Δημοκρίηειο Πανεπιζηήμιο Θράκης Σμήμα Πολιηικών Μητανικών Σομέας Τδρασλικών Έργων ΔΡΔΤΝΗΣΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΜΔΓΔ 2002

Δημοκρίηειο Πανεπιζηήμιο Θράκης Σμήμα Πολιηικών Μητανικών Σομέας Τδρασλικών Έργων ΔΡΔΤΝΗΣΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΜΔΓΔ 2002 Τπολογιζμοί 3D ροών επί αγωγών ελαζηικών ηοιτωμάηων ΚΩΔΙΚΟ ΕΡΓΟΤ 969 Ι. Β. νύιεο Αλ. Καζεγεηήο Γ.Π.Θ. Τομέας Υδρασλικών Έργων, Τμήμα Πολιηικών Μητανικών, Δημοκρίηειο Πανεπιζηήμιο Θράκης ΞΑΝΘΗ, 2003 1

Τπολογιζμοί 3D ροών επί αγωγών ελαζηικών ηοιτωμάηων ΚΩΔΙΚΟ ΕΡΓΟΤ 969 Ι. Β. νύιεο Αλ. Καζεγεηήο Γ.Π.Θ. Τομέας Υδρασλικών Έργων, Τμήμα Πολιηικών Μητανικών, Δημοκρίηειο Πανεπιζηήμιο Θράκης 1. Διζαγωγή ηελ ρώξα καο παξαηεξείηαη αικαηώδεο αλάπηπμε ζηελ ρξήζε ζσιήλσλ πνιπαηζπιελίνπ. Πνιινί Οξγαληζκνί, Ύδξεπζεο θαη Απνρέηεπζεο, Γήκνη θαη Κνηλόηεηεο αληηθαζηζηνύλ ηα παιηά ηνπο δίθηπα από ζπκβαηηθά πιηθά κε δίθηπα από ζσιήλεο πνιπαηζπιελίνπ. Οη ζσιήλεο πνιπαηζπιελίνπ ζπλδπάδνπλ κία ζεηξά από εμαηξεηηθά πιενλεθηήκαηα, όπσο ην κηθξό βάξνο πνπ ζπλεπάγεηαη κηθξό θόζηνο κεηαθνξάο εύθνιε εγθαηάζηαζε θαη άξηζηεο κεραληθέο ηδηόηεηεο θαη ρεκηθέο ηδηόηεηεο. ηόρνο ηνπ παξόληνο εξεπλεηηθνύ πξνγξάκκαηνο είλαη λα δηεξεπλεζεί ε αιιειεπίδξαζε ξεπζηνύζηεξενύ (πνιπαηζπιελίνπ PN20), θαη ζρεηηθνύ κε απηό άιινπ πιηθνύ, ζε θιεηζηό αγσγό θάησ από ζπλζήθεο πδξαπιηθνύ πιήγκαηνο. Παξάιιεια, δηελεξγείηαη παξακεηξηθή κειέηε, κε ζηόρν λα απνηηκεζεί ε επίδξαζε ηνπ κέηξνπ ειαζηηθόηεηαο ηνπ ηνηρώκαηνο, ζηηο ηάζεηο, θαη ηηο παξακνξθώζεηο πνπ αλαπηύζζνληαη ζηνλ αγσγό ειαζηηθώλ ηνηρσκάησλ. Σν πιήγκα θξηνύ ή κε κόληκε ξνή ελδηαθέξεη ζε πεξίπησζε απόηνκεο κεηαβνιήο ηεο παξνρήο ιόγσ δηαθνπήο ηεο ιεηηνπξγίαο κίαο αληιίαο ή ιόγσ ηνπ θιεηζίκαηνο ή αλνίγκαηνο κίαο βάλαο, πνπ ζπλεπάγεηαη ην γλσζηό θύκα πίεζεο πνπ δηαδίδεηαη κε ελαιιαζζόκελν πξόζεκν θαηά κήθνο ηνπ αγσγνύ. ηόρνο ζηελ πεξίπησζε πνπ εμεηάδνπκε είλαη ε εμαθξίβσζε ησλ ηηκώλ ηεο ππεξ-πηέζεσο 2

γηα ηνλ έιεγρν ηεο αληνρήο ηνπ αγσγνύ γηα ηελ δηαηνκή πνπ επηιέμακε. Η δηεξεύλεζε είλαη θαζαξά ππνινγηζηηθή απνηειείηαη από δύν ηκήκαηα, θαη απνζθνπεί ζηελ δηαθξίβσζε ηεο επίδξαζεο ηνπ πιήγκαηνο θαη ηεο κεηαβνιήο ηεο πίεζεο ηνπ λεξνύ κέζα ζηνλ αγσγό θαζώο θαη ζηελ επίδξαζε απηνύ, ζηηο εγθάξζηεο ηάζεηο πνπ αλαπηύζζνληαη ζηα ηνηρώκαηα ηνπ αγσγνύ. ην πξώην ζηάδην ππνινγίδεηαη ε δηαθνξά θνξηίνπ πνπ ζεκεηώλεηαη αλάληε θαη θαηάληε ιόγσ ηνπ πδξαπιηθνύ πιήγκαηνο, ρξεζηκνπνηώληαο πξόγξακκα πεπεξαζκέλσλ δηαθνξώλ, ζηελ γιώζζα πξνγξακκαηηζκνύ Fortran, θαη ζην δεύηεξν ππνινγίδεηαη κε ρξήζε ινγηζκηθνύ πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ (Gambit - θαηαζθεπή ππνινγηζηηθνύ δηθηύνπ- θαη Fidap 8.6.2 -ππνινγηζκόο ηάζεσλ) ε επίδξαζε ηηο κεηαβνιή ηεο πίεζεο ζηα ηνηρώκαηα ηνπ αγσγνύ, ζεσξώληαο δύν δηαθνξεηηθά είδε πνιπαηζπιελίνπ κε δηαθνξεηηθό κέηξν ειαζηηθόηεηαο ην θαζέλα. 2. Λύζη γπαμμικού πποβλήμαηορ με σπήζη πεπεπαζμένων διαθοπών 2.1 Δξιζώζειρ Οη εμηζώζεηο ζπλέρεηαο, εμηζώζεηο ηζνξξνπίαο δπλάκεσλ ρξεζηκνπνηνύληαη γηα λα ζπλδεζεί ην ππνινγηζηηθό νκνίσκα, όπνπ εθθξάδνληαη ζπλαξηήζε ησλ αγλώζησλ ζπλαξηήζεσλ Η,V, (πίεζε θαη ηαρύηεηα). Σν πξόβιεκα είλαη γξακκηθό, θαη νη εμηζώζεηο εθθξάδνληαη κόλν ώο πξνο ηνλ δηακήθε άμνλα x. V H x H t 2 c g V x = 0 εμίζσζε ζπλέρεηαο κάδαο H fv V V V V g 0 εμίζσζε ηζνξξνπίαο δπλάκεσλ x 2D x t Η είλαη ην πδξαπιηθό θνξηίν, V ε κέζε ηαρύηαηα ξνήο, D ε δηάκεηξνο ηνπ αγσγνύ, c ε ηαρύηεηα κεηαδόζεσο ηνπ ήρνπ θαη g ε επηηάρπλζε ηεο βαξύηεηαο. H επίιπζε ησλ παξαπάλσ εμηζώζεσλ γίλεηαη κε ηελ κέζνδν ησλ πεπεξαζκέλσλ δηαθνξώλ. 2.2 Οπιακέρ ζςνθήκερ Οη νξηαθέο ζπλζήθεο πνπ νξίδνληαη γηα ην άλσ θαη ην θάησ άθξν, είλαη νη εμήο: ην αλάληε άθξν θαη κέζα ζηνλ ρώξν δεμακελήο ε πίεζε είλαη γλσζηή θαη ζηαζεξή ίζε πξνο ην πδξνζηαηηθό θνξηίν. ην θαηάληε άθξν ε νξηαθή ζπλζήθε αθνξά ζηε ζπζρέηηζε ηαρύηεηαο πίεζεο ώο ηελ ζηηγκή πνπ θιείλεη ε βάλα θαη κεδελίδεηαη ηαρύηεηα θαη παξνρή. 3

2.3 Άλλερ ζηαθεπέρ Τπνινγίζηεθε ε κεηαβνιή ηεο πίεζεο ζην θαηάληε άθξν αγσγνύ. Σα δεδνκέλα ηνπ γξακκηθνύ πξνβιήκαηνο είλαη: Μήθνο αγσγνύ L= 150 m. Γηάκεηξνο αγσγνύ D= 0.160 m. Aπόζηαζε κεηαμύ θόκβσλ, L/Ν= 150/9= 16.67m. α= ηαρύηεηα δηαδόζεο ήρνπ= 609.6 m/s. Αξρηθό θνξηίν δηαηνκήο Η 1 =15.24 m. πληειεζηήο ηξηβήο f =0.0. Θεσξήζεθε όηη ζην πξώην βήκα ε βάλα ήηαλ 50% θιεηζηή =>Cd=0.24. Υξνληθό βήκα Dt=0.03 sec. Αξρηθή ηαρύηεηα Vo=1.80 m/s. Πάρνο ηνηρώκαηνο d =2 cm. Η εμεηαδόκελε γεσκεηξία θαζώο θαη ε γξαθηθή απεηθόληζε ηνπ ζσιήλα καδί κε ηελ δηάθξηζε ηνπ ζε θόκβνπο θαίλεηαη ζηα ρήκαηα 1 θαη 2, αληηζηνίρσο: 2.4 Δπίλςζη Σν πξόγξακκα πνπ αλαπηύρζεθε γηα ηελ δηεξεύλεζε ησλ κεηαβνιώλ ηεο πίεζεο κε ηνλ ρξόλν θαη ην κήθνο ηνπ αγσγνύ βαζίδεηαη ζηελ ηερληθή ησλ πεπεξαζκέλσλ δηαθνξώλ όπσο πεξηγξάθεηαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο. ην αλάληε άθξν θαη κέζα ζην ρώξν ηεο δεμακελήο ε πίεζε είλαη γλσζηή θαη ζηαζεξή ίζε πξνο ην πδξνζηαηηθό θνξηίν Η 1. ην θαηάληε όξην ε νξηαθή ζπλζήθε αθνξά ζηε ζπζρέηηζε ηαρύηεηαο πηέζεσο σο ηελ ζηηγκή πνπ θιείλεη ε βάλα θαη κεδελίδεηαη ε ηαρύηεηα. H δηεξεύλεζε ηνπ γξακκηθνύ πξνβιήκαηνο είλαη απαξαίηεηε αθνύ κέζν απηήο ζα εμαρζεί ε θακπύιε ηεο κεηαβνιήο ηεο πίεζεο ζε ζρέζε κε ηνλ ρξόλν, πνπ είλαη θαη απαξαίηεην δεδνκέλν ηεο επίιπζεο κε ηελ ρξήζε πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ πνπ αθνινπζεί ζηελ επόκελε ελόηεηα. Σν πξόγξακκα απνηειείηαη από 6 κέξε: 1. Οξίδνπκε ηηο κεηαβιεηέο ηνπ πξνβιήκαηνο θαη ηηο εηζαγάγνπκε ζε αξρείν δεδνκέλσλ. 4

2. Τπνινγίδνπκε ηηο αξρηθέο ζπλζήθεο εμηζνξξνπώληαο ηηο δηαθνξέο πηέζεσο, κε ηελ ηξηβή θαη ηηο παξνρή ηεο βάλαο. 3. Τπνινγηζκόο ζηα ελδηάκεζα ζεκεία πνπ δηαθξηηνπνηείηαη ν αγσγόο. 4. Δπίιπζε ησλ αλάληε πηέζεσλ. 5. Δπίιπζε ησλ νξηαθώλ ζπλζεθώλ ζηελ βάλα, κε παξεκβνιή γηα λα ππνινγίζνπκε ηoλ ζπληειεζηή παξνρήο. 6. Δπαλεθθίλεζε ησλ δεδνκέλσλ. Αλαιπηηθά ν θώδηθαο ηνπ πξνγξάκκαηνο πεξηγξάθεηαη ζην ηέινο ηεο εξγαζίαο απηήο (Παξάξηεκα) θαη δίδεηαη κε ηα δεδνκέλα εηζόδνπ θαη ηππηθά απηώλ απνηειέζκαηα. Μήκος αγωγού =150 m d=20 mm D=160 mm ρήκα 1. Γεσκεηξία ηνπ ππό κειέηε αγσγνύ. H 1 5

Head (m) Έπγο: Τπολογιζμοί 3D ποών επί αγωγών ελαζηικών ηοισωμάηων ρήκα 2. Τπνινγηζηηθνί θόκβνη όπνπ γίλεηαη ν ππνινγηζκόο ησλ εμηζώζεσλ. 2.5 Αποηελέζμαηα ην ρήκα 3 δείρλεηαη ε γξαθηθή παξάζηαζε ησλ απνηειεζκάησλ ηνπ ππνινγηζκνύ κεηαβνιήο πηέζεσο ζην θαηάληε άθξν. Η θακπύιε απηή παξνπζηάδεη ηελ κεηαβνιή ηνπ θνξηίνπ ζην θαηάληε άθξν ηνπ ζσιήλα ζε ζρέζε κε ηνλ ρξόλν θαη αλαθέξεηαη ζηνλ θόκβν 9. Οη αξλεηηθέο ηηκέο είλαη κε-ξεαιηζηηθέο. Η θακπύιε απηή ζα απνηειέζεη δεδνκέλν ηνπ πξνβιήκαηνο- νξηαθή ζπλζήθε -γηα ηελ ιύζε κε ηελ ρξήζε ινγηζκηθνύ πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ (αμνλνκεηξηθό ηξη-δηάζηαην πξόβιεκα). Διάγραμμα t-h κατάντη άκρο 300 250 200 150 100 50 0-50 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2-100 -150-200 -250-300 t (sec) ρήκα 3. Γηάγξακκα ησλ t-h ζην θαηάληε άθξν ηνπ αγσγνύ (θόκβνο 9) θαηά ην θιείζηκν ηεο βάλαο. 3. Λύζη πποβλήμαηορ με πποζομοίωζη αγωγού με ηην μέθοδο ηων πεπεπαζμένων ζηοισείων. 6

3.1 Γίκηςο, εξιζώζειρ και επίλςζη Όιεο νη αξηζκεηηθέο ηερληθέο πνπ ρξεζηκνπνηήζεθαλ, απαηηνύλ ηελ ππνδηαίξεζε ηνπ ππνινγηζηηθνύ πεδίνπ ζε πεπεξαζκέλα ζηνηρεία ή θειηά (cells). Κάζε θειί απνηειείηαη από έλα νξηζκέλν αξηζκό θόκβσλ (nodes). Η απνηειεζκαηηθή θαη αθξηβήο θαηαζθεπή ηνπ δηθηύνπ είλαη πξναπαηηνύκελν ζηηο CFD εθαξκνγέο, δεδνκέλνπ όηη ε επίιπζε ηνπ θάζε πξνβιήκαηνο ζηεξίδεηαη ζην ππνινγηζηηθό δίθηπν. Η δηάηαμε ησλ πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ ζην ρώξν (grid spacing) πξέπεη λα είλαη νκαιή θαη επαξθώο ππθλή, ώζηε λα κπνξέζεη ν ππνινγηζηηθόο αιγόξηζκνο λα αλαδείμεη ηηο απόηνκεο, πνιιέο θνξέο, κεηαβνιέο ησλ θπζηθώλ παξακέηξσλ ηεο ξνήο. εκεηώλεηαη όηη πνιύ ππθλά δίθηπα κπνξεί λα εγγπώληαη κηα αθξηβέζηεξε επίιπζε, αιιά ε ππθλόηεηα ηνπο, πηζαλώο, λα θαζηζηά ηε ιύζε πξαθηηθώο αδύλαηε, ιόγσ ηνπ κεγάινπ όγθνπ ησλ απαηηνύκελσλ καζεκαηηθώλ ππνινγηζκώλ θαη ηεο έληνλεο αλνκνηνκνξθίαο ηεο θαηαλνκήο ησλ θόκβσλ ηνπ ππνινγηζηηθνύ δηθηύνπ. Οη θπβεξλώζεο εμηζώζεηο Navier-Stokes επηιύζεθαλ κε ηηο παξαδνρέο όηη ε ξνή είλαη αμνλνζπκκεηξηθή, αζηαζήο θαη ζηξσηή. Δπηδηώρηεθε θαη αξράο ν κεδεληζκόο ησλ ηαρπηήησλ ξνήο εληόο ηνπ αγσγνύ γηα λα αλαδεηρζνύλ θαιύηεξα νη ηδηόηεηεο ηεο επηδξάζεσο ηεο κεηαβνιήο ηεο πηέζεσο ηνπ ρώξνπ ξνήο επί ησλ κεηαηνπίζεσλ θαη ησλ ηάζεσλ ησλ αλαπηπζζνκέλσλ εληόο ησλ ηνηρσκάησλ ηνπ αγσγνύ κεηαθνξάο. Οη εμηζώζεηο πνπ ειέγρνπλ ηε ξνή είλαη, ξ ξui Sm t xi Η ππθλόηεηα ξ ζεσξήζεθε όηη είλαη ζηαζεξή θαη ίζε πξνο 998.0 kg/m 3, t είλαη ν ρξόλνο, u i είλαη νη ξu i t x j ξu u i j p x i η x ij j ξg i F i ζπληζηώζεο ησλ ηαρπηήησλ ζηνπο άμνλεο x i, ελώ S m είλαη ε εκθαληδόκελε πξόζζεζε ή αθαίξεζε κάδαο ζην ρώξν ξνήο. Η επαλάιεςε ηνπ δείθηε i δειώλεη άζξνηζκα. Eδώ p είλαη ε ζηαηηθή πίεζε, η ij είλαη ν ηαλπζηήο ησλ δηαηκεηηθώλ ηάζεσλ ξg i θαη F i είλαη νη δπλάκεηο βαξύηεηαο θαη νη εμσηεξηθέο δπλάκεηο, αληηζηνίρσο. O ηαλπζηήο ησλ δηαηκεηηθώλ ηάζεσλ δίλεηαη από ηελ εμίζσζε, 7

ij u x i j u x i j 2 3 ui xj ij όπνπ κ είλαη ην ημώδεο ηνπ ξεπζηνύ. Πέξαλ ησλ αλσηέξσ εμηζώζεσλ επηιύνληαη θαη νη εμηζώζεηο πνπ πεξηγξάθνπλ ηηο ηάζεηο θαη κεηαηνπίζεηο πνπ αλαπηύζζνληαη εληόο ησλ ηνηρσκάησλ ησλ αγσγώλ. Η ζεηξά ησλ ππνινγηζκώλ έρεη σο εμήο: 1. Γηα αξρηθό ζρεκαηηζκό ησλ ζηεξεώλ ηνηρσκάησλ επηιύνληαη νη εμηζώζεηο ξνήο. 2. Τπνινγίδνληαη νη δπλάκεηο πνπ εθαξκόδνληαη από ην πεδίν ξνήο ζηα ζηεξεά ηνηρώκαηα θαη πξνζδηνξίδνληαη νη κεηαηνπίζεηο δηα ηεο επηιύζεσο. Πξνζδηνξίδεηαη ινηπόλ ην λέν γεσκεηξηθό ζρήκα ηνπ ππό κειέηε πξνβιήκαηνο. 3. Καηαζθεπάδεηαη ην λέν ππνινγηζηηθό δίθηπν γηα επαλάιεςε ηεο όιεο δηαδηθαζίαο επηιύζεσο. Η επίιπζε ησλ αξηζκεηηθώλ εμηζώζεσλ έγηλε κε ηελ ηερληθή ησλ ζπλερώλ επαλαιήςεσλ. Δπεηδή νη εμηζώζεηο ησλ αγλώζησλ ζπλδένληαη κεηαμύ ηνπο, κία αξρηθή εθηίκεζε ηεο ιύζεο έπξεπε λα επαλαιεθζεί κέρξη ηελ ηειηθή ζύγθιηζε. Δηδηθά γηα ην πδξνδπλακηθό ηκήκα θάζε επαλάιεςε ή αλαθύθισζε απνηειείηαη από ηα παξαθάησ βήκαηα: 1. Λύλνληαη νη εμηζώζεηο ησλ νξκώλ γηα ηνλ ππνινγηζκό ησλ u, v ηαρπηήησλ. Η επίιπζε ηνπ πξνβιήκαηνο γίλεηαη δηαδνρηθά ρξεζηκνπνηώληαο ηηο ήδε δηαζέζηκεο ηηκέο ηεο πίεζεο γηα λα επαλεθηηκεζεί ην πεδίν ησλ ηαρπηήησλ. 2. Η εμίζσζε ηεο ζπλέρεηαο ηεο κάδαο ρξεζηκνπνηείηαη γηα ηε δηόξζσζε ηεο πίεζεο. 3. Λύλεηαη ε ελεξγεηαθή εμίζσζε ρξεζηκνπνηώληαο ηηο παξαπάλσ ηηκέο. 4. Τπνινγίδνληαη νη θπζηθέο ηδηόηεηεο ηεο ξνήο, θαη ηέινο 5. Διέγρεηαη ε ζύγθιηζε ησλ ηηκώλ ησλ αγλώζησλ. Σα αλσηέξσ βήκαηα επαλαιακβάλνληαη κέρξη ηειηθήο ζπγθιίζεσο. ύλεζεο θξηηήξην είλαη νη επί ηνηο εθαηό κεηαβνιέο όισλ ησλ αγλώζησλ θπζηθώλ πνζνηήησλ ξνήο από αλαθύθισζε ζε αλαθύθισζε λα είλαη κηθξόηεξεο ηνπ 10-6. Μεηά ηελ αξρηθή ζύγθιηζε ηνπ πξνβιήκαηνο, εθηειείηαη 8

κηα δηαδηθαζία πξνζαξκνγήο ηνπ δηθηύνπ, ώζηε απηό λα ππθλσζεί ή λα αξαησζεί αληίζηνηρα κε βάζε ηηο θπζηθέο παξακέηξνπο, όπσο απηέο πξνθύπηνπλ από ηα πξώηα απνηειέζκαηα. Η δηαδηθαζία απηή είλαη ζε γεληθέο γξακκέο απηνκαηνπνηεκέλε, ν ρξήζηεο όκσο κπνξεί λα παξέκβεη ζε όια ηα επίπεδα νξίδνληαο ηηο πεξηνρέο ηηο πύθλσζεο, ηνλ αλώηαην θαη θαηώηαην αξηζκό θειηώλ θαη ηηο θπζηθέο παξακέηξνπο πνπ ζα απνηειέζνπλ ηα θξηηήξηα ηεο πξνζαξκνγήο. Φπζηθά ε όιε δηαδηθαζία επαλαιακβάλεηαη γηα ην ηκήκα ησλ κεηαηνπίζεσλ θαη γηα ηελ θαηαζθεπή ηνπ δηθηύνπ. Σν πεπεξαζκέλν κνληέιν είλαη ηξηζδηάζηαην, αιιά ιόγν ζπκκεηξίαο ε πξνζνκνίσζε απινπνηήζεθε ζε κνληέιν αμνλν-ζπκκεηξηθό. ην ζηάδην απηό έγηλε ν έιεγρνο ηεο αιιειεπίδξαζεο ηνπ ζηεξενύ ειαζηηθνύ ηνηρώκαηνο κε ην λεξό ηνπ βξίζθεηαη κέζα ζην ζσιήλα θαη θνξηίδεηαη. Γύν πξνγξάκκαηα πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ ρξεζηκνπνηήζεθαλ, όπνπ ην πξώην, Gambit ρξεζηκνπνηείηαη γηα ηελ θαηάζηξσζε ηεο γεσκεηξίαο, ηνλ θαζνξηζκό ηνπ θαλάβνπ πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ, θαζώο θαη ησλ νξηαθώλ ζπλζεθώλ ηεο πξνζνκνίσζεο. Σν πξόγξακκα Fidap 8.6.2, ρξεζηκνπνηήζεθε γηα ηνλ νξηζκό ησλ κεραληθώλ ηδηνηήησλ ησλ ζηνηρείσλ ηεο πξνζνκνίσζεο, ηνλ θαζνξηζκό ησλ ραξαθηεξηζηηθώλ ηεο ιύζεο, θαζώο θαη ηελ θαζ' απηνύ επίιπζε. Σν ίδην πξόγξακκα Fidap 8.6.2 ρξεζηκνπνηείηαη γηα ηελ επεμεξγαζία ησλ απνηειεζκάησλ ηεο ιύζεο. Η αξηζκεηηθή νινθιήξσζε ηνπ ζπζηήκαηνο απηνύ πεξηγξάθεη ηελ δηάδνζε ελόο θύκαηνο πίεζεο κέζα ζε αζπκπίεζην ξεπζηό (λεξό), ρσξίο ηελ απόζβεζε ελέξγεηαο κέζσ ηξηβώλ πνπ αλαπηύζζνληαη, αθνύ ε ηξηβή πνπ αλαπηύζζεηαη ζε αγσγνύο πνιπαηζπιελίνπ ζεσξείηαη ακειεηέα. Ό θάλλαβνο ησλ επηθαλεηαθώλ πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ, παξνπζηάδεηαη ζην ρήκα 4. Παξαηεξείηαη όηη γηα ηελ αξηζκεηηθή πξνζνκνίσζε ηνπ ειαζηηθνύ ηνηρώκαηνο ρξεζηκνπνηνύληαη ηεηξάπιεπξα πεπεξαζκέλα ζηνηρεία 4x115 ζηνηρεία, ελώ γηα ηελ αξηζκεηηθή πεξηγξαθή ηνπ θάλλαβνπ ηνπ ξεπζηνύ ρξεζηκνπνηνύληαη 14 x 115 ζηνηρεία. Η επίιπζε πξαγκαηνπνηείηαη δηαθξηηνπνηώληαο ηηο θπβεξλώζεο εμηζώζεηο ξνήο, γηα θάζε πεπεξαζκέλν ζηνηρείν, θαη πην ζπγθεθξηκέλα ζην όξην ηνπ (δειαδή ηηο αθκέο πνπ ην νξίδνπλ),ππνινγίδνληαο ηηο αλάινγεο πνζόηεηεο ζηνπο θόκβνπο ησλ πεπεξαζκέλσλ κε δηάθνξα ζρήκαηα παξεκβνιώλ. Σέινο, δηελεξγείηαη παξακεηξηθή κειέηε, κε αιιαγή ηνπ κέηξνπ ειαζηηθόηεηαο ηνπ ηνηρώκαηνο, γηα ηελ δηεξεύλεζε ησλ ηάζεσλ, θαζώο θαη ησλ παξακνξθώζεσλ πνπ αλαπηύζζνληαη ζην ππό εμέηαζε αγσγό θάησ από ηηο ίδηεο ζπλζήθεο πίεζεο θαη ξνήο. 9

3.2 Οπιακέρ ζςνθήκερ Οη νξηαθέο ζπλζήθεο είλαη ηέηνηεο ώζηε ε πίεζε επηβάιιεηαη ε ίδηα, ζηελ ζέζε αλάληε, θαη ζηελ ζέζε θαηάληε κε ηνλ ηξόπν πνπ πεξηγξάθεηαη από ηελ αλσηέξσ θακπύιε. Απηό ζπκβαίλεη δηόηη δελ κειεηάκε ηελ δηαθνξά πίεζεο πνπ αλαπηύζζεηαη ζε όιν ην κήθνο ηνπ αγσγνύ,αιιά ζε ηκήκα απηνύ, κηθξνύ κήθνπο. Θεσξείηαη ινηπόλ όηη ζην ηκήκα απηό ηνπ αγσγνύ ε πίεζε είλαη ε ίδηα ζηα δύν άθξα ηελ ίδηα ρξνληθή ζηηγκή,επνκέλσο δελ παξνπζηάδεηαη δηαθνξά θνξηίνπ, θαη θίλεζε ηνπ ξεπζηνύ κέζα ζην ππό κειέηε ηκήκα. Δπίζεο, ιόγσ ζπκκεηξίαο κειεηάκε ην νκνίσκα αμνλνζπκκεηξηθά. ηηο ζέζεηο αλάληε θαη θαηάληε, δεζκεύνληαη νη δηακήθεηο κεηαθηλήζεηο θαη γηα ην ηκήκα ηνπ ξεπζηνύ, θαί γηα ηα ηνηρώκαηα ηνπ αγσγνύ. Οη εγθάξζηεο κεηαθηλήζεηο θαη παξακνξθώζεηο ζεσξνύληαη ειεύζεξεο ζε όιεο ηηο ζέζεηο εθηόο από ηνλ άμνλα ζπκκεηξίαο. Η ιύζε γηα ηελ κεηαβνιή ηεο πίεζεο ζε ζρέζε κε ηνλ ρξόλν όπσο έρεη πξνέιζεη από ηελ ιύζε ηνπ κνλνδηάζηαηνπ γξακκηθνύ πξνβιήκαηνο, εθαξκόδεηαη ζε απηό ην ζηάδην ζε ηκήκα ηνπ αγσγνύ πνπ πξνζνκνηώλεηαη κε ηελ κέζνδν ησλ πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ. 3.3 Άλλερ ζηαθεπέρ Γηα ηελ πξνζνκνίσζε κε ηελ κέζνδν ησλ πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ ρξεζηκνπνηνύληαη ζηνηρεία επίπεδεο έληαζεο θαη γηα ην λεξό θαη γηα ην ηνίρσκα πνιπαηζπιελίνπ ηνπ ζσιήλα. Πέξαλ ησλ γεσκεηξηθώλ ραξαθηεξηζηηθώλ πνπ πεξηγξάθεθαλ παξαπάλσ δόζεθαλ θαη νη παξαθάησ κεραληθέο ηδηόηεηεο ηνπ λεξνύ θαη ηνπ ηνηρώκαηνο: Ππθλόηεηα λεξνύ =1000 Kg/m 3. Ππθλόηεηα ηνηρώκαηνο PΝ20=1062 Kg/m 3. Μέηξν ειαζηηθόηεηαο λεξνύ=1ν/m 2. Μέηξν ειαζηηθόηεηαο ηνηρώκαηνο πιηθνύ PΝ20=1.2 E+009 Ν/m 2 Μεησκέλν κέηξν ειαζηηθόηεηαο ηνηρώκαηνο πιηθνύ=6.0 E+008 Ν/m 2 Poisson ratio λεξνύ=0.001 Poisson ratio ηνηρώκαηνο=0.49 πληειεζηήο ηξηβήο ηνηρώκαηνο= 0 10

ρήκα 4. Κάλλαβνο πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ όπνπ πξαγκαηνπνηήζεθε ε ιύζε. 3.4 Αποηελέζμαηα 3.4.1 Αποηελέζμαηα για ηοίσωμα με κανονικό Μέηπο Δλαζηικόηηηαρ Σα απνηειέζκαηα ηνπ ηξηζδηάζηαηνπ αμνλνζπκκεηξηθνύ πξνβιήκαηνο ηα αλαθεξόκελα ζηηο ηζνδπλάκνπο ηάζεηο δείρλνληαη ζηα ρήκαηα. 5 θαη 6, ζηηο εγθάξζηεο κεηαηνπίζεηο δείρλνληαη ζηα ρήκαηα 7 θαη 8 θαη ζηηο ηαρύηεηεο δείρλνληαη ζηα ρήκαηα 9 θαη 10. ρήκα 5. Καηαλνκή ηζνδπλάκσλ ηάζεσλ ζην ππό έιεγρν ηκήκα ηεο δηαηνκήο ζην πξώην ρξνληθό βήκα Dt=0.0025 sec. Μέηξν ειαζηηθόηεηαο ηνηρώκαηνο πιηθνύ PΝ20=1.2 E+009 Ν/m 2. 11

ρήκα 6. Καηαλνκή ηζνδπλάκσλ ηάζεσλ ζην ππό έιεγρν ηκήκα ηεο δηαηνκήο ζην 100ν ρξνληθό βήκα Dt=0.25sec. Μέηξν ειαζηηθόηεηαο ηνηρώκαηνο πιηθνύ PΝ20=1.2 E+009 Ν/m 2. 12

ρήκα 7. Καηαλνκή εγθάξζησλ κεηαθηλήζεσλ ζην ππό έιεγρν ηκήκα ηεο δηαηνκήο ζην πξώην ρξνληθό βήκα Dt=0.0025 sec. Μέηξν ειαζηηθόηεηαο ηνηρώκαηνο πιηθνύ PΝ20=1.2 E+009 Ν/m 2. 13

ρήκα 8. Καηαλνκή εγθάξζησλ κεηαθηλήζεσλ ζην ππό έιεγρν ηκήκα ηεο δηαηνκήο ζην 100ν ρξνληθό βήκα Dt=0.25 sec. Μέηξν ειαζηηθόηεηαο ηνηρώκαηνο πιηθνύ PΝ20=1.2 E+009 Ν/m 2. 14

ρήκα 9. Καηαλνκή ηαρπηήησλ εληόο ηνπ αγσγνύ ζην ππό έιεγρν ηκήκα ηεο δηαηνκήο ζην πξώην ρξνληθό βήκα Dt=0.0025 sec. Μέηξν ειαζηηθόηεηαο ηνηρώκαηνο πιηθνύ PΝ20=1.2 E+009 Ν/m 2. 15

ρήκα 10. Καηαλνκή ηαρπηήησλ εληόο ηνπ αγσγνύ ζην ππό έιεγρν ηκήκα ηεο δηαηνκήο ζην 100ν ρξνληθό βήκα Dt=0.25 sec. Μέηξν ειαζηηθόηεηαο ηνηρώκαηνο πιηθνύ PΝ20=1.2 E+009 Ν/m 2. 16

3.4.2 Αποηελέζμαηα για ηοίσωμα με μειωμένο μέηπο ελαζηικόηηηαρ Σα ρήκαηα 11 θαη 12 δείρλνπλ ηελ θαηαλνκή ησλ ηζνδπλάκσλ ηάζεσλ ζηηο 0.0025 sec θαη 0.25 sec ζηνλ αγσγό ηα ηνηρώκαηα ηνπ νπνίνπ έρνπλ κεησκέλν κέηξν ειαζηηθόηεηνο ηνηρώκαηνο πιηθνύ ίζνλ πξνο 6.0 E+008 Ν/m 2. ρήκα 11. Καηαλνκή ηζνδπλάκσλ ηάζεσλ ζην ππό έιεγρν ηκήκα ηεο δηαηνκήο ζην πξώην ρξνληθό βήκα Dt=0.0025 sec. Μέηξν ειαζηηθόηεηνο ηνηρώκαηνο πιηθνύ ίζνλ πξνο 6.0 E+008 Ν/m 2. 17

ρήκα 12. Καηαλνκή ηζνδπλάκσλ ηάζεσλ ζην ππό έιεγρν ηκήκα ηεο δηαηνκήο ζην 100ν ρξνληθό βήκα Dt=0.25sec. Μέηξν ειαζηηθόηεηνο ηνηρώκαηνο πιηθνύ ίζνλ πξνο 6.0 E+008 Ν/m 2. 18

ηα ρήκαηα.13 θαη 14 δείρλνληαη νη εγθάξζηεο κεηαηνπίζεηο ησλ ηνηρσκάησλ ηνπ αγσγνύ. ρήκα 13. Καηαλνκή εγθάξζησλ κεηαθηλήζεσλ ζην ππό έιεγρν ηκήκα ηεο δηαηνκήο ζην πξώην ρξνληθό βήκα Dt=0.0025 sec. Μέηξν ειαζηηθόηεηνο ηνηρώκαηνο πιηθνύ ίζνλ πξνο 6.0 E+008 Ν/m 2 19

ρήκα 14. Καηαλνκή εγθάξζησλ κεηαθηλήζεσλ ζην ππό έιεγρν ηκήκα ηεο δηαηνκήο ζην πξώην ρξνληθό βήκα Dt=0.25 sec. Μέηξν ειαζηηθόηεηνο ηνηρώκαηνο πιηθνύ ίζνλ πξνο 6.0 E+008 Ν/m 2. 20

ηα ρήκαηα 15 θαη 16 δείρλνληαη νη δηακήθεηο ηαρύηεηεο. ρήκα 15. Καηαλνκή ηαρπηήησλ εληόο ηνπ αγσγνύ ζην ππό έιεγρν ηκήκα ηεο δηαηνκήο ζην πξώην ρξνληθό βήκα Dt=0.0025 sec. Μέηξν ειαζηηθόηεηνο ηνηρώκαηνο πιηθνύ ίζνλ πξνο 6.0 E+008 Ν/m 2. 21

ρήκα 16. Καηαλνκή ηαρπηήησλ εληόο ηνπ αγσγνύ ζην ππό έιεγρν ηκήκα ηεο δηαηνκήο ζην πξώην ρξνληθό βήκα Dt=0.25 sec. Μέηξν ειαζηηθόηεηνο ηνηρώκαηνο πιηθνύ ίζνλ πξνο 6.0 E+008 Ν/m 2. 22

4. ςμπεπάζμαηα Από ηα απνηειέζκαηα ησλ ππνινγηζκώλ δείρλνληαη νη κεηαβνιέο ηνπ θνξηίνπ ηνπ αγσγνύ πνιπαηζπιελίνπ PN20 ζηελ έμνδν ηνπ αγσγνύ. Οη θνξηίζεηο απηέο θηάλνπλ ηελ ηηκή ησλ 275 m ζηήιεο ύδαηνο κεηά ηελ απόηνκε απόθξαμε ηηο εμόδνπ. Η θόξηηζε απηή εηζάγεηαη σο δεδνκέλν ζηνλ αμνλν-ζπκκεηξηθό αγσγό γηα λα δηαπηζησζεί θαηά πόζν ε πίεζε απηή δηαθνξνπνηεί ηα ηνηρώκαηα ηνπ αγσγνύ θαη ηη δπλάκεηο πξνθαινύληαη ζηα ηνηρώκαηα. Δπηιέρζεθε ηκ εκα ηνπ αγσγνύ κήθνπο 1.0 m θαη νη ζπλζήθεο εηζόδνπ ελ αλαθνξά κε ηελ πίεζε ήηαλ αθξηβώο ίζε κε ηελ πίεζε ζηελ έμνδν ώζηε λα κελ ππάξρεη ηαρύηεηα εληόο ηνπ αγσγνύ. Σα απνηειέζκαηα δείρλνπλ όηη ε κεηαηόπηζε ησλ ηνηρσκάησλ ηνπ αγσγνύ ήηαλ ηεο ηάμεσο ησλ 0.723x10-3 m κεηά από 0.25 sec, Βιέπε ρήκα 8. Πξνθαλώο ε κεηαηόπηζε απηή είλαη κεγαιπηέξα απηήο πνπ πθίζηαηαη ν αγσγόο θαηά ηα πξώηα ρξνληθά βήκαηα (0.0025 sec), βιέπε ρήκα 7. ηελ πεξίπησζε ηνπ αγσγνύ κε ειαζηηθώηεξα ηνηρώκαηα νη κεηαηνπίζεηο απηέο όπσο είλαη θπζηθό είλαη κεγαιύηεξεο, βιέπε ρήκα 14. Οη ηζνδύλακεο όκσο ηάζεηο πνπ αλαπηύζζνληαη ειάρηζηα δηαθέξνπλ απηώλ ηνπ ηνηρώκαηνο από πνιπαηζπιέλην PN20, βιέπε ρήκαηα 8 θαη 12. Γηα ηεο ρξήζεσο ηεο ππνινγηζηηθήο αλαιύζεσο θαηέζηε δπλαηή ε αλάιπζε ηεο ζπκπεξηθνξάο πξαγκαηηθώλ αγσγώλ θάησ από ηελ δξάζε απμεκέλσλ θνξηίσλ θαηά ηελ δηάξθεηα ιεηηνπξγίαο απηώλ. Η ρξήζε γξακκηθώλ ζηνηρείσλ επέηξεςε ηνλ ππνινγηζκό ησλ κεγίζησλ θνξηίσλ ελώ ε ρξήζε ηξη-δηαζηάηνπ αιγνξίζκνπ (αμνλν-ζπκκεηξηθνύ) επέηξεςε ηελ κειέηε ησλ εκθαληδνκέλσλ ηάζεσλ θαη κεηαηνπίζεσλ εληόο αγσγώλ πνιπαηζπιελίνπ PN20 θαη άιινπ κε κέηξν ειαζηηθόηεηνο κηθξόηεξν ηνπ πνιπαηζπιελίνπ. 5. Βιβλιογπαθία 1. ΑSCE, Design for Water and Wastewater, Pipeline Division, American Society of Civil Engineers, New York,1975, 128 pp. 2. Κνπηίηαο Υξ. Τπνινγηζηηθή Τδξαπιηθή, Παλεπηζηεκηαθέο εκεηώζεηο, Ξάλζε 1982. 3. Nathan G.K, Tan J.K, Ng, K.C. Two-dimensional Analysis of Pressure Transients in Pipeline, International Journal for Numerical Methods in Fluids, Vol. 8, pp. 339-349, 1988. 4. Tερληθό Φπιιάδην σιήλσλ Πνιπαηζπιελίνπ, Όκηινο Πεηδεηάθεο, Ινύληνο 2001. 5. Σullis P.J. Hydraulics of Pipelines, Pumps, Valves, Cavitation, Transients, John Wiley &Sons Inc, New York, 1989. 6. Tδηκόπνπινο Υξ, Σεξδίδεο Γ. Αξηζκεηηθέο Mέζνδνη Eπηιύζεο ηνπ Πξoβιήκαηνο ηνπ Τδξαπιηθνύ Πιήγκαηνο, Σερληθά Υξνληθά, Μάξηηνο-Απξίιηνο-Μάηνο 1975. 7. Zienkiewich O. Finite Element Method in Engineering & Science, McGraw Hill 1971. 23

ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Πξόγξακκα πδξαπιηθνύ πιήγκαηνο πνπ ρξεζηκνπνηήζεθε γηα ηελ επίιπζε ηνπ γξακκηθνύ πξνβιήκαηνο, ρξεζηκνπνηεί ηελ γιώζζα πξνγξακκαηηζκνύ Fortran, θαη παξνπζηάδεηαη παξαθάησ: DIMENSION CD(11),Z(10),HP(10),H(10),QP(10),Q(10) OPEN(5,FILE="SURGINO.DAT") OPEN(6,FILE="SURGOUTO.OUT") READ(5,*) CD,Z,XL,N,D,f,RH1,RH2,a,g,TC,TMAX WRITE(6,*) CD,Z,XL,N,D,f,RH1,RH2,a,g,TC,TMAX NS=N+1 HR1=RH1+Z(1) HR2=RH2+Z(NS) t=0 DL=XL/N Dt=DL/a AR=0.7854*D**2 B=a/g/AR CC=CD(1) ZK=(1/CC**2)-1 C1=f*XL/(2*g*D*AR**2) C2=ZK/(AR**2*2*g) R=C1/N QI=SQRT((HR1-HR2)/(C1+C2)) DO 73 I=1,NS H(i)=HR1-(f*(I-1)*DL/D)*QI**2/(2*g*AR**2) 73 Q(i)=QI 62 WRITE(6,65)t,(Q(I),I=1,10),(H(I),I=1,10) 65 FORMAT(T2,'t=',F6.2,2X,'Q=',10F10.2/T12,'H=',10F10.2) t=t+dt IF(t.GT.TMAX) GO TO 83 DO 10 I=2,n CP=H(I-1)+B*Q(I-1)-R*Q(I-1)*ABS(Q(I-1)) CM=H(I+1)-B*Q(I+1)+R*Q(I+1)*ABS(Q(I+1)) HP(I)=0.5*(CP+CM) 10 QP(I)=(CP-HP(i))/B HP(1)=HR1 CM=H(2)-B*Q(2)+R*Q(2)*ABS(Q(2)) QP(1)=(HP(1)-CM)/B CP=H(N)+B*Q(N)-R*Q(N)*ABS(Q(N)) IF(t.LT.TC)THEN DTV=TC/10. I=IFIX(t/DTV)+1 TH=(t-(I-1)*DTV)/DTV CC=CD(I)+TH*(CD(I+1)-CD(I)) C3=((1/CC**2)-1)/(2*g*AR**2) 24

CC3=B/C3 CC4=(HR2-CP)/C3 QP(NS)=.5*(-CC3+SQRT(CC3**2-4.*CC4)) HP(NS)=CP-B*QP(NS) ELSE QP(NS)=0 HP(NS)=CP END IF DO 11 I=1,NS Q(I)=QP(I) 11 H(I)=HP(I) GO TO 62 83 STOP END 25

Σα δεδνκέλα ( Ιmperial Units) εηζόδνπ είλαη σο εμήο: 2.400000E-01 8.000000E-01 8.000000E-01 8.000000E-01 8.000000E-01 8.000000E-01 8.000000E-01 8.000000E-01 8.000000E-01 8.000000E-01 8.000000E-01 0.000000E+00 0.000000E+00 0.000000E+00 0.000000E+00 0.000000E+00 0.000000E+00 0.000000E+00 0.000000E+00 0.000000E+00 0.000000E+00 492.196000 9 5.250000E-01 0.000000E+00 50.000000 0.000000E+00 2000.0000000 32.200000 0.000000E+00 3.000000 26

Σα ηππηθά απνηειέζκαηα ( Ιmperial Units) έρνπλ σο εμήο: 2.400000E-01 8.000000E-01 8.000000E-01 8.000000E-01 8.000000E-01 8.000000E-01 8.000000E-01 8.000000E-01 8.000000E-01 8.000000E-01 8.000000E-01 0.000000E+00 0.000000E+00 0.000000E+00 0.000000E+00 0.000000E+00 0.000000E+00 0.000000E+00 0.000000E+00 0.000000E+00 0.000000E+00 492.196000 9 5.250000E-01 0.000000E+00 50.000000 0.000000E+00 2000.000000 32.200000 0.000000E+00 3.000000 t=.00 Q= 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 50.00 50.00 t=.03 Q= 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04.00 50.00 921.36 t=.05 Q= 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 t=.08 Q= 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04.00 H= 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 921.36 t=.11 Q= 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 H= 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 t=.14 Q= 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04.00 H= 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 921.36 t=.16 Q= 3.04 3.04 3.04 3.04 H= 50.00 50.00 50.00 50.00 t=.19 Q= 3.04 3.04 3.04.00 H= 50.00 50.00 50.00 921.36 t=.22 Q= 3.04 3.04 H= 50.00 50.00 t=.25 Q= 3.04.00 H= 50.00 921.36 t=.27 Q= -3.04.00 H= 50.00 921.36 t=.30 Q= -3.04-3.04 H= 50.00 50.00 t=.33 Q= -3.04-3.04-3.04.00 H= 50.00 50.00 50.00 921.36 t=.36 Q= -3.04-3.04-3.04-3.04 H= 50.00 50.00 50.00 50.00 t=.38 Q= -3.04-3.04-3.04-3.04-3.04.00 H= 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 921.36 t=.41 Q= -3.04-3.04-3.04-3.04-3.04-3.04 27

H= 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 t=.44 Q= -3.04-3.04-3.04-3.04-3.04-3.04-3.04.00 H= 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 921.36 t=.46 Q= -3.04-3.04-3.04-3.04-3.04-3.04-3.04-3.04 t=.49 Q= -3.04-3.04-3.04-3.04-3.04-3.04-3.04-3.04-3.04.00 50.00 921.36 t=.52 Q= -3.04-3.04-3.04-3.04-3.04-3.04-3.04-3.04-3.04.00 50.00-821.36 t=.55 Q= -3.04-3.04-3.04-3.04-3.04-3.04-3.04-3.04 - t=.57 Q= -3.04-3.04-3.04-3.04-3.04-3.04-3.04.00 H= 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00-821.36 - t=.60 Q= -3.04-3.04-3.04-3.04-3.04-3.04 H= 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 - - t=.63 Q= -3.04-3.04-3.04-3.04-3.04.00 H= 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 - -821.36 - t=.66 Q= -3.04-3.04-3.04-3.04 H= 50.00 50.00 50.00 50.00 - - - t=.68 Q= -3.04-3.04-3.04.00 H= 50.00 50.00 50.00 - - -821.36 - t=.71 Q= -3.04-3.04 H= 50.00 50.00 - - - - t=.74 Q= -3.04.00 H= 50.00 - - - -821.36 - t=.77 Q= 3.04.00 H= 50.00 - - - -821.36 - t=.79 Q= 3.04 3.04 H= 50.00 50.00 - - - - t=.82 Q= 3.04 3.04 3.04.00 H= 50.00 50.00 50.00 - - -821.36 - t=.85 Q= 3.04 3.04 3.04 3.04 H= 50.00 50.00 50.00 50.00 - - - t=.88 Q= 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04.00 H= 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 - -821.36 - t=.90 Q= 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 H= 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 - - t=.93 Q= 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04.00 28

H= 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00-821.36 - t=.96 Q= 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 - t=.98 Q= 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04.00 50.00-821.36 t= 1.01 Q= 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04.00 50.00 921.36 t= 1.04 Q= 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 t= 1.07 Q= 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04.00 H= 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 921.36 t= 1.09 Q= 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 H= 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 t= 1.12 Q= 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04.00 H= 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 921.36 t= 1.15 Q= 3.04 3.04 3.04 3.04 H= 50.00 50.00 50.00 50.00 t= 1.18 Q= 3.04 3.04 3.04.00 H= 50.00 50.00 50.00 921.36 t= 1.20 Q= 3.04 3.04 H= 50.00 50.00 t= 1.23 Q= 3.04.00 H= 50.00 921.36 t= 1.26 Q= -3.04.00 H= 50.00 921.36 t= 1.29 Q= -3.04-3.04 H= 50.00 50.00 t= 1.31 Q= -3.04-3.04-3.04.00 H= 50.00 50.00 50.00 921.36 t= 1.34 Q= -3.04-3.04-3.04-3.04 H= 50.00 50.00 50.00 50.00 t= 1.37 Q= -3.04-3.04-3.04-3.04-3.04.00 H= 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 921.36 t= 1.39 Q= -3.04-3.04-3.04-3.04-3.04-3.04 H= 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 t= 1.42 Q= -3.04-3.04-3.04-3.04-3.04-3.04-3.04.00 H= 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 921.36 t= 1.45 Q= -3.04-3.04-3.04-3.04-3.04-3.04-3.04-3.04 29

t= 1.48 Q= -3.04-3.04-3.04-3.04-3.04-3.04-3.04-3.04-3.04.00 50.00 921.36 t= 1.50 Q= -3.04-3.04-3.04-3.04-3.04-3.04-3.04-3.04-3.04.00 50.00-821.36 t= 1.53 Q= -3.04-3.04-3.04-3.04-3.04-3.04-3.04-3.04 - t= 1.56 Q= -3.04-3.04-3.04-3.04-3.04-3.04-3.04.00 H= 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00-821.36 - t= 1.59 Q= -3.04-3.04-3.04-3.04-3.04-3.04 H= 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 - - t= 1.61 Q= -3.04-3.04-3.04-3.04-3.04.00 H= 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 - -821.36 - t= 1.64 Q= -3.04-3.04-3.04-3.04 H= 50.00 50.00 50.00 50.00 - - - t= 1.67 Q= -3.04-3.04-3.04.00 H= 50.00 50.00 50.00 - - -821.36 - t= 1.70 Q= -3.04-3.04 H= 50.00 50.00 - - - - t= 1.72 Q= -3.04.00 H= 50.00 - - - -821.36 - t= 1.75 Q= 3.04.00 H= 50.00 - - - -821.36 - t= 1.78 Q= 3.04 3.04 H= 50.00 50.00 - - - - t= 1.80 Q= 3.04 3.04 3.04.00 H= 50.00 50.00 50.00 - - -821.36 - t= 1.83 Q= 3.04 3.04 3.04 3.04 H= 50.00 50.00 50.00 50.00 - - - t= 1.86 Q= 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04.00 H= 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 - -821.36 - t= 1.89 Q= 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 H= 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 - - t= 1.91 Q= 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04.00 H= 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00-821.36 - t= 1.94 Q= 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 - t= 1.97 Q= 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04.00 30

50.00-821.36 t= 2.00 Q= 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04.00 50.00 921.36 t= 2.02 Q= 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 t= 2.05 Q= 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04.00 H= 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 921.36 t= 2.08 Q= 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 H= 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 t= 2.11 Q= 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04.00 H= 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 921.36 t= 2.13 Q= 3.04 3.04 3.04 3.04 H= 50.00 50.00 50.00 50.00 t= 2.16 Q= 3.04 3.04 3.04.00 H= 50.00 50.00 50.00 921.36 t= 2.19 Q= 3.04 3.04 H= 50.00 50.00 t= 2.21 Q= 3.04.00 H= 50.00 921.36 t= 2.24 Q= -3.04.00 H= 50.00 921.36 t= 2.27 Q= -3.04-3.04 H= 50.00 50.00 t= 2.30 Q= -3.04-3.04-3.04.00 H= 50.00 50.00 50.00 921.36 t= 2.32 Q= -3.04-3.04-3.04-3.04 H= 50.00 50.00 50.00 50.00 t= 2.35 Q= -3.04-3.04-3.04-3.04-3.04.00 H= 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 921.36 t= 2.38 Q= -3.04-3.04-3.04-3.04-3.04-3.04 H= 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 t= 2.41 Q= -3.04-3.04-3.04-3.04-3.04-3.04-3.04.00 H= 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 921.36 t= 2.43 Q= -3.04-3.04-3.04-3.04-3.04-3.04-3.04-3.04 t= 2.46 Q= -3.04-3.04-3.04-3.04-3.04-3.04-3.04-3.04-3.04.00 50.00 921.36 t= 2.49 Q= -3.04-3.04-3.04-3.04-3.04-3.04-3.04-3.04-3.04.00 31

50.00-821.36 t= 2.52 Q= -3.04-3.04-3.04-3.04-3.04-3.04-3.04-3.04 - t= 2.54 Q= -3.04-3.04-3.04-3.04-3.04-3.04-3.04.00 H= 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00-821.36 - t= 2.57 Q= -3.04-3.04-3.04-3.04-3.04-3.04 H= 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 - - t= 2.60 Q= -3.04-3.04-3.04-3.04-3.04.00 H= 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 - -821.36 - t= 2.63 Q= -3.04-3.04-3.04-3.04 H= 50.00 50.00 50.00 50.00 - - - t= 2.65 Q= -3.04-3.04-3.04.00 H= 50.00 50.00 50.00 - - -821.36 - t= 2.68 Q= -3.04-3.04 H= 50.00 50.00 - - - - t= 2.71 Q= -3.04.00 H= 50.00 - - - -821.36 - t= 2.73 Q= 3.04.00 H= 50.00 - - - -821.36 - t= 2.76 Q= 3.04 3.04 H= 50.00 50.00 - - - - t= 2.79 Q= 3.04 3.04 3.04.00 H= 50.00 50.00 50.00 - - -821.36 - t= 2.82 Q= 3.04 3.04 3.04 3.04 H= 50.00 50.00 50.00 50.00 - - - t= 2.84 Q= 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04.00 H= 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 - -821.36 - t= 2.87 Q= 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 H= 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 - - t= 2.90 Q= 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04.00 H= 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00-821.36 - t= 2.93 Q= 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 - t= 2.95 Q= 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04.00 50.00-821.36 t= 2.98 Q= 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04 3.04.00 50.00 921.36 32