Kάθε γήσιο ατίτυο φέρει τη υογραφή του συγγραφέα Με το συγγραφέα εικοιωείτε: Tηλ. 310.348.086, e-mail: thanasisenos@ahoo.gr ISBN 978-960-456-09-9 Copright: Ξέος Θ., Eκδόσεις Zήτη, Μάρτιος 008, Θεσσαλοίκη Tο αρό έργο ευματικής ιδιοκτησίας ροστατεύεται κατά τις διατάξεις του Eλληικού όμου (N.11/1993 όως έχει τροοοιηθεί και ισχύει σήμερα) και τις διεθείς συμβάσεις ερί ευματικής ιδιοκτησίας. Aαγορεύεται αολύτως η άευ γρατής άδειας του εκδότη και συγγραφέα κατά οοιοδήοτε τρόο ή μέσο ατιγραφή, φωτοαατύωση και ε γέει αααραγωγή, εκμίσθωση ή δαεισμός, μετάφραση, διασκευή, ααμετάδοση στο κοιό σε οοιαδήοτε μορφή (ηλεκτροική, μηχαική ή άλλη) και η ε γέει εκμετάλλευση του συόλου ή μέρους του έργου. Φωτοστοιχειοθεσία Eκτύωση Bιβλιοωλείο www.iti.gr Π. ZHTH & Σια OE 18ο χλμ Θεσ/ίκης-Περαίας T.Θ. 4171 Περαία Θεσσαλοίκης T.K. 570 19 Tηλ.: 390 7. (10 γραμ.) - Fa: 390 7.9 e-mail: info@iti.gr Aρμεοούλου 7 546 35 Θεσσαλοίκη Tηλ. 310 03.70, Fa 310 11.305 e-mail: sales@iti.gr
Πρόλογος Τ ο βιβλίο αυτό αευθύεται σε φοιτητές Θετικώ Ειστημώ και Πολυτεχείου και εριέχει τη ύλη του μαθήματος τω Μιγαδικώ Συαρτήσεω (ή της Μιγαδικής Αάλυσης). Οι μέθοδοι της Μιγαδικής Αάλυσης χρησιμοοιούται για τη είλυση ροβλημάτω της ειστήμης και της τεχολογίας. Η Μιγαδική Αάλυση θεμελιώθηκε αυστηρά το 19 ο αιώα αό τους Cauch, Riemann, Weierstrass, Gauss, κ.ά. Τα κεφάλαια ου αατύσσοται στο βιβλίο αυτό είαι: 1. Το σύολο τω μιγαδικώ αριθμώ. Όριο και συέχεια μιγαδικώ συαρτήσεω 3. Παράγωγος μιγαδικώ συαρτήσεω 4. Ολοκλήρωση μιγαδικώ συαρτήσεω 5. Σειρές μιγαδικώ συαρτήσεω 6. Ολοκληρωτικά υόλοια 7. Σύμμορφες αεικοίσεις. Η θεωρία αρουσιάζεται συοτικά και λύοται ατιροσωευτικά αραδείγματα για κάθε ερίτωση. Σε κάθε κεφάλαιο ροτείοται ασκήσεις για λύση, για τις οοίες δίοται υοδείξεις και αατήσεις στο τέλος του βιβλίου. Μάρτιος 008 Θ. Ξέος
Περιεχόμεα Κεφάλαιο 1 Το σύολο τω μιγαδικώ αριθμώ 1.1 Πράξεις και μέτρο μιγαδικώ αριθμώ...9 1.1.1 Ορισμός του συόλου ` τω μιγαδικώ αριθμώ...9 1.1. Γεωμετρική αράσταση τω μιγαδικώ αριθμώ...10 1.1.3 Ισότητα και ράξεις μιγαδικώ αριθμώ...11 1.1.4 Ο διαυσματικός χώρος `...1 1.1.5 Μέτρο μιγαδικώ αριθμώ...1 1. Τριγωομετρική μορφή μιγαδικού αριθμού...19 1..1 Ορισμός της τριγωομετρικής μορφής μιγαδικού αριθμού...19 1.. Τριγωομετρική μορφή γιομέου και ηλίκου μιγαδικώ αριθμώ...0 1.3 Πολυωυμικές εξισώσεις στο σύολο `...8 1.4 Ρίζες μιγαδικώ αριθμώ...31 Προτειόμεες ασκήσεις...37 Κεφάλαιο Όριο και συέχεια μιγαδικώ συαρτήσεω.1 Η έοια της μιγαδικής συάρτησης...41. Όριο μιγαδικής συάρτησης...48..1 Ακολουθία μιγαδικώ αριθμώ...48.. Όριο μιγαδικής συάρτησης...48.3 Συέχεια μιγαδικής συάρτησης...5 Προτειόμεες ασκήσεις...56
6 Μιγαδικές Συαρτήσεις Κεφάλαιο 3 Παράγωγος μιγαδικώ συαρτήσεω 3.1 Η έοια της αραγώγου μιγαδικής συάρτησης... 59 3. Παράγωγος στοιχειωδώ μιγαδικώ συαρτήσεω... 61 3.3 Καόες αραγώγισης μιγαδικώ συαρτήσεω... 63 3.4 Οι συθήκες τω Cauch - Riemann... 64 3.5 Αρμοικές συαρτήσεις... 70 Προτειόμεες ασκήσεις... 74 Κεφάλαιο 4 Ολοκλήρωση μιγαδικώ συαρτήσεω 4.1 Ολοκλήρωση μιγαδικώ συαρτήσεω ραγματικής μεταβολής... 77 4. Μιγαδικό εικαμύλιο ολοκλήρωμα... 79 4.3 Ολοκλήρωμα ολόμορφης μιγαδικής συάρτησης... 88 4.4 Ολοκληρωτικός τύος του Cauch... 100 4.5 Τα θεωρήματα Morera και Liouville... 106 4.6 Τα θεωρήματα μέγιστου και ελάχιστου μέτρου... 108 Προτειόμεες ασκήσεις... 111 Κεφάλαιο 5 Σειρές Μιγαδικώ Συαρτήσεω 5.1 Σειρές μιγαδικώ αριθμώ... 115 5. Σειρές μιγαδικώ συαρτήσεω... 11 5.3 Η σειρά Talor... 17 5.4 H σειρά Laurent... 136 5.5 Αώμαλα σημεία και όλοι... 144 Προτειόμεες ασκήσεις... 153
Περιεχόμεα 7 Κεφάλαιο 6 Ολοκληρωτικά Υόλοια 6.1 Θεωρία ολοκληρωτικώ υολοίω...157 6. Υολογισμός ολοκληρωμάτω ειδικής μορφής...166 6.3 Ρίζες ολόμορφω συαρτήσεω...173 Προτειόμεες ασκήσεις...176 Κεφάλαιο 7 Σύμμορφες Αεικοίσεις 7.1 Η έοια της σύμμορφης αεικόισης...179 7. Ο μετασχηματισμός Möbius...190 7.3 Ο μετασχηματισμός Schwart - Christoffel...197 Προτειόμεες ασκήσεις...01 Σύτομες λύσεις τω ασκήσεω...03-3 1 ου κεφαλαίου...03 ου κεφαλαίου...05 3 ου κεφαλαίου...08 4 ου κεφαλαίου...11 5 ου κεφαλαίου...15 6 ου κεφαλαίου...0 7 ου κεφαλαίου... Βιβλιογραφία...5 Ευρετήριο όρω...7
1 ο 1.1: Πράξεις και μέτρο μιγαδικώ αριθμώ 9 Kεφάλαιο Το Σύολο τω Μιγαδικώ Αριθμώ 1.1 Πράξεις και μέτρο μιγαδικώ αριθμώ 1. Τριγωομετρική μορφή μιγαδικού αριθμού 1.3 Πολυωυμικές εξισώσεις στο σύολο C 1.4 Ρίζες μιγαδικώ αριθμώ 1.1 Πράξεις και μέτρο μιγαδικώ αριθμώ 1.1.1 Ορισμός του συόλου ` τω μιγαδικώ αριθμώ ΘΘ... ΞΞ έ οο ς Το σύολο ` τω μιγαδικώ αριθμώ είαι έα υερσύολο του συόλου o τω ραγματικώ αριθμώ, στο οοίο: α) Υάρχει στοιχείο i με i =- 1. β) Κάθε στοιχείο Œ` γράφεται με μοαδικό τρόο στη μορφή = α+ βi, α, βœo. γ) Η ρόσθεση και ο ολλαλασιασμός εεκτείοται στο ` ως εξής: (α + βi) + (γ + δi) = (α + γ) + (β + δ)i (α + βi) (γ + δi) = (αγ - βδ) + (αδ + βγ)i και έχου τους ίδιους καόες λογισμού όως στο o. Μηδεικό στοιχείο του ` είαι το 0= 0+ 0i, εώ μοαδιαίο στοιχείο είαι το 1= 1+ 0i. Ατίθετος του μιγαδικού αριθμού = α+ βi είαι ο - =-α- βi, εώ ατίστροφος του = α+ βi 0 είαι ο 1 1 α-βi α β = = = - α+ βi α + β α + β α + β i. Το σύολο ` τω μιγαδικώ αριθμώ, με τη ρόσθεση και το ολλαλασιασμό, είαι έα σώμα.
10 Κεφάλαιο 1: Το Σύολο τω Μιγαδικώ Αριθμώ Για το μιγαδικό αριθμό = α+ βi, με α,βœo, ο α οομάζεται ραγματικό μέρος και γράφουμε α= Re(), εώ ο β οομάζεται φαταστικό μέρος και γράφουμε β= Ιm(), Έας μιγαδικός αριθμός της μορφής = βi, με βœo, οομάζεται φαταστικός αριθμός. Το σύολο τω φαταστικώ αριθμώ συμβολίζεται με f. Οι ραγματικοί και οι φαταστικοί αριθμοί είαι μιγαδικοί και ισχύου α) oã `, f«`, o«f = {0}, β) Œ o Im() = 0, γ) Œ f Re() = 0. 1.1. Γεωμετρική αράσταση τω μιγαδικώ αριθμώ Σε κάθε μιγαδικό αριθμό = α+ βi, με α,βœo, ατιστοιχίζουμε το σημείο Μ(α, β) εός καρτεσιαού ειέδου και ατιστρόφως. Το σημείο M οομάζεται εικόα του στο είεδο και το συμβολίζουμε με Μ() ή ακόμα λέμε ότι είαι το σημείο α+ βi. β Ο α Μ() Το είεδο ου εριέχει τις εικόες τω μιγαδικώ αριθμώ οομάζεται μιγαδικό είεδο ή είεδο Gauss. Οι εικόες τω ραγματικώ αριθμώ βρίσκοται στο άξοα τω (ραγματικός άξοας), εώ οι εικόες τω φαταστικώ αριθμώ βρίσκοται στο άξοα τω (φαταστικός άξοας). Ο μιγαδικός αριθμός = α+ βi αριστάεται, εκτός αό το σημείο M(α, β), και με τη διαυσματική ακτία (διάυσμα θέσης) ΟΜ του Μ. Ο Στο εξής οι όροι «ο μιγαδικός», «το σημείο» και «το Μ() διάυσμα» χρησιμοοιούται χωρίς διάκριση. Ν( ) Οι εικόες δύο ατίθετω μιγαδικώ αριθμώ είαι δύο σημεία συμμετρικά ως ρος τη αρχή Ο τω αξόω.
1.1: Πράξεις και μέτρο μιγαδικώ αριθμώ 11 Η γεωμετρική αράσταση του αθροίσματος 1+ και της διαφοράς 1 - = = 1+ (- ) δύο μιγαδικώ 1 και, γίεται με τη βοήθεια του καόα του αραλληλογράμμου, όως ακριβώς και στα διαύσματα. ₂ Ο ₂ ₁ ₂ ₁ ₁+₂ 1.1.3 Ισότητα και ράξεις μιγαδικώ αριθμώ Δύο μιγαδικοί αριθμοί 1 = α+ βi και = γ+ δi, με α,β,γ,δœo, είαι ίσοι, ό- τα έχου τη ίδια εικόα στο είεδο Gauss, δηλαδή α+ βi= γ+ δi α= γ και β= δ Συζυγής του μιγαδικού αριθμού = α+ βi, με α,βœo, ο- ομάζεται ο μιγαδικός = α- βi. Τα σημεία και είαι συμμετρικά ως ρος το άξοα. Το ηλίκο δύο μιγαδικώ αριθμώ βρίσκεται ως εξής: α+ βi (α+ βi)(γ- δi) (αγ+ βδ) + (βγ-αδ)i = = = γ+ δi (γ+ δi)(γ- δi) γ + δ αγ + βδ βγ -αδ = + i. γ + δ γ + δ Α Œ` και Œk, τότε Α 0, τότε * 0 = 1. = º ( αράγοτες). * k - 1 Α 0 και k=-, Œk, τότε = =. Για τις δυάμεις του i με ακέραιο εκθέτη ισχύει Ï 1, α = 4k i α 4k 1 Ô = + i = Ì (, k ακέραιοι) Ô - 1, α = 4k + Ô- Ó i α = 4k+ 3 Για αράδειγμα, έχουμε 4 10 4+ i = i =- 1, -1 4( - 1) + 3 i = i =- i και -7 4 ( - 7) + 1 i = i = i Ο
1 Κεφάλαιο 1: Το Σύολο τω Μιγαδικώ Αριθμώ Για κάθε μιγαδικό αριθμό ισχύει α) + = Re() β) - = iim() γ) = Re() + Im() δ) = Œo ε) =- Œf. Είσης, για οοιουσδήοτε μιγαδικούς,, 1 º, ισχύει 1) 1+ +º = 1+ +º ) 1- = - 3) 1 º = 1 º, οότε = 4) Á = Ë 1 1. 1.1.4 Ο διαυσματικός χώρος ` Το σύολο ` τω μιγαδικώ αριθμώ με ράξεις τη ρόσθεση μιγαδικώ και το ολλαλασιασμό ραγματικού αριθμού με μιγαδικό αριθμό, είαι έας (γραμμικός ή ραγματικός) διαυσματικός χώρος. Εειδή `= {α 1+ β i /α, β Œo }, οι μιγαδικοί 1 και i αράγου το διαυσματικό χώρο `. Τα στοιχεία 1 και i του ` είαι γραμμικώς αεξάρτητα, εειδή ισχύει η ισοδυαμία λ1 1+ λ i= 0+ 0i λ1= λ = 0. Άρα, μια βάση του ` είαι το σύολο B = {1,i} και η διάσταση του ` είαι. 1.1.5 Μέτρο μιγαδικώ αριθμώ Μέτρο του μιγαδικού αριθμού = α+ βi, με α, βœo, οομάζεται η αόσταση της εικόας του αό τη αρχή τω αξόω και συμβολίζεται με. Εομέως, ορίζουμε: = α+ βi = α + β.
1.1: Πράξεις και μέτρο μιγαδικώ αριθμώ 13 Για αράδειγμα, έχουμε 3-4i = 9+ 16= 5, i = 4 = και Για κάθε μιγαδικό αριθμό ισχύει α) =- = και β) =. Είσης, για κάθε,, 1 º,Œ` έχουμε i) 1 º = 1º, οότε =, Œw ii) 1 1 =, iii) 1-1+ 1 + Η αόσταση τω εικόω M 1 και M τω μιγαδικώ 1 και ισούται με το μέτρο της διαφοράς τους, δηλαδή (M1M ) = 1- Άμεσες συέειες της ιδιότητας αυτής είαι οι εξής: αi = α = α, α Œo. 1) Το σημείο αήκει στο κύκλο κέτρου 0 και ακτίας ρ, α και μόο α ισχύει - 0 = ρ. Για αράδειγμα, η εξίσωση - i = 1 αριστάει το κύκλο με κέτρο το σημείο Κ(0, ), δηλαδή τη εικόα του 0 = i, και ακτία ρ= 1. ) Η αίσωση - 0 ρ αριστάει το κυκλικό δίσκο κέτρου 0 και ακτίας ρ. Ο 1+ 1 1+ 1 1 ρ 0 3) Η εξίσωση - 1 = - αριστάει τη μεσοκάθετη του ευθύγραμμου τμήματος με άκρα τα σημεία 1 και. A(1) M() B() 4) Η εξίσωση - 1 + - = α, με 1- < α, αριστάει τη έλλειψη με εστίες τα σημεία, 1 και μεγάλο άξοα α. 1
14 Κεφάλαιο 1: Το Σύολο τω Μιγαδικώ Αριθμώ 5) Η εξίσωση -1 - - = α, με 1- > α, αριστάει τη υερβολή με εστίες τα σημεία, και αόσταση κορυφώ α. 1 ₁ ₂ Παράδειγμα 1.1.1 Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας ου διέρχεται αό τα σημεία 1 και του μιγαδικού ειέδου. Το σημείο Μ() αήκει στη ευθεία ου ερά αό τα σημεία A( 1) και Β( ), α και μόο α ισχύει AΜ = λαβ OM - OA = λ(οβ- ΟΑ) - 1= λ(- 1) = (1- λ)1+ λ, λœo Η τελευταία είαι η ζητούμεη εξίσωση. ε Ο Α(1) Μ() Β() Παράδειγμα 1.1. Να βρεθεί το κέτρο βάρους του τριγώου με κορυφές τα σημεία, 1 και 3 του μιγαδικού ειέδου. Το διάυσμα θέσης του μέσου Μ του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ είαι Α(₁) 1 OM = (OB + OΓ) G Ο Β(₂) Μ Γ(₃) και για το κέτρο βάρους G του τριγώου ΑΒΓ ισχύει = ΑG GM ή - = - OG OA (OM OG) ή 1 1 3OG = OA + OM ή OM = (OA + OB + OΓ) ή = (1+ + 3). 3 3 1+ + 3 Άρα, το κέτρο βάρους του τριγώου ΑΒΓ είαι το σημείο =. 3
1.1: Πράξεις και μέτρο μιγαδικώ αριθμώ 15 Παράδειγμα 1.1.3 Οι διαφορετικοί αά δύο μιγαδικοί,,, 1 3 4 έχου εικόες τα σημεία Α, Β, Γ, Δ στο μιγαδικό είεδο. Να αοδεχθεί ότι οι ευθείες ΑΒ και ΓΔ είαι κάθετες, α και 1- μόο α ο αριθμός = είαι φαταστικός. - 3 4 Θέτοτας k = k + ik, με i= 1,,3,4 έχουμε: - - Œ f =- = - - 1 1 3 4 3 4 (13+ 1 3) + (4 + 4) = (3+ 3) + (14 + 1 4) (13+ 1 3) + (4 + 4) = (3+ 3) + (14 + 1 4) (- 1)(4-3) + (- 1)(4-3) = 0 (- 1,- 1) (4-3,4-3) = 0 AB ΓΔ = 0 AB ^ΓΔ. Παράδειγμα 1.1.4 Να βρεθεί η συθήκη μεταξύ τω μιγαδικώ 1 και ώστε α ισχύει α) 1+ = 1 +, β) 1- = 1 +, γ) 1+ = 1- α) Α Α, Β είαι οι εικόες τω, 1 στο μιγαδικό είεδο, έχουμε 1+ = 1 + OA + ΟΒ = OA + ΟΒ ΟΑ ΟΒ ΟΑ = λοβ, λ 0 ή ΟΒ = 0 1= λ, λ 0 ή = 0 Άρα, η ισότητα 1+ = 1 + αληθεύει ότα Ο Α(1) Β()
16 Κεφάλαιο 1: Το Σύολο τω Μιγαδικώ Αριθμώ 1 = 0 ή 0 β) Ομοίως βρίσκουμε 1 = 0 ή 0. γ) 1+ = 1-1+ = 1-1+ 1+ = 1-1- ( )( ) ( )( ) 1 + 1 = 0 1 + 1 = 0 Re() 1 = 0 1 Œf. 1 1 Άρα, = 0 ή = Œf. Παράδειγμα 1.1.5 Α το σημείο w =, με Œ` και ± i, κιείται στο άξοα τω, α βρεθεί ο γεωμετρικός τόος του σημείου + 1. Εειδή ο αριθμός w είαι φαταστικός, έχουμε w=- w =- + + + = 0 + 1 + 1 ( + 1) ( + ) = 0 ( + 1) ( + ) = 0 =- Œf. Άρα, ο γεωμετρικός τόος του είαι ο άξοας, εκτός αό τα σημεία i και i. Παράδειγμα 1.1.6 Nα βρεθεί η εξίσωση της γραμμής του καρτεσιαού ειέδου O ου αριστάει καθεμιά αό τις εξισώσεις α) - 8 = -, β) + i + - i = 6, γ) - - + =. α) Θέτουμε = + i, με, Œo, οότε η εξίσωση γράφεται
1.1: Πράξεις και μέτρο μιγαδικώ αριθμώ 17 ( - 8) + i = ( - ) + i ή ή ή ( - 8) + = 4[( - ) + ] - 16 + 64+ = 4-16 + 16+ 4 + = 16 (κύκλος με κέτρο τη αρχή Ο και ακτία 4). β) Α Μ είαι η εικόα του, η εξίσωση γράφεται (ΜΑ) + (ΜΒ) = 6, όου Α, Β είαι οι εικόες τω - i, i ατίστοιχα. Η εξίσωση αυτή αριστάει τη έλλειψη με εστίες τα σημεία A(0, - 1), B(0,1) και μεγάλο άξοα α = 6. Εειδή α= 3 και γ= 1, είαι β = α - γ = 8 και η εξίσωση της έλλειψης είαι - = 1 (οι εστίες αήκου στο άξοα ). 9 8 γ) Η εξίσωση αυτή αριστάει τη υερβολή με εστίες τα σημεία Α(, 0), Β( -, 0) και αόσταση κορυφώ α =. Είαι α= 1, γ= και β = γ - α = 3. Έτσι, η εξίσωση της υερβολής είαι - = 1. 1 3 Παράδειγμα 1.1.7 Α,, 1 3Œ` με 1 = = 3 και 1+ + 3 = 0, α αοδειχθεί ότι τα διαφορετικά σημεία,, 1 3 είαι κορυφές ισόλευρου τριγώου. Αρκεί α αοδειχθεί η ισότητα 1- = - 3 = 3-1. Η ισότητα 1- = - 3, εειδή =-1-3, γράφεται 1+ 3 = -1-3 ή 1+ 3 = 1+ 3 ή (1+ 3)(1+ 3) = (1+ 3)(1+ 3) ή 411+ 13+ 13+ 33= 11+ 13+ 13+ 433 ή 311 333 = ή 1 = 3, ου αληθεύει. Ομοίως διαιστώουμε ότι αληθεύει και η ισότητα 1- = 3-1.
18 Κεφάλαιο 1: Το Σύολο τω Μιγαδικώ Αριθμώ Παράδειγμα 1.1.8 Α για το μιγαδικό ισχύει -- i = 5, α βρεθεί η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή του -14-6i, καθώς και οι μιγαδικοί για τους οοίους συμβαίει καθεμιά αό τις τιμές αυτές. Εειδή -(+ i) = 5, το σημείο M() αήκει στο κύκλο κέτρου K(,1) και ακτίας ρ= 5. Η ευθεία ΑΚ τέμει το κύκλο στα σημεία Β και Γ. -14-6i = -(14+ 6i) = (ΜΑ), όου Α(14, 6) είαι η εικόα του 14 + 6i. Η ελάχιστη τιμή της αόστασης (ΜΑ) είαι η Μ Κ Β Α (AB) = (AK)-(KB) = (14 - ) + (6-1) - ρ = = 13-5 = 8, Γ εώ μέγιστη τιμή είαι η (ΑΓ) = (ΑΚ) + ρ = 13+ 5 = 18. Τα σημεία Β και Γ είαι οι εικόες τω μιγαδικώ 1 και ατίστοιχα, για τους οοίους το -14-6i γίεται ελάχιστο ή μέγιστο. Η ευθεία ΑΚ έχει εξίσωση 6-1 - 1 = (-), δηλαδή 14 - ( - ) + ( - 1) = 5. 5 1 = +, εώ ο κύκλος έχει εξίσωση 1 6 Λύουμε το σύστημα αυτώ τω δύο εξισώσεω και βρίσκουμε τις λύσεις 76 03 (,), 34 1 = και (,) = -, - Ë 13 78 Ë 13 13. 76 03 34 1 Άρα, 1 = + i και =- - i. 13 78 13 13
1.: Τριγωομετρική μορφή μιγαδικού αριθμού 19 1. Τριγωομετρική μορφή μιγαδικού αριθμού 1..1 Ορισμός της τριγωομετρικής μορφής μιγαδικού αριθμού ΘΘ... ΞΞ έ οο ς Κάθε γωία θ ου ικαοοιεί τις ισότητες = ρσυθ, = ρημθ οομάζεται όρισμα του μιγαδικού αριθμού = + i 0, εώ το μοαδικό όρισμα του ου αήκει στο διάστημα (-, ] οομάζεται ρωτεύο όρισμα του και συμβολίζεται με Arg. Οι αριθμοί ρ= = + και θ= Arg= τοξεφ Ë, με - < θ οομάζοται ολικές συτεταγμέες του μιγαδικού = + i. Η μορφή = ρ(συθ+ iημθ) οομάζεται τριγωομετρική μορφή 1 του 0. Για το = 0 δε ορίζεται όρισμα, άρα ούτε τριγωομετρική μορφή. Το σύολο τω ορισμάτω του συμβολίζεται με arg, δηλαδή ισχύει arg = Arg + k, k Œw. O ρ= θ Μ(,) Άμεσες συέειες τω αραάω είαι οι εξής ιδιότητες: α) Arg =- Arg, εκτός α < 0. β) Arg -Arg(- ) =. γ) Α = α> 0, τότε = α(συ0+ iημ0). δ) Α =- α< 0, τότε = α(συ+ iημ). ε) Α = αi, α> 0, τότε = α συ + iημ Ë. O θ θ _ È = α συ iημ Í - - Î Ë Ë. = = και Arg1= Arg. στ) Α =- αi, α> 0, τότε ζ) 1 1 1 Στη τριγωομετρική μορφή = ρ(συθ+ iημθ) η γωία θ είαι έα οοιοδήοτε όρισμα.
0 Κεφάλαιο 1: Το Σύολο τω Μιγαδικώ Αριθμώ η) ρ(συθ 1 1+ iημθ) 1 = ρ(συθ + iημθ) ρ1= ρ και θ1- θ = k, kœw. 1.. Τριγωομετρική μορφή γιομέου και ηλίκου μιγαδικώ αριθμώ α) Ισχύει ρ 1(συθ1+ iημθ 1) ρ (συθ+ iημθ ) = ρ1ρ [συ(θ1+ θ ) + iημθ1+ θ )] και η ιδιότητα αυτή γεικεύεται για ερισσότερους ₁₂ αό δύο μη μηδεικούς μιγαδικούς αριθμούς. ₁. ₂ Η γεωμετρική αράσταση του σημείου 1 δίεται θ₁ ₂ στο διλαό σχήμα. Έτσι, για αράδειγμα, το σημείο θ₂ ₁ i ροκύτει με στροφή του σημείου γύρω αό το O θ₁ Ο κατά γωία. β) Ισχύει ρ(συθ 1 1+ iημθ) 1 ρ 1 = [συ(θ 1- θ ) + i ημ(θ 1- θ )] ρ(συθ + iημθ) ρ 1 Η γεωμετρική αράσταση του σημείου δίεται στο διλαό σχήμα.. O 1 θ θ1 1 θ γ) Τύος De Moirre [ρ(συθ + i ημθ)] = ρ [συ(θ) + i ημ(θ)], Œw. δ) Ο μιγαδικός συθ + i ημ θ συμβολίζεται με iθ e, οότε έχουμε το τύο Euler iθ e = συθ+ iημθ, θœo. i Για θ = ροκύτει ότι e = συ+ iημ=- 1, δηλαδή έχουμε τη ισότητα i e + 1= 0, ου συδέει τους αριθμούς 0, 1,, e και i. Προφαώς, ισχύου οι ιδιότητες: i) iii) iθ iφ e = e θ- φ= k, k Œw, ii) e e iθ iφ i(θ-φ) iθ iφ i(θ+ φ) e e = e, iθ = e και iv) (e ) = e, Œw. iθ
1.: Τριγωομετρική μορφή μιγαδικού αριθμού 1 ε) Α = ρ(συθ+ iημθ), ρ> 0, τότε 1 1 = [συ( - θ) + iημ( - θ) ρ = ρ[συ( - θ) + iημ( - θ)] - = ρ[συ(θ- ) + iημ(θ- )]. θ θ O θ θ Παράδειγμα 1..1 Να γραφού με τριγωομετρική μορφή οι μιγαδικοί αριθμοί α) - 1+ i 3, β) - i, γ) συθ - i ημθ, δ) ημθ+ i συθ, ε) -(ημ θ - i συθ). α) Εειδή - 1+ i 3 =, έχουμε 1 3-1+ i 3= i συ iημ Á- + = + Ë Ë 3 3. β) - i = και γ) συθ - i ημθ = συ( - θ) + i ημ( - θ) δ) È - i= i συ iημ Á - = - + - Ë Í Î Ë 4 Ë 4 ημ θ+ i συθ = συ - θ + i ημ -θ Ë Ë ε) -(ημθ - i συθ) = ( - ημθ + i συθ) = [ημ( - θ) + i συ( - θ) Παράδειγμα 1.. È = συ θ iημ θ Í + + + Î Ë Ë. Να γραφού με τριγωομετρική μορφή οι μιγαδικοί αριθμοί α) 7 ( 3-i) 10 (1+ i), β) (- συθ+ iημθ) (ημ θ + i συθ) 4 5 και γ) 1+ συθ+ iημθ, - < θ<. α) Γράφουμε ρώτα τους μιγαδικούς 1 = 3- i και = 1+ i με τριγωομετρική μορφή. Εειδή 1 = και =, έχουμε
Κεφάλαιο 1: Το Σύολο τω Μιγαδικώ Αριθμώ 3 1 È 1 = i συ iημ Á - = - + - Ë Î Í Ë 6 Ë 6 και = i συ iημ Á + = + Ë Ë 4 4 Άρα, 7 È 7 7 7 συ ) iημ Í - + - Ë ) 1 6 Ë 6 È 7 5 7 5 10 = Î = 4 συ - - + iημ - - 10 È 10 10 Í 6 6 ( ) συ( ) iημ Î Ë Ë Í + Î 4 ( 4 ) È 11 11 È 11 11 = 4 συ iημ 4 συ 4 iημ 4 Í - + - = - + - Î Ë 3 Ë 3 Í Î Ë 3 Ë 3 = 4 συ + iημ Ë 3 3. β) 5 5 (- συθ + i ημ θ) [συ( - θ) + i ημ( -θ)] συ(5-5θ) + i ημ(5-5θ) 4 = 4 = (ημ θ + i συθ) È συ( - 4θ) + i ημ( - 4θ) Í συ( - θ) + i ημ( -θ Î ) = συ(5-5θ - + 4θ) + i ημ(5-5θ - + 4θ) = συ(3 - θ) + i ημ(3 - θ) = συ( - θ) + i ημ( - θ). γ) Σύμφωα με τους τύους 1+ συα = συ α και ημα = ημα συα έχουμε θ θ θ θ θ θ = 1+ συθ + i ημθ = συ + i ημ συ = συ συ + i ημ Ë, όου θ Œ-,. Ë Παράδειγμα 1..3 Να βρεθεί το σύολο τω σημείω στο μιγαδικό είεδο, σε καθεμιά αό τις εριτώσεις: 3 α) Arg =, β) Arg =- και 1, γ) Arg, 4 3 4 4 δ) Arg( + i) =, ε) Arg - i =, στ) Arg - =. Ë+ Ë + i 4
1.: Τριγωομετρική μορφή μιγαδικού αριθμού 3 = α) Το σημείο αήκει στη ημιευθεία =, > 0. O 4 β) Εειδή Arg =-, το σημείο αήκει στη ημιευθεία =- 3, > 0. Εειδή, όμως, 1, το σημείο αήκει και στο 3 μοαδιαίο κυκλικό δίσκο. Άρα, το ζητούμεο σύολο είαι το ευθύγραμμο τμήμα ΟΑ, χωρίς το Ο, όου το Α έχει συτεταγμέες 1 3 συ, ημ Á - - = Á, -. Ë Ë 3 Ë 3 Ë γ) Το σημείο αήκει στο εσωτερικό ή τις λευρές της γωίας ου σχηματίζου οι ημιευθείες =, > 0 και =-, < 0. O = 3 Α = 3 = δ) Α = + i, με, Œo, τότε + i = + ( + 1)i και εειδή Arg( + i) =, έχουμε = 0 και + 1> 0, 1 δηλαδή = 0 και >-. Άρα, το σημείο αήκει στο άξοα και έχει τεταγμέη ε) Θέτουμε = + i και έχουμε [( - ) + i ] [( + ) -i] [ ] [ ] 1 >-. - ( - ) + i + -4 4 = = = + + ( + ) + i ( + ) + i ( + ) - i ( + ) + ( + ) + Εειδή Arg - =, έχουμε Ë+ O i.
4 Κεφάλαιο 1: Το Σύολο τω Μιγαδικώ Αριθμώ + -4 ( + ) + δηλαδή < 0 4 και ( + ) + = 0 + < 4 και = 0 ή - < < και = 0. Άρα, το σημείο είαι εσωτερικό του ευθύγραμμου τμήματος με άκρα τα σημεία (, 0) και (, 0)., O στ) Ομοίως, βρίσκουμε - i + -1 = = i + i + (+ 1) + (+ 1) και είαι i Arg - = Ë + i 4 ότα το σημείο αήκει στη ημιευθεία =, > 0 δηλαδή ότα ισχύει + - = > 0 + (+ 1) + (+ 1) ή ή + + - 1= 0 και < 0 ( + 1) + = και < 0 Άρα, το σημείο αήκει στο τόξο ABΓ του κύκλου κέτρου Κ( - 1,0) και ακτίας, χωρίς τα άκρα του Α και B. + -1, Ë Á + (+ 1) + (+ 1) Κ( 1, 0) Β( 1, 0) O Α(0, 1) Γ(0, 1) Παράδειγμα 1..4 1 Α Œ` με - i =, α βρεθεί η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή του Arg. Το σημείο αήκει στο κύκλο κέτρου Κ(0, 1) και ακτίας ρ =. Α φέρουμε τις εφατόμεες ΟΑ και ΟΒ του 1 κύκλου αυτού, η ελάχιστη τιμή του Arg είαι η γωία OA, εώ μέγιστη τιμή είαι η OB. Οι δύο εφατόμεες έχου εξίσωση της μορφής = λ και εειδή η αόσταση Β O Κ Α
1.: Τριγωομετρική μορφή μιγαδικού αριθμού 5 του Κ α αυτές ισούται με τη ακτία, έχουμε λ0-1 1 = λ + 1 ή λ + 1= ή λ = 3 ή λ=± 3. Εομέως ΟΑ : = 3 και ΟB: =- 3, οότε: OA = τοξεφ 3 = 3 και OΒ = τοξεφ( - 3) =. 3 Παράδειγμα 1..5 Να βρεθεί ο μιγαδικός αριθμός για το οοίο ισχύει = + i και Arg( + ) =-. 4 Α θέσουμε = + i, με, Œo, η ισότητα = + i γράφεται + = + (+ ), οότε =- 1. Ο μιγαδικός + = (- i) + = (+ ) - i έχει ρωτεύο όρισμα -, ότα το ση- 4 >, δηλαδή ότα + = 1. μείο ( +, - 1) αήκει στη ημιευθεία =-, 0 Άρα =-1- i. Παράδειγμα 1..6 Α Œ` με - 1 και = 1, αοδείξτε ότι υάρχει α Œo με 1+ αi =. 1 - αi Α θ είαι έα όρισμα του, τότε ισχύει θ θ θ θ θ συ + i ημ συ + i ημ 1+ iεφ = συθ+ iημθ= = = θ θ θ θ θ συ - + iημ - συ -iημ 1-iεφ Ë Ë 1+ αi =, όου 1 - αi θ α= εφ.
6 Κεφάλαιο 1: Το Σύολο τω Μιγαδικώ Αριθμώ Παράδειγμα 1..7 iθ α) Να βρεθεί το σημείο e του μιγαδικού ειέδου, α είαι γωστά το σημείο και ο ραγματικός αριθμός θ. β) Κατά οια γωία ρέει α στραφεί το διάυσμα + i για α ροκύψει το διάυσμα - + 3i ; α) Α = ρ(συφ+ iημφ), τότε ισχύει iθ iφ iθ i(θ+ φ) e = ρe e = ρe = ρ[συ(θ + φ) + i ημ(θ + φ)], ου σημαίει ότι το σημείο e iθ ροκύτει με στροφή του σημείου κατά γωία θ. β) Α θ είαι η ζητούμεη γωία, σύμφωα με τα αραάω, ισχύει iθ ( + i)e =- + 3i - + 3i (- + 3i )(-i) ή συθ + i ημ θ = = = + i + i + κι εομέως θ =. 4 Παράδειγμα 1..8 Να αοδειχθεί ότι κάθε σημείο του κύκλου με κέτρο το σημείο 0 και ακτία ρ γράφεται με τη μορφή 0 iθ = + ρe, θœo. Για οοιοδήοτε σημείο του κύκλου κέτρου 0 και ακτίας ρ ισχύει - 0 = ρ, οότε υάρχει θœo με - = ρ(συθ+ iημθ) = ρe ή 0 iθ 0 iθ = + ρe. ei θ ρ ρ θ O φ Παράδειγμα 1..9 Α τα σημεία,, 1 3 του μιγαδικού ειέδου είαι κορυφές ισόλευρου τριγώου, α αοδειχθεί ότι 1 3 1 3 3 1 + + = + +.
1.: Τριγωομετρική μορφή μιγαδικού αριθμού 7 Με στροφή του BΓ = 3- κατά γωία 3 ροκύτει το ΒΑ = 1-, οότε ισχύει i 3 1 3 - = e ( - ) (1) Ομοίως, με στροφή του ΓΑ = 1-3 κατά γωία 3 ροκύτει το ΓΒ = -3 οότε ισχύει i 3 3 1 3 - = e ( - ) () Με διαίρεση τω (1) και () κατά μέλη ροκύτει ότι και μετά αό ράξεις έχουμε τη ζητούμεη σχέση. O 3 B() 1- - = - - 3 3 1 3 3 3 Α(1) Γ(3) Παράδειγμα 1..10 Nα εκφραστού τα ημ5θ και συ5θ συαρτήσει τω ημ θ και συ θ. Σύμφωα με τη ταυτότητα -1 - -1 (α + β) = α + α β + α β +º+ αβ + β Ë Á1 Ë Á Ë Á-1 και το θεώρημα De Moivre, έχουμε 5 συ5θ+ iημ5θ = (συθ+ iημθ) 5 5 4 5 3 5 3 3 = συ θ + Á συ θ i ημ θ + συ θ i ημ θ + συ θ i ημ θ Ë 1 Á Ë Á Ë 3 5 συθ i 4 ημ 4 θ i 5 ημ 5 + Á + θ Ë4 5 3 4 4 3 5 = (συ θ- 10συ θημ θ+ 5συθημ θ) + i(5συ θημθ- 10συ θημ θ+ ημ θ) κι εομέως 5 3 4 συ5θ = συ θ - 10συ θημ θ + 5συθημ θ και 4 3 5 ημ5θ = 5συ θημθ - 10συ θημ θ + ημ θ.
8 Κεφάλαιο 1: Το Σύολο τω Μιγαδικώ Αριθμώ 1.3 Πολυωυμικές εξισώσεις στο σύολο ` ΘΘ... ΞΞ έ οο ς Μια ολυωυμική εξίσωση ιοστού βαθμού, με άγωστο το και με μιγαδικούς συτελεστές, έχει τη μορφή -1-1 1 0 α + α +º+ α+ α = 0 με α 0 (1) Έας μιγαδικός 0 οομάζεται ρίζα ή λύση της (1), ότα τη εαληθεύει. Θεώρημα D Alembert (ή θεμελιώδες θεώρημα της Άλγεβρας): Κάθε ολυωυμική εξίσωση έχει μία τουλάχιστο μιγαδική ρίζα. Συέεια αυτού είαι η ρόταση: Κάθε ολυωυμική εξίσωση βαθμού έχει ακριβώς μιγαδικές ρίζες. -1 Α το ολυώυμο P() = α + α-1 +º+ α1 + α0, α 0 έχει ρίζες τους μιγαδικούς αριθμούς,, 1 º,, τότε ισχύει P() = α (- 1)(- ) º (- ). Στη ερίτωση ου k αό τις ρίζες αυτές ισούται με 0, τότε ο 0 λέγεται ρίζα με ολλαλότητα k. Έα σηματικό θεώρημα για τη είλυση τω ολυωυμικώ εξισώσεω είαι το εξής: Α μια ολυωυμική εξίσωση με ραγματικούς συτελεστές έχει ρίζα το μιγαδικό α+ βi, όου α,βœo και β 0, τότε έχει ρίζα και το α- βi. Αυτό σημαίει ότι μια ολυωυμική εξίσωση με ραγματικούς συτελεστές έχει όλες τις ρίζες της ραγματικές ή έχει άρτιο λήθος μη ραγματικώ ριζώ. Στη ειδική ερίτωση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης α + β + γ = 0, α 0 - β± w ισχύει ο τύος τω ριζώ 1, = όου w μια τετραγωική ρίζα της διακρί- α ουσας Δ= β - 4αγ (δηλαδή τω μιγαδικώ συτελεστώ. w = Δ). Ο τύος αυτός ισχύει και στη ερίτωση Παράδειγμα 1.3.1 Να λυθεί η εξίσωση 4 + + 1= 0 στο σύολο τω μιγαδικώ.
1.3: Πολυωυμικές εξισώσεις στο σύολο ` 9 Θέτοτας w + w+ 1= 0 = w, έχουμε τη δευτεροβάθμια εξίσωση με διακρίουσα Δ=- 3 και ρίζες 1 3 1 3 w1 =- + i, w =- - i. Έτσι, ρίζες της εξίσωσης είαι οι ρίζες τω εξισώσεω 1 3 1 3 =- + i (1) και =- - i (). Η είλυση της (1) μορεί α γίει θέτοτας = + i ή χρησιμοοιώτας τριγωομετρική μορφή ως εξής: 1 3 1 3 i συ iημ συ iημ - + = + = + = + i 3 3 Ë 3 3 Á Ë Άρα, ρίζες της (1) είαι οι μιγαδικοί 1 3 1 3 1 = + i, =- - i. 1 3 Ομοίως, η () γράφεται = Á -i και έχει ρίζες Ë 1 3 1 3 3 = 1= - i, 4 = =- + i.. Παράδειγμα 1.3. Να λυθεί η εξίσωση ( + + ) + (3 + + 1) = 0. Σύμφωα με τη ταυτότητα α + β = (α + βi)(α - βi), η εξίσωση γράφεται [ + + + i(3 + + 1)] [ + + - i(3 + + 1)] = 0, δηλαδή (1 + 3i) + ( + i) + ( + i) = 0 (1) ή (1-3i) + ( - i) + ( - i) = 0 ()
30 Κεφάλαιο 1: Το Σύολο τω Μιγαδικώ Αριθμώ Η (1) έχει διακρίουσα 1, - ( + i) ± (4-3i) = (1 + 3i) 1 Δ = (+ i) - 4(1+ 3i)(+ i) = 7-4i = (4-3i) και ρίζες, δηλαδή 1 Ομοίως, η () έχει διακρίουσα 3 1 1 =- i και 4 =- + i. Άρα, οι ρίζες της δοσμέης εξίσωσης είαι Παράδειγμα 1.3.3 1 1 = i και =- - i. Δ = 7+ 4i = (4+ 3i) και ρίζες 1 1 i, -i, - - i, 1 1 - + i. 1 Α, 1 είαι οι ρίζες της εξίσωσης + = συθ, όου θœo, α αοδειχθεί ότι + = συ(θ) για κάθε ακέραιο. 1 Η εξίσωση γράφεται -(συθ)+ 1= 0 και έχει διακρίουσα Δ = 4(συ θ - 1) =- 4ημ θ = (iημθ). Εομέως, οι ρίζες της είαι συθ + iημθ 1 = = συθ+ iημθ και = συθ- iημθ. Για κάθε ακέραιο ισχύει 1 + = + + - + - (συθ i ημ θ) [συ( θ) i ημ( θ)] = συ(θ) + i ημ(θ) + συ( - θ) + i ημ( - θ) = συ(θ). Παράδειγμα 1.3.4 4 3 Να λυθεί η εξίσωση -(λ+ 1) + (λ+ μ) + (λ+ 3μ+ )-5μ- 1= 0, όου λ,μœo α είαι γωστό ότι μια ρίζα της είαι ο μιγαδικός + 3i. Ο + 3i ρέει α εαληθεύει τη εξίσωση, δηλαδή 4 3 ( + 3i) -(λ + 1)( + 3i) + (λ + μ)( + 3i) + (λ + 3μ + )( + 3i) -5μ - 1= 0 (1)
1.3: Πολυωυμικές εξισώσεις στο σύολο ` 31 Είαι: ( + 3i) = 4 + 9i + 1i =- 5+ 1i, 3 ( + 3i) = (- 5+ 1i)( + 3i) =- 46 + 9i και κι εομέως η (1) γράφεται τελικά (45λ -4μ - 70) + i(9λ + 1μ - 13) = 0. 4 ( + 3i) = (- 5+ 1i) =-119-10i Άρα, 45λ -4μ - 70 = 0 και 9λ + 1μ - 13= 0, δηλαδή λ= και μ= 5. 4 3 Η εξίσωση, τώρα, γράφεται - 3 + 7 + 1-6= 0 και οι δύο αό τις ρίζες της είαι 1 = + 3i, = 1= - 3i. Διαιρώτας το ολυώυμο 4 3 P() = - 3 + 7 + 1-6 με το ( --3i)( - + 3i) = ( - ) + 9 = - 4 + 13 βρίσκουμε ηλίκο + -, του οοίου οι ρίζες είαι 1 και -. Έτσι, η δοσμέη εξίσωση έχει ρίζες + 3i, - 3i, 1, -. 1.4 Ρίζες μιγαδικώ αριθμώ ΘΘ... ΞΞ έ οο ς Νιοστή ρίζα ή ρίζα με τάξη εός μιγαδικού αριθμού οομάζεται κάθε μιγαδικός w με w =, όου θετικός ακέραιος. Α = 0, τότε η εξίσωση w = έχει ρίζα μόο τη w = 0. = έχει διαφορε- Α 0 και = ρ(συθ+ iημθ), ρ> 0, τότε η εξίσωση τικές ρίζες, ου δίοται αό το τύο θ+ k θ+ k wk = ρ Áσυ + i ημ, k = 0,1,, º, -1. Ë w Οι εικόες τω μιγαδικώ αυτώ είαι κορυφές καοικού ολυγώου, ου είαι εγγεγραμμέο στο κύκλο κέτρου Ο και ακτίας ρ. Εφαρμογή: Οι ιοστές ρίζες της μοάδας, δηλαδή οι ρίζες της εξίσωσης μιγαδικοί αριθμοί k k k = συ iημ, k 0,1,,, 1 + = º -. = 1, * Œk, είαι οι
3 Κεφάλαιο 1: Το Σύολο τω Μιγαδικώ Αριθμώ Οι εικόες αυτώ τω μιγαδικώ στο είεδο Gauss είαι σημεία του μοαδιαίου κύκλου και μάλιστα είαι κορυφές καοικού -γώου. = w και έτσι οι ιοστές ρίζες της μο- Α θέσουμε w = συ iημ +, τότε 1 άδας γράφοται 1, w, w, º, w -. k k Παράδειγμα 1.4.1 Να λυθού οι εξισώσεις 3 α) =- i, β) 4 + 1= 0 και γ) 6 3 -(1+ i) + i= 0. α) Εειδή - i = 1 και Arg( - i) =-, η εξίσωση γράφεται 3 = συ - + iημ - Ë Ë - + k - + k και έχει ρίζες τους μιγαδικούς k = συ iημ Á + Ë Á 3 Ë 3, με k= 0,1,, δηλαδή τους 3 1 0 = συ - iημ - = - i, Ë 6 Ë 6 7 7 3 1 1 = συ + iημ = i και = συ + iημ =- - i. 6 6 β) Η εξίσωση γράφεται 4 =- 1= συ+ iημ και οι ρίζες της είαι + k + k k = συ + iημ, k= 0,1,,3, Ë 4 Ë 4 δηλαδή 3 3 0 = συ + iημ = + i, 1 = συ + iημ =- + i, 4 4 4 4 5 5 7 7 = συ + iημ =- - i και 3 = συ + iημ = - i. 4 4 4 4
1.4: Ρίζες μιγαδικώ αριθμώ 33 γ) Θέτουμε 3 w -(1+ i)w+ i= 0, η οοία έχει διακρίουσα = w και έχουμε τη εξίσωση Δ = (1+ i) - 4i = (1- i) και ρίζες (1 + i) + (1 -i) (1+ i) -(1-i) w1 = = 1, w = = i Η εξίσωση 3 = 1= συ0+ iημ0 έχει ρίζες τις k k k = συ + iημ, k= 0,1,, º, 3 3 δηλαδή 1 3 0 = συ0+ iημ0= 1, 1 = συ + iημ =- + i, 3 3 4 4 1 3 = συ + iημ =- - i. 3 3 3 Η εξίσωση = i= συ + iημ έχει ρίζες τις 3 1 5 5 3 1 0 = συ + iημ = + i, 1 = συ + iημ =- + i και 6 6 6 6 3 3 = συ + iημ =-i. Παράδειγμα 1.4. α) Να υολογιστεί το άθροισμα και το γιόμεο τω ιοστώ ριζώ της μοάδας. β) Να αοδειχθού οι ισότητες 4 6 ( -1) ημ + ημ + ημ +º+ ημ = 0 και 4 6 ( -1) συ + συ + συ +º+ συ =- 1. = 1, δηλαδή οι μιγα- α) Οι ιοστές ρίζες της μοάδας είαι οι ρίζες της εξίσωσης 1 δικοί 1, w, w, º, w -, όου w = συ iημ 1 +. Έτσι, έχουμε:
34 Κεφάλαιο 1: Το Σύολο τω Μιγαδικώ Αριθμώ -1 w -1 1+ w+ w +º+ w = = 0, αφού w-1 w = 1. (-1) (-1) -1 1+ +º+ (-1) 1ww +º w = w = w = συ + iημ = Ë β) Η ισότητα ( 1) ( 1) συ - i ημ - = Á + Ë Á Ë -1-1 = συ( - 1) + i ημ( - 1) = (συ + i ημ ) = (- 1) Ï 1, α εριττός = Ì. Ó - 1, α άρτιος -1 1+ w+ w +º+ w = 0 γράφεται 4 4 ( -1) ( -1) 1+ συ + iημ + συ + iημ +º+ συ + iημ = 0 Ë Ë Á Ë και α αυτή ροκύτου οι ζητούμεες ισότητες. Παράδειγμα 1.4.3 4 3 Να ααλυθεί το ολυώυμο P() = - + - + 1 σε γιόμεο δύο δευτεροβάθμιω τριωύμω με ραγματικούς συτελεστές. 5 4 3 Εειδή + 1 = ( + 1)( - + - + 1) = ( + 1) P() και P( - 1) = 5 0, οι ρίζες του P() είαι οι ρίζες της εξίσωσης 5 = 1, εκτός αό τη =- 1. Οι ρίζες της 5 =- 1= συ+ iημ είαι οι μιγαδικοί + k + k k = συ + iημ, k= 0,1,,3,4 5 5 δηλαδή οι 3 3 0 = συ + iημ, 1 = συ + iημ, = συ+ iημ=- 1 5 5 5 5 7 7 9 9 3 = συ + iημ και 4 = συ + iημ. 5 5 5 5 Παρατηρούμε ότι
1.4: Ρίζες μιγαδικώ αριθμώ 35 3 3 3 3 = συ - + i ημ - = συ - i ημ = Ë 5 Ë 5 5 5 3 1 Εομέως, P() = ( - 0)( - 1)( - 3)( - 4) = [( - 0)( - 0)] [( - 1) ( - 1)] 0 0 0 0 1 1 1 1 = [ -( + )+ ][ -( + )+ ] 0 0 1 1 = [ -Re( ) + ] [ -Re( ) + ] È È 3 = συ 1 συ Í - + - + 1 Î Ë 5 Í Î Ë 5. Παράδειγμα 1.4.4 Α ο αριθμός είαι θετικός ακέραιος, α λυθεί η εξίσωση και ομοίως 4 = 0. (1+ ) + (1- ) = 0. Προφαώς, ισχύει 1. Έτσι, η εξίσωση γράφεται (1+ ) =-(1- ) ή Οι ρίζες της τελευταίας είαι Θέτοτας, για συτομία 1+ = συθ + i ημθ 1-1+ =- 1 Ë1- ή w =- 1, όου 1+ w =. 1- + k + k wk = συ + iημ, k= 0,1,, º,- 1. + k = θ, έχουμε ή 1+ = συθ+ iημθ- (συθ+ iημθ) ή θ θ θ θ θ θ - ημ + iημ συ ημ - ημ + i συ - 1+ συθ+ iημθ Ë = = = 1+ συθ+ iημθ θ θ θ θ θ θ συ + iημ συ συ συ + i ημ Ë θ θ i συ + iημ θ Ë θ ή εφ = = iεφ. θ θ συ + i ημ Άρα, η δοσμέη εξίσωση έχει ρίζες τους αριθμούς
36 Κεφάλαιο 1: Το Σύολο τω Μιγαδικώ Αριθμώ + k k = iεφ, k = 0,1,, º, - 1, δηλαδή τους 3 (-1) iεφ, iεφ, º,iεφ αό τους οοίους ρέει α εξαιρεθεί εκείος για το οοίο ισχύει (k + 1) -1 = ή = k+ 1 ή k =. Έτσι, για άρτιο, η εξίσωση έχει τις αραάω ρίζες για εριττό, η εξίσωση έχει 1 ρίζες, ου είαι οι αραάω αριθμοί, εκτός αό το - 1. Παράδειγμα 1.4.5 Α έα καοικό ολύγωο με κορυφές είαι εγγεγραμμέο στο μοαδιαίο κύκλο, α αοδειχθεί ότι το γιόμεο τω αοστάσεω κάθε κορυφής αό τις υόλοιες κορυφές ισούται με. Όλα τα εγγεγραμμέα στο μοαδιαίο κύκλο καοικά -γωα είαι μεταξύ τους ίσα. Έτσι, θεωρούμε εκείο το ολύγωο AAA 0 1 º A - 1, του οοίου οι κορυφές είαι οι εικόες τω ιοστώ ριζώ 0 = 1, 1,, º, - 1 της μοάδας. Εειδή -1 - - 1 = ( - 1)( + +º+ + 1) και έχουμε 1-1 -1 - - 1 = ( - )( - ) º ( - ), 0 1-1 ( - )( - ) º ( - ) = + +º+ + 1 για κάθε Œ`. Έτσι, για = 1 έχουμε (1-1)(1- ) º (1- -1) = κι εομέως (Α A ) (Α A ) º (Α A ) = 0 1 0 0-1 = 1-1- º 1- = (1- )(1- ) º (1- ) =. 1-1 1-1
Προτειόμεες Ασκήσεις στο 1 ο κεφάλαιο 37 Προτειόμεες ασκήσεις στο 1 ο Κεφάλαιο Άσκηση 1.1 Να βρεθεί η συθήκη μεταξύ τω ραγματικώ αριθμώ α, β, γ και δ έτσι, ώστε οι μιγαδικοί 1 = α+ βi και = γ+ δi α αοτελού βάση του διαυσματικού χώρου `. Άσκηση 1. Α α,βœo, για οιους ακέραιους αριθμούς ισχύει (α + βi) + (β - αi) = 0. Άσκηση 1.3 Να αοδειχθεί ότι τα σημεία,, 1 3 του μιγαδικού ειέδου είαι συευθειακά, 1-3 α και μόο α ο αριθμός w = είαι ραγματικός. - 3 Άσκηση 1.4 Α, 1 Œ`-o, α αοδειχθεί ότι οι 1+ και 1 είαι ραγματικοί, α και μόο α οι, 1 είαι συζυγείς μιγαδικοί. Άσκηση 1.5 Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόος του σημείου για καθεμιά αό τις αρακάτω εριτώσεις. i α) ImÁ = 0, β) Re - = 0, γ) - 9 > 3, Ë-1 Ë+ i -1 δ) - + + = 8, ε) + 5- - 5 = 6 και στ) - = 1 και - 1 1. Άσκηση 1.6 Α το σημείο διαγράφει το κύκλο =, α αοδειχθεί ότι το σημείο 1 w= + διαγράφει έλλειψη.
38 Κεφάλαιο 1: Το Σύολο τω Μιγαδικώ Αριθμώ Άσκηση 1.7 Α -- 3i = 5, α βρεθεί η μικρότερη και η μεγαλύτερη τιμή του -11-15i. Άσκηση 1.8 Για οιους ραγματικούς αριθμούς α και β οι ρίζες της εξίσωσης + α+ β= 0 έχου μέτρο 1; Άσκηση 1.9 Να βρεθεί ο μιγαδικός αριθμός για το οοίο ισχύει - 3= -1-6i και Άσκηση 1.10 3 Arg - =. Ë - 1-6i α Α για το μιγαδικό ισχύει Arg =, α αοδειχθεί ότι η εικόα του w= +, 4 όου α θετικός ραγματικός αριθμός, κιείται σε μια ισοσκελή υερβολή. Άσκηση 1.11 α) Για κάθε, 1 Œ` α αοδειχθεί ότι 1+ + 1- = 1 + ( ) και α ερμηευθεί γεωμετρικά η ισότητα αυτή. β) Α τα σημεία, 1 αήκου στο κυκλικό δίσκο 1, α αοδειχθεί ότι έα τουλάχιστο αό τα σημεία 1+ και 1- αήκει στο κυκλικό δίσκο. Άσκηση 1.1 Να αοδείξετε ότι οι εικόες τω ριζώ της εξίσωσης * ( + i) = ( -i), Œk είαι συευθειακά σημεία. Άσκηση 1.13 α) Α 1 + + 3 = 0 και 1 3 + + = 0, α αοδειχθεί ότι 1 = = 3.
Προτειόμεες Ασκήσεις στο 1 ο κεφάλαιο 39 β) Α τα σημεία,, 1 3 σχηματίζου τρίγωο και ισχύει 1 3 1 3 3 1 + + = + +, α αοδειχθεί ότι το τρίγωο αυτό είαι ισόλευρο. Άσκηση 1.14 μ Να λυθεί η εξίσωση =, όου, μ θετικοί ακέραιοι, αφού αοδειχθεί ότι κάθε μη μηδεική ρίζα της έχει μέτρο 1.