L'ELEGANZA NEI PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO

L'ELEGANZA NEI PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO Prof. Fbio Bred Abstrct. Lo scopo di questo rticolo è dimostrre le elegntissime formule crtesine dei quttro punti notevoli del tringolo. Il bricentro, l'incentro, il circocentro e l'ortocentro sono punti del tringolo che tutti gli studenti conoscono molto bene. Ci sono delle formule per determinrne le loro coordinte crtesine molto elegnti che sono meno note e che in questo rticolo dimostrerò. Dto il tringolo ABC in gur con Ax A ; y A ), Bx B ; y B ) e Cx C ; y C ), BC, b AC e c AB i tre lti e α, β e γ i tre ngoli in A, B e C, xa + x B + x C G A + y B + y C BARICENTRO 3 3 xa + bx B + cx C I xa sin α + x B sin β + x C sin γ K sin α + sin β + sin γ ; y A + by B + cy C ) INCENTRO A sin α + y B sin β + y C sin γ sin α + sin β + sin γ xa tn α + x B tn β + x C tn γ O A tn α + y B tn β + y C tn γ tn α + tn β + tn γ tn α + tn β + tn γ CIRCOCENTRO ORTOCENTRO Si not subito un strordinri similitudine di form delle quttro formule. L formul e l dimostrzione del bricentro sono note tutti in qunto riportt in tutti i libri di testo, procedimo invece dimostrre le ltre tre. 1

1 L'INCENTRO Dto il tringolo ABC in gur con Ax A ; y A ), Ax B ; y B ) e Ax C ; y C ) vertici del tringolo, Dx D ; y D ) piede dell bisettrice sul lto AC, Ix I ; y I ) incentro del tringolo, Hx H ; y H ) piede dell perpendicolre condott d B l lto AC e Kx K ; y K ) piede dell perpendicolre condott d I l lto AC. Chimimo AB c, AC b e BC i lti del tringolo. Per il teorem delle bisettrici possimo dire che AD DC AB BC c AD. M vle nche DC x D x A x C x D per il teorem di Tlete, quindi, confrontndo i due risultti, ottenimo x D x A x C x D c x D x A + cx C + c in modo nlogo possimo ricvre l'ordint di D e quindi concludere che x D x A + cx C c y D y A + cy C + c Si osserv, poi, che BH risult essere l'ltezz del tringolo ABC e quindi, chimt A l're di ABC, si h che BH A. Si osserv nche che IK è il rggio dell circonferenz inscritt l tringolo b e quindi, chimto p il perimetro di ABC si h IK A. I tringoli BHD e IKD sono simili e quindi p vle BD ID BH IK A b : A p p b. Or BI BD ID BD ID ID ID 1 p b 1 p b + c b b Per il teorem di Tlete vle BI ID x I x B quindi, confrontndo i due risultti ottenimo x D x I x I x B + c x D x I b x I + c)x D + bx B

or sostituendo i vlori ci x D trovti sopr ottenimo: x I + c)x D + bx B xa + cx C + c) + c ) + bx B x I x A + bx B + cx C Si procede in modo nlogo per trovre nche l'ordint dell'incentro concludendo così che x I x A + bx B + cx C cioè y I y A + by B + cy C xa + bx B + cx C I ; y ) A + by B + cy C IL CIRCOCENTRO Dto il tringolo ABC in gur con A, B, C, M, S, K, P come in gur, AB c, AC b e BC i lti del tringolo ed α, β e γ i tre ngoli in A, B e C. Cerchimo le coordinte del circocentro che risult essere il punto di intersezione degli ssi dei lti del tringolo e nche il centro dell circonferenz circoscritt l tringolo. Comincimo osservndo che l'ngolo COB misur α poichè è un ngolo l centro che insiste sull cord CB e quindi è il doppio dell'ngolo CAB α che un suo corrispondente ngolo ll circonferenz. Quindi l'ngolo P KB misur α poichè il tringolo CKB è isoscele. L'ngolo SKP misur β in qunto il tringolo SKP è simile l tringolo MSB. Quindi P S P B KP tn β KP tn α tn β tn α tn β tn α risultti bbimo che x P x S x B x P. Per il teorem di Tlete P S P B x P x S x B x P e d quest uguglinz ottenimo 3 e confrontndo i due

Or si osserv che KP x S x Btn α tn β) + x C tn α + tn β) tn α, questo perchè l're del tringolo CKB l si può clcolre si con tn α l formul 1 CK sin α si con l formul 1 KP. Quindi KP CK sin α. M CK è il rggio dell circonferenz circoscritt l tringolo e quindi per un not formul CK bc 4A ABC e si può clcolre con l formul A 1 bc sin α. Dunque KP CK sin α c tn γ In modo nlogo posso ricvre KM Or, SK KP cos β sin α b c 16A tn α SK. Si osserv, quindi, che tn α cos β KM di Tlete SK KM x S x K e confrontndo i due risultti bbimo che x S x K x K x M x K x M quest uguglinz ottenimo x K cx S tn α cos β + x M tn γ c tn α cos β + tn γ con A re del tringolo tn γ, mentre per il teorem c tn α cos β tn γ c tn α cos β e d Ricordndo il vlore di x S ottenuto sopr e che x M x A + x B e sostituendo ottenimo l formul nle: c xbtn α tn β) + x C tn α + tn β) tn α cos β + xa + x B x K tn α c tn α cos β + tn γ tn γ x A tn γ) + x B c tn α cos β + tn γ c sin β) + x C c sin β + c tn α cos β) c tn α cos β + tn γ Quest formul fornisce l'sciss del circocentro del tringolo noti i lti e gli ngoli, m risult essere evidentemente un po' compless. Vedimo, però, che può essere decismente semplict e che risulterà ll ne molto elegnte. Comincimo dividendo numertore e denomintore per c e sostituendo c sin α sin γ seni; si ottiene: x K sin α x A cos γ + x B tn α cos β + sin α ) cos γ sin β + x C sin β + tn α cos β) tn α cos β + sin α cos γ Or moltiplichimo numertore e denomintore per cos α cos γ e ottenimo: per il teorem dei x K x A sin α + x B sin α cos β cos γ + sin α sin β cos α cos γ) + x C sin β cos α cos γ + sin α cos β cos γ) 4 sin α cos β cos γ + sin α Or sfruttimo le formule di Werner e ottenimo: cos β cos γ cosβ + γ) + cosβ γ) cosπ α) + cosβ γ) cos α + cosβ γ) sin β cos γ sinβ + γ) + sinβ γ) sinπ α) + sinβ γ) sin α + sinβ γ) 4

e sostituendo, numertore ottenimo x K x A sin α + x B [ sin α cos α + sin α cosβ γ) + sin α sin α cos α cos α sinβ γ)] + + x C [ sin α cos α + cos α sinβ γ) sin α cos α + sin α cosβ γ)] e denomintore Or, sempre grzie Werner, sin α cos α + sin α cosβ γ) + sin α sin α cosβ γ) sinβ + γ) cosβ γ) 1 sin β + 1 sin γ cos α sinβ γ) cosβ + γ) sinβ γ) 1 sin γ 1 sin β e quindi sostituendo si numertore che denomintore si ottiene: x K x A sin α + x B sin β + x C sin γ sin α + sin β + sin γ e, poichè il procedimento è nlogo per le ordinte, xa sin α + x B sin β + x C sin γ K A sin α + y B sin β + y C sin γ sin α + sin β + sin γ sin α + sin β + sin γ 3 L'ORTOCENTRO Dto il tringolo ABC in gur e con le stesse notzioni sopr. HB HA tn α tn β Possimo osservre che HC HB tn β e che HC HA tn α quindi HB. Per il teorem di Tlete HA x B x H e confrontndo le due uguglinze ottenimo x H x A x B x H tn α x H x B tn β + x A tn α x H x A tn β tn β + tn α 5

I tringoli CKO e CHB sono simili quindi l'ngolo COK β e così nche l'ngolo AHO β. Grzie questo possimo dire che CO OH CH OH 1 AH tn α 1 tn α tn β 1. Per il teorem di AH tnπ/ β) Tlete CO OH x C x O e confrontndo le due uguglinze ottenimo x O x H x C x O tn α tn β 1 x O x C + x H tn α tn β 1) x O x H tn α tn β e sostituendo il vlore di x H sopr trovto x O x C + x H tn α tn β 1) tn α tn β x C + x B tn β + x A tn α tn α tn β 1) tn β + tn α tn α tn β x A tn αtn α tn β 1) + x B tn βtn α tn β 1) + x C tn α + tn β) tn α tn βtn α + tn β) dividendo numertore e denomintore per tn α tn β 1 si ottiene per l formul dell'ddizione tn α + tn β x A tn α + x B tn β + x C tn α tn β 1 x O tn α + tn β tn α tn β tn α tn β 1 per chiudere l dimostrzione bst osservre che tn α + tn β tnα + β) tnπ γ) tn γ quindi: tn α tn β 1 x O x A tn α + x B tn β + x C tn γ tn α tn β tn γ tn α tn β tn γ tn α tnα + γ) tn γ tn α tnα + γ) tn γ + tnα + γ) tnα + γ) tnα + γ) tn α tn γ 1 + 1) tnα + γ) tn α tn γ 1) tnα + γ) tn α + tn γ tnα + γ) tn α + tn β + tn γ relzione che sembr strn m è ver e che ci port concludere che x O x A tn α + x B tn β + x C tn γ tn α + tn β + tn γ e per nlogi delle ordinte xa tn α + x B tn β + x C tn γ O A tn α + y B tn β + y C tn γ tn α + tn β + tn γ tn α + tn β + tn γ 6