ΜΑ7: ΑΡΙΘΜΗΣΙΚΗ ΑΝΑΛΤΗ Ι Χειμερινό εξάμηνο 9- η Τπολογιςτική Άςκηςη. Θεωροφμε τθν εξίςωςθ + = (α) Δείξτε γραφικά ότι θ εξίςωςθ ζχει ακριβϊσ μία ρίηα. (β) Τι ςυμβολίηει θ μοναδικι ρίηα τθσ εξίςωςθσ; (γ) Ποιεσ εκτιμιςεισ βρίςκουμε για τθ ρίηα τθσ εξίςωςθσ ςτισ 4 πρϊτεσ επαναλιψεισ τθσ μεκόδου τθσ διχοτόμθςθσ ςτο διάςτθμα *,3+; (δ) Πόςεσ επαναλιψεισ απαιτοφνται με τθ μζκοδο τθσ διχοτόμθςθσ ςτο *,3+ για να βροφμε μια εκτίμθςθ τθσ ρίηασ με ςφάλμα μικρότερο του - ;. Το m-file με το όνομα bisection.m, που φαίνεται πιο κάτω υλοποιεί τθ λεγόμενθ μζθοδο τησ διχοτόμηςησ (bisection method). Οι μεταβλθτζσ ειςόδου είναι οι εξισ: Η ςυνάρτθςθ fname, που αντιπροςωπεφει τθν f() και είναι είτε ςυνάρτθςθ βιβλιοκικθσ είτε ςυνάρτθςθ που ζχει οριςτεί ανϊνυμα ι μζςω κάποιου m-file. Τα a και b είναι τα άκρα του αρχικοφ διαςτιματοσ τζτοια ϊςτε f(a) f(b) < Το delta είναι θ ανοχι ςφάλματοσ, ζτςι ϊςτε το τελικό αποτζλεςμα που παίρνουμε να ικανοποιεί delta. n Η μεταβλθτι εξόδου είναι θ προςζγγιςθ τθσ λφςθσ. Σθμειϊνουμε επίςθσ ότι χρθςιμοποιοφμε τθ μεταβλθτι eps ςτο m-file, θ οποία είναι θ ςχετικι ακρίβεια τθσ αρικμθτικισ κινθτισ υποδιαςτολισ που χρθςιμοποιεί θ MATLAB. Χρθςιμοποιείται ωσ προεπιλεγμζνθ ανοχι (default tolerance). Όπωσ είδαμε, θ τιμι τθσ είναι >> eps ans =.44649533e-6 function root=bisection(fname,a,b,delta) Metablhtes eisodou: fname: onoma suneous sunarthshs mias metablkhths f() a, b : orizoun to diasthma [a,b] opou f(a)*f(b) < delta: anoh (mh arnhjtikos pragmatikos) Metablhth eodou: root: to meson tou diasthmatos [alpha, beta] me thn idiothta f(alpha)*f(beta) <= kai beta-alpha <= delta+eps*ma( alpha, beta ) fa = feval(fname,a); fb = feval(fname,b); while abs(a-b) > delta+eps*ma(abs(a), abs(b))
mid = (a+b)/; fmid = feval(fname,mid); if fa*fmid <= uparei riza sto [a,mid] b = mid; fb = fmid; else uparei riza sto [mid,b] a = mid; fa = fmid; end end root = (a+b)/; Επαναλάβετε τα πιο κάτω παραδείγματα χρθςιμοποιϊντασ τθν bisection.m. Παράδειγμα Θεωροφμε τθν εξίςωςθ cos() = θ οποία ζχει ρίηα τθν = π/ =.57796367949. Πιο κάτω φαίνονται τα αποτελζςματα που πιραμε ςε διάφορεσ περιπτϊςεισ με τθν Bisection. >> format long >> root=bisection('cos',,3,.) root =.5767879375 >> error=root-pi/ -.765857396558e-4 >> root=bisection('cos',,3,.) root =.577968784 >> error=root-pi/ -3.39647858949e-7 >> root=bisection('cos',,3,.) root =.577963859677 >> error=root-pi/.8874539835e-9 Παράδειγμα Θεωροφμε τϊρα τθν εξίςωςθ f ( ) με (προφανείσ) ρίηεσ τισ = και =. Επειδι θ f() δεν αντιςτοιχεί ςε ςυνάρτθςθ βιβλιοκικθσ τθν ορίηουμε ςαν ανϊνυμθ ςυνάρτθςθ: >> f = @().^ - - ; Ακολουκοφν αποτελζςματα που πιραμε ςε διάφορεσ περιπτϊςεισ με τθν Bisection. >> format long >> root=bisection(f,,4,.) root =.99999953684 >> error=-root 4.768375835e-7
>> root=bisection(f,-3,,.) root = -.47683758 >> error=--root 4.768375835e-7 3. Θεωροφμε τθ γενικι επαναλθπτικι μζκοδο k+ = φ k, Δθμιουργιςτε ζνα function m-file με επικεφαλίδα function []=drawgeniter(phi,,n) k =,,, το οποίο κα ςχεδιάηει τα γραφιματα των ςυναρτιςεων = και =φ() κακϊσ και τισ πρϊτεσ n επαναλιψεισ τθσ γενικισ επαναλθπτικισ μεκόδου με αρχικι εκτίμθςθ το. Για παράδειγμα με τισ εντολζσ >> phi=@() sqrt(+) >> drawgeniter(phi,,5) παίρνουμε το ακόλουκο γράφθμα: General iterative method for ()=sqrt(+) with =.8.6.4..8.6.4..5.5 Ομοίωσ με τισ εντολζσ >> phi=@() cos(); >> drawgeniter(phi,,5) παίρνουμε το ακόλουκο γράφθμα 3
General iterative method for ()=cos() with =.5.5 -.5.5.5 Με τθν εντολι >> drawgeniter(phi,,5) παίρνουμε General iterative method for ()=cos() with = 3 - - 3 4. Δείξτε ότι το = είναι ςτακερό ςθμείο τθσ φ = Θεωροφμε τϊρα τθ γενικι επαναλθπτικι μζκοδο k+= φ k = k 4
Εξθγιςτε γιατί θ μζκοδοσ αποκλίνει ακόμα και αν θ αρχικι εκτίμθςθ είναι κοντά ςτο ςτακερό ςθμείο. Για παράδειγμα αν =.999 θ πορεία τθσ μεκόδου είναι αυτι που φαίνεται ςτο ακόλουκο ςχιμα: 7 General iterative method for ()=. - with =.999 6 5 4 3 - - - -.5 - -.5.5.5.5 3 5. Θεωροφμε τθν εξίςωςθ = Εξθγιςτε γιατί δεν είναι καλι ιδζα να προςπακιςουμε να λφςουμε τθν εξίςωςθ αυτι με τθ γενικι επαναλθπτικι μζκοδο με επαναλθπτικι ςχζςθ τθν k+ = k Σχεδιάςτε τισ 4 πρϊτεσ επαναλιψεισ τθσ μεκόδου για οποιαδιποτε κετικι αρχικι τιμι διάφορθ τθσ ρίηασ. 6. Θεωροφμε τθν εξίςωςθ Το m-file με το όνομα Newton.m επιλφει μια βακμωτι εξίςωςθ τθσ μορφισ f() =, με τθ μζθοδο Newton: f( k ) k k, k,,, f ( ) k Σθμειϊνουμε ότι πρζπει να ξζρουμε τθν παράγωγο τθσ ςυνάρτθςθσ όπωσ και μια αρχικι εκτίμθςθ. Επιπλζον, πρζπει να ιςχφει f ( ) k. Οι μεταβλθτζσ ειςόδου τθσ Newton.m είναι: k 5
Η ςυνάρτθςθ fname που είναι είτε ςυνάρτθςθ βιβλιοκικθσ, είτε function m-file είτε ανϊνυμθ ςυνάρτθςθ που ορίηεται από τον χριςτθ. Η ςυνάρτθςθ fdname είναι θ παράγωγοσ τθσ ςυνάρτθςθσ που ορίηεται ςτθν fname, και πάλι πρζπει να οριςτεί από τον χριςτθ. Το είναι θ αρχικι εκτίμθςθ τθσ ηθτοφμενθσ λφςθσ. Το delta είναι θ ανοχι ςφάλματοσ. Το Nma είναι ο μζγιςτοσ επιτρεπτόσ αρικμόσ επαναλιψεων. Σθμειϊνεται ότι θ Newton.m τυπϊνει ςε κάκε επανάλθψθ τισ τιμζσ των k και f( k ) με τθν εντολι sprintf. function root=newton(fname,fdname,,delta,nma) Epilush mh grammikhs eiswshs f()= me th meodo Newton: f(_k) _k+ = _k - --------- f'(_k) Metablhtes eisodou: fname : onoma suneous sunarthshs mias metablhths f() fdname: h paragwgos df/d ths f() : arikh ektimhsh ths rizas delta : anoh (mh arnhjtikos pragmatikos) Nma : megistos arimos epanalhewn Metablhth eodou: root: h riza pou upologizetai me th meodo Newton k=; fk=feval(fname,k); dfk=feval(fdname,k); disp('---------------------------------------------') disp(' k _k f(_k)') disp('---------------------------------------------') disp(sprintf(' 3.f 4.9f 4.9f',, k, fk)) for k=:nma k=k-fk/dfk; d=abs(k-k); k=k; fk=feval(fname,k); dfk=feval(fdname,k); disp(sprintf(' 3.f 4.9f 4.9f', k, k, fk)) if d < delta+eps disp('---------------------------------------------') disp('newton method has converged'); root=k; return end end disp('no convergence after Nma iterations'); Telos tou Newton.m Επαναλάβετε τo πιο κάτω παράδειγμα χρθςιμοποιϊντασ τθν Newton.m. 6
Παράδειγμα Για τθν εξίςωςθ f() = cos() = ορίηουμε τθν f και τθν παράγωγο τθσ ςαν ανϊνυμεσ ςυναρτιςεισ: >> fnewt = @() - cos(); >> dfnewt = @() + sin(); Καλϊντασ τθν Newton.m παίρνουμε τα πιο κάτω αποτελζςματα: >> Newton('fnewt','dfnewt',,.,) --------------------------------------------- k _k f(_k) ---------------------------------------------..459697694.75363868.89374.73989.46456 3.7398533. 4.7398533. --------------------------------------------- Newton method has converged 7. Θεωροφμε τθ μζκοδο Netwon k+ = k f( k) f ( k ), Δθμιουργιςτε ζνα function m-file με επικεφαλίδα k =,,, function []=drawnewton(f,df,,n) όπου f θ ςυνάρτθςθ f() και df θ παράγωγόσ τθσ, το οποίο κα ςχεδιάηει το γράφθμα τθσ =f() κακϊσ και τισ πρϊτεσ n επαναλιψεισ τθσ μεκόδου με αρχικι εκτίμθςθ το. Για παράδειγμα με τισ εντολζσ >> f=@().^-; >> df=@() *; >> drawnewton(f,df,,5) παίρνουμε το ακόλουκο γράφθμα: 7
8 Newton method for f()=. - with = 6 4 -.5.5.5 3 Ομοίωσ με τισ εντολζσ >> f=@().^3-*.^-5; >> df=@() 3*.^-4*; >> drawnewton(f,df,,5) παίρνουμε το ακόλουκο γράφθμα Newton method for f()=. 3 -*. -5 with = 3 Η μζκοδοσ αποκλίνει για κάπωσ μικρότερο. Ζτςι με τθν >> drawnewton(f,df,,5) παίρνουμε το γράφθμα: -.5.5 3 3.5 4 8
8. Θεωροφμε τθν εξίςωςθ Newton method for f()=. 3 -*. -5 with = -5 - -5 - -5-3 -6-4 - f = + = και το ςφάλμα ςτθν k-οςτι επανάλθψθ μιασ επαναλθπτικισ μεκόδου για τθν εφρεςθ τθσ ρίηασ * τθσ f(): ε k+ = k+ (α) Υπολογίςτε το ε k ςυναρτιςει του k (από ζωσ ) για τισ ακόλουκεσ μεκόδουσ: (i) Μζκοδοσ τθσ διχοτόμθςθσ ςτο *,3+ (ii) Γενικι επαναλθπτικι μζκοδοσ με = (iii) Μζκοδοσ Newton με = (iv) Μζκοδοσ τθσ τζμνουςασ ςτο *,3+. (β) Σχεδιάςτε το ε k ςυναρτιςει του k για τισ πιο πάνω μεκόδουσ ς ζνα θμιλογαρικμικό γράφθμα. 9. Πριν χρόνια ο Gauss ανάπτυξε μία μζκοδο για τον υπολογιςμό των τροχιϊν ουρανίων ςωμάτων, θ οποία βαςιηόταν ςτθ γωνιακι κζςθ του ςϊματοσ που εκτελοφςε τθν τροχιά. Ο Laplace ανζπτυξε παρόμοια μζκοδο με τθν οποία, όπωσ και με αυτι του Gauss, παίρνουμε ζνα πολυϊνυμο 8 ου βακμοφ του οποίου θ κετικι ρίηα μασ δίνει το ηθτοφμενο. Για παράδειγμα, αν εφαρμόςουμε τθ μζκοδο του Gauss ςε ζνα διαςτθμόπλοιο που περιςτρζφεται γφρω από τθ Γθ με ελλειπτικι τροχιά που ζχει μεγάλο άξονα.9 επί τθν ακτίνα τθσ Γθσ, και εκκεντρότθτα.3, τότε παίρνουμε τθν εξισ εξίςωςθ:. 8 6 3 r.99455 r 3.37698 r 365.7847. Η κετικι ρίηα τθσ πιο πάνω εξίςωςθσ χρθςιμοποιείται για τον υπολογιςμό των ςτοιχείων που κακορίηουν τθν τροχιά του διαςτθμοπλοίου. Να καταςκευάςετε τθ γραφικι παράςταςθ του πιο πάνω πολυωνφμου για να βρείτε μια καλι αρχικι εκτίμθςθ για τθν κετικι του ρίηα. Στθ ςυνζχεια, να βρείτε τθν κετικι ρίηα του πολυωνφμου με ακρίβεια 6, χρθςιμοποιϊντασ όποια μζκοδο κζλετε. 9