Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής με εφαρμογές στη Βιοϊατρική Συναρτήσεις - Όρια- Παράγωγοι- Ολοκληρώματα Ακολουθίες-Σειρές Μαθηματική Ανάλυση Ι
Συνάρτηση μίας Μεταβλητής
Συνάρτηση μίας μεταβλητής Εντολή Περιγραφή Παράδειγμα inline() Ορίζει μία συνάρτηση η οποία δέχεται και επιστρέφει μία τιμή. g=inline( x+5 ) Π.χ g(2) vectorize() Επιτρέπει στην συνάρτηση να δέχεται περισσότερες από μια τιμές, σε μορφή διανύσματος. g=inline(vectorize( x+5 )) Π.χ g([2 3 5 6 7]) argnames() Δίνει την μεταβλητή της συνάρτησης argnames(g) formula() Δίνει τον τύπο της συνάρτησης formula(g) syms Δήλωση μεταβλητής syms x finverse() Βρίσκει την αντίστροφη της συνάρτησης finverse(g) compose() Βρίσκει την σύνθετη συνάρτηση δύο συναρτήσεων f, g z=compose(f,g) f g
Συνάρτηση μίας μεταβλητής Χρησιμοποιώντας τη syms και τον τύπο της συνάρτησης Π.χ. syms x f= x+5; Χρησιμοποιώντας τη syms και την inline(). Ο τύπος μέσα στην inline() δεν χρειάζεται εισαγωγικά. Π.χ. syms x f=inline(x+5); Για να αναπαραστήσουμε το γράφημα της συνάρτησης,σε αυτή την περίπτωση, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την εντολή ezplot(),. ezplot( όνομα συνάρτησης, [ διάστημα σχεδίασης]) Π.χ ezplot(f, [-2 2])
Όρια Πραγματικών Συναρτήσεων Για τον υπολογισμό ορίων, αρχικά δηλώνουμε τη συνάρτηση και χρησιμοποιούμε την εντολή limit(). Η δήλωση της συνάρτησης γίνεται ως εξής, syms x (Με την εντολή syms δηλώνεις ποια είναι η μεταβλητή της συνάρτησης) f= x+2; (Δηλώνεις τον τύπο της συνάρτησης σε μία οποιαδήποτε μεταβλητή) Μαθηματική Έκφραση Εντολή lim x a f ( x) limit(f,x,a) limit(f,a) lim f ( x) x a lim f ( x) x a + limit(f,x, a, left ) limit(f,x, a, right )
Όρια Πραγματικών Συναρτήσεων Η συνάρτηση μπορεί να γραφεί απευθείας μέσα στην limit(), Δηλ. syms x limit(x+3, x,8) Κατά την χρήση της limit(), χωρίς την εμφάνιση της παραμέτρου x το Matlab θεωρεί ότι η μεταβλητή είναι η x και υπολογίζει κανονικά το όριο. Δηλ. syms x limit(x+3,8) Για τα όρια στο άπειρο στο α γράφουμε το inf. Δηλ. syms x limit(2/x, inf) Σε περίπτωση που παραλέιψουμε την τιμή στην οποία τείνει το x, το Matlab θεωρεί αυτόματα την τιμή μηδέν.
Παράγωγος Συνάρτησης Για τον υπολογισμό της παραγώγου μιας συνάρτησης στο Matlab μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό της (όριο), είτε την εντολή diff. Για τον υπολογισμό της παραγώγου, αρχικά δηλώνουμε τη συνάρτηση και χρησιμοποιούμε την εντολή diff. Η δήλωση της συνάρτησης γίνεται με τον ίδιο τρόπο, όπως για τον υπολογισμό του ορίου συνάρτησης. Μαθηματική Έκφραση Εντολή Περιγραφή df ( x) dx k d f ( x) dx k diff(f,x) diff(f) diff(f, k) Υπολογισμός 1 ης παραγώγου Υπολογισμός κ-οστής παραγώγου
Παράγωγος Συνάρτησης Η συνάρτηση μπορεί να γραφεί απευθείας μέσα στην diff(), Δηλ. syms x diff(x+2,x) Κατά την χρήση της limit(), χωρίς την εμφάνιση της παραμέτρου x το Matlab θεωρεί ότι η μεταβλητή είναι η x και υπολογίζει κανονικά το όριο. Δηλ. syms x diff(x+2) H diff() μπορεί να εφαρμοστεί και σε διάνυσμα συναρτήσεων Δηλ. syms x f=inline(vectorize(sin(x^2+1))) diff(f(x),x)
Αόριστο Ολοκλήρωμα Ο υπολογισμός του Αόριστου Ολοκληρώματος μπορεί να γίνει μόνο χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση int(), αφού πρώτα ορίσουμε τη μεταβλητή της συνάρτησης με την εντολή syms και τον τύπο της. Δηλ. syms x f=sin(x); int(f)
Ορισμένο Ολοκλήρωμα Ο υπολογισμός του Ορισμένου Ολοκληρώματος μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση int(f, a, b), αφού πρώτα ορίσουμε τη μεταβλητή της συνάρτησης με την εντολή syms και τον τύπο της. Π.χ. syms x f=sin(x) int(f, 0,pi)
Σειρές Πραγματικών αριθμών Για να υπολογίσουμε το άθροισμα ορισμένων όρων μιας ακολουθίας αn πραγματικών αριθμών, χρησιμοποιούμε την εντολή symsum(), αφού πρώτα ορίσουμε τη μεταβλητή με την εντολή syms. Δηλ. syms n symsum(αn, k, m), όπου αn η ακολουθία και m a n = ak + ak+ 1 + + am n= k Για να ελέγξουμε που συγκλίνει μια σειρά πραγματικών αριθμών, χρησιμοποιούμε την εντολή symsum(), γράφοντας m=inf. Δηλ. syms n symsum(αn, k, inf), όπου αn η ακολουθία της σειράς.
Άσκηση Ι Αν 2 f(x) 2 x 2x 1, x + Να δείξετε ότι lim f (x) = 2 x 1 Άσκηση ΙΙ Να βρεθεί (αν υπάρχει ) το όριο της f στο x 0 όταν: f (x) 2 1 x sin, x> 0 = x 2 2 x,x 0 x 0 = 0 Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης.
Άσκηση ΙΙΙ Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα την παρακάτω συνάρτηση, αφού πρώτα ελέγξετε τη συνέχεια της. f (x) x = e 2 1 x, x 1, x> 1 Tip: Προκειμένου να βρούμε ρίζες συνάρτησης χρησιμοποιούμε την εντολή solve(f), όπου f η συνάρτηση.