλά προβλήµατα-παραδείγµατα. Β. Για τον πολ/σµό ετεροσήµων και αρνητικών: (εµπλουτισµένη δραστηριότητα του βιβλίου µαθητή µε κύριο στόχο να δικαιολογήσουµε το πρόσηµο + όταν πολλαπλασιάζουµε αρνητικούς) Ένα κατάστηµα χάνει 10 κάθε µέρα που είναι ανοικτό

(- 10) ( + 5) = -50 (- 10) (+ 4) = - 40 (- 10) (+ 3) = - 30 (- 10) (+ 2) = - 20 (- 10) (+ 1) = - 10 (- 10) 0 = 0 (δεν υπάρχει κατάστηµα) (- 10) (- 1) = ; (κατ αναλογία, λέει το βιβλίο, +10...) (- 10) (- 2) = ; (- 10) (- 3) = ; Αν το κατάστηµα αυτό µείνει κλειστό, π.χ. µια µέρα, τι θα συµβεί; Θα χάσει ή θα κερδίσει (- 10) (- 2) = + («θα κερδίσει» ) Κανόνας πολλαπλασιασµού ρητών. 12. υνάµεις ρητών ιδακτική ενότητα Α.7.8.: υνάµεις ρητών µε εκθέτη φυσικό. ιδακτική ενότητα Α.7.9.: υνάµεις ρητών µε εκθέτη ακέραιο. Στον προτεινόµενο προγραµµατισµό (βιβλίο εκπαιδευτικού) για τις ενότητες Α.7.8. και Α.7.9 προβλέπονται 3 ώρες. Πιστεύω ότι καλό είναι ο προγραµµατισµός να γίνει για 4 διδακτικές ώρες: 1 η διδακτική ενότητα : Ορισµός και 2 πρώτες ιδιότητες. 2 η διδακτική ενότητα: Υπόλοιπες 3 ιδιότητες δυνάµεων. 3 η διδακτική ενότητα: υνάµεις ρητών µε εκθέτη ακέραιο. 4 η διδακτική ενότητα: Ασκήσεις επανάληψης, προτεραιότητα των πράξεων κλπ. ΜΕΡΟΣ Β : ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πρακτική- σχεδιαστική Γεωµετρία: άριστο πεδίο άσκησης των πρακτικών διαισθητικών ικανοτήτων των µαθητών, αλλά προπάντων εµπλουτισµού των παραστάσεων των µαθητών για µετέπειτα στήριξη και ανάπτυξης πρακτικής αλλά κυρίως αφηρηµένης σκέψης. Τα γνωστά γεωµετρικά όργανα και υλικά ( χαρτόνι, τετραγωνισµένο χαρτί, ψαλίδι κλπ) οι κατασκευαστικές εργασίες και οι µετρήσεις των µαθητών σε πρώτη προτεραιότητα.

Ευχής έργο θα ταν να δηµιουργηθεί ειδική αίθουσα εποπτικών οργάνων Μαθηµατικών σε κάθε Γυµνάσιο και εκεί να γίνεται η Γεωµετρία. Σε πολλά µαθήµατα καλό είναι να έχουµε υπόψη το παρακάτω µάθηµα (όλα πρέπει να τα έχουµε γενικά υπόψη ), ώστε να δώσουµε στους µαθητές σχετική εργασία ή παραγγελία (πρόβληµα, κατασκευή, υλικά) υποστήριξης του µαθήµατος αυτού. (Ας έχουν υπόψη τους εδώ οι συνάδελφοι τα εποπτικά µέσα που τους παρουσίασα στα πρόσφατα ενηµερωτικά-επιµορφωτικά µαθήµατα) Για οποιαδήποτε ερώτηση ή παρατήρηση µπορείτε να επικοινωνήσετε µαζί µου. Με συναδελφικούς χαιρετισµούς Ο Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών ηµήτριος Ι. Μπουνάκης MSc Mαθηµατικών Εκπαίδευσης - Συγγραφέας