ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΟΜΟΛΟΓΩΝ ΠΡΙΝ ΤΗΝ ΛΗΞΗ ΤΟΥΣ Είναι ένα γεγονός της ζωής ότι η αξία 100 ευρώ διαθέσιμων σήμερα είναι μεγαλύτερη από την αξία των 100 ευρώ διαθέσιμων σε ένα χρόνο από σήμερα. Αν μη τι άλλο, δεν μπορούμε να τα καταναλώσουμε σήμερα ούτε είναι και απολύτως βέβαιο ότι του χρόνου τέτοια ημέρα θα μας είναι διαθέσιμα, όπως μας διαβεβαιώνει αυτός που μας προτείνει αυτήν την εναλλακτική. Ο γεννώμενος τόκος χαρακτηρίζεται σε απλό (simple interest) και σύνθετο λόγω ανατοκισμού (compound interest). Παραδείγματα απλού τοκισμού είναι η λήψη τραπεζικού δανείου 1.000 ευρώ με ετήσιο επιτόκιο 8%. Σε ένα χρόνο από την λήψη του δανείου, το σύνολο του ανεξόφλητου δανείου θα έχει επαυξηθεί σε 1.000 x [1+ (0,08 x 1 )] = 1.000 x 1,08 = 1.080 ευρώ. Σε 6 μήνες από την λήψη του δανείου, το σύνολο του ανεξόφλητου δανείου θα έχει επαυξηθεί σε 1.000 x [ 1+ ( 0,08x )] = 1.000 x 1,04 = 1.040 ευρώ. Σε,5 μήνες από την λήψη του δανείου, το σύνολο του ανεξόφλητου δανείου θα έχει επαυξηθεί σε 1.000 x [ 1+ ( 0,08x, )] = 1.000 x 1,01666 = 1.016,66 ευρώ. Παραδείγματα σύνθετου τοκισμού (δυνάμει ανατοκισμού), είναι η διαδοχική έντοκη τραπεζική κατάθεση 1.000 ευρώ και των συσσωρευμένων και μη αναληφθέντων τόκων. Έστω σύνθετος εκτοκισμός λέγεται ανατοκισμός - 1.000 ευρώ για 3 χρόνια έστω με το ίδιο ετήσιο επιτόκιο 8% για τον 1 ο χρόνο, όσο και για τον ο και τον 3 ο χρόνο. Το συνολικό κεφάλαιο στο πέρας των 3 ετών θα έχει επαυξηθεί σε [((1.000 x 1,08) x 1,08) x 1,08] = 1.000 x 1,08 3 = 1,5971 = 1.59,71 ευρώ. Εάν η τραπεζική κατάθεση ήταν για διαδοχικά 6μηνα, έστω με ετήσιο επιτόκιο 8%, σε ένα χρόνο δηλ. 6μηνα, το συνολικό κεφάλαιο θα έχει ανέλθει σε 1.000 x (1+, ) x 1 = 1.000 x 1,04 = 1.081,60 ευρώ, ενώ σε 3,5 έτη αλληλοδιαδοχικών 6μηνιαίων ανατοκισμών έστω με το ίδιο ετήσιο επιτόκιο 8% για όλα τα επόμενα 3,5 έτη, δηλ. 7 διαδοχικά εξάμηνα, το συνολικό κεφάλαιο θα έχει ανέλθει σε 1.000 x (1+, ) x 3,5 = 1.000 x 1,04 7 = 1.315,93 ευρώ. Ο μαθηματικός τύπος είναι (1 + )m.t. Εάν η τραπεζική κατάθεση ήταν για διαδοχικά 3μηνα, έστω με ετήσιο επιτόκιο 8%, σε ένα χρόνο δηλ. 4 3μηνα, το συνολικό κεφάλαιο θα έχει ανέλθει σε 1.000 x (1+, ) 4 x 1 = 1.000 x 1,0 4 = 1.08,43 ευρώ, ενώ για ¼ έτη, δηλ. 9 διαδοχικά 3μηνα, με ανατοκισμό, έστω με το ίδιο ετήσιο επιτόκιο 8% για τα επόμενα ¼ έτη, το συνολικό κεφάλαιο θα έχει ανέλθει σε 1.000 x (1+, ) 4 x,5 = 1.000 x 1,0 9 = 1.195,09 ευρώ. Έστω ότι επιθυμούμε ο 3μηνος ανατοκισμός να διαρκέσει για 9 μήνες, δηλ. 3 τρίμηνα. Το συνολικό κεφάλαιο θα έχει ανέλθει σε 1.000 x (1+, ) 4 x 9/1 = 1.000 x 1,0 3 = 1.061,1 ευρώ. Έστω ότι επιθυμούμε ο 3μηνος ανατοκισμός να διαρκέσει για 197 ημέρες, δηλ. για τρίμηνα και 17 ημέρεςυπολογίζουμε τον ακριβή αριθμό από τις ημερομηνίες έναρξης και λήξης- τότε υπάρχουν δύο τρόποι υπολογισμού. Ο πρώτος είναι ο υπολογισμός σύνθετου τόκου για τα τρίμηνα και απλός για τις υπολειπόμενες ημέρες. Ο δεύτερος είναι υπολογισμός σύνθετου τόκου για το σύνολο του χρονικού διαστήματος, δηλ. η δύναμη θα είναι. Οι τράπεζες χρησιμοποιούν μάλλον τον πρώτο τρόπο (ούτε και αυτές ξέρουν) αλλά ο δεύτερος είναι πιο ορθός όταν εκτελέσουμε την αντίστροφη πράξη, δηλ. αυτή του υπολογισμού της παρούσας αξίας. Έτσι κι αλλιώς, τα επικρατούντα επιτόκια είναι πολύ μικρά και στην ανάπτυξη του διωνύμου οι παράγοντες του τετραγώνου, του κύβου, κλπ. δεν επηρεάζουν ουσιαστικά το 1
αποτέλεσμα, με συνέπεια και οι δύο τρόποι να δίδουν παρόμοιο αποτέλεσμα σε δύο δεκαδικά ψηφία τουλάχιστον. (1+r) n = 1 + n.r + ().r +.().(). r 3 +!! A τρόπος : 1.000 x (1+, ) 4 x 6/1 + 1.000 x (0,08 x ) = 1.000. 1,0 + 1.000 x 0,00376 = = 1.040,40 + 3,73 = 1.044,13 ευρώ. B τρόπος : 1.000 x (1+, ) 4 x 197/365 = 1.043,68 ευρώ, περίπου ίσα. Εάν η τραπεζική κατάθεση και ο αλληλοδιαδοχικός ανατοκισμός του αρχικού κεφαλαίου και του συσσωρευόμενου τόκου είναι 1 ημέρα, τότε σε έναν χρόνο, το συνολικό κεφάλαιο των 1.000 ευρώ θα έχει επαυξηθεί με τους επανεκτοκισθέντες και μη αναληφθέντες τόκους, σε 1.000 x (1 +, ) 365 x 1 = 1.083,8 ευρώ. Το όριο του μαθηματικού τύπου (1 + )m.t όταν το m τείνει στο άπειρο είναι ο γνωστός τύπος 1.000.e r.t όπου e=,7188, που είναι και το μέγιστο ποσό που καταφέρνει να αποκτήσει. Έτσι, εάν θεωρήσουμε ανατοκισμό ανά απειροελάχιστο χρονικό διάστημα, το αρχικό κεφάλαιο θα έχει επαυξηθεί στα 1.000. e 0,08 x 1 = 1.083,9 ευρώ. Σχηματικά, η σταδιακή αύξηση του συσσωρευμένου ανατοκιζόμενου αρχικού κεφαλαίου μαζί με τους ανατοκιζόμενους τόκους όσο μικραίνει η χρονική περίοδος ανατοκισμού από 1 έτος στα 6μηνα, στα 4 τρίμηνα, στους 1 μήνες και τελικά στο απειροελάχιστο χρονικό διάστημα που κατορθώνεται η ψηλότερη τιμή που θα μπορούσε να υπάρξει, διαφαίνεται διαχρονικά στο παρακάτω γράφημα:
Τα ΟΜΟΛΟΓΑ υπόσχονται να δώσουν τοις μετρητοίς την ονομαστική τους αξία την ημερομηνία λήξης τους, και είτε δεν δίδουν καθόλου τόκο ονομάζονται zero-coupon bonds- είτε δίδουν τόκο σε 6μηνιαία βάση μέχρι να λήξουν. Έστω ότι επιθυμούμε να αγοράσουμε ένα ετήσιο zero-coupon bond ονομαστικής αξίας 1.000 ευρώ ακριβώς την ημερομηνία της έκδοσής του. Πόσο θα ήμασταν διατεθειμένοι να πληρώσουμε για το αγοράσουμε, δεδομένου ότι με την πάροδο του ενός έτους θα εισπράξουμε 1.000 ευρώ; Αυτό ΕΞΑΡΤΑΤΑΙ από την ΕΠΙΘΥΜΗΤΗ ΜΑΣ ΕΤΗΣΙΑ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΑ ΑΠΟΔΟΣΗ δηλ. πόσο τοις εκατό απόδοση μπορούμε να κατορθώσουμε σε άλλη επένδυση του ιδίου βαθμού κινδύνου/ρίσκου. Έστω, ότι με το ίδιο ρίσκο, θα μπορούσαμε να καταφέρουμε να εισπράξουμε σε ένα χρόνο 1.060 ευρώ στα 1.000 ευρώ που θα καταβάλλαμε σήμερα, δηλ. απαιτούμενη ποσοστιαία ετήσια απόδοση (required annual yield)... = 0,07 δηλ. 7%. Τότε, η ανώτατη οριακή τιμή με την οποία εμείς οι συγκεκριμένοι θα σκεπτόμασταν να αγοράζαμε σήμερα το συγκεκριμένο ετήσιο zero-coupon bond θα ήταν 1.000 = P. (1+0,07) 1 δηλ. P =.. = = 934,58 ευρώ. Ανεξάρτητα από το τι λέει το ταμπλώ του Χρηματιστηρίου για την τιμή (,), πώλησής του, εμείς οι συγκεκριμένοι που για ομοίου κινδύνου επένδυση απαιτούμε ελάχιστη ετήσια ποσοστιαία απόδοση 7%, θα ήμασταν διατεθειμένοι να αγοράζαμε σήμερα το συγκεκριμένο ετήσιο zerocoupon bond προς 934,58 ευρώ το ανώτατο αφού θεωρούμε ότι υπάρχουν στην αγορά καλύτερες αποδόσεις ομοίου κινδύνου. Εάν η τιμή πώλησής του είναι έως και 934,58 ευρώ, τότε θα σκεπτόμασταν να το αγοράζαμε. Εάν η τιμή πώλησής του είναι υψηλότερη αυτής, τότε κοιτάμε αλλού Έστω ότι το αγοράσαμε καταβάλλοντας το ποσό των 934,58 ευρώ και αναμένουμε σε έναν ακριβώς χρόνο να εισπράξουμε 1.000 ευρώ δηλ. κέρδος (1.000 934,58 =) 65,4 ευρώ δηλ. ετήσια ποσοστιαία απόδοση επί του κόστους κτήσης,, = 0,07 δηλ. 7 %. Όμως, ύστερα από 6 μήνες επιθυμούμε να μεταπωλήσουμε αυτό το άληκτο ακόμα zero-coupon bond. Δεδομένου ότι η απαιτούμενη από εμάς ετήσια ποσοστιαία απόδοση παραμένει στο 7%, ποια θα ήταν η ελάχιστη τιμή που θα δεχόμασταν να μεταπωλήσουμε το ομόλογο αυτό; Η πρώτη σκέψη που έρχεται στο δικό μου μυαλό είναι, ότι αφού σε ένα χρόνο θα κερδίσω 65,4 ευρώ, σε ένα εξάμηνο θα έχω ήδη συσσωρεύσει το ήμισυ αυτού, δηλ., = 3,71 ευρώ. Θα απαιτήσω δηλ. (934,58 + 3,71 =) 967,9 ευρώ, το οποίο ποσό υπολογίζεται με τον εκτοκισμό μισού έτους με απλό τόκο, δηλ. 934,58 x (1 + 0,07 x ) = 934,58 x (1 + 0,035) = 967,9 ευρώ. Δυστυχώς, η πρώτη αυτή σκέψη δεν είναι η ορθή. Μην ξεχνούμε ότι ο μεν διαχρονικός τραπεζικός δανεισμός υπολογίζεται με απλό τόκο αλλά η διαχρονική απόδοση μίας επένδυσης, δεδομένου του ανατοκισμού, υπολογίζεται με σύνθετο! Δηλαδή, εάν ο υποψήφιος αγοραστής αυτού του zero-coupon bond αναλάμβανε έντοκο τραπεζικό δάνειο ύψους 934,58 ευρώ με ετήσιο επιτόκιο 7%, τον ίδιο χρόνο που αγοράσαμε εμείς αυτό το ετήσιο zero-coupon bond την ημερομηνία έκδοσής του, επένδυε τα χρήματα αυτά για 6 μήνες με ετήσιο επιτόκιο 7%, σε 6 μήνες θα είχε απόδοση 934,58 x (1+ 0,07 x ) = 934,58 x (1 + 0,035) = 967,9 ευρώ. Ανατοκίζοντας το ποσό αυτό για άλλους 6 μήνες θα κατόρθωνε να επαυξήσει την συνολική του επένδυση σε 967,9 x (1+ 0,07 x ) = 967,9 x (1 + 0,035) = 1.001,14 ευρώ. Θα ξεπλήρωνε το τραπεζικό δάνειό του, το οποίο θα είχε φθάσει ύστερα από 1 έτος στα 934,58 x (1+0,07) 1 = 1.000 ευρώ και συνεπώς θα του έμενε κέρδος 1,14 ευρώ. Σωρεία επενδυτών θα έκανε το ίδιο πιέζοντας το τοιουτοτρόπως προκύπτον κέρδος στο μηδέν (arbitrage free condition) αφού ο κίνδυνος/ρίσκο του συγκεκριμένου ομολόγου παραμένει αμετάβλητος. Συνεπώς, εσφαλμένως εφαρμόσθηκε ο υπολογισμός του απλού τόκου, και έπρεπε να εφαρμοσθεί ο υπολογισμός του σύνθετου τόκου. Το εφαρμοζόμενο ετήσιο επιτόκιο εξευρίσκεται ως παρακάτω: 934,58 x (1+ ) x 1 = 1.000 ευρώ, και συνεπώς r = 0,0688 δηλ. 6,88%. 3
Η τιμή με την οποία θα συνέφερε τον υποψήφιο αγοραστή να αγοράσει το συγκεκριμένο zero-coupon bond στο μισό της «ζωής» του είναι 966,73 ευρώ λίγο λιγότερο από τα 967,9 ευρώ που υπολογίσαμε πιο πάνω. Διότι: 934,58 x (1 +, ) x ½ = 934,58 x (1 + 0,0344) 1 = 934,58 x 1,0344 = 966,73 ευρώ. Εκτοκίζοντας το σύνολο αυτό πάλι για μισό έτος, βρίσκουμε 966,73 x (1 +, ) x ½ = 966,73 x (1 + 0,0344) 1 = 966,73 x 1,0344 = 1.000 ευρώ. Η εύλογη τιμή μεταπώλησης του zero-coupon bond πριν την λήξη του είναι λοιπόν η ΠΑΡΟΥΣΑ ΑΞΙΑ των 1.000 ευρώ μισό χρόνο πριν την λήξη του με την απαιτούμενη ετήσια ποσοστιαία απόδοση 0,0688 ή 6,88%,. δηλ. =. = 966,74 ευρώ. ) / (,) (, Απότοκο του παραπάνω πορίσματος είναι ότι όσο παρέρχεται ο χρόνος και πλησιάζει η ημερομηνία λήξης (ωρίμανσης, maturity) ενός ομολόγου, είτε έχοντος κουπόνια είτε όχι, τόσο περισσότερο πλησιάζει και η εύλογη αξία μεταπώλησής του στην ονομαστική του αξία, αφού η παρούσα αξία των χρηματοροών πλησιάζει την ονομαστική αξία του ομολόγου. Στην πραγματικότητα βέβαια, οι απαιτούμενες ποσοστιαίες ετήσιες αποδόσεις των επενδυτών στην αγορά ομολόγων συμπεραίνονται από τις κρατούσες τιμές μεταπώλησης. Η αγορά δηλαδή θα έδειχνε 966,74 ευρώ αξία μεταπώλησης, και η ετήσια ποσοστιαία απόδοση που θα απαιτείτο από τους πάρα πολλούς επενδυτές έχοντας εκμηδενίσει τυχόν κέρδη arbitrage θα υπολογιζόταν στο 6,88%. Ένα παράδειγμα για την εκτίμηση των διαχρονικών απαιτούμενων ποσοστιαίων ετήσιων αποδόσεων είναι το παρακάτω: Έστω ότι υπάρχουν στην αγορά ταυτόχρονα τα παρακάτω τρία κρατικά ομόλογα, δηλ. ομοίου μεταξύ τους κινδύνου/ρίσκου, ονομαστικής αξίας 1.000 ευρώ και δίδοντας τόκο σε εξαμηνιαία βάση: Το 1 ο είναι ετήσιο με ονομαστικό επιτόκιο 7% κατ έτος, το ο είναι διετές με ονομαστικό επιτόκιο 6% κατ έτος και το 3 ο τριετές με ονομαστικό επιτόκιο 5% κατ έτος. Οι τιμές ελεύθερης αγοράς τους από τους επενδυτές έχουν παρατηρηθεί ως εξής: Η ελεύθερα διαπραγματεύσιμη τιμή αγοράς του 1 ου κατεγράφη στα 1.040 ευρώ, του ου στα 1.00 ευρώ και του 3 ου στα 976 ευρώ. Οι παραπάνω τιμές είναι και οι παρούσες αξίες των χρηματοροών του κάθε ομολόγου, υπολογιζόμενη με διαφορετική απαιτούμενη από τους επενδυτές ποσοστιαία ετήσια απόδοση η κάθε μία, η οποία και υπολογίζεται εύκολα σε φύλλο excel και την συνάρτηση της «εσωτερικής αποδόσεως» -IRR. Καταγράφοντας τις χρηματοροές: 1 ο κρατικό ομόλογο-ετήσιο: Χρονική στιγμή Ποσό 0 (1.040) 0,5 35 = 1.000 x 7% x 1 1.035 = 35+1.000 6μηνιαία απαιτούμενη ποσοστιαία απόδοση -IRR 1,456% Ετήσια απαιτούμενη ποσοστιαία απόδοση -πλάσια του ανωτέρω,914% 4
ο κρατικό ομόλογο διετές : Χρονική στιγμή Ποσό 0 (1.00) 0,5 30 5 = 1.000 x 6% x 1 30 1,5 30 1.030 = 30+1.000 6μηνιαία απαιτούμενη ποσοστιαία απόδοση -IRR,4687% Ετήσια απαιτούμενη ποσοστιαία απόδοση -πλάσια του ανωτέρω 4,9375% 3 ο κρατικό ομόλογο τριετές : Χρονική στιγμή Ποσό 0 (976) 0,5 5 = 1.000 x 5% x 1 5 1,5 5 5,5 5 3 1.05 = 5+1.000 6μηνιαία απαιτούμενη ποσοστιαία απόδοση -IRR,94% Ετήσια απαιτούμενη ποσοστιαία απόδοση -πλάσια του ανωτέρω 5,8844% Με τον ανωτέρω τρόπο συμπεραίνονται οι απαιτούμενες από τους επενδυτές ετήσιες ποσοστιαίες αποδόσεις για διάφορα χρονικά διαστήματα. Και τώρα ένα περιπλοκότερο και ταυτόχρονα ρεαλιστικότερο πρόβλημα. Έστω την 1-5-018 εκδίδεται ένα 7ετές εταιρικό ομόλογο (δηλ. λήγον την 30-4-08) ονομαστικής αξίας 100.000 ευρώ με ετήσιο επιτόκιο 6% που δίδει τόκο ανά 6 μήνες. Δηλαδή, οι προκύπτουσες εισπράξεις/εξαργυρώσεις των κουπονιών του ανωτέρω εταιρικού ομολόγου είναι οι παρακάτω: Ημερομηνία Χρονική στιγμή Ποσά σε ευρώ 1-5-018 0 0,00 31-10-018 0,5 3.000,00 = 100.000 x 0,06 x 30-4-019 1 3.000,00 31-10-019 1,5 3.000,00 30-4-00 3.000,00 31-10-00,5 3.000,00 30-4-01 3 3.000,00 31-10-01 3,5 3.000,00 30-4-0 4 3.000,00 31-10-0 4,5 3.000,00 30-4-03 5 3.000,00 31-10-03 5,5 3.000,00
30-4-04 6 3.000,00 31-10-04 6,5 3.000,00 30-4-05 7 103.000,00 = 100.000 + 3.000,00 Ζητείται να εξευρεθεί η εύλογη τιμή αγοράς/μεταπώλησης (και αποτίμηση για θέματα κατάρτισης ισολογισμών) την 31-1-01. Πρέπει να υπολογίσουμε την παρούσα αξία των χρηματικών ροών από την 30-4-0 έως και την 30-4-05 κατά την 31-1-01. Θα ακολουθήσουμε τον Β τρόπο (σελ. ). Τώρα πρέπει να βρούμε την ετήσια ποσοστιαία απόδοση που απαιτούν οι επενδυτές για τις χρηματοροές αυτού του συγκεκριμένου ομολόγου, για κάθε μία χρηματοροή που θα εισπράττεται κατά τις αναφερόμενες ως άνω χρονικές στιγμές. Ρεαλιστικά, η απαιτούμενη ποσοστιαία απόδοση δεν είναι ενιαία. Λογικό είναι όσο απομακρύνεται στο χρόνο η υποσχεθείσα είσπραξη, τόσο να αυξάνεται ο κίνδυνος ενδεχόμενης μη είσπραξής της και συνεπώς η ποσοστιαία απόδοση. Δηλαδή, η απαιτούμενη από τους επενδυτές ποσοστιαία απόδοση για μία είσπραξη σε έναν χρόνο από σήμερα είναι έστω x% κατ έτος, η απαιτούμενη ποσοστιαία απόδοση για μία είσπραξη που θα έρθει σε χρόνια από σήμερα, έστω ψ% κατ έτος, θα είναι μεγαλύτερη του χ%, ενώ η απαιτούμενη ποσοστιαία απόδοση για μία είσπραξη που θα έρθει σε 3 χρόνια από σήμερα, έστω ω% κατ έτος, λογικά θα είναι μεγαλύτερη της ψ% κατ έτος. Όντως, συνηθέστατα η χρονική διάρθρωση των αποδόσεων των ετήσιων, διετών, τριετών, τετραετών, κλπ. κρατικών ομολόγων, που θεωρούνται παντελώς ακίνδυνα (λέμε τώρα μετά το PSI ), παρουσιάζει «ανοδική» τάση με συνεχώς μειούμενες αυξήσεις, δηλ. της παρακάτω μορφής με κάθετο άξονα τις απαιτούμενες αποδόσεις για 1 χρόνο από σήμερα (r 0,1 ), για χρόνια από σήμερα (r 0, ), για 3 χρόνια από σήμερα (r 0,3 ), για 4 χρόνια από σήμερα (r 0,1 ) κλπ., και στον οριζόντιο άξονα 1 έτος, έτη, 3 έτη, 4 έτη, κ.ο.κ.: Έχει παρατηρηθεί και η μειούμενη «καθοδική» πορεία, δηλ. για την αγορά ενός πχ. 5ετούς κρατικού ομολόγου, οι επενδυτές απαιτούν πχ. % ετήσια ποσοστιαία απόδοση για 5 έτη ανατοκιζόμενο, ενώ για την αγορά ενός ετούς κρατικού ομολόγου απαιτούν 4% ετήσια ποσοστιαία απόδοση ανατοκιζόμενο. Αυτό εξηγείται στο ότι οι επενδυτές αναμένουν επιβράδυνση/ύφεση της οικονομίας στο μέλλον και εκτιμούν ότι η κεντρική τράπεζα θα μειώσει στο μέλλον τα επιτόκια ως μέτρο αναζωογόνησης της οικονομίας. Έχει παρατηρηθεί ορισμένες φορές. Όταν οι μελλοντικές προβλέψεις των επενδυτών για την οικονομία αλλάζουν από ομαλή αναπτυσσόμενη οικονομία με ανοδική καμπύλη επιτοκίων σε ύφεση με καθοδική καμπύλη επιτοκίων, η καμπύλη επιτοκίων παρατηρείται επίπεδη την στιγμή της αλλαγής, και για μικρό χρονικό διάστημα. Καταγράφεται η παρατηρούμενη χρονική διάρθρωση των επιτοκίων των Κρατικών Ομολόγων την χρονική στιγμή 31-1-01, την στιγμή που επιθυμούμε την αποτίμηση για σκοπούς κατάρτισης ισολογισμού, και που ισούται με την εύλογη τιμή αγοραπωλησίας του εταιρικού αυτού ομολόγου. Τα κρατικά ομόλογα δεν 6
ακολουθούν τα ημερολογιακά έτη, αφού εκδίδονται τυχαίες ημερομηνίες, αλλά κάπου πρέπει να κάνουμε και κάποιες παραδοχές και να αποδεχθούμε κάποιες προσεγγίσεις. ΕΤΗΣΙΟ επιτόκιο για την χρονική περίοδο από την 30-4-0 έως την 31-10-0, 0,5 έτη, r o, 0,5 4,00 % ΕΤΗΣΙΟ επιτόκιο για την χρονική περίοδο από την 30-4-0 έως την 30-4-03, 1 έτος, r 0, 1 4,80 % ΕΤΗΣΙΟ επιτόκιο για την χρονική περίοδο από την 30-4-0 έως την 31-10-03, 1,5 έτη, r 0, 1,5 5,50 % ΕΤΗΣΙΟ επιτόκιο για την χρονική περίοδο από την 30-4-0 έως την 30-4-04, έτη, r 0, 6,00 % ΕΤΗΣΙΟ επιτόκιο για την χρονική περίοδο από την 30-4-0 έως την 31-10-04,,5 έτη, r 0,,5 6,40 % ΕΤΗΣΙΟ επιτόκιο για την χρονική περίοδο από την 30-4-0 έως την 30-4-05, 3 έτη r 0, 3 6,70 % Επίσης, έστω ότι διάφοροι Οίκοι Αξιολόγησης έχουν δημοσιεύσει προσαυξήσεις των ακίνδυνων θεωρητικά επιτοκίων των Κρατικών Ομολόγων για διάφορες διαβαθμίσεις εταιρικών ομολόγων που αντικατοπτρίζουν τον ενεχόμενο κίνδυνο. Έστω ότι οι δημοσιευθείσες προσαυξήσεις αυτές έχουν ως παρακάτω: Βαθμολόγηση ΑΑΑ + 0,950 % Βαθμολόγηση ΑΑ + 1,800 % Βαθμολόγηση Α +,050 % Βαθμολόγηση ΒΒΒ +,500 % Βαθμολόγηση ΒΒ + 3,100 % Βαθμολόγηση Β + 3,700 % Βαθμολόγηση CCC + 4,00 % και έστω ότι η εν λόγω εταιρεία έχει λάβει βαθμολογία Α, που υποδεικνύει προσαύξηση +,050 %. Επιπλέον, στην αγορά διαφαίνεται ότι οι επενδυτές δίδουν λίγο μεγαλύτερη προσαύξηση στα εφαρμοζόμενα επιτόκια για μακρύτερα χρονικά διαστήματα. Δηλαδή, δεν προσθέτουν το ποσό,050% σε όλα τα επιτόκια των κρατικών ομολόγων αλλά έστω για τα επιτόκια r 0,,5 και r 0, 3 θα δώσουν μία μεγαλύτερη προσαύξηση, αυτή της αμέσως επόμενης κατηγορίας ΒΒΒ, δηλ. +,500% ως πιο ρεαλιστική προσέγγιση του κινδύνου μίας ιδιωτικής εταιρείας. Θα υπολογίσουμε πρώτα την ΠΑΡΟΥΣΑ ΑΞΙΑ των ως άνω χρηματοροών με τα ως άνω προσαυξημένα επιτόκια στην ημερομηνία 30-4-0 που θα εισπραχθεί το 6μηνιαίο κουπόνι των 3.000 ευρώ, και στην συνέχεια θα υπολογίσουμε την ΠΑΡΟΥΣΑ ΑΞΙΑ της ούτως υπολογισθείσας Παρούσας Αξίας την 31-1-01, δηλ. 4 μήνες πριν. Ημερομηνία Χρονική στιγμή Εισπραχθησόμενο ποσό ανά εξάμηνο Εφαρμοζόμενο ETHΣIO επιτόκιο Μαθηματικός τύπος Παρούσα αξία στην χρονική στιγμή 0 30-4-0 0 3.000,00 1 3.000,00 31-10-0 0,5 3.000,00 0,040 + 0,005= 0,0605.911,91 (, ), 30-4-03 1 3.000,00 0,048 + 0,005= 0,0685 1.804,59 (1 + 0,0685 ) 7
31-10-03 1,5 3.000,00 0,055 + 0,005= 0,0755 1.684,37 (1 + 0,0755 ), 30-4-014 3.000,00 0,060 + 0,005= 0,0805 1.561,95 (1 + 0,0805 ) 31-10-04,5 3.000,00 0,064 + 0,050= 0,0890 1.413,1 (1 + 0,0890 ), 30-4-05 3 103.000,00 0,067 + 0,050= 0,090 1 78.640,65 (1 + 0,090 ) 30-4-0 95.016,61 Τώρα μένει μόνο να υπολογίσουμε την ΠΑΡΟΥΣΑ ΑΞΙΑ της ως άνω υπολογισθείσης παρούσης αξίας των 95.016,61 ευρώ κατά την επιθυμητή ημερομηνία της 31-1-01, με το ετήσιο επιτόκιο που επικρατούσε την περίοδο 31-1-01 έως και 30-4-0 δεν υπάρχουν ετήσια επιτόκια για όποια χρονικά διαστήματα δεήσει να ζητήσει κάποιος, αναγκαστικά γίνονται προσεγγίσεις. Έστω το επικρατούν ετήσιο επιτόκιο ήταν 3,85% και προσαυξημένο με την προσαύξηση για εταιρεία βαθμολογίας Α +,050% γίνεται 0,0590 ή 5,9% ετήσιο επιτόκιο. Τότε, η ΠΑΡΟΥΣΑ ΑΞΙΑ την 31-1-01, υπολογιζόμενη με τον Β τρόπο, είναι :., (, )/ = 93.19,71 ευρώ. 8