Α. Δροσόπουλος 3 Ιανουαρίου 29 Περιεχόμενα Μετασχηματισμοί Laplace 2 Αντιστάσεις, πυκνωτές και πηνία 2 3 Διέγερση βαθμίδας σε L κυκλώματα 5 3. Φόρτιση..................................................... 5 3.2 Εκφόρτιση.................................................... 5 4 Διέγερση βαθμίδας σε C κυκλώματα 5 4. Φόρτιση..................................................... 5 4.2 Εκφόρτιση.................................................... 6 5 Παραδείγματα 6 6 Ασκήσεις 9 Στόχος Μια σύντομη επισκόπιση των μετασχηματισμών Laplace όπως εφαρμόζονται στην ανάλυση ηλεκτρικών κυκλωμάτων. Μετασχηματισμοί Laplace Ο μετασχηματισμός Laplace είναι μια τεχνική/εργαλείο που μετασχηματίζει μια συνάρτηση από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο των συχνοτήτων. Μετατρέπει ολοκληροδιαφορικές εξισώσεις σε αλγεβρικές και συμπεριλαμβάνει ενσωματωμένες τις αρχικές συνθήκες. Είναι παρόμοιος με τον μετασχηματισμό σε φάσορα/παραστατικό μιγάδα αλλά πιο γενικός εφόσον εφαρμόζεται και σε μη ημιτονικές συναρτήσεις. Στα παρακάτω θα δούμε πως χρησιμοποιείται στην ανάλυση κυκλωμάτων δίνοντας άμεση και πλήρη λύση σε ολοκληροδιαφορικές εξισώσεις. Δεν θα εμβαθύνουμε στην μαθηματική ανάλυση αλλά μόνο στην εφαρμογή της μεθόδου. Ο μετασχηματισμός Laplace μιας συνάρτησης f(t) συμβολίζεται με F () ή L[f(t)] και ορίζεται σαν L[f(t)] = F () = f(t)e t dt όπου = σ jω μια μιγαδική μεταβλητή με διαστάσεις συχνότητας έτσι ώστε ο εκθέτης t να είναι καθαρός αριθμός χωρίς διαστάσεις και το κάτω όριο του ολοκληρώματος σημαίνει χρόνο λίγο πριν το. Το παραπάνω ολοκλήρωμα υπάρχει και ορίζεται για όλες τις κυματομορφές f(t) τάσης ή ρεύματος που μπορεί να συναντήσουμε σε ηλεκτρικά κυκλώματα στην πράξη.
.5.9.8.7.6 Theta(t).5 exp(at).5.4.3.2..5 2.5.5.5.5 2 t 2 3 4 5 6 7 8 at Σχήμα : Η συνάρτηση Θ(t) του Heavyide και η φθίνουσα εκθετική. Παράδειγμα. Να υπολογιστούν οι μετασχηματισμοί Laplace των κυματομορφών α) Θ(t), β) e at Θ(t), a και γ) in(ωt)θ(t). Η συνάρτηση Θ(t) του Heavyide ή βαθμωτή συνάρτηση ορίζεται σαν { t > Θ(t) = t < και βασικά συμβολίζει τη λειτουργία ενός διακόπτη που ανοίγει ή κλείνει τη χρονική στιγμή t =. Ο μετασχηματισμός Laplace είναι L[Θ(t)] = Για την φθίνουσα εκθετική με a έχουμε L[e at Θ(t)] = e at e t dt = e t dt = e t ( ) ] e t dt = e t ( ( a)) Για το ημίτονο που αρχίζει την χρονική στιγμή t = έχουμε ( e L[in(ωt)Θ(t)] = in(ωt)e t jωt e jωt dt = 2j = ( 2j jω ) = jω = ( ) = ] = ) e t dt = 2j ω 2 ω 2 ( ( a)) = a (e ( jω)t e (jω)t )dt = Με παρόμοιο τρόπο υπολογίζονται και άλλες απλές συναρτήσεις καθώς επίσης και αποδεικνύονται διάφορες ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace (βλ. Πίνακες, 2). 2 Αντιστάσεις, πυκνωτές και πηνία Οπως και με τους φάσορες/παραστατικούς μιγάδες έτσι και εδώ μετασχηματίζεται η σύνθετη αντίσταση των αντιστάσεων, πυκνωτών και πηνίων. Για τις αντιστάσεις, στο πεδίο του χρόνου έχουμε και στο πεδίο των συχνοτήτων (μετασχηματισμός Laplace) u(t) = i(t) U() = I() Για τους πυκνωτές, στο πεδίο του χρόνου έχουμε 2 i(t) = C du(t) dt
Πίνακας : Μερικές ιδιότητες μετασχηματισμού Laplace Ιδιότητες f(t) F () Γραμμικότητα a f (t) a 2 f 2 (t) a F () a 2 F 2 () Αλλαγή κλίμακας χρόνου f(at) ( ) a F a Μετατόπιση στο χρόνο f(t a)θ(t a) e a F () Μετατόπιση στη συχνότητα e at f(t) F ( a) Διαφόριση στο χρόνο f (t) F () f( ) Ολοκλήρωση στο χρόνο f (t) 2 F () f( ) f ( ) f (n) (t) n F () n f( ) n 2 f ( )... f (n ) ( ) t t a f(t)dt f(t)dt F () F () a f(t)dt Πίνακας 2: Μερικά ζεύγη μετασχηματισμών Laplace. Εχει παραληφθεί η Θ(t) εκτός όπου είναι απαραίτητη. f(t) F () f(t) F () Θ(t) in ωt e at co ωt a t 2 in(ωt θ) t n n! n co(ωt θ) te at ( a) 2 e at in ωt t n e at n! ( a) n e at co ωt ω 2 ω 2 2 ω 2 in θ ω co θ 2 ω 2 co θ ω in θ 2 ω 2 ω ( a) 2 ω 2 a ( a) 2 ω 2 και στο πεδίο των συχνοτήτων (μετασχηματισμός Laplace) I() = C[U() u( )] = CU() Cu( ) και U() = C I() u( ) Οι παραπάνω σχέσεις φαίνονται γραφικά στο σχ. 2. Για μηδενικές αρχικές συνθήκες βλέπουμε ότι η σύνθετη αντίσταση του πυκνωτή είναι Z C = C Για τα πηνία, στο πεδίο του χρόνου έχουμε u(t) = L di(t) dt και στο πεδίο των συχνοτήτων (μετασχηματισμός Laplace) U() = L[I() i( )] = LI() Li( ) και I() = L U() i( ) Οι παραπάνω σχέσεις φαίνονται γραφικά στο σχ. 2. Για μηδενικές αρχικές συνθήκες βλέπουμε ότι η σύνθετη αντίσταση του πηνίου είναι Z L = L Παρατηρούμε ότι οι σύνθετες αντιστάσεις κατά Laplace (για μηδενικές αρχικές συνθήκες) είναι ίδιες με τις σύνθετες αντιστάσεις όταν μετασχηματίζουμε σε φάσορες/παραστατικούς μιγάδες αρκεί να γίνει η αντικατάσταση = jω. Οταν 3
i(t) I() u(t) U() i(t) I() I() u(t) i() L U() L U() L i( )/ Li( ) i(t) I() I() u(t) u() C U() /(C) u( )/ U() /(C) Cu( ) Σχήμα 2: Ισοδύναμα κυκλώματα για τα βασικά στοιχεία αντιστάτης, επαγωγέας, πυκνωτής στο χώρο των συχνοτήτων όταν έχουμε αρχικές συνθήκες τάσης ή ρεύματος όπως φαίνονται στο σχήμα. L L U Θ(t) i(t) U / I() L L Li( ) i(t) I() (c) (d) Σχήμα 3: Διέγερση βαθμίδας σε L κύκλωμα. Το κύκλωμα φόρτισης με μηδενικές αρχικές συνθήκες στο πεδίο του χρόνου,, και το ίδιο κύκλωμα στο πεδίο συχνοτήτων,. Το κύκλωμα εκφόρτισης με μημηδενικές αρχικές συνθήκες στο πεδίο του χρόνου, (c), και το ίδιο κύκλωμα στο πεδίο συχνοτήτων, (d). 4
όμως έχουμε αρχικές συνθήκες προσθέτουμε μια πηγή τάσης ή ρεύματος όπως φαίνεται στο σχήμα 2. Με την αντικατάσταση αυτή μπορούμε εν συνεχεία να δουλέψουμε όπως όταν κάνουμε το μετασχηματισμό σε φάσορες. Προσοχή όμως στο γεγονός ότι πρέπει να λαμβάνουμε κατάλληλα υπόψη τις αρχικές συνθήκες (βλ. παραδείγματα). 3 Διέγερση βαθμίδας σε L κυκλώματα Επαναλαμβάνουμε το κύκλωμα της διέγερσης βαθμίδας σε L κυκλώματα (σελ. 38 του βιβλίου.) 3. Φόρτιση Στη φόρτιση με μηδενικές αρχικές συνθήκες έχουμε τα κυκλώματα του σχ. 3,. Ο κανόνας τάσεων του Kirchhoff από το κύκλωμα είναι (L )I() = U U I() = (L ) οπότε I() = U U L U (L ) A B (L ) U A(L ) B = (AL B) A A = U (L ) = U U και B = AL = U L ( /L) i(t) = U U e (/L)t = U ( e (/L)t), t Η τάση στα άκρα του πηνίου είναι u(t) = L di ( dt = L U ) ( ) e (/L)t = U e (/L)t, t L 3.2 Εκφόρτιση Οταν το πηνίο έχει φορτιστεί στη μέγιστη τιμή ρεύματος U / και «βγάλουμε» την πηγή, έχουμε τα κυκλώματα του σχ. 3 (c), (d). Από το κύκλωμα (d) έχουμε τότε LI() Li( ) I() = LI() L U I() = I() = U L (L ) = U ( /L) i(t) = U e (/L)t, t Η τάση στα άκρα του πηνίου είναι u(t) = L di ( ) ( dt = L U ) e (/L)t = U e (/L)t, t L Το πρόσημο δείχνει την αλλαγή της πολικότητας στο πηνίο καθώς «προσπαθεί» να «εμποδίσει» την μείωση του ρεύματος. 4 Διέγερση βαθμίδας σε C κυκλώματα 4. Φόρτιση Επαναλαμβάνουμε για κύκλωμα C. Στη φόρτιση οι αρχικές συνθήκες είναι μηδέν. Ο κανόνας τάσεων του Kirchhoff από το κύκλωμα στο σχ. 4 είναι και η τάση στα άκρα του πυκνωτή I() C I() U = I() = U [ /(C)] u(t) = C t i(t)dt = C t i(t) = U e t/c, t U ( e t/c dt = U e t/c), t 5
C /C U Θ(t) i(t) U / I() C /C u( )/ i(t) I() (c) (d) Σχήμα 4: Διέγερση βαθμίδας σε C κύκλωμα. Το κύκλωμα φόρτισης με μηδενικές αρχικές συνθήκες στο πεδίο του χρόνου,, και το ίδιο κύκλωμα στο πεδίο συχνοτήτων,. Το κύκλωμα εκφόρτισης με μημηδενικές αρχικές συνθήκες στο πεδίο του χρόνου, (c), και το ίδιο κύκλωμα στο πεδίο συχνοτήτων, (d). 4.2 Εκφόρτιση Οταν ο πυκνωτής έχει φορτιστεί στη μέγιστη τιμή τάσης U και «βγάλουμε» την πηγή ο πυκνωτής αρχίζει να εκφορτίζεται. Ο κανόνας τάσεων του Kirchhoff από το κύκλωμα στο σχ. 4 (d) είναι I() C u( ) I() = I() Cu( ) CI() = I() = U [ /(C)] και η τάση στα άκρα του πυκνωτή i(t) = U e t/c, t u(t) = C t i(t)dt U = U C e t/c ( C) ] t U = U e t/c]t U = U e t/c U U = U e t/c, t Προσέξτε ότι προσθέσαμε την αρχική τιμή της τάσης U εν σειρά με τον πυκνωτή για να συμπεριλάβουμε το γεγονός ότι ο πυκνωτής ήταν αρχικά φορτισμένος με αυτήν την τάση. Τα αποτελέσματα είναι ίδια με αυτά που υπολογίστηκαν με τον συμβατικό τρόπο (βλ. βιβλίο). 5 Παραδείγματα Παράδειγμα 5. Εστω u C () = 5 V στο παρακάτω κύκλωμα. Να βρεθούν τα μεγέθη u C (t), u x (t) και i x (t) για t >. 8 Ω i x 8 Ω I x 5 Ω. F 2 Ω u C u x.5 A /. 5 Ω 2 Ω U C U x Μετασχηματίζοντας κατά Laplace έχουμε το κύκλωμα όπου την αρχική τάση στον πυκνωτή την έχουμε αντικαταστήσει με την πηγή ρεύματος Cu( ) =. 5 =.5 A. Εφαρμόζοντας κανόνα ρευμάτων του Kirchhoff στον επάνω αριστερό 6
κόμβο έχουμε: U C 5.5.U C U C 2 = U C =.5. 5 2 = 5 2.5 u C(t) = 5 e 2.5t V, για t > και I x = U C 2 i x(t) =.75 e 2.5t V, U x = I x 2 u x (t) = 9 e 2.5t V, για t > Παράδειγμα 5.2 Εστω i() = A στο παρακάτω κύκλωμα. Να βρεθούν τα μεγέθη i(t), u x (t) και i x (t) για t >. 4 Ω 4 Ω i.5 H 2 Ω u x i x 3i.5 5 V I 2 Ω I x U x 3I I Μετασχηματίζοντας κατά Laplace έχουμε το κύκλωμα όπου το αρχικό ρεύμα στο πηνίο το έχουμε αντικαταστήσει με την πηγή τάσης Li( ) =.5 = 5 V. Με κανόνες Kirchhoff έχουμε I I x I = I = I x I.5I 5 2I x = 3I x 2I x = 5 I x = 5 3 2 = 5/3 2/3 4I 2I x 3I = 6I x I = i x (t) = 5 3 e 2t/3 A, για t > u x (t) = 2i x (t) = 3 e 2t/3 V, για t > I = 6I x = 2/3 i(t) = e 2t/3 A, για t > Παράδειγμα 5.3 Στο παρακάτω κύκλωμα έχουμε i L () = A και u C () = 4 V. Να βρεθεί η τάση του κόμβου u(t) και το ρεύμα στον επαγωγέα i L (t) για t. u(t) U 2Ω i L () 5H.2F u C () 2Ω 5 / 5/.8 Μετασχηματίζουμε κατά Laplace στο κύκλωμα όπου επιλέξαμε να προσθέσουμε τις αρχικές συνθήκες με μορφή πηγών ρεύματος. Εχουμε U 2 U 5 U 5.8 = και η τάση u(t) είναι Το ρεύμα στον επαγωγέα U =.8 4 5 2 5 = 2 2.5 = 4 5 (.5)( 2) A.5 B 2 5 4 5 A( 2) B(.5) A = 2, B = 2 u(t) = 2 e 2t 2 e.5t, t I L = U 5 = =.8.8.5.2.2 2 =.8.5.2 2 i(t) =.8 e.5t.2 e 2t, t 7
Παράδειγμα 5.4 Στο παρακάτω κύκλωμα να βρεθούν τα κλαδικά ρεύματα i (t), i 2 (t) για t με μηδενικές αρχικές συνθήκες..5 H 5 µf.5 2/ 5 Θ(t)V i 2 Ω 3 Ω 5/ I 2 Ω 3 Ω i 2 I 2 Μετασχηματίζοντας κατά Laplace έχουμε το κύκλωμα. Η ολική εμπέδηση που φαίνεται από την πηγή είναι [ (2 ) ] (8 )(2 ) Z ολ = 3 2.5 = = 2(4 ) άρα I = και με διαιρέτη ρεύματος I 2 = U (4 ) = Z ολ (8 )(2 ) i (t) = 4 5 2 e 8t 2 3 e 2t A, t 2 2 3 2 I = 4 (8 )(2 ) i 2(t) = 3 e 8t 3 e 2t A, t Παράδειγμα 5.5 Στο παρακάτω κύκλωμα να υπολογιστεί η τάση u o (t) για t με μηδενικές αρχικές συνθήκες. Ω 5 Ω Θ(t) /3 F H u o (t) Ω 5 Ω I I 2 / 3/ U o Μετασχηματίζοντας κατά Laplace έχουμε το κύκλωμα. Με μέθοδο οφθαλμών 3 I ( 3 ) I 3 I 2 = ( 5 3 ) I 2 = ( 3)I 3I 2 = 3I ( 2 5 3)I 2 = } I 2 = 3 ( 2 8 8) U 3 o = I 2 = 2 8 8 = 3 2 2 ( 4) 2 ( 2) u o(t) = 3 e 4t in( 2t) V, t 2 2 Παράδειγμα 5.6 Στο παρακάτω κύκλωμα στο πεδίο να υπολογιστεί η συνάρτηση μεταφοράς H() = U o /U i και η απόκριση u o (t) όταν u i (t) = Θ(t) ή u i (t) = 8 co(2t) V. Ω.5 Ω U i Ω Ω U o U i /2 Ω U o 8
Με εφαρμογή θεωρήματος Thevenin στα σημεία τομής που φαίνονται στο κύκλωμα έχουμε το. Με διαιρέτη τάσης στο βρόγχο έχουμε U o =.5 Ui 2 H() = U o = /2 U i.5 Οταν u i (t) = Θ(t) U i = /. Οπότε U o = Οταν u i (t) = 8 co(2t) U i = 2(.5) = /3 /3.5 u o(t) = ( e.5t ) V, t 3 8 2 4. Οπότε U o = H()U i = (A B) 2 (.5B Γ) (4A.5Γ) 4 24 U o = 25(.5) 24 25 2 4 32 25 4 (.5)( 2 4) A.5 B Γ 2 4 A B =.5B Γ = 4 4A.5Γ = 2 2 4 u o(t) = 24 25 A = 24/25 B = 24/25 Γ = 64/25 ( e.5t co 2t 43 ) in 2t V, t Παράδειγμα 5.7 Να βρεθεί το ρεύμα i o (t), t στο παρακάτω κύκλωμα με μηδενικές αρχικές συνθήκες. F 2 H / 2 i I 2 Ω e 2t Θ(t) Ω 2 Ω /(2) Ω Μετασχηματίζοντας κατά Laplace έχουμε το κύκλωμα. Με διαιρέτη ρεύματος I o = 2 / 2 / 2 2 = ( )( 2) = 2 i o(t) = e t e 2t A, t 6 Ασκήσεις Άσκηση 6. Να βρεθεί η u o (t), t στο κύκλωμα, με μηδενικές αρχικές συνθήκες. H e t Θ(t) u o (t) 2F 4Ω 3Θ(t) Λύση Μετασχηματίζοντας κατά Laplace έχουμε το. Μετασχηματίζοντας πάλι την πηγή τάσης σε ρεύματος έχουμε το. /() U () /(2) 4 3/ /[()] U () /(2) 4 3/ 9
Κανόνας ρευμάτων του Kirchhoff στον επάνω κόμβο δίνει: ( ( ) 3 = U 2 ) 3 3 4 ( ) = U 4 8 2 4 U = 4(3 3) ( )(4 8 2 ) = 52 2 ( )(4 8 2 ) Το τριώνυμο στον παρονομαστή έχει ρίζες μιγαδικές άρα προσπαθούμε να συμπληρώσουμε τετράγωνο. ( 8 2 4 = 8 2 8 4 ) ( = 8 2 2 8 6 6 2 6 2 ) [ ( = 8 ) ] 2 27 2 6 256 οπότε 52 2 6.5.5 6.5.5 U () = [ ( 8( ) ) ] 2 27 = [ ( 6 256 ( ) ) 2 ( ) 2 ] = ] 27 ( ) [( a) 2 b 2 6 6 Για τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace έχουμε 6.5.5 [ ] A ( ) ( a) 2 b 2 B C ( a) 2 b 2 από όπου και για t A B = 2aA B C =.5 (a 2 b 2 )A C = 6.5 U () = A B A = 3.636 B = 3.636 C = 4.682 a ( a) 2 b 2 C Ba b b ( a) 2 b 2 u (t) = Ae t Be at co(bt) C Ba e at in(bt) = b 3.636 e t 3.636 e.625t co(.74t) 6.97 e.625t in(.74t) V Επιβεβαίωση των παραπάνω με cilab και pice φαίνεται στο σχ. 5 όπου η γραφική συμπεριλαμβάνει την συνάρτηση που υπολογίσαμε (σχεδιασμένη με το cilab) με τα αποτελέσματα του pice από το αντίστοιχο σχηματικό κυκλώματος. u(t) 8 6 4 u(t) [V] 2 2 4 6 5 5 2 25 3 35 4 45 5 t [] Σχήμα 5: Επιβεβαίωση με cilab και pice. Άσκηση 6.2 Να βρεθεί το ρεύμα i o (t), t > στο κύκλωμα. 2Ω u o 5e 2t Θ(t) V F Ω 3Θ(t) V.5 u o H i o
Λύση Η πηγή τάσης δεξιά δείχνει ότι λειτουργεί πριν την χρονική στιγμή t =. Επομένως πριν την χρονική στιγμή t = η κατάσταση έχει όπως φαίνεται στο κύκλωμα, επομένως μπορούμε να υπολογίσουμε τις αρχικές συνθήκες στον πυκνωτή και πηνίο, δηλ. τάση και ρεύμα αντίστοιχα. Στο κύκλωμα ο πυκνωτής είναι ανοικτό κύκλωμα και το πηνίο βραχυκύκλωμα. Επομένως, I = 3/(2 ) = A, u = V και U AB = 2I.5u o = 2.5( ) = 2.5 V. Οι αρχικές συνθήκες είναι u C () = U AB = 2.5 V i L () = I = A και το αρχικό κύκλωμα μετατρέπεται στο όπου ταυτόχρονα κάναμε τους μετασχηματισμούς Laplace στα στοιχεία και συμπεριλάβαμε τις αρχικές συνθήκες. 2Ω A u o Ω B 3V.5 u o I I 2Ω / 5/(2) 2.5/ I 2 U o Ω Γ.5 U o V I Με κανόνες Kirchoff έχουμε I I 2 = I 2I I 2 2.5.5U = I ( ).5U 2.5 I 2 = U = I 5 2 ( 2.5I 2 ) I 2 = I (.5 ) I 2 5 2 2.5 = 2.5 I = και ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace για t είναι 3 2 2 ( 2)(2 2 2 3) i (t) =.74e 2t.74e t/2 co(.8t) 3.94e t/2 in(.8t) A Επιβεβαίωση των παραπάνω με cilab και pice φαίνεται στο σχ. 6 όπου η γραφική συμπεριλαμβάνει την συνάρτηση που υπολογίσαμε (σχεδιασμένη με το cilab) με τα αποτελέσματα του pice από το αντίστοιχο σχηματικό κυκλώματος. Άσκηση 6.3 Να βρεθεί το ρεύμα i o (t), t > στο κύκλωμα, με μηδενικές αρχικές συνθήκες. 2e t Θ(t) V F H i o Ω 4Θ(t) A Ω
i(t) 2..5. i(t) [A].5..5. 5 5 t [] Σχήμα 6: Επιβεβαίωση με cilab και pice. I 8 7 6 5 I [A] 4 3 2 5 5 2 25 3 35 4 45 5 t [] Σχήμα 7: Επιβεβαίωση με cilab και pice. u(t) 2.5 2..5 u(t) [V]..5. 5 5 t [] Σχήμα 8: Επιβεβαίωση με cilab και pice. 2
Λύση Μετασχηματίζουμε τα στοιχεία στο χώρο των συχνοτήτων και εφόσον έχουμε μηδενικές αρχικές συνθήκες το κύκλωμα είναι το. 2/() 2/() / / / Ω 4/ I Ω Ω I Ω Ω 4/ I 2 Ω (c) Χρησιμοποιούμε μέθοδο υπέρθεσης όπου ενεργοποιούμε μιαμια τις πηγές. Στο έχουμε σταθερή τάση στο μεσαίο κλάδο οπότε με νόμο Ohm 2 I = 2 = ( )( 2 ) Στο (c) έχουμε διαιρέτη ρεύματος στο πηνίο και πυκνωτή, άρα I 2 = 4 = 4 ( 2 ) Επομένως I = I I 2 = 2(2 2 2 ) ( )( 2 ) και ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace για t είναι i (t) = 4 e t 3 co(t) in(t) A Επιβεβαίωση των παραπάνω με cilab και pice φαίνεται στο σχ. 7 όπου η γραφική συμπεριλαμβάνει την συνάρτηση που υπολογίσαμε (σχεδιασμένη με το cilab) με τα αποτελέσματα του pice από το αντίστοιχο σχηματικό κυκλώματος. Άσκηση 6.4 Στο παρακάτω κύκλωμα έχουμε i() = A, u o () = 2 V και u (t) = 4 e 2t Θ(t) V. Να βρεθεί η τάση u o (t), t >. 2Ω 2i u i H F u o Λύση Μετασχηματίζουμε τα στοιχεία στο χώρο των συχνοτήτων και λαμβάνοντας υπόψη τις αρχικές συνθήκες έχουμε 3
2Ω 2I 4/(2) I I / I 2 U 2/ V Με κανόνες Kirchoff έχουμε I I I 2 = I 2I = 4 2 I 2 = 2( 2) 2 2 5 2 και για t ( 2)I I 2 = 2 U = I 2 2 4 2 = 2 2 5 2 u (t) =.333e 2t 3.333e t/2 V Επιβεβαίωση των παραπάνω με cilab και pice φαίνεται στο σχ. 8 όπου η γραφική συμπεριλαμβάνει την συνάρτηση που υπολογίσαμε (σχεδιασμένη με το cilab) με τα αποτελέσματα του pice από το αντίστοιχο σχηματικό κυκλώματος. Άσκηση 6.5 Στο παρακάτω LC κύκλωμα έχουμε u() = 2 V. Να βρεθεί η τάση εξόδου u(t), t >. 6Ω H 2co(4t) Θ(t) V (/9)F u Λύση Μετασχηματίζουμε τα στοιχεία στο χώρο των συχνοτήτων και λαμβάνοντας υπόψη τις αρχικές συνθήκες έχουμε 6Ω 2/( 2 4 2 ) I 9/ 2/ U Κανόνας τάσεων Kirchoff στο βρόγχο μας δίνει για t ( I 6 9 ) 2 = 2 2 4 2 I = 32 ( 3) 2 ( 2 4 2 ) U = I 9 2 = 2(96 25 62 3 ) ( 3) 2 ( 2 4 2 ) u(t) = (2.2 3.84t)e 3t.2 co(4t).69 in(4t) V Επιβεβαίωση των παραπάνω με cilab και pice φαίνεται στο σχ. 9 όπου η γραφική συμπεριλαμβάνει την συνάρτηση που υπολογίσαμε (σχεδιασμένη με το cilab) με τα αποτελέσματα του pice από το αντίστοιχο σχηματικό κυκλώματος. Άσκηση 6.6 Να βρεθούν τα ρεύματα i (t) και i 2 (t) για t > στο παρακάτω κύκλωμα (μηδενικές αρχικές συνθήκες). 4
I [A] u(t) 2..5. u(t) [V].5..5. 2 3 4 5 6 7 8 t [] Σχήμα 9: Επιβεβαίωση με cilab και pice..2 I(L) and I(L2)..8 I(L).6.4.2 I(L2)..2.4 2 4 6 8 2 4 6 8 2 t [] Σχήμα : Επιβεβαίωση με cilab και pice. u(t)..5. u [V].5 2. 2.5 2 4 6 8 2 4 6 8 2 t [] Σχήμα : Επιβεβαίωση με cilab και pice. 5
H i 2H 2H i 2 e 3t Θ(t) V Ω Ω Λύση Μετασχηματίζουμε τα στοιχεία στο χώρο των συχνοτήτων και λαμβάνοντας υπόψη τις μηδενικές αρχικές συνθήκες έχουμε το παρακάτω κύκλωμα. 2 2 /(3) I I 2 Ω Ω Με μέθοδο οφθαλμών και λαμβάνοντας υπόψη τον κανόνα τελείας: (2 )I I 2 I 2 = (2 )I ( )I 2 = 3 3 I I (2 2)I 2 = ( )I (2 2)I 2 = και για t I = 2( ) 3 3 7 2 25 3 I 2 = ( ) 3 3 7 2 25 3 i (t) = e 3t 9.6e 2.535t.84e.3t A, i 2 (t) = e 3t.547e 2.535t.547e.3t A Επιβεβαίωση των παραπάνω με cilab και pice φαίνεται στο σχ. όπου η γραφική συμπεριλαμβάνει τις συναρτήσεις που υπολογίσαμε (σχεδιασμένες με το cilab) με τα αποτελέσματα του pice από το αντίστοιχο σχηματικό κυκλώματος. Προσοχή στο ότι το pice θα υπολογίσει τα ρεύματα με την αντίθετη φορά από αυτή που έχουμε σχεδιάσει (ελήφθη υπόψη στη γραφική). Άσκηση 6.7 Να βρεθεί η τάση εξόδου u o (t) για t > στο παρακάτω κύκλωμα (μηδενικές αρχικές συνθήκες). Ω H 6Θ(t) V 2H H 2Ω u o Λύση Μετασχηματίζουμε τα στοιχεία στο χώρο των συχνοτήτων και λαμβάνοντας υπόψη τις μηδενικές αρχικές συνθήκες έχουμε το παρακάτω κύκλωμα. 6
Ω 6/ I 2 I 2 2Ω U Με κανόνες Kirchhoff και λαμβάνοντας υπόψη τον κανόνα τελείας: ( 2)I I 2 = 6 I ( 2)I 2 = I 6 2 = 2 5 2 και για t 2 [ U = 2I 2 = 2 5 2 u (t) = 2.9 e 4.56t e.438t] V Επιβεβαίωση των παραπάνω με cilab και pice φαίνεται στο σχ. όπου η γραφική συμπεριλαμβάνει τη συνάρτηση που υπολογίσαμε (σχεδιασμένη με το cilab) με τα αποτελέσματα του pice από το αντίστοιχο σχηματικό κυκλώματος. 7