ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΜΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΑΙΤΙΟΚΡΑΤΙΚΟΥ ΧΑΟΥΣ ΣΕ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΑ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΑΝΕΜΟΥ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΕΘΟ ΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΒΡΑΑΜ ΧΑΡΑΚΟΠΟΥΛΟΣ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ: ρ. Θ. ΚΑΡΑΚΑΣΙ ΗΣ ίκτυο Υ ΡΟΜΕ ΩΝ «2η Συνάντηση Υποψηφίων ιδακτόρων και Μεταπτυχιακών Φοιτητών»
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΦΥΣΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΤΩΝ ΟΠΟΙΩΝ ΤΑ ΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΙΝΑΙ ΑΓΝΩΣΤΑ Καταγραφή µιας παρατηρούµενης ποσότητας ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΑ Μέθοδοι ανάλυσης Εκτίµηση παραµέτρων συστήµατος
ΚΙΝΗΤΡΑ - ΣΚΟΠΟΣ Σκοπός της εργασίας είναι η µελέτη και η διερεύνηση της ύπαρξης ή µη αιτιοκρατικού χάους στην ταχύτητα του αέρα. Χάος είναι η απεριοδική συµπεριφορά ενός οριοθετηµένου (bounded) ντετερµινιστικού συστήµατος το οποίο παρουσιάζει ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες. Αιτιοκρατικά Χαοτικά Συστήµατα είναι συστήµατα µε µερικές µη-γραµµικές αλληλοεξαρτώµενες µεταβλητές µε ευαισθησία σε αρχικές συνθήκες και η θεωρία που τα περιγράφει είναι γνωστή ως θεωρία του χάους. Στην βιβλιογραφία υπάρχουν αντικρουόµενα αποτελέσµατα Kantz H. and Schreiber T. Non linear time series analysis. Cambridge University Press, Cambridge (1997) Tsonis AA, Elsner JB. The weather attractor over very short timescales. Nature 1988;333:545 7. Zeng X, Pielke RA. What does a low-dimensional weather attractor mean? Physica Lett A 1993;175:299 304 Islam S, Bras RL, Rodriguez-Iturbe I. A possible explanation for low correlation dimension estimates for the atmosphere, Journal of Climate and Applied Meteorology, Vol. 48, pp. 203-8, 1993.
ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΟΙ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ? Χρονική σειρά ή χρονοσειρά (time series) είναι ένα σύνολο παρατηρήσεων από µια διαδικασία µε χρονική διάταξη. Ορίζεται ως το σύνολο τιµών που έχουν προσδιοριστεί είτε υπολογιστικά είτε µε άµεση µέτρηση και έχουν διαταχθεί µε χρονική σειρά. Περιγραφικό Μοντέλο Χρονοσειράς χt= µt + st + yt µt είναιτοστοιχείοτηςτάσης(trend component) st είναι το στοιχείο περιοδικότητας ή εποχικότητας (cyclical or seasonal component) yt είναι η µη οµαλή συνιστώσα (irregular component) που αποµένει όταν αφαιρεθούν από τη χρονοσειρά τα µt και st. Η χρονοσειρά των yt µπορεί να αποτελείται από πλήρως τυχαίες διακυµάνσεις και τότε λέγεται λευκός θόρυβος (white noise), ή να παρουσιάζει κάποια δοµή.
ΑΝΑΛΥΣΗ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ Γραµµική Ανάλυση Μελετά γραµµικά χαρακτηριστικά όπως η αυτοσυσχέτιση και το φάσµα ισχύος Περιγράφει κανονικές διαδικασίες όπως η µέση τιµή, ηδιασπορά Ένα µέρος της πληροφορίας δεν περιγράφεται εν µπορεί να διακρίνει χάος από θόρυβο Μη-Γραµµική Ανάλυση Μπορούν να περιγράψουν πιο σύνθετες διαδικασίες Μπορούν να περιγράψουν χαµηλοδιάστατα µη-γραµµικά συστήµατα
ΤΙ ΕΙΝΑΙ Ο ΕΛΚΥΣΤΗΣ? Ελκυστής: ένα αναλλοίωτο σύνολο σηµείων όπου έλκει κάθε τροχιά που περιορίζεται στο χώρο R d ένα ευσταθές σηµείο ισορροπίας του συστήµατος (point attractor) {µπορεί να σχηµατιστεί από γραµµικό σύστηµα} ένας οριακός κύκλος (limit cycle attractor) για περιοδικές τροχιές συνεχών συστηµάτων {µπορεί να σχηµατιστεί από γραµµικό σύστηµα} χρονοσειρά χρονοσειρά χώρος φάσεων χώρος φάσεων ένας τόρος (torus ή toroidal attractor) για ψευδό-περιοδικές τροχιές συνεχών συστηµάτων {δεν µπορεί να σχηµατιστεί από γραµµικό σύστηµα} χρονοσειρά χώρος φάσεων κάποιο άλλο µη-πεπερασµένο σύνολο σηµείων που λέγεται παράξενος ελκυστής (strange/chaotic attractor) {δεν µπορεί να σχηµατιστεί από γραµµικό σύστηµα} variable 1.5 1 0.5 0-0.5-1 χρονοσειρά -1.5 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 time χώρος φάσεων
ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΧΩΡΟΥ ΦΑΣΕΩΝ m>2d+1 Takens, F. Detecting strange attractors in turbulence. Dynamical systems and tyrbulence.warwick.lecture notes math, pp.366-381.
ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΧΩΡΟΥ ΦΑΣΕΩΝ x [ x, x,..., x ] i i i- t i- ( m- 1) t ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ = { c i} r[ i = 1,..., N] ιάσταση Εµβύθισης m: ορίζει τον αριθµό των παρατηρήσεων που γίνονται συνιστώσες του ανακατασκευασµένου διανύσµατος Υστέρηση τ : ορίζει µε ποια χρονική διαφορά επιλέγονται οι m παρατηρήσεις
Επιλογή ιάστασης Εµβύθισης m (embedding dimension) m>2d+1 θεώρηµα Τakens όπου D η διάστασητουαρχικούελκυστή (ΑΓΝΩΣΤΗ) Μέθοδος των Ψευδών Κοντινότερων Γειτόνων (method of false nearest neighbors FFN) Κοντινά σηµεία του ελκυστή είναι: -είτε πραγµατικά γειτονικά σηµεία (λόγω της δυναµικής του συστήµατος) -ή ψευδή γειτονικά σηµεία (λόγω των αυτο-τοµών και µικρού m) Σε µεγαλύτερο m όπου δεν υπάρχουν αυτο-τοµές έχουν φανερωθεί όλα τα ψευδή γειτονικά σηµείααφούδεθαείναιπιαγειτονικά. Το βέλτιστο m είναι αυτό για το οποίο το ποσοστό το 1% των ψευδών γειτόνων είναι κάτω από Kennel M, Brown R and H.D.I Abarbanel. Determining embedding dimension for phase-space reconstruction using a geometrical construction, Psysica Review A 45, 1992;3403
Επιλογή Χρόνου Υστέρησης τ (time delay) Συνάρτηση αυτοσυσχέτισης όπου µετράει γραµµικές συσχετίσεις c 2 είναι η µέση τιµή, και Ν ο αριθµός των σηµείων s είναι η διασπορά, τ ηυστέρηση. r x 1 Ν τ Ν i 1 ( τ) = =+ τ ( χ χ)( χ χ) i s 2 i τ Συνάρτηση αµοιβαίας πληροφορίας όπου µετράει γραµµικές και µη-γραµµικές συσχετίσεις τ=1 τ=2
ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Σύστηµα Lorenz: Σύστηµα τριώνµη-γραµµικών Συνήθεις ιαφορικών Εξισώσεων Σ..Ε. Χαοτικό δυναµικό σύστηµα γιατιµές παραµέτρων α=10, b=28, c=8/3 dx = α ( y x) dt dy = bx y xz dt dz = xy cz dt
ΜΗ - ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Αναλλοίωτα µέτρα του συστήµατος (invariant measures) ιάσταση Συσχέτισης (correlation dimension) εκφράζει την µορφοκλασµατική δοµή του ελκυστή (αυτό-οµοιότητα) Βασική Ιδέα είναι η πιθανότητα δύο σηµείων να βρίσκονται σε απόσταση µικρότερη του r µεταβάλεται ως προς r ανάλογα µε κάποιαδύναµη τουr P( x - x < r) i j µi : αριθµός των σηµείων που βρίσκονται µέσα σε σφαίρα µε ακτίναr και κέντρο xi m i» P( xi - xj < r) x Άθροισµα συσχέτισης m i» r n x ( i j ) N N 2 Cr () = Θ r x x N( N 1) = = + i 1 j i 1 Μετράει όλα τα δυνατά ζευγάρια που απέχουν απόσταση <r Grassberger P, Procaccia I. Measuring the strangeness attractors. Physica, D9, 189-208
Εκτίµηση της ιάστασης Συσχέτισης Εκτίµηση d log C( r) n = d logr ν ακέραιος : ελκυστής είναι συνήθης γεωµετρικό αντικείµενο ν µη-ακέραιος : ελκυστής είναι µορφοκλασµατικό αντικέιµενο Σύγκλιση ν(m) για m ικανοποιητικά µεγάλο 25 local slope, τ=2 m=1,...,13 2.2 correlation dimension 20 2 1.8 slope 15 10 5 2,07 ν(m) 1.6 1.4 1.2 1 Εκτίµηση διάστασης συσχέτισης για το σύστηµα Lorenz στην χαοτική περιοχή ~ 2,07 0-1.5-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 log r 0.8 0 2 4 6 8 10 12 14 m
ΜΗ - ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ (συνέχεια) Αναλλοίωτα µέτρα του συστήµατος (invariant measures) Εκθέτη Lyapunov µετράει το µέσο βαθµό απόκλισης και σύγκλισης των τροχιών στον ελκυστή Αρχική απόσταση δύο κοντινών τροχιών θα πρέπει να µεταβάλεται εκθετικά µε τοχρόνο. d = c - c Ά o i i Μετά από χρόνο t: d = c - c Ά t i + t i + t λ>0 δηλώνει τον βαθµό απόκλισης ένδειξη χαοτικού συστήµατος λ<0 δηλώνει τον βαθµό σύγκλισης Schreiber T, Kantz H, Hegger R. Practical implementation of nonlinear time series methods: The TISEAN package,1998
ΕΙ Η ΘΟΡΥΒΟΥ cn+ 1 = F( cn, l, n, wn) ΘΟΡΥΒΟΣ ΚΑΙ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ Θόρυβο µέτρησης ή παρατήρησης (measurement noise) θεωρείται λευκός (white noise) προσθετικά (additive noise) C = c + w n n n πολλαπλασιαστικά (multiplicative) C = Hw (, c ) n n n υναµικό θόρυβο (dynamical noise) προσθετικά (additive noise) πολλαπλασιαστικά (multiplicative) c + 1 = F( c, l, n) + w n n n cn+ 1 = F( cn, g( l, wn), n) ΕΠΙ ΡΑΣΗ ΘΟΡΥΒΟΥ Ηεκτίµηση των ανεξάρτητων µεταβλητών (correlation dimension, lyapounov exponent), επηρεάζεται από το επίπεδο θορύβου που περιέχουν οι τιµές
Επίδραση Λευκού Θορύβου ΕΠΙ ΡΑΣΗ ΘΟΡΥΒΟΥ 3 Correlation dimension 2.5 2 ν(m) 1.5 1 Lorenz with 2% noise with 5% noise with 10% noise 0.5 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 m
ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΜΕΘΟ ΩΝ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΣΤΗΝ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΑ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΑΝΕΜΟΥ Περιγραφή Εβδοµαδιαίες τιµές ταχύτητας ανέµου όλων των διευθύνσεων από τον σταθµό της Νέας Αγχιάλου Περίοδο µέτρησης από 1/1/1956 έως 31/12/1986, συνολικά 1488 τιµές Χρονοσειρά
power 10 0 10-2 ΑΝΑΛΥΣΗ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΑΣ Φάσµα ισχύος power spectrum as funtion of frequency 10 2 X: 0.02083 Y: 25.14 X: 0.04167 Y: 3.342 X: 0.0625 Y: 6.429 1η f = 0.02083 η οποία αντιστοιχεί σε περίοδο ενός έτος 2η f = 0.04167 η οποία αντιστοιχεί σε περίοδο περίπου µισού έτος 3η f = 0.0625 η οποία αντιστοιχεί σε περίοδο περίπου τριών µηνών 10-4 10-6 y=0.00011*x (-1.67) R=0.999 P( f) = f a 10 5 10-3 10-2 10-1 frequency (Hz) Periodogram (in db), N=2000 Αποτελεί ένδειξη µορφοκλασµατικής συµπεριφορά 0-5 10*log 10 (P per (f)) -10-15 -20-25 -30-35 Φάσµα ισχύος χρονοσειράς λευκού θορύβου -40 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 frequency f
ΑΝΑΛΥΣΗ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΑΣ αφαίρεση τάσης και εποχικότητας χωρίς αφαίρεση θορύβου Εκτίµηση διάστασης συσχέτισης χρονοσειρά Επιλογή χρόνου υστέρησης τ 0.6 2 Mutual Information 0.4 1.8 variable 0.2 0-0.2-0.4 I(τ) 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 Τ=2 τ =2-0.6 0.4-0.8 0 500 1000 1500 time 0.2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 lag τ Παρατηρείται σύγκλιση µε εύρος 2.0-4.0 (to appear in Chaos, Solitons and Fractals 2008)
ΑΝΑΛΥΣΗ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΑΣ αφαίρεση τάσης, εποχικότητας και αφαίρεση θορύβου Εκτίµηση διάστασης συσχέτισης Παρατηρείται σύγκλιση µε εύρος 2.5-3.6 (to appear in Chaos, Solitons and Fractals 2008)
ΑΝΑΛΥΣΗ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΑΣ αφαίρεση τάσης και εποχικότητας µε αφαίρεση θορύβου Εκτίµηση µέγιστου εκθέτη Lyapunov (to appear in Chaos, Solitons and Fractals 2008) Εκτίµηση λ1 0.286±0.005
ΕΛΕΓΧΟΣ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ surrogate data test for nonlinearity null hypothesis S q - o = > S q q 1, 96 q o q S q ητιµή της αρχικής χρονοσειράς (διάσταση συσχέτισης) ο µέσος όρος των τιµών από τις νέες χρονοσειρές (surrogate data) και η τυπική απόκλιση των τιµών της µεταβλητής που επιλέξαµε. 35 τιµή αρχικής χρονοσειράς 3,10 30 25 τυπική απόκλιση µέσος όρος ρχείων surrogates 0,257 4,78 surrogates dat 20 15 διάσταση συσχέτισης surrogates data S 6,549 10 5 διάσταση συσχέτισης χρονοσειράς χωρίς θόρυβο 0 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 διάσταση συσχέτισης Kugiumtzis D and Aifantis E. Statistical analysis for long term correlations in the stress time series of jerky flow.2004 Schreiber T and Schmitz A. Improved surrogate data for nonlinearity tests, Physical Review Letter Vol. 77, pp. 635, 1996.
ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ - ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Η εκτίµηση της διάστασης συσχέτισης µε εύρος 2,5 3.6 Η εύρεση θετικού εκθέτη Lyapunov στην τιµή περίπου0,28 Ηεφαρµογή του τεστ των υποκατάστατων δεδοµένων πιθανή ύπαρξη χαµηλοδιάστατου ελκυστή. Το σύστηµα περιέχει χαοτική συνιστώσα (low dimensional chaos) [Zeng and Pielke, 1993] Η επίδραση του θορύβου έχει ως αποτέλεσµα την αύξηση της διάστασης συσχέτισης Η αφαίρεση θορύβου κρίνεται απαραίτητη, καθώς µπορούµε µε πιο ξεκάθαρο τρόπο να εκτιµήσουµε την διάσταση συσχέτισης
ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ - ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Η εφαρµογή γραµµικών µοντέλων πρόβλεψης θα οδηγούσε σε λανθασµένα αποτελέσµατα. Η πιθανή ύπαρξη χαµηλοδιάστατου µας οδηγεί στην εφαρµογή µη γραµµικών µοντέλων πρόβλεψης Η πρόβλεψη της συµπεριφοράς των ανέµων θα αποτελούσε σηµαντικό εργαλείο στην σχεδίαση των κατασκευών. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Εξέταση χρονοσειρών οι οποίες να προέρχονται από διαφορετικά µέρη (άλλη γεωµορφολογία-κλιµατολογικές συνθήκες) Εφαρµογή µοντέλων πρόβλεψης Εξέταση χρονοσειρών ανέµων µε περισσότερα σηµεία και διαφορετικό µέσο όρο
ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΑΣ
ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Σύστηµα Lorenz: Σύστηµα τριώνµη-γραµµικών Συνήθεις ιαφορικών Εξισώσεων Σ..Ε. Χαοτικό δυναµικό σύστηµα γιατιµές παραµέτρων α=10, b=28, c=8/3 dx = α ( y x) dt dy = bx y xz dt dz = xy cz dt
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ Συνάρτηση Αυτοσυσχέτισης (autocorrelation function) µετράει µόνο την γραµµική συσχέτιση µεταξύ των διαδοχικών τιµών µιας χρονοσειράς r x 1 Ν τ Ν i 1 ( τ) = =+ τ ( χ χ)( χ χ) i s 2 i τ χ 2 είναι η µέση τιµή, s είναι η διασπορά τ, η υστέρηση.και Ν ο αριθµός των σηµείων Φάσµα Ισχύος(power spectrum) M 1 Px( f) lime Xe 2 1 i2π fn = n M M+ n= M 2 εύρεση ισχυρών συχνοτήτων P( f) = f a 10 Periodogram (in db), N=2000 40 Periodogram (in db), N=2000 10*log 10 (P per (f)) 5 0-5 -10-15 -20-25 -30 Φάσµα ισχύος χρονοσειράς λευκού θορύβου 10*log 10 (P per (f)) 30 20 10 0-10 -20 Φάσµα ισχύος συστήµατος Lorenz στην χαοτική περιοχή -35-30 -40 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 frequency f -40 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 frequency f