013 [Κεφάλαιο ] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 01-013 M.E. OE0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης [Οικονομετρία 01-013] Μαρί-Νοέλ Ντυκέν, Επ. Καθηγητρία Page 1
[Κεφάλαιο ] ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΤΟ ΚΛΑΣΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ: υποθέσεις, μεθοδολογία και αξιολόγηση.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχει ήδη αναφερθεί στο πρώτο κεφάλαιο, η οικονομετρία βασίζεται σε ένα θεωρητικό μοντέλο (π.χ. οικονομική θεωρία), που εκφράζεται μέσω μιας προσδιοριστικής συναρτησιακής σχέσης (determnstc functonal relatonshp). Η σχέση αυτή ενσωματώνεται σε ένα οικονομετρικό μοντέλο που βασίζεται στην στατιστική θεωρία. Έτσι, η προσδιοριστική σχέση μετατρέπεται σε στοχαστική σχέση, δηλαδή σε στατιστική σχέση. Με τη χρήση των σχετικών δεδομένων - όπως μπορούμε να τα παρατηρήσουμε στην πραγματικότητα -, η οικονομετρία έχει ως στόχο: Να ελέγξει εμπειρικά ορισμένες σχέσεις μεταξύ μεταβλητών που συσχετίζονται με βάση μια σχέση αλληλεξάρτησης (causalty) Να δώσει εμπειρικό περιεχόμενο στην επιχειρηματολογία και να συμβάλλει στην άσκηση κατάλληλων πολιτικών (με την απαραίτητη αξιολόγηση των συνεπειών τους). Η οικονομετρία βασίζεται σε μια θεωρητική προσέγγιση ενός φαινομένου, δηλαδή σε ορισμένες θεωρητικές υποθέσεις, οι οποίες ελέγχονται μέσω του οικονομετρικού υποδείγματος και με βάση πραγματικών εμπειρικών δεδομένων... ΑΠΟ ΤΗΝ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΙΚΗ ΣΤΗ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗ ΣΧΕΣΗ Η προσδιοριστική σχέση: Υ = F(X) = a 0 + a 1 X ακριβής σχέση Συστηματικό μέρος Στις περισσότερες περιπτώσεις, η σχέση αυτή είναι ανεπαρκής για να ερμηνεύσει εμπειρικά τη συμπεριφορά της εξαρτημένης μεταβλητής Υ και αυτό, διότι: 1. άλλοι παράγοντες εκτός από την μεταβλητή Χ, επηρεάζουν την μεταβλητή Υ. «Συνήθως, πολλοί παράγοντες που θα μπορούσαν να επηρεάσουν την εξαρτημένη μεταβλητή Υ δεν περιλαμβάνονται στο υπόδειγμα παλινδρόμησης» (Ανδρικοπούλος, 1998: 1). όλοι οι παράγοντες που πιθανόν επηρεάζουν την μεταβλητή Υ δεν είναι πάντα γνωστοί ή ακόμα δεν είναι μετρήσιμοι. Είναι γνωστό ότι, τα διαθέσιμα στοιχεία είναι πάντοτε περιορισμένα. 3. η ανθρώπινη συμπεριφορά δε δύναται να προβλεφθεί με ακρίβεια: αστάθμητη. Επομένως, οι ατομικές διάφορες αντανακλώνται με το διαταρακτικό όρο. 4. Τέλος, στην πραγματικότητα, ορισμένες τουλάχιστον από τις μεταβλητές του θεωρητικού μοντέλου μπορεί να μη μετρούνται ακριβώς, δηλαδή μπορεί να υπάρχουν σφάλματα μέτρησης των μεταβλητών: απόκλιση μεταξύ της πραγματικότητας και της μέτρησης. [Οικονομετρία 01-013] Page
[Κεφάλαιο ] Τελικά, η σχέση μεταξύ μεταβλητών δεν είναι ακριβής, είναι στοχαστική με την έννοια ότι, η τιμή που παίρνει η εξαρτημένη μεταβλητή Υ δεν είναι «μοναδική» για κάθε προκαθορισμένη τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής Χ. Η στοχαστική σχέση: Υ = F(X, ε) = a 0 + a 1 X + ε ε = διαταρακτικός όρος σφάλμα Σημασία του διαταρακτικού όρου: Ο διαταρακτικός όρος (dsturbance term) αποτελεί τη «γέφυρα» ανάμεσα στη θεωρητική προσέγγιση που αφορά το συστηματικό μέρος, δηλαδή την ακριβής σχέση και στα πραγματικά δεδομένα: «Γέφυρα μεταξύ Θεωρίας και πραγματικότητας». Επομένως: 1. Δεχόμαστε ότι, υπάρχει μια γενική στατιστική σχέση μεταξύ των μεταβλητών η οποία απεικονίζεται με την ευθεία γραμμή και ισχύει για όλο το πληθυσμό: η μεταβλητή Υ μεταβάλλεται συστηματικά με τις μεταβολές της μεταβλητής Χ. Υ = F (X) Είναι η συνάρτηση που ισχύει για όλο το πληθυσμό. Την ονομαζόμαστε συνάρτηση παλινδρόμησης του πληθυσμού και χαρακτηρίζεται ως εξής: Y = a 0 + a 1 X + ε = 1,,N όπου: Y = εξαρτημένη μεταβλητή, X = ανεξάρτητη μεταβλητή, a 0, a 1 = σταθεροί συντελεστές, άγνωστοι και πρέπει να εκτιμηθούν, ε = στοχαστική μεταβλητή, επομένως Υ είναι επίσης στοχαστική Αν ε ακολουθεί την Κανονική Κατανομή Ν(0,1), τότε η αναμενόμενη (expected) ή μέση τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής Υ, υπό την συνθήκη ότι η τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής είναι γνωστή (condtonal) δίνεται από: Y = F(X, ε ) = a 0 + a 1 X + ε = 1,,N E(Y / X ) = E (a 0 + a 1 X + ε ) = a 0 + a 1 X Διότι a o, a 1 είναι παράμετροι και Ε(ε ) = 0 δεδομένου ότι, ε ~ Ν(0,1) Υπό την υπόθεση ότι, για κάθε δεδομένη τιμή της Χ, ο διαταρακτικός όρος ακολουθεί την κανονική κατανομή, τότε η εξαρτημένη μεταβλητή Υ κατανέμεται και αυτή κανονικά γύρω από την υπό περιορισμό μέση τιμή της E(Y / X). Αν γνωρίζαμε όλες τις τιμές των μεταβλητών Υ, Χ και ε, τότε θα μπορούσαμε να υπολογίζουμε τις πραγματικές τιμές των συντελεστών a0 και a1. Επειδή, αυτό δεν είναι δυνατό, επομένως και αναγκαστικά, εκτιμούμε (και όχι υπολογίζουμε) τις τιμές των συντελεστών από δείγμα παρατηρήσεων. [Οικονομετρία 01-013] Page 3
[Κεφάλαιο ] Η συνάρτηση παλινδρόμησης του Δείγματος χαρακτηρίζεται ως εξής: Εκτιμημένη συνάρτηση παλινδρόμησης Ŷ = â 0 + â 1 X = 1,,N â 0 και â 1 είναι εκτιμητές των συντελεστών με διαφορετικά δείγματα, οι εκτιμητές μπορούν να είναι διαφορετικοί. Η ακρίβεια της εκτίμησης εξαρτάται από την ορθή και πλήρη εξειδίκευση του υποδείγματος η εκτίμηση της Υ μπορεί να είναι διαφορετική από την πραγματική τιμή. Η διάφορα μας δίνει τα κατάλοιπα (resduals), δηλαδή τις εκτιμήσεις των διαταρακτικών όρων. Ŷ = Y + e = â 0 + â 1 X + e Ŷ = εκτίμηση της αναμενόμενης τιμής της Υ όταν ξέρουμε την Χ e = Y Ŷ = κατάλοιπα = διάφορα μεταξύ πραγματικής τιμής και εκτίμησης της Υ.3. Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ (ΜΕΤ) Σε αυτή τη παράγραφο, εξετάζουμε το διμεταβλητό υπόδειγμα, ως βασικό αρχικό υπόδειγμα της οικονομετρικής θεωρίας. Στο πλαίσιο αυτό, 3 θέματα πρέπει να εξεταστούν: 1. Βασικές υποθέσεις της Μέθοδο των Ελάχιστων Τετράγωνων (ΜΕΤ). Διαδικασία εκτίμησης του υποδείγματος γραμμικής παλινδρόμησης με την γνωστή μέθοδο ΜΕΤ [Ordnary Least Squares, OLS] 3. Αποτελεσματικότητα της εκτίμησης: συντελεστής προσδιορισμού, συντελεστής συσχέτισης, εκτίμηση της διακύμανσης του διαταρακτικού όρου [Οικονομετρία 01-013] Page 4
[Κεφάλαιο ].3.1. Οι 7 βασικές υποθέσεις Η.1. : Γραμμικότητα του Υποδείγματος Υ = F(X, ε ) = a 0 + a 1 X + ε Η γραμμικότητα αναφέρεται στους συντελεστές της παλινδρόμησης και όχι στις μεταβλητές. Η γραμμή της παλινδρόμησης περνάει από το σημείο που ορίζεται από το μέσο των μεταβλητών Υ και Χ. a ˆ = ˆ. Υ = Υˆ 0 Y a1 X εποµένως Ο πρώτος συντελεστής â 0 είναι η τομή της συνάρτησης Ο δεύτερος συντελεστής â 1 δίνει τη κλίση της συνάρτησης. Δίνει επίσης την οριακή μεταβολή της εξαρτημένης μεταβλητής Υ σε σχέση με την ανεξάρτητη μεταβλητή Χ. Η.. : Η ανεξάρτητη μεταβλητή Χ δεν είναι στοχαστική Η μεταβλητή Χ δεν συσχετίζεται με το διαταρακτικό όρο (dsturbance term) και επομένως δεν είναι συνάρτηση ενός στοχαστικού όρου (σφάλμα, τυχαίο φαινόμενο). Οι τιμές της Χ παραμένουν σταθερές σε επαναλαμβανόμενα δείγματα και δεν είναι ίσες μεταξύ τους. Αν οι τιμές της Χ είναι ίσες, δηλαδή αν οι τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής δεν μεταβάλλονται, τότε δεν μπορούμε να ερμηνεύσουμε γιατί η εξαρτημένη μεταβλητή Υ μεταβάλλεται. Η.3.: Ε(ε / X ) = 0 ε >0 ή ε < 0 : η μεταβλητή ε είναι τυχαία μεταβλητή. Παίρνει θετικές και αρνητικές τιμές αλλά η μέση τιμή των διαταρακτικών όρων όταν οι τιμές της μεταβλητής Χ είναι δεδομένες (γνωστές) είναι μηδέν (Condtonal mean). Οι παράγοντες που δεν εμφανίζονται στη συνάρτηση άλλα περιλαμβάνονται στο διαταρακτικό όρο, δεν επηρεάζουν συστηματικά τη μέση τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής. Εφόσον Ε(ε ) = Σ ε / n = 0 η μέση τιμή της Υ δεν επηρεάζεται από το διαταρακτικό όρο. Η.4. Cov (ε, ε j ) = 0 : δεν υπάρχει συνδιακύμανση μεταξύ δύο διαφορετικών διαταρακτικών όρων Οι δύο διαταρακτικοί όροι για δύο παρατηρήσεις είναι ασυσχέτιστοι, δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση μεταξύ τους. Έχουμε αυτοσυσχέτιση όταν Cov (ε, ε j ) 0 και αυτό σημαίνει ότι, μπορούμε να βρούμε μια σχέση μεταξύ δυο διαταρακτικών όρων, π.χ.: ε = ρ.ε j + ν j [Οικονομετρία 01-013] Page 5
[Κεφάλαιο ] Η.5.: Var (ε / X ) = σ = διακύμανση του διαταρκτικού όρου είναι σταθερή. Υπόθεση της ΟΜΟΣΚΕΔΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ Η διασπορά των τιμών του διαταρακτικού όρου σε σχέση με τη μέση τιμή του δεν αλλάζει όταν μεταβάλλεται η τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής Χ. Όταν η διακύμανση του διαταρακτικού όρου δεν παραμένει σταθερή στα διάφορα επίπεδα της ανεξάρτητης μεταβλητής, αυτό σημαίνει ότι δεν έχουμε μια σταθερή συνάρτηση μεταξύ των δύο μεταβλητών και τότε έχουμε ΕΤΕΡΟΣΚΕΔΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ, που είναι μια από τις πιο σοβαρές παραβιάσεις των υποθέσεων του μοντέλου. Η.6.: Cov (ε, X ) = 0 η συνδιακύμανση του διαταρακτικού όρου και της ανεξάρτητης μεταβλητής είναι μηδέν. Αν οι δυο μεταβλητές συσχετίζονται, τότε είναι δύσκολο να μετρήσουμε ξεχωριστά την επίδραση της Χ και της ε στην Υ. Ο διαταρακτικός όρος, όπως ορίζεται, μετράει την επίδραση στην Υ, των μεταβλητών που δεν εντάσσονται στο μοντέλο, δηλαδή οι παραλειπόμενες μεταβλητές εκτός της ανεξάρτητης Χ η οποία δεν είναι στοχαστική. Οι προσδιοριστικές ερμηνευτικές μεταβλητές πρέπει να είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους αλλιώς αντιμετωπίζουμε πρόβλημα πολυσυγγραμμικότητα που δημιουργεί σημαντικά προβλήματα κατά την εκτίμηση των συντελεστών της συνάρτησης παλίνδρόμησης. Η.7. Από τον ορισμό της συνάρτησης παλινδρόμησης, προκύπτει ότι, η εξαρτημένη μεταβλητή Υ είναι συνάρτηση της τυχαίας μεταβλητής ε και επομένως η Υ είναι επίσης τυχαία μεταβλητή, στοχαστική. Ε[Υ / X ] = a 0 + a 1 X Var [Υ / X ] = Var [ε / X ] = σ Η διακύμανση της εξαρτημένης μεταβλητής είναι σταθερή και ίση με τη διακύμανση του διαταρακτικού όρου. η εξαρτημένη μεταβλητή μεταβάλλεται όπως και το σφάλμα (διαταρακτικός όρος) και η μεταβλητικότητα αυτή είναι ανεξάρτητη από τις τιμές που παίρνει η ανεξάρτητη μεταβλητή. εφόσον ο διαταρακτικός όρος ακολουθεί κανονική κατανομή, τότε και η εξαρτημένη μεταβλητή ακολουθεί κανονική κατανομή. [Οικονομετρία 01-013] Page 6
[Κεφάλαιο ].3.. Εκτίμηση των συντελεστών της παλινδρόμησης Ο αντικειμενικός σκοπός της ανάλυσης είναι, με βάση τα δεδομένα που προκύπτουν από ένα επιλεγμένο δείγμα, η εκτίμηση των συντελεστών και â1 έτσι ώστε το άθροισμα των τετραγώνων των Καταλοίπων (εκτίμηση των διαταρακτικών όρων) να ελαχιστοποιήσει. Αρχή: Οι συντελεστές εκτιμητές â0 και â1 ελαχιστοποιούν το Άθροισμα των Τετραγώνων των Κατάλοιπων (ΑΤΚ). â 0 ATK ( Y ) mn( ˆ ˆ ) Y = Y a0 a1 X = e = Σε ποίες συνθήκες, έχουμε ελαχιστοποίηση των ΑΤΚ; Όταν η 1 η παράγωγος σε σχέση με κάθε συντελεστή είναι μηδέν. Πρέπει να υπολογίσουμε τους εκτιμητές â 0 και â 1 έτσι ώστε το άθροισμα των σφαλμάτων στο τετράγωνο είναι το μικρότερο δυνατό. â 0, â 1 / mn Σ e : Άθροισµα Τετραγώνων Κατάλοιπων = ΑΤΚ = Σ(y? ) mn ATK δατκ / δâ 0 = 0 και δατκ / δâ 1 = 0 (1η παράγωγος) Σ (Υ -â 0 - â 1 Χ ) = 0 [1] Σ (Υ -â 0 - â 1 Χ ). Χ = 0 [] [1] ΣΥ = n.â 0 + â 1 ΣΧ [3] [] ΣΧ Υ = â 0 ΣΧ + â 1 ΣΧ [4] Πολλαπλασιάζοντας µε ΣΧ την [3] και µε n την [4], έχουµε: [3] ΣΧ. ΣΥ = n â 0 ΣΧ + â 1 ΣΧ [5] [4] n. ΣΧ Υ = n â 0 ΣΧ + n â 1 ΣΧ [6] Η διαφορά [6] [5] µας δίνει την εκτιµηµένη τιµή του συντελεστή â 1 : n ΣΧ Υ - n ΣΧ.ΣΥ â 1 = ------------------------- n ΣΧ - (ΣΧ ) Απότην [3]: n Y = n â 0 + n â 1 Χ Y = â 0 + â 1 Χ â 0 = Y - â 1 Χ Η γραµµή της παλινδρόµησης περνά από το µέσο σηµείο Σύμφωνα με τη μεθοδολογία αυτή, έχουμε ως αποτέλεσμα: aˆ n. X Y X n. X ( X ) Y 1= aˆ ˆ 0 1 = Y a X [Οικονομετρία 01-013] Page 7
[Κεφάλαιο ] Ιδιότητες: (α) Οι εκτιμητές είναι αμερόληπτοι, δηλαδή δεν περιλαμβάνουν σφάλμα (unbased) Ε ˆ ( α ) α και ( ˆ1 α ) α ο = ο Ε = 1 (β) Μεταξύ όλων των αμερόληπτων εκτιμητών, είναι αυτοί που έχουν την μικρότερη διακύμανση (effcent) Var ( aˆ ) mn & ( ˆ 0 = Var a1) mn (γ) Οι συντελεστές είναι γραμμικές συναρτήσεις των παρατηρήσεων της εξαρτημένης μεταβλητής Υ (δ) Όσο Ν αυξάνει (μέγεθος του δείγματος) όσο οι εκτιμητές τείνουν προς τις θεωρητικές τιμές της συνάρτησης (τιμές που χαρακτηρίζουν το συνολικό πληθυσμό αναφοράς).3.3. Συνολική Αξιολόγηση της Συνάρτησης /Α/ Συντελεστής Προσδιορισμού: (Α.1) Απλός Συντελεστής προσδιορισμού Ορισμός: ο συντελεστής μετράει το ποσοστό της μεταβλητικότητας της εξαρτημένης μεταβλητής Υ που ερμηνεύεται από την παλινδρόμηση του δείγματος, ενώ το υπόλοιπο ποσοστό αφορά το τμήμα της συνολικής μεταβλητικότητας που δεν μπορεί να ερμηνευτεί από τη παλινδρόμηση και επομένως ερμηνεύεται από τα υπόλοιπα στοιχεία που δεν εντάσσονται στο μοντέλο (κατάλοιπα). ΣΑΤ = ΑΤΠ + ΑΤΚ Y = Yˆ Y + Y Yˆ ( ) ( ) ( ) Y (1) Συνολική Μεταβλητότητα Μεταβλητότητα Μεταβλητότητα από την από τα Παλινδρόμηση κατάλοιπα Από την εξίσωση (1), προκύπτουν τα εξής: 1 ΑΤΠ ΣΑΤ ΑΤΚ + = ΣΑΤ ( Υˆ Y) e + ( Y Y) ( Y Y) = () e = aˆ 1. ( Y Y) x = 1 όπου x X X = και y = Y Y y Από τον ορισμό του 0 1 [Οικονομετρία 01-013] Page 8
[Κεφάλαιο ] Υ Αν η παλινδρόμηση δεν μπορεί να ερμηνεύσει καθόλου την μεταβλητικότητα της εξαρτημένης μεταβλητής, τότε ο συντελεστής είναι ίσον με μηδέν Αντίθετα, αν η παλινδρόμηση μπορούσε να ερμηνεύσει όλη τη μεταβλητικότητα της Υ, τότε θα ήταν ίσον με 1. = 0 = 1 Υ Χ Χ (Α.) Διορθωμένος Συντελεστής Προσδιορισμού Η τιμή του συντελεστή προσδιορισμού επηρεάζεται από το μέγεθος του δείγματος καθώς και από τον αριθμό ανεξαρτήτων μεταβλητών (ή συντελεστών) που εντάσσονται στην παλινδρόμηση. Για το λόγο αυτό, είναι χρήσιμό να υπολογίσουμε το Διορθωμένο Συντελεστή Προσδιορισμού * ο ποίος ορίζεται ως εξής: ˆ * ATK /( N k) σ ε (3) ΣΑΤ /( Ν 1) Υ σ ˆε = εκτιμητής της διακύμανσης του διαταρακτικού όρου σ ˆε = εκτιμητής της διακύμανσης της εξαρτημένης μεταβλητής Η σχέση μεταξύ των δυο συντελεστών προσδιορισμού: Από τη σχέση () ATK ΑΤΚ ΣΑΤ ΣΑΤ * ATK N 1 N 1 Από τη σχέση (3) [. ] [(1 ). ] ΣΑΤ N k N k = 1 * = 1 k > 1 * <, όταν k αυξάνει, ο διορθωμένος συντελεστής αυξάνει λιγότερο από τον απλό συντελεστή είναι πάντα θετικός, ενώ * μπορεί να είναι αρνητικός όταν είναι πολύ μικρός ή ακόμα όταν ο αριθμός ανεξαρτήτων μεταβλητών αυξάνει ενώ το μέγεθος του δείγματος παραμένει σταθερό [Οικονομετρία 01-013] Page 9
[Κεφάλαιο ] /Β/ Συντελεστής Συσχέτισης Ο συντελεστής συσχέτισης r (Correlaton coeffcent) είναι ένας δείκτης που υπολογίζει τον βαθμό της γραμμικής συσχέτισης μεταξύ μεταβλητών (Υ και Χ). Ορίζεται ως η ρίζα του συντελεστή προσδιορισμού: r = ±, επομένως σε αντίθεση με το συντελεστή προσδιορισμού, ο συντελεστής συσχέτισης παίρνει θετικές και αρνητικές τιμές του -1 r 1 Με βάση του συντελεστή συσχέτισης, μπορούμε να εξετάζουμε εάν έχουμε: Καμία συσχέτιση: r = 0 Θετική συσχέτιση : r > 0 Αρνητική συσχέτιση : r < 0 /Γ/. Εκτιμητής της διακύμανσης του διαταρακτικού όρου Διακύμανση του διαταρακτικού όρου ε = σ ( ) Ο εκτιμητής του σ = Var(e e e e ) = = = εφόσον e = 0 N k N k N = αριθμός παρατηρήσεων k = αριθμός συντελεστών N - k = βαθμοί ελευθερίας Όσο ο εκτιμητής του τυπικού σφάλματος (σ) είναι μικρός, τόσο μικρός είναι επίσης, σύμφωνα με τις υποθέσεις της παλινδρόμησης, ο εκτιμητής του τυπικού σφάλματος της εξαρτημένης μεταβλητής. [Οικονομετρία 01-013] Page 10
[Κεφάλαιο ] Αξιολόγηση μιας Παλινδρόμησης «Διμεταβλητό Υπόδειγμα» 1 ο ΒΗΜΑ: ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΥΝΟΛΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ Συντελεστής Πολλαπλού Προσδιορισμού = (SPSS: square, στο πίνακα Model Summary ) (SPSS: ΑΤΚ = Sum of Squares of esdual, στο πίνακα ANOVA) (SPSS: ΣΑΤ = Sum of Squares Total, στο πίνακα ANOVA) Διορθωμένος Συντελεστής Προσδιορισμού Διότι: 1) η εκτίμηση εξαρτάται από το μέγεθος του δείγματος : Ν ) ο αριθμός των ανεξαρτήτων μεταβλητών : k επηρεάζει την εκτίμηση όπου * ΑΤΚ ΣΑΤ e y y = Y Y ATK N k ΣΑΤ N 1 e / Ν k y / N 1 e y (SPSS: Adjusted square, στο πίνακα Model Summary) Διακύμανση του διαταρακτικού όρου σˆ e (SPSS: Std Error of the Estmate, στο πίνακα Model Summary) e e = N k Τυπικό σφάλμα εκτίμησης της Υ = εκτίμηση της διακύμανσης των διαταρακτικών όρων Συντελεστής συσχέτισης = r yx r = Απλός συντελεστής (SPSS: στο πίνακα Model Summary, ) Ακαθάριστος συντελεστής (gross) Συντελεστής «Μηδέν βαθμού» [Οικονομετρία 01-013] Page 11
[Κεφάλαιο ] Συνεχεία πρώτου βήματος: Αξιολόγηση του συνόλου του υποδείγματος με τη Στατιστική του Fsher : F-στατιστική F υπολογισμένη = ( Yˆ Y) k 1 ( Y Yˆ ) N k F υπολογισμένη = ΑΤΠ k 1 ATK N k Έλεγχος: Ηο : όλοι οι συντελεστές μαζί = 0 Η1 : Τουλάχιστον ένας συντελεστής είναι διαφορετικό από το 0 Προσοχή: όλοι μαζί = 0 είναι διαφορετικό από «ο καθένας ξεχωριστά» ο καθένας ξεχωριστά σημαίνει ότι η ανεξάρτητη μεταβλητή που εξετάζεται δεν έχει επίδραση στην εξαρτημένη μεταβλητή όλοι μαζί σημαίνει ότι η συνδυασμένη επίδραση όλων των ανεξαρτήτων μεταβλητών δεν είναι σημαντική στη διαμόρφωση των τιμών της εξαρτημένης μεταβλητής Υ Κατανομή της F-στατιστικής Κανόνας Έλεγχου: Ho δεκτή F θ H1 δεκτή F(k-1; N-k) Όταν Fυπολογισμένη < F θ Υπόθεση Ηο δεκτή (απόρριψη της συνάρτησης) Όταν Fυπολογισμένη > F θ Υπόθεση Η1 δεκτή (απόρριψη της συνάρτησης [Οικονομετρία 01-013] Page 1
[Κεφάλαιο ] ο ΒΗΜΑ: ΕΛΕΓΧΟΣ ΚΑΘΕ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΤΗΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ â 1 Ν (a 1, σ a1 ) α 1 = Ε[â 1 ] αν â 1 είναι BLUE τότε α 1 = Ε[â 1 ] = 0 Υποθέσεις: Ηο : â = 0 Η1 : â = 0 Ο έλεγχος γίνεται με τη στατιστική του t-student, όπου: t aˆ a 1 1 1 = = = Υπολογισμένη τιμή του Student a1 aˆ a1 a1 = Τυπικό σφάλμα της εκτίμησης του συντελεστή â 1 eˆ a1 = όπου = και x = X X x N k Για το συντελεστή â 0 έχουμε : ao X = * Ν x Κανόνας έλεγχου με α% πιθανότητα λανθασμένη υπόθεση t (υπολογισμένο) < t Θ Υπόθεση Ηο δεκτή, ο συντελεστής = 0 t (υπολογισμένο) > t Θ Υπόθεση Η1 δεκτή, ο συντελεστής είναι στατιστικά διαφορετικό από το μηδέν και επομένως η μεταβλητή X ερμηνεύει το φαινόμενο. Όπου t Θ : τιμή του Student που δίνεται από τον αντίστοιχο πίνακα. Εξαρτάται από τον επίπεδο σημαντικότητας και το βαθμό ελευθερίας (Ν-1). [Οικονομετρία 01-013] Page 13