Σύµβολα Ελληνικοί χαρακτήρες α γωνία (σε µοίρες) του κάθε ελάσµατος µε το οριζόντιο επίπεδο a i, b ι διαστήµατα α 1,α 2..α n γενικευµένες συντεταγµένες (πολυωνύµων µετατοπίσεων) α 1,..., α 5 σταθεροί συντελεστές α µητρώο γενικευµένων συντεταγµένων α ijk σταθµικοί παράγοντες που εξαρτώνται από τις (ξ i, η j, και θ k ) α i συντελεστές συνάρτησης παρεµβολής. Η σχέση ορισµού είναι: φ = n i= 1 a ξ i q r 1 ξ2 ξ s 3 α σταθερά δυναµικής χαλάρωσης 2 ( ch / ρ) = 2 + ( ch / ρ) Α σταθερά ολοκλήρωσης β γωνία (σε µοίρες) = (90/π)φ για διαµήκη ελάσµατα = (90/π)θ για εγκάρσια ελάσµατα β παράµετρος κάµψης = EI e /L 3 β µητρώο γενικευµένων συντεταγµένων β 1, β 2,.. β n γενικευµένες συντεταγµένες γ σταθερά δυναµικής χαλάρωσης 2h = 2 / ρ 2 + ( ch / ρ) δ µετατόπιση δ απόλυτη τιµή µέγιστου σφάλµατος αριθµητικής λύσης δ(.) µεταβολή (ποσότητας) δε µεταβολή παραµόρφωσης δu µεταβολή διανύσµατος γενικευµένων µετατοπίσεων δu S µεταβολή διανύσµατος γενικευµένων µετατοπίσεων επιφάνειας Σ-1
Σ-2 Υπολογιστικές Μέθοδοι και εφαρµογές σε λεπτότοιχες κατασκευές σώµατος δu i µεταβολή διανύσµατος γενικευµένων µετατοπίσεων επιφάνειας σώµατος δ δυνατή µετατόπιση 1 t διάστηµα χρόνου x, y διαστήµατα (ορθογωνίου) πλέγµατος τελεστής διαφoρών f πρώτη διαφoρά 2 f δεύτερη διαφoρά 2 f n+3/2 διαφoρά σε σηµείo πoυ ισαπέχει από τoυς κόµβoυς x = x n+ 1 x = x n+2 w διαφορά ταχύτητας σε σηµείο κατασκευής διαδοχικών επαναλήψεων r, r+1 = w r +1 w r ε τανυστής παραµορφώσεων Τ ε = ε ε ε γ γ γ ε θ [ ] x y z xy συνιστώσα τανυστή παραµορφώσεων στην κατεύθυνση θ = λε ε τανυστής δυνατών παραµορφώσεων ε δυνατή παραµόρφωση ε (12) αξονική παραµόρφωση της ράβδου 1-2 θ γωνία στρέψης θ x1, θ χ2 γωνίες περιστροφής δοκού θ(θ i ) γωνία στρέψης (i-οστού) κόµβου κατασκευής κ (m) διάνυσµα απόσβεσης m-οστού στοιχείου λ διάνυσµα πολλαπλασιαστών Lagrange = [λ 1 λ 2... λ m ] T λ i i-οστή ιδιοτιµή λ min, λ max ελάχιστη, µέγιστη ιδιοτιµή (µητρώου ακαµψίας κατασκευής) λ t µεταβλητή πολλαπλασιαστών Lagrange µ n αρµονική ταλάντωσης ν λόγος του Poisson ξ 1, ξ 2 φυσικές συντεταγµένες ξ i συντεταγµένες (σε φυσικό σύστηµα αναφοράς) ξ συντελεστής µεγέθυνσης Π συναρτησιακό µέγιστος λόγος πλευρών στοιχείου σε ολόκληρο το πλέγµα ρ 1 1 η παύλα που υπερτίθεται στο σύµβολο µιας ποσότητας υποδηλώνει δυνατή ποσότητα xyz zx
Σύµβολα Σ-3 ρ 2 λόγος του χαρακτηριστικού µήκους του µεγαλύτερου στοιχείου προς αυτό του µικρότερου στοιχείου ρ (m) ειδικό βάρος m-οστού στοιχείου ρ st ειδικό βάρος χάλυβα = 78480 N/m 3 ρ(α) φασµατική ακτίνα σ τάση σ τανυστής τάσεων Τ σ = [ σ x σ y σ z τ xy τ xyz τ zx ] σ (12) αξονική (ορθή) τάση στη ράβδο 1-2 σ max µέγιστη τάση σε συγκεκριµένο κόµβο πλέγµατος σ min ελάχιστη τάση σε συγκεκριµένο κόµβο σ VΜmax µέγιστη ισοδύναµη τάση κατά von Mises για το σύνολο µοντέλου σ B µέση τάση στον πυθµένα πλοίου σ D µέση τάση στο κατάστρωµα πλοίου σ θ συνιστώσα τανυστή τάσης (στην κατεύθυνση θ) = Eε θ σ x ορθή τάση (παράλληλη προς τον άξονα Ox) (m) σ i διάνυσµα των αρχικών (προηγούµενων) τάσεων τ zx διατµητική τάση φ γωνία στροφής φ σταθερά λόγων ακαµψίας δοκού (καµπτικής προς διατµητική) 12EI z 12EI z = φ 2 y 2 GAs L = 12EI y φz 2 GAsyL = GAszL φ (πλήρες) πολυώνυµο =φ(ξ ) =φ(ξ 1, ξ 2, ξ 3 ) =Σ(Ν i φ i ) φ γωνία εγκάρσιας κλίσης διατοµής πλοίου φ i κοµβικοί βαθµοί ελευθερίας (φ 1, φ 2 ) Φ µητρώο συµβιβαστού κοµβικών µετατοπίσεων στοιχείου. Η u σχέση ορισµού είναι u( x,y) = = Φ( x, y)a v ω o συχνότητα βασικών ταλαντώσεων κατασκευής ω(x) απόκλιση αριθµητικής από ακριβή λύση στην τιµή x Ω τανυστής στροφών τανυστής στροφών κάθετα στο επίπεδο i-j Ω ij
Σ-4 Υπολογιστικές Μέθοδοι και εφαρµογές σε λεπτότοιχες κατασκευές Λατινικοί χαρακτήρες a παράµετρος αξονικής κάµψης =EA/L a µητρώο συντελεστών = A 1 u Α εµβαδόν επιφάνειας εγκάρσιας τοµής του πλοίου Α εµβαδόν επιφάνειας διατοµής στοιχείου κατασκευής Α 123 εµβαδόν επιφάνειας τριγωνικού στοιχείου Α 1, Α 2, Α 3 εµβαδά συνιστωσών τµηµάτων τριγώνου Α s εµβαδόν εγκάρσιας τοµής που συνεισφέρει στην παραλαβή διατµητικής φόρτισης Α µητρώο συντεταγµένων των κόµβων (συνεκτικότητας) b µήκος πλευράς ελάσµατος b e συνεργαζόµενο πλάτος ελάσµατος b ηµι-εύρος λωρίδας b i σταθερές που συνδέονται µε τις σταθερές α i b G όριο Gershgŏrin BHP ισχύς κύριας µηχανής πλοίου Β (m) µητρώο γεωµετρικού συµβιβαστού (των παραµορφώσεων) B mld πλάτος πλοίου B max µέγιστο πλάτος πλοίου c µητρώο των συντεταγµένων των κόµβων c διάνυσµα C απόσβεση C µητρώο ευκαµψίας κατασκευής C µητρώο απόσβεσης ταλαντώσεων σώµατος C ij, C µητρώο συντελεστών ευκαµψίας C 1, C 2 σταθερές ολοκλήρωσης C m συνέχεια (βαθµού m) C 0 συνέχεια µηδενικού βαθµού (φ συνεχής, φ,x δεν είναι) cond(α) αριθµός κατάστασης µητρώου (Α) σε σχέση µε το µέτρο του d 1, d 2 εξωτερική και εσωτερική διάµετρος διατοµής D συντελεστής καµπτικής ακαµψίας λεπτού ελάσµατος D κοίλο πλοίου D διάνυσµα βαθµών ελευθερίας = [ u1 v1 θz1 u2 v2 θz2 u3...] dwt χωρητικότητα (εµπορικού) πλοίου e σφάλµα (απόλυτο σφάλµα) e r σχετικό σφάλµα σφάλµα αποκοπής e c
Σύµβολα Σ-5 e ro e d n e Ε Ε (m) Ε (Ε i ) ΕΙ z f f i σφάλµα στρογγύλευσης σφάλµα διακριτοποίησης σφάλµα αριθµητικής διαδικασίας κατά την επανάληψη n µέτρο ελαστικότητας του υλικού µητρώο ελαστικότητας (m-οστού στοιχείου) µέτρο ελαστικότητας (i-οστού) στοιχείου κατασκευής καµπτική ακαµψία διατοµής δοκού δύναµη (στο τοπικό σύστηµα αναφοράς) συναρτήσεις Rayleigh-Ritz. Η σχέση ορισµού είναι: u = 1 i= 1 a i f i f x, f y δυνάµεις στο γενικό σύστηµα αναφοράς f zi δύναµη σε δοκού στον κόµβο i στην κατεύθυνση z f διάνυσµα εξωτερικών δυνάµεων στους κόµβους στοιχείου f s διάνυσµα επιφανειακών φορτίων στους κόµβους στοιχείου f b διάνυσµα σωµατειακών φορτίων στους κόµβους στοιχείου F p δύναµη =k p δ p F διάνυσµα συγκεντρωµένων φορτίων στους κόµβους στοιχείου F συνάρτηση µητρώου ακαµψίας στοιχείου =BEB T det J ( n) - fi δύναµη που ασκεί το στοιχείο n στον κόµβο i f ij αξονική δύναµη στη διεύθυνση i του κόµβου j κατασκευής f (m) διάνυσµα γενικευµένων δυνάµεων i-οστού στοιχείου f συνάρτηση (µεταβλητής x) =f (x) F y1 τέµνουσα δύναµη στη φρακτή αναφοράς (µοντέλο MAESTRO) F y2 τέµνουσα δύναµη στην αντίθετη φρακτή (µοντέλο MAESTRO) F i, j () v προσεγγιστική λύση µ.δ.ε. πεπερασµένων διαφορών στο σηµείο (i, j) µε ακριβή λύση v F 1, F 2,. F n διανύσµατα δυνάµεων στους κόµβους κατασκευής F r ανηγµένο διάνυσµα δυνάµεων υπερστοιχείου F (12) αξονική δύναµη στη ράβδο 1-2 F ijk τιµή του µητρώου F στο σηµείο (ξ i, η j, θ k ) G µέτρο διάτµησης = E/(2(1+ν))
Σ-6 Υπολογιστικές Μέθοδοι και εφαρµογές σε λεπτότοιχες κατασκευές h µέγιστο διάστηµα στοιχείου h s απόσταση (ύψος φορτίου) που µετράται από την οροφή του αµπαριού (συµπεριλαµβανοµένου και του κουβουσιού) εντός του 60% του µήκους και πλάτους του αµπαριού που µειώνεται γραµµικά στην τιµή 0,3(D-h db ) άνωθεν του επιπέδου τµήµατος του εσωτερικού πυθµένα στις πλευρές του πλοίου και στις εγκάρσιες φρακτές H χαρακτηριστικό µήκος στοιχείου. (Σε διδιάστατα ή τρισδιάστατα στοιχεία λαµβάνεται ως ίσο µε την µεγαλύτερη απόσταση που ενώνει δύο κόµβους στο στοιχείο). H µητρώο συµβιβαστού των µετατοπίσεων Η χαρακτηριστικό µητρώο επαναληπτικής διαδικασίας. Η σχέση n+1 n ορισµού είναι x = H x + c Η (m) µητρώo συµβιβαστού των µετατοπίσεων στο εσωτερικό των στοιχείων Η S(m) µητρώo συµβιβαστού των επιφανειακών µετατοπίσεων i δείκτης συνάρτησης F i, j µοναδιαία διανύσµατα στις διευθύνσεις X, Y Ι αριθµητικό ολοκλήρωµα + 1 = φ d ξ α 1 φ 1 + α 2 φ 2 +... + α n φ n 1 Ι 2, Ι 3, Ι 23 ροπές αδράνειας της διατοµής ως προς τους άξονες του τοπικού συστήµατος αναφοράς I t σταθερά στρέψης Ι z ροπή αδράνειας περί τον άξονα z I CG ροπή αδράνειας περί το κέντρο βάρους σώµατος J Ιακωβιανό µητρώο J σταθερά St. Venant J πολική ροπή αδράνειας κυκλικής διατοµής J 1 στρεπτική ακαµψία διατοµής k αριθµός στοιχείων k συντελεστής απόσβεσης k cr κρίσιµη τιµή συντελεστή απόσβεσης k p ακαµψία k ij συντελεστής ακαµψίας k µητρώο ακαµψίας στοιχείου στο γενικό σύστηµα αναφοράς k, k i µητρώο ακαµψίας (i-οστού) στοιχείου κατασκευής K επίδραση κλίσης στην υδροστατική φόρτιση στοιχείου κατασκευής πλοίου 2 = sin 2 α β tan 45 0, 5δ 2 + cos α β ( ) ( ) ( )
Σύµβολα Σ-7 Κ γενικό µητρώο ακαµψίας κατασκευής KG απόσταση κέντρου βάρους από τρόπιδα l i µήκος ελάσµατος L µήκος L OA ολικό µήκος πλοίου L BP µήκος πλοίου µεταξύ καθέτων L, (L i ) µήκος (i-οστού) δοκού (στοιχείου ράβδου) L p µέτρο L o, L διανυσµατικά µέτρα L, S τελεστές Ritz L απόσταση κόµβων L ( v i, j ) λύση της µ.δ.ε. L όπου v i,j είναι συνεχής συνάρτηση LCG διαµήκης απόσταση κ.β. πλοίου από πρυµναία κάθετο l 1, m 1, n 1 συνηµίτονα διεύθυνσης l r µήκος άκαµπτου τµήµατος στοιχείου m δείκτης αριθµού στοιχείου m συνθήκη περιορισµού m εκθέτης που υποδηλώνει το m-οστό στοιχείο m ij καµπτική ροπή στη διεύθυνση i του κόµβου j m z1, m z2 καµπτικές ροπές διατοµής δοκού στους κόµβους 1, 2 στη διεύθυνση z 2m τάξη υψηλότερης παραγώγου εξίσωσης ισορροπίας όταν αυτή εκφράζεται συναρτήσει των µετατοπίσεων Μ µάζα φορτίου (τόνοι) Μ ζεύγος δυνάµεων =FL M µητρώο µάζας σώµατος M z1 καµπτική ροπή στη φρακτή αναφοράς (µοντέλο MAESTRO) M z2 καµπτική ροπή στην αντίθετη φρακτή (µοντέλο MAESTRO) Μ x, Μ y καµπτικές ρoπές ανά µέτρo µήκoυς πλευράς ελάσµατος Μ xy στρεπτική ρoπή ανά µέτρo µήκoυς πλευράς ελάσµατος Ν αριθµός επαναλήψεων (για µία πλήρη ταλάντωση) n τάξη αριθµητικής ολοκλήρωσης (n = 1, 2,... 6) n όρος του αναπτύγµατος της αντίστοιχης σειράς Taylor n αριθµός διαστάσεων (1, 2, ή 3 για µονοδιάστατα, διδιάστατα ή τρισδιάστατα προβλήµατα αντίστοιχα) Ν αριθµός κόµβων σώµατος Ν συνάρτηση µορφής ισοπαραµετρικού στοιχείου Ν 1, Ν 2 συναρτήσεις παρεµβολής Ν i συναρτήσεις παρεµβολής (µορφής) = N i (ξ 1, ξ 2, ξ 3 )
Σ-8 Υπολογιστικές Μέθοδοι και εφαρµογές σε λεπτότοιχες κατασκευές Ν µητρώο συνάρτησης µορφής = [ξ 1 ξ 2 ] Ν αριθµός στοιχείων στο πλέγµα Ox τοπικό σύστηµα αναφοράς Ox -Oy γενικό σύστηµα αναφοράς Οxyz (τοπικό) σύστηµα αναφοράς µοντέλου κατασκευής Οx y z γενικό σύστηµα αναφοράς µοντέλου κατασκευής p λόγος της µέγιστης προς την ελάχιστη ιδιοτιµή (λ max /λ min ) P εξωτερική δύναµη P, (P i ) εσωτερικές δυνάµεις (στον i-οστό κόµβο) κατασκευής p e πίεση που ασκείται λόγω του µεταφερόµενου φορτίου στην τρόπιδα του πλοίου = 10 T +1, 5 p i C w πίεση σχεδίασης (λόγω του µεταφερόµενου φορτίου) ( g0 + 0, a v ) Khs = ρ 5 P v δύναµη σχεδίασης λόγω φορτίου (κατακόρυφη κατεύθυνση) = g 0 M P t δύναµη σχεδίασης λόγω φορτίου (εγκάρσια κατεύθυνση) = 0, 67atM q φόρτιση q, r, s ακέραιοι (µη-αρνητικοί) q-1 βαθµός υψηλότερου πλήρους πολυωνύµου του πεδίου µετατοπίσεων Q i, Q j Q x, Q y r (µοναδιαίες) γενικευµένες δυνάµεις τέµνoυσες δυνάµεις ανά µέτρo µήκoυς πλευράς = 1 για επίπεδα και στερεά στοιχεία = 2 για στοιχεία-δοκούς και στοιχεία-ελάσµατα R 1 αντίδραση στον (αµετάθετο) κόµβο 1 R διάνυσµα φορτίων R b διάνυσµα αδρανειακών (σωµατειακών) φορτίων R c διάνυσµα συγκεντρωµένων φορτίων R i διάνυσµα δυνάµεων που αντιστοιχούν στο πεδίο των αρχικών (παραµενουσών) τάσεων σώµατος R s διάνυσµα φορτίων που ασκούνται στην επιφάνεια σώµατος R o µητρώο περιστροφών -1 R o αντίστροφο µητρώου περιστροφών s ισαπόσταση δοκών s κατεύθυνση S (εκθέτης) µετατόπιση στην επιφάνεια στερεού σώµατος
Σύµβολα Σ-9 S µητρώο τάσεων t χρόνος t βαθµός ακρίβειας (αριθµός ψηφίων) προσεγγιστικής λύσης t i πάχος ελάσµατος t w πάχος κορµού t 1, t 2 πάχη πελµάτων διατοµής Τ περίοδος ταλάντωσης T βύθισµα πλοίου Τ εξωτερική ρoπή Τ µητρώο µετασχηµατισµού από το γενικό στο τοπικό σύστηµα αναφοράς Τ µητρώο θερµοκρασιών στο εσωτερικό επίπεδου στοιχείου Τ ij (v) σφάλµα αποκοπής στο σηµείο (ih, ik) u µετατόπιση στο τοπικό σύστηµα αναφοράς u, v µετατοπίσεις στο γενικό σύστηµα αναφοράς κατασκευής 2 u (12) µετατόπιση της ράβδο 1-2 στην αξονική κατεύθυνση u i δυνατή (γενικευµένη) µετατόπιση (στο σηµείο i) u(x, y) γενικευµένη µετατόπιση σηµείου κείµενου στο επίπεδο Οxy u διάνυσµα βαθµών ελευθερίας στοιχείου (στο τ.σ.α.) u ακριβής (αριθµητική) λύση û ανηγµένο διάνυσµα βαθµών ελευθερίας στους κόµβους στοιχείου στο γ.σ.α. (µη-µηδενικοί όροι) = Aa T û u ~ ανάστροφο διανύσµατος βαθµών ελευθερίας στο γενικό σύστηµα αναφοράς = u u u u v v v [ ] 1 2 3 4 1 2 3 v4 διάνυσµα βαθµών ελευθερίας στο τ.σ.α. στους κόµβους στοιχείου που δεν συµπίπτουν µε τους βαθµούς ελευθερίας στο γ.σ.α. u c διαφορά της προσέγγισης u i, u j µετατοπίσεις στις διευθύνσεις i, j u r ανηγµένο διάνυσµα βαθµών ελευθερίας κόµβων u t ακριβές αποτέλεσµα u n προσέγγιση αριθµητικής λύσης µε n συναρτήσεις Ritz u διάνυσµα βαθµών ελευθερίας στοιχείου στο γ.σ.α. u διάνυσµα δυνατών γενικευµένων µετατοπίσεων U ενέργεια παραµόρφωσης U o ενέργεια παραµόρφωσης (ράβδου) ανά µονάδα όγκου U διάνυσµα κοµβικών (γενικευµένων) µετατοπίσεων U 1, U 2, U n 2 οι τονιζόµενες ποσότητες υπολογίζονται στο γενικό σύστηµα αναφοράς
Σ-10 Υπολογιστικές Μέθοδοι και εφαρµογές σε λεπτότοιχες κατασκευές U U U A,U E v v b v s v A, v B v(x, y) v(s) V V ABI w w b w dyn w ext w int w st w 1, w 2 w w r +1 διάνυσµα των συνιστωσών των γενικευµένων µετατοπίσεων U i, V i, W i, σε όλους τους κόµβους ενός πλέγµατος, στο γ.σ.α. διάνυσµα δυνατών (γενικευµένων) µετατοπίσεων µετατοπίσεις κόµβων Α, Ε µετατόπιση διατοµής µετατοπίσεις λόγω κάµψης µετατοπίσεις λόγω διάτµησης µετατοπίσεις στο γ.σ.α. των σηµείων Α, Β µετατόπιση στο επίπεδο Οxy συνιστώσα της µετατόπισης κάθετα στο επίπεδο του στοιχείου κατά µήκος του φορέα όγκος (στοιχείου) όγκoς χώρoυ ΑΒΙ µετατόπιση κάθετα στην επιφάνεια του ελάσµατος µετατόπιση κάθετα στην επιφάνεια του ελάσµατος σε συνοριακό κόµβο µετατόπιση κάθετα στην επιφάνεια της κατασκευής (δυναµική απόκριση) µετατόπιση κάθετα στην επιφάνεια του ελάσµατος σε εξωτερικό κόµβο µετατόπιση κάθετα στην επιφάνεια του ελάσµατος σε εσωτερικό κόµβο µετατόπιση κάθετα στην επιφάνεια της κατασκευής (στατική απόκριση) µετατοπίσεις διατοµής ταχύτητα σηµείου κατασκευής κάθετα στην επιφάνειά της w + w ( ) 2 = r + 1 r / ταχύτητα (σηµείου) κατασκευής κάθετα στην επιφάνειά της κατά την r+1 επανάληψη 1 k / 2 t = w r + 1+ k / 2 ρ( 1+ k / 2) p W δυναµικό των φορτίων W ls βάρος πλοίου σε άφορτη κατάσταση (lightship) W 1, 2 έργο εξωτερικών συστηµάτων δυνάµεων (1 και µετά 2) W 2,1 έργο εξωτερικών δυνάµεων (2 και µετά 1) W εξωτερικό δυνατό έργο εξ W εσ εσωτερικό δυνατό έργο x ανεξάρτητη µεταβλητή X διάνυσµα των κοµβικών συντεταγµένων στο γενικό
Σύµβολα Σ-11 σύστηµα αναφοράς X T =[X 1 X 2... X q ] x n αρχικό διάνυσµα µεταβλητής (σε επαναληπτική µέθοδο) x n+1 νέο διάνυσµα µεταβλητής (σε επαναληπτική µέθοδο) x ij, y ij διανύσµατα που συνδέουν κόµβους µε συντεταγµένες i και j xij = xi xj και yij = yi y j y NA απόσταση ουδέτερου άξονα διατοµής από άξονα αναφοράς y i (η, t) αριθµητική λύση δ.ε. στο πεδίο t (έστω χρόνος) y o (η o, t o )+ε αριθµητική λύση δ.ε. στο σηµείο (η o, t o ) y * i (η, t) αριθµητική λύση δ.ε. y 1, y 2 αποστάσεις µεταξύ των πελµάτων και των αντίστοιχων ουδετέρων αξόνων των διατοµών Ζ απόσταση από τον ουδέτερο άξονα διατοµής Μαθηµατικοί συµβολισµοί dv/dx w/ t 2 4 u u u p u A κλίση διατοµής ταχύτητα µετατόπισης κάθετα στην επιφάνεια κατασκευής τελεστής Laplace διαρµονικός τελεστής µέτρο (νόρµα) Ευκλείδειο µέτρο (νόρµα) ή µήκος του διανύσµατος u διανυσµατικό µέτρο (νόρµα). Η σχέση ορισµού είναι: 1/ p n p u p = u i i= 1 απειροστό ή µέγιστο µέτρο. Η σχέση ορισµού είναι: = max u u 1 i n i επαγόµενο µέτρο του µητρώου Α, όπου: A = max Ax x = 1