ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΙΙ

ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΕΙΩΝ ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΙΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΜΑΖΑΣ ΑΓΩΓΗ (3) Νυμφοδώρα Παπασιώπη Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-

. Αγωγή. ΑΓΩΓΗ (). Γενική εξίσωση ενέργειας για την αγωγή.. Εξίσωση αγωγής ερμότητας σε επίπεδο τοίχωμα.. Εξίσωση αγωγής ερμότητας σε κύλινδρο μεγάλου μήκους..3 Εξίσωση αγωγής ερμότητας σε σφαίρα..4 Εξισώσεις μονοδιάστατης αγωγής (ανακεφαλαίωση). Οριακέςκαιαρχικέςσυνήκεςγιατιςεξισώσειςαγωγής.3 Μονοδιάστατη αγωγή σε μόνιμη κατάσταση χωρίς παραγωγή ερμότητας.3. Επίπεδο τοίχωμα.3. Κυλινδρικό τοίχωμα.3.3 Σφαιρικό τοίχωμα.4 Μεταβαλλόμενη αγωγιμότητα Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-

. Αγωγή (). ΑΓΩΓΗ ().5 Σύνετα τοιχώματα - Άροιση αντιστάσεων.5. Αναλογία αγωγής ερμότητας αγωγής ηλεκτρικού ρεύματος.5. Άροιση αντιστάσεων σε επίπεδο τοίχωμα.5.3 Άροιση αντιστάσεων σε κυλινδρικό τοίχωμα.5.4 Κρίσιμο πάχος κυλινδρικού ή σφαιρικού τοιχώματος.5.5 Γενικευμένο δίκτυο αντιστάσεων Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-3

. Αγωγή (3). ΑΓΩΓΗ (3).6 Μονοδιάστατη αγωγή ερμότητας με σύγχρονη παραγωγή.6. Παραγωγή σε επίπεδο τοίχωμα.6. Παραγωγή σε κυλινδρικό τοίχωμα.7 Πολυδιάστατη αγωγή ερμότητας σε μόνιμη κατάσταση.7. Συντελεστής μορφής.7. Γραφικές λύσεις.7.3 Αριμητικές λύσεις Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-4

. Αγωγή (3).6 Αγωγή με σύγχρονη παραγωγή Παραγωγή ενέργειας σε στερεό υλικό έχουμε όταν μία μορφή ενέργειας μετατρέπεται σε ερμότητα. Π.χ. Όταν γίνεται χημική αντίδραση στους πόρους ενός καταλύτη Όταν περνάει ηλεκτρικό ρεύμα μέσα από έναν αγωγό Γενική εξίσωση αγωγής λ = α t Εξίσωση Poisson = 0 λ Εξίσωση Laplace = 0 Εξίσωση Fourier = α t Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-5

. Αγωγή (3).6 Αγωγή με σύγχρονη παραγωγή.6. Παραγωγή σε επίπεδο τοίχωμα q & > 0 λ = 0 d dx = λ d dx = λ d dx = x λ c = x λ c x c Ρυμός ροής ερμότητας (νόμος Fourier): & q x d = λ dx Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-6

. Αγωγή (3).6. Παραγωγή σε επίπεδο τοίχωμα q & > 0 Οριακές συνήκες : Σταερές ερμοκρασίες στα όρια του συστήματος Διαφορική εξίσωση: d dx = λ d dx = x λ c = x λ c x c Οριακές συνήκες: α) x=0, = β) x=l, = = ( ) x L L λ x L x L Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-7

. Αγωγή (3).6. Παραγωγή σε επίπεδο τοίχωμα Οριακές συνήκες : Συμμετρία ( = ) Διαφορική εξίσωση: d dx = λ d dx = x λ c = x λ c x c Χρησιμοποιούμε σαν αρχή του άξονα x το επίπεδο συμμετρίας Οριακές συνήκες: α) x=0, d = dx β) x=l/, = 0 Ολοκληρωμένη εξίσωση: c = 0 c = = L 8λ ) L 8λ x ( L Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-8

. Αγωγή (3).6. Παραγωγή σε επίπεδο τοίχωμα Οριακές συνήκες : Μόνωση στη μία πλευρά Ισχύει η ίδια εξίσωση με την περίπτωση συμμετρίας αντικαιστώντας το L/ με l Οριακές συνήκες: α) x=0, d = dx β) x=l, = 0 c = 0 c = l λ Ολοκληρωμένη εξίσωση: = ) l λ x ( l Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-9

. Αγωγή (3).6. Παραγωγή σε επίπεδο τοίχωμα Οριακές συνήκες : Μεταφορά με συναγωγή στο περιβάλλον Διαφορική εξίσωση: d dx = λ d dx = x λ c = x λ c x c Οριακές συνήκες: α) x=0, β) x=l/, d dx = 0 = h( ) = L Ολοκληρωμένη εξίσωση: = q & L h L 8λ x ( ) L Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-0

. Αγωγή (3) Παράδειγμα. Παραγωγή ερμότητας σε επίπεδο τοίχωμα Δεδομένα: Πυρηνικό στοιχείο αποτελείται από πλάκα ορίου (υλικό Ι) πάχους L, όπου παράγεται ερμότητα με σταερό ρυμό q & Η πλάκα ορίου καλύπτεται από τις δύο πλευρές με πλάκες αλουμινίου (υλικό ΙΙ) πάχους b. Η ερμότητα που παράγεται απομακρύνεται με τη βοήεια ρευστού ερμοκρασίας που κυκλοφορεί στις δύο πλευρές. Ζητούνται: (α) Να σχεδιαστεί κατά προσέγγιση η καμπύλη κατανομής ερμοκρασίας στο στοιχείο και να υπολογιστεί η μέγιστη ερμοκρασία του ορίου και του αλουμινίου σαν συνάρτηση των λ Ι, λ ΙΙ, L, b, q &, h και. (β) Να επαναληφούν οι υπολογισμοί για την περίπτωση που που στη μία πλευρά του στοιχείου τοποετείται μόνωση. Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-

. Αγωγή (3) Παράδειγμα. Παραγωγή ερμότητας σε επίπεδο τοίχωμα Λύση: Περίπτωση (α): Ποιοτικό διάγραμμα: Υπάρχει συμμετρία Στην πλάκα ορίου η καμπύλη είναι παραβολή με τα κοίλα προς τα κάτω (d /dx <0) και έχει μέγιστο στο επίπεδο συμμετρίας Στην πλάκα αλουμινίου δεν παράγεται ερμότητα και συνεπώς η κατανομή ερμοκρασίας είναι γραμμική (d /dx =0) Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-

. Αγωγή (3) Παράδειγμα. Παραγωγή ερμότητας σε επίπεδο τοίχωμα Λύση: Περίπτωση (α)- Συμμετρία: Εξισώσεις: Στο όριο: - παραγωγή ερμότητας - συμμετρία Για τη ροή ερμότητας ισχύει: Στο όριο (Ι) όπου παράγεται ερμότητα: I > 0 I = f (x) L x I = ( ) 8λ L Στο αλουμίνιο (ΙΙ) όπου δεν υπάρχει παραγωγή ερμότητας: L II = 0 II = c II = I Στο αλουμίνιο (ΙΙ) όπου II = 0 μπορεί να εφαρμοσεί η τεχνική της άροισης των αντιστάσεων: = b II R R = Rαγ Rσυν= h λ Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-3 I ΙΙ

. Αγωγή (3) Παράδειγμα. Παραγωγή ερμότητας σε επίπεδο τοίχωμα Λύση: Περίπτωση (α) - Συμμετρία: Εξισώσεις: = I L x I ( ) 8λI L II = I L & b R = Rαγ Rσυν= h λ ΙΙ q = II R = II R = I L h b λ ΙΙ q & = I L b Ι L x I ( ) h λιι 8λI L Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-4

. Αγωγή (3) Παράδειγμα. Παραγωγή ερμότητας σε επίπεδο τοίχωμα Λύση: Περίπτωση (α)- Συμμετρία: Εξισώσεις: q & = I L b Ι L x I ( ) h λιι 8λI L Σε x=0: max = 0 = I L h b λ ΙΙ I Ι L 8λ Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-5

. Αγωγή (3) Παράδειγμα. Παραγωγή ερμότητας σε επίπεδο τοίχωμα Λύση: Περίπτωση (β) - Μόνωση: Ποιοτικό διάγραμμα: Επειδήημόνωσηβρίσκεταιαριστερά, η ερμότητα άγεται μόνο προς τα δεξιά η καμπύλη ερμοκρασίας έχει αρνητική κλίση ως προς x. Στοσημείοτηςμόνωσηςδενυπάρχειροήερμότητας, δηλ. η κλίση της καμπύλης ερμοκρασίας είναι μηδέν Στο αλουμίνιο δεν παράγεται ερμότητα, άρα η κατανομή ερμοκρασίας είναι γραμμική. Στην πλάκα αλουμινίου δίπλα στη μόνωση η κλίση της ευείας είναι μηδέν Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-6

. Αγωγή (3) Παράδειγμα. Παραγωγή ερμότητας σε επίπεδο τοίχωμα Λύση: Περίπτωση (β) - Μόνωση: Εξισώσεις: = I L x I ( ) λi L II = I L = I L h b λ ΙΙ max = I L h b λ ΙΙ I Ι L λ Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-7

. Αγωγή (3).6. Παραγωγή σε κυλινδρικό τοίχωμα ή αγωγό λ = 0 d dr d r = dr λ d dr λ r = r c 4λ = r c lnr c Έστω ότι έχουμε αγωγό ηλεκτρικού ρεύματος ακτίνας r s που διαρρέεται από ρεύμα έντασης I και τάσης V. Οι ωμικές απώλειες είναι I V (W). Στον αγωγό παράγεται ερμότητα με ρυμό: IV W = ( ) 3 r L m π s Εάν δίνεται η ερμοκρασία s στην επιφάνεια του αγωγού οι οριακές συνήκες είναι : α) r=r s, = s β) r=0, d/dr=0 c = 0 c 4λ = s rs = r s r s ( ) 4λ rs Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-8

. Αγωγή (3).6. Παραγωγή σε κυλινδρικό τοίχωμα ή αγωγό λ = 0 d dr d r = dr λ Ομοιόμορφη παραγωγή ερμότητας q & σε κυλινδρικό αγωγό ακτίνας r s Καορισμένη ερμοκρασία s στην επιφάνεια του αγωγού α) r=r s, = s β) r=0, d/dr=0 c = 0 c 4λ = s rs = r s r s ( ) 4λ rs Σε r=0 0 = max = s s r 4λ s ) 0 s r = ( rs Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-9

. Αγωγή (3) Παράδειγμα.3 Κατανομή ερμοκρασίας σε αγωγό ηλεκτρικού ρεύματος Δεδομένα (από παράδειγμα.9): Σε αγωγό ηλεκτρικού ρεύματος D=5mm (r s =.5 cm) με ηλεκτρική αντίσταση R Η =6x0-4 Ohm/(m μήκους) διαβιβάζεται ρεύμα έντασης i=500a. Ο αγωγός βρίσκεται σε περιβάλλον ερμοκρασίας 30 o C Ο συντελεστής συναγωγής μπορεί να εωρηεί σταερός και ίσος με h=5 W/(m o C) Ο συντελεστής ερμικής αγωγιμότητας είναι λ=300w/(m o C) r s =.5 mm R H = 6x0-4 Ohm /(m μήκους) i = 500 A h= 5 W/(m o C) λ Ι = 300 W/(m o C) Ζητείται: Η μέγιστη ερμοκρασία στον αγωγό Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-0

. Αγωγή (3) Παράδειγμα.3 Κατανομή ερμοκρασίας σε αγωγό ηλεκτρικού ρεύματος Λύση: Στο παράδειγμα.9 έχουμε βρει: s =4 o C 0 = max = s s r 4λ r s =.5 mm R H = 6x0-4 Ohm /(m μήκους) i = 500 A h= 5 W/(m o C) λ Ι = 300 W/(m o C) RH rs L 4 i 500 6 0 q & = = = 7.64 0 3 π π(.5 0 ) 6 3 7.64 0 (.5 0 ) 0 = 4 = 4 0.04 = 4.04 4 300 6 W m 3 o C Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-

. Αγωγή (3).7 Πολυδιάστατη αγωγή ερμότητας σε μόνιμη κατάσταση Γενική εξίσωση αγωγής λ = α t Εξίσωση Poisson = 0 λ = Εξίσωση Laplace 0 Εξίσωση Fourier = α t Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-

. Αγωγή (3).7 Πολυδιάστατη αγωγή ερμότητας σε μόνιμη κατάσταση = Εξίσωση Laplace 0 Αναλυτικές λύσεις Αριμητικές λύσεις Συντελεστής μορφής Γραφική λύση Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-3

. Αγωγή (3).7 Πολυδιάστατη αγωγή ερμότητας σε μόνιμη κατάσταση.7. Συντελεστής μορφής = Sλ( ) S : συντελεστής μορφής με διαστάσεις μήκους (m) Επίπεδο τοίχωμα: A S = Α: επιφάνεια (m Δ x ), Δx: πάχος τοιχώματος (m) Κυλινδρικό τοίχωμα: S = πl ln(r / r ) r, r : εξωτερική και εσωτερική ακτίνα (m), L μήκος (m) Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-4

. Αγωγή (3) Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-5

. Αγωγή (3) Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-6

. Αγωγή (3) Παράδειγμα.4 Υπολογισμός απωλειών από εντοιχισμένο αγωγό D = cm z = 0 cm λ= 0.8 W/(m o C) Δεδομένα: Σωλήνας κυκλοφορίας ζεστού νερού βρίσκεται στο δάπεδο σε βάος 0 cm και έχει διάμετρο D=cm Το δάπεδο στην επιφάνεια έχει ερμοκρασία 0 o C και ο σωλήνας διατηρείται σε ερμοκρασία 80 o C. Ο συντελεστής ερμικής αγωγιμότητας του δαπέδου είναι λ=0.8 W/(m o C) Ζητούνται: Οι ερμικές απώλειες ανά μέτρο μήκους αγωγού Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-7

. Αγωγή (3) Παράδειγμα.4 Υπολογισμός απωλειών από εντοιχισμένο αγωγό Λύση: Από τον Πίνακα βρίσκουμε την κατάλληλη εξίσωση για τον συντελεστή σχήματος S: D = cm z = 0 cm λ= 0.8 W/(m o C) S = cosh πl (z / D) z / D = 0cm / cm = 0 cosh x = (e x x e ) cosh (0) cosh x = 0 x ~ 3.0 (από τον Πίνακα) Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-8

. Αγωγή (3) Παράδειγμα.4 Υπολογισμός απωλειών από εντοιχισμένο αγωγό Λύση: Από τον Πίνακα βρίσκουμε την κατάλληλη εξίσωση για τον συντελεστή σχήματος S: D = cm z = 0 cm λ= 0.8 W/(m o C) S = cosh πl (z / D) z / D = 0cm / cm = 0 π = Sλ( ) = λ( ) L cosh (z / D) π = 0.8 (80 0) = 00.5 (W / m) L 3 Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-9

. Αγωγή (3).7. Γραφική λύση Διάγραμμα ροής ερμότητας Μπορεί να χρησιμοποιηεί σε προβλήματα διδιάστατης αγωγής. Σχεδιάζονται : Ισοερμοκρασιακές γραμμές Θερμικές ροϊκές γραμμές ακολουούν εφαπτομενικά το διάνυσμα ροής ερμότητας είναι κάετες στις ισοερμοκρασιακές είναι «αδιαβατικές» Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-30

. Αγωγή (3).7. Γραφική λύση Διάγραμμα ροής ερμότητας Παράδειγμα : Επίπεδο τοίχωμα ΘΕΡΜΟΡΡΟΙΚΕΣ ΙΣΟΘΕΡΜΙΚΕΣ Έστω: Συνολικό πάχος (κατά y) : Συνολικό πλάτος (κατά x) : Μήκος (κατά z) : b w L Χωρίζουμε την τομή xy σε τετράγωνα διαστάσεων (Δx) (Δy), οπότε έχουμε : w m = Δ x Υποδιαιρέσεις κατά x (κανάλια ροής ερμότητας) b n = Δy Υποδιαιρέσεις κατά y (διαστήματα ερμοκρασίας) Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-3

. Αγωγή (3).7. Γραφική λύση Διάγραμμα ροής ερμότητας Παράδειγμα : Επίπεδο τοίχωμα b n = Δy ΘΕΡΜΟΡΡΟΙΚΕΣ ΙΣΟΘΕΡΜΙΚΕΣ Έστω: Συνολικό πάχος (κατά y) : Συνολικό πλάτος (κατά x) : Μήκος (κατά z) : b w L w m = Δ x Από κάε τετράγωνο περνάει (κατά y) ερμότητα: x L δ& = λ Δ nδy q ml n Από όλο το τοίχωμα περνάει ερμότητα: = m( δq) & = λ ( ) ml n Δx Δy Όταν Δx=Δy: = m( δq) & = λ ( ) Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-3

. Αγωγή (3).7. Γραφική λύση Διάγραμμα ροής ερμότητας Τεχνικές χάραξης ισοερμοκρασιακών και ερμορροϊκών γραμμών (α) Ισοερμοκρασιακές γραμμές :περίπου παράλληλες με τα ισοερμοκρασιακά όρια Θερμορροϊκές γραμμές: περίπου παράλληλες με τα αδιάερμα όρια ή τα επίπεδα συμμετρίας (β) Προσπαούμε να χαράξουμε καμπυλόγραμμα τετράγωνα: πλευρές που τέμνονται κατά ορή γωνία και άροισμα των δύο απέναντι πλευρών περίπου ίσο ΘΕΡΜΟΡΡΟΙΚΕΣ ΙΣΟΘΕΡΜΙΚΕΣ l l L m( δq) & l = = λ L l l = ( αβ γδ) / l = ( αγ βδ) / m n ( ) l = l m=4 5=0 n=3 Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-33

. Αγωγή (3) Παράδειγμα.5 Υπολογισμός απωλειών ερμότητας με γραφική παράσταση Δεδομένα: Θερμαινόμενος αγωγός μεγάλου μήκους και ακτίνας r=0.5m βρίσκεται μέσα σε μονωτικό υλικό τετράγωνης διατομής, διαστάσεων.0m.0m Στον αγωγό διοχετεύεται ερμός αέρας 0 o C Η εξωτερική επιφάνεια του μονωτικού υλικού διατηρείται σε ερμοκρασία 30 ο C Το μονωτικό υλικό έχει αγωγιμότητα λ=0.05 W/(m o C) = 0 o C, =30 ο C λ= 0.05 W/(m o C) Ζητούνται: Οι ερμικές απώλειες ανά μέτρο μήκους με γραφική επίλυση Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-34

. Αγωγή (3) Παράδειγμα.5 Υπολογισμός απωλειών ερμότητας με γραφική παράσταση Λύση: Κύρια βήματα γραφικής επίλυσης:. Εξακρίβωση των ισόερμων ορίων: Εσωτερικό τοίχωμα του μονωτικού υλικού =0 o C Εξωτερικό τοίχωμα =30 o C. Προσδιορισμός των επιπέδων συμμετρίας για να επιλεγεί το τμήμα στο οποίο α γίνει η γραφική παράσταση: Το όγδοο μεταξύ μιας διαμέσου και μιας διαγωνίου 3. Ξεκινάμε από μία περιοχή στην οποία οι αδιαβατικές και ισόερμες γραμμές να μπορούν να τοποετηούν περίπου ομοιόμορφα, π.χ. το εσωτερικό τοίχωμα κυκλικής διατομής. = 0 o C, =30 ο C λ= 0.05 W/(m o C) 4. Επιλέγουμε κατά τον σχεδιασμό είτε ακέραιο αριμό καναλιών ροής, είτε ακέραιο αριμό διαστημάτων ερμοκρασίας. Στο παράδειγμα επιλέξαμε m=4 κανάλια ροής Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-35

. Αγωγή (3) Παράδειγμα.5 Υπολογισμός απωλειών ερμότητας με γραφική παράσταση Κύρια βήματα γραφικής επίλυσης: 5. Προσπαούμε στο διάγραμμα να κάνουμε καμπυλόγραμμα τετράγωνα ακολουώντας τις αρχές που αναφέραμε, δηλ. ~κάετες πλευρές και ~ίσο άροισμα απέναντι πλευρών. 6. Προχωρούμε με συνεχείς διορώσεις μέχρι να οριστικοποιήσουμε το διάγραμμα 7. Με βάση το τελικό διάγραμμα προσδιορίζουμε το μέσο αριμό διαστημάτων ερμοκρασίας, n~ n, ανά κανάλι ροής (εάν έχουμε ακέραιο αριμό καναλιών m), ή n~ το μέσο αριμό καναλιών ροής, m ~ 3.8,ανά διάστημα ερμοκρασίας (εάν έχουμε ακέραιο αριμό Δ) = 0 o C, =30 ο C λ= 0.05 W/(m o C) L = m( δq) & L l = λ l m n ( ) q W 8 4 & = 0.05 L o m C 3.8 o ( 80 C) q & W = 33.68 L m Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-36

. Αγωγή (3) Παράδειγμα.6 : Έλεγχος ακρίβειας υπολογισμών με γραφική παράσταση Δεδομένα: Θεωρούμε τα δεδομένα του παραδείγματος.5 Ζητούνται: Οι ερμικές απώλειες ανά μέτρο μήκους με τη μέοδο του συντελεστή μορφής Σύγκριση με τα αποτελέσματα της γραφικής επίλυσης = 0 o C, =30 ο C λ= 0.05 W/(m o C) Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-37

. Αγωγή (3) Παράδειγμα.6 : Έλεγχος ακρίβειας υπολογισμών με γραφική παράσταση Λύση: Από τον Πίνακα βρίσκουμε την κατάλληλη εξίσωση για τον συντελεστή σχήματος S: = 0 o C, =30 ο C λ= 0.05 W/(m o C) πl ( 3.4) L S = = = 8.5L (m).08b ln( ) ln(.08 /) D q π = Sλ( ) & = λ ( L ln(.08b / D) q W o & = 8.5 0.05 (80 C) = L o L m C συντ = L γραφ ) W 3.60 m W 33.68 m 3.% Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-38

. Αγωγή (3).7.3 Αριμητικές λύσεις Για πολύπλοκα προβλήματα αγωγής, π.χ.: μη συμμετρική κατανομή ερμοκρασίας μεταβαλλόμενες ιδιότητες οριακέςσυνήκεςμεταβλητέςμετοχρόνο, κ.ο.κ. πρέπει να καταφύγουμε σε αριμητικές μεόδους. Μέοδος πεπερασμένων στοιχείων Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-39

. Αγωγή (3).7.3 Αριμητικές λύσεις Μέοδος πεπερασμένων στοιχείων Θεωρούμε ότι το υπό μελέτη σύστημα είναι χωρισμένο σε στοιχεία όγκου Δx, Δy, Δz. Σε κάε στοιχείο που βρίσκεται στη έση i, j, k, το μερικό διαφορικό μπορεί να προσδιοριστεί κατά προσέγγιση από τις τιμές της ερμοκρασίας στον κόμβο αυτό και στους γειτονικούς του: η παράγωγος η παράγωγος x i i x = = x Δx x Δx i E( Δx ) = Δx x Δx i x Δx Ε(Δx ): σφάλμα της προσέγγισης i E( Δx = i i i i i i i E = Δx ) [ ] E( Δx ) Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-40

. Αγωγή (3).7.3 Αριμητικές λύσεις Μέοδος πεπερασμένων στοιχείων i, j, k = Εξίσωση Laplace 0 i, j, k = Εάν : Δx = Δy = Δz και 0 i,j,k = i,j,k i,j,k i,j,k 6 [ ] i,j,k i,j,k i,j,k Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-4 = x y z [ ] i,j,k i,j,k i,j,k = Δx Δy Δz [ ] i,j,k i,j,k i,j,k [ ] i,j,k Για απλούστευση: κόμβος i, j, k κόμβος0 και γειτονικοί κόμβοι,, 3, 4, 5, 6 0 = i,j,k 6 6 m= i,j,k m

. Αγωγή (3).7.3 Αριμητικές λύσεις Μέοδος πεπερασμένων στοιχείων Διδιάστατο πρόβλημα Γνωστές ερμοκρασίες στα όρια Κόμβος : =/4 (400 4 500) Κόμβος : =/4 ( 3 00500) Κόμβος 3: 3 =/4 ( 4 30000 ) Κόμβος 4: 4 =/4 (400300 3 ) Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-4

. Αγωγή (3).7.3 Αριμητικές λύσεις Μέοδος πεπερασμένων στοιχείων Εξωτερικά κομβικά σημεία Οριακόςκόμβοςπου υφίσταται συναγωγή h Ισοζύγιο ενέργειας στο κομβικό σημείο n Δy λl n Δ λ Δ n y L x λl 3 n = hl( Δx Δx Δy Δx ) L: πάχοςτουσώματοςκατάτηνκατεύυνσηz hδx λ hδx λ ( ) ( ) 0 3 n = ( ) n Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-43

Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-44 ( ) ( ) 0 λ h Δx λ h Δx n = ( ) ( ) 0 3 λ h Δx λ h Δx n 3 4 = ( ) 0 n 3 = 0 ) ( ) ( ) ( ) ( n 4 3 = b a b b a b a a. Αγωγή (3).7.3 Αριμητικές λύσεις Εξωτερικά κομβικά σημεία

. Αγωγή (3).7.3 Αριμητικές λύσεις Μέοδος πεπερασμένων στοιχείων Καταλήγουμε σε: 4 3 0 h Σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων Επίλυση Άμεσες μέοδοι: Επίλυση με συστηματικό τρόπο με μία σειρά σαφώς καορισμένων σταδίων. Επαναληπτικές μέοδοι: Αρχική πρόβλεψη για τη λύση και επανάληψη μέχρι να υπάρξει σύγκλιση της λύσης Μέοδος απαλοιφής Gauss Αντιστροφή πινάκων Μέοδος Gauss-Seidel Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-45

. Αγωγή (3).7.3 Αριμητικές λύσεις Επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων Α. Μέοδος απαλοιφής Gauss x x 3 x 3 =0 (a) x 3x x 3 = -3 (b) x x x 3 = (c) Απαλείφουμε το x από τις (b) και (c) προσέτοντας - φορά την (a) στην (b) και - φορές την (a) στην (c). x x 3 x 3 =0 (a ) 5x - x 3 = -3 (b ) 3 x 5 x 3 =-9 (c ) Απαλείφουμε το x από την (c ) προσέτοντας (-3/5) φορές την (b ) στην (c ). x x 3 x 3 =0 (a ) 5x - x 3 = -3 (b ) x 3 = 4 (c ) Βρίσκουμε τα x και x με προς τα πίσω αντικατάσταση. x = x = 3 x 3 = 4 Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-46

. Αγωγή (3).7.3 Αριμητικές λύσεις Μέοδος πεπερασμένων στοιχείων Διδιάστατο πρόβλημα Σύστημα εξισώσεων: Κόμβος : =/4 (400 4 500) Κόμβος : =/4 ( 3 00500) Κόμβος 3: 3 =/4 ( 4 30000 ) Κόμβος 4: 4 =/4 (400300 3 ) 0.5 0.5 4 = 5 () 0.5 0.5 3 = 75 () 0.5 3 0.5 4 = 5 (3) 0.5 0.5 3 4 = 75 (4) Α. Μέοδος απαλοιφής Gauss Απαλείφουμε το από τις εξισώσεις () και (4) 0.5 0.5 4 = 5 ( ) 0.9375 0.5 3-0.065 4 = 3,5 ( ) 0.5 3 0.5 4 = 5 (3 ) -0.065 0.5 3 0.9375 4 = 3,5 (4 ) Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-47

. Αγωγή (3).7.3 Αριμητικές λύσεις Μέοδος πεπερασμένων στοιχείων Α. Μέοδος απαλοιφής Gauss Αντιστρέφουμε τη έση των ( ) και (3 ) και απαλείφουμε το Διδιάστατο πρόβλημα Σύστημα εξισώσεων: Κόμβος : =/4 (400 4 500) Κόμβος : =/4 ( 3 00500) Κόμβος 3: 3 =/4 ( 4 30000 ) Κόμβος 4: 4 =/4 (400300 3 ) 0.5 0.5 4 = 5 ( ) 0.5 3 0.5 4 = 5 ( ) 3.50 3.0 4 = 700 (3 ) 0.50 3.0 4 = 00 (4 ) Απαλείφουμε το 3 από την (4 ) 0.5 0.5 4 = 5 ( ) 0.5 3 0.5 4 = 5 ( ) 3.50 3.0 4 = 700 (3 ) (6/7) 4 = 300 (4 ) Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-48

. Αγωγή (3).7.3 Αριμητικές λύσεις Μέοδος πεπερασμένων στοιχείων Α. Μέοδος απαλοιφής Gauss 0.5 0.5 4 = 5 ( ) 0.5 3 0.5 4 = 5 ( ) 3.50 3.0 4 = 700 (3 ) (6/7) 4 = 300 (4 ) Διδιάστατο πρόβλημα Σύστημα εξισώσεων: Κόμβος : =/4 (400 4 500) Κόμβος : =/4 ( 3 00500) Κόμβος 3: 3 =/4 ( 4 30000 ) Κόμβος 4: 4 =/4 (400300 3 ) Βρίσκουμε τις τιμές των ερμοκρασιών με προς τα πίσω αντικατάσταση. = 400 o C = 350 o C 3 = 300 o C 4 = 350 o C Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-49

. Αγωγή (3).7.3 Αριμητικές λύσεις Επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων Β. Μέοδος αντιστροφής πινάκων a x a x a 3 x 3 = b a x a x a 3 x 3 = b a 3 x a 3 x a 33 x 3 = b 3 a a a 3 a a a 3 a a a 3 3 33 x x x 3 b = b b A X B 3 A X = B X = A B Ο υπολογισμός του αντίστροφου Πίνακα είναι επίπονη διαδικασία, αλλά μπορούν να αξιοποιηούν διαέσιμα λογισμικά Η/Υ, ακόμη και το πολύ εύχρηστο MS EXCEL A - : αντίστροφος του Α A A = I = 0 0 0 0 0 0 Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-50

. Αγωγή (3).7.3 Αριμητικές λύσεις Β. Μέοδος αντιστροφής πινάκων Ο υπολογισμός του αντίστροφου Πίνακα είναι επίπονη διαδικασία, αλλά μπορούν να αξιοποιηούν διαέσιμα λογισμικά Η/Υ, ακόμη και το πολύ εύχρηστο MS EXCEL 0.5 0 0.5 0.5 0.5 0 0 0.5 0.5 0.5 0 0.5 3 4 5 75 = 5 75 Πίνακας συντελεστών Πίνακας σταερ -0,5 0-0,5 5-0,5-0,5 0 75 0-0,5-0,5 5-0,5 0-0,5 75 Αντίστροφος πίνακας συντελεστών =MINVERSE(A3:D6) A X B Insert Function Minverse Εισάγουμε τη συνάρτηση στο πρώτο κελί της περιοχής του αντίστροφου πίνακα Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-5

. Αγωγή (3).7.3 Αριμητικές λύσεις Β. Μέοδος αντιστροφής πινάκων Πίνακας συντελεστών Πίνακας σταερών -0,5 0-0,5 5-0,5-0,5 0 75 0-0,5-0,5 5-0,5 0-0,5 75 X=A - B Επιλέγουμε την περιοχή και πατάμε F CtrlShiftEnter Γιαναυπολογίσουμεόλεςτιςτιμέςτου αντίστροφου Πίνακα Αντίστροφος πίνακας συντελεστών Θερμοκρασίες,7 0,33 0,7 0,33 =MMULT(A9:D;F3:F6) 0,33,7 0,33 0,7 0,7 0,33,7 0,33 0,33 0,7 0,33,7 Αντίστροφος πίνακας συντελεστών Θερμοκρασίες,7 0,33 0,7 0,33 400 0,33,7 0,33 0,7 350 0,7 0,33,7 0,33 300 3 0,33 0,7 0,33,7 350 4 Insert Function Mmult F CtrlShiftEnter Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-5

. Αγωγή (3).7.3 Αριμητικές λύσεις Μέοδος πεπερασμένων στοιχείων Γ. Επαναληπτική μέοδος Gauss-Seidel Επιλύουμε κάε εξίσωση του συστήματος ως προς έναν από τους αγνώστους. Διδιάστατο πρόβλημα Σύστημα εξισώσεων: Κόμβος : =/4 (400 4 500) Κόμβος : =/4 ( 3 00500) Κόμβος 3: 3 =/4 ( 4 30000 ) Κόμβος 4: 4 =/4 (400300 3 ) = 5 0.5 0.5 4 () = 75 0.5 0.5 3 () 3 = 5 0.5 0.5 4 (3) 4 = 75 0.5 0.5 3 (4) Υποέτουμε ένα αρχικό σύνολο τιμών για τις ερμοκρασίες, τις εισάγουμε στο δεξί μέρος των εξισώσεων και υπολογίζουμε νέες τιμές. Επαναλαμβάνουμε τους υπολογισμούς με τις νέες τιμές Όταν σε δύο διαδοχικές επαναλήψεις οι τιμές δεν διαφέρουν πάνω από το όριο ακρίβειας που επιυμούμε, π.χ. 0.5%, σταματούμε τη διαδικασία. Κριτήριο σύγκλισης Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-53

. Αγωγή (3).7.3 Αριμητικές λύσεις Μέοδος πεπερασμένων στοιχείων Γ. Επαναληπτική μέοδος Gauss-Seidel Διδιάστατο πρόβλημα Σύστημα εξισώσεων: = 5 0.5 0.5 4 () = 75 0.5 0.5 3 () 3 = 5 0.5 0.5 4 (3) 4 = 75 0.5 0.5 3 (4) Επαναλήψεις Αρχικές τιμές η η 3 η 4 η 450 400.00 396.68 399.35 399.86 350 337.50 348.39 349.68 349.88 3 50 96.87 99.40 99.67 99.9 4 350 349. 349.0 349.76 349.94 δ ( i,j i,j i,j(%) = i,j i,j ) 00 δ i,j : σχετική ποσοστιαία διαφορά μεταξύ των επαναλήψεων j- και j για τη ερμοκρασία i δ i,j (%)= 0.05-0.3 % Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-54

. Αγωγή (3).7.3 Αριμητικές λύσεις Μέοδος πεπερασμένων στοιχείων Γ. Μέοδος Gauss-Seidel Διδιάστατο πρόβλημα Σύστημα εξισώσεων: = 5 0.5 0.5 4 () = 75 0.5 0.5 3 () 3 = 5 0.5 0.5 4 (3) 4 = 75 0.5 0.5 3 (4) Επαναλήψεις Αρχικές τιμές η η 3 η 4 η 450 400.00 396.68 399.35 399.86 350 337.50 348.39 349.68 349.88 3 50 96.87 99.40 99.67 99.9 4 350 349. 349.0 349.76 349.94 δ ( i,j i,j i,j(%) = i,j i,j ) 00 δ i,j : σχετική ποσοστιαία διαφορά μεταξύ των επαναλήψεων j- και j για τη ερμοκρασία i δ i,j (%)= 0.05-0.3 % Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-55