Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου Περιεχόμενα-Ύλη του Μαθήματος Περιγραφική Στατιστική: Είδη δεδομένων, Μετασχηματισμοί, Τρόποι παράστασης και ομαδοποίησης στατιστικών δεδομένων, Γραφήματα Μέτρα κεντρικής τάσης, Μέτρα διασποράς, Ροπές Αριθμοδείκτες (σχετικές τιμές, σταθμικοί τιμάριθμοι, αποπληθωρισμός) Πιθανότητες Τυχαίες Μεταβλητές Κατανομές Πιθανοτήτων I. 1

Βιβλιογραφία Μαθήματος Επιχειρησιακή Στατιστική, Θαλασσινός Ε., Σταματόπουλος Θ., Χαρίσης Χ. ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΣΤΑΜΟΥΛΗ I. 2

ΟΡΙΣΜΟΣ-ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Στατιστική είναι η επιστήμη που ασχολείται με τη συλλογή, επεξεργασία και ταξινόμηση, παρουσίαση, ανάλυση και ερμηνεία αριθμητικών δεδομένων, τα οποία είναι χρήσιμα για τον προγραμματισμό και τη λήψη ορθών αποφάσεων. Προέρχεται από την λατινική λέξη status=κράτος, καθιερώθηκε στα μέσα του 1700. Οι Αιγύπτιοι (3500 π.χ.) και Κινέζοι και Βαβυλώνιοι με τις απογραφές πληθυσμού και προϊόντων ξεκίνησαν τη στατιστική. Υπάρχουν 4 στάδια μιας στατιστικής Έρευνας σύμφωνα με τον ορισμό της Στατιστικής: Συλλογή Δεδομένων Επεξεργασία και Παρουσίαση Ανάλυση Ερμηνεία I. 3

Στατιστικός Πληθυσμός Πληθυσμός (Populato) είναι το σύνολο των μετρήσεων που αναφέρονται σε ένα πλήθος οντοτήτων (έμψυχων ή άψυχων) που έχουν ένα ή περισσότερα κοινά χαρακτηριστικά. Άπειρος Πληθυσμός: Πρακτικά πολύ μεγάλος (π.χ. πληθυσμός της γης) Πεπερασμένος Πληθυσμός: μετρήσιμος (π.χ. οι Έλληνες) Δειγματοληψία: Διαδικασία έρευνας με χρήση δείγματος Δείγμα: Ένα υποσύνολο (μικρό) του πληθυσμού. Πρέπει να είναι αντιπροσωπευτικό I. 4

Στατιστικές Μεταβλητές Στατιστικές Μεταβλητές: Τα χαρακτηριστικά και ιδιότητες των ατόμων ενός πληθυσμού. Κατηγορίες Μεταβλητών Ποσοτικές Μεταβλητές αυτές που είναι αριθμητικές και μετρήσιμες (Βάρος, ηλικία, ύψος ατόμου). Ποιοτικές Μεταβλητές αυτές που δεν είναι αριθμητικές (π.χ. άγαμος-έγγαμος). Συνεχείς και Ασυνεχείς μεταβλητές Οι συνεχείς μπορούν να πάρουν οποιαδήποτε αριθμητική τιμή (π.χ. το ύψος και βάρος ενός ανθρώπου). Οι ασυνεχείς μπορούν να πάρουν μόνο ακέραιες τιμές (π.χ. αριθμός παιδιών οικογένειας). I. 5

Περιγραφική και Επαγωγική Στατιστική Περιγραφική Στατιστική: παρουσίαση στατιστικών δεδομένων σε πίνακες και διαγράμματα, υπολογισμός στατιστικών παραμέτρων και εξαγωγή συμπερασμάτων για τα δεδομένα. Επαγωγική Στατιστική: Εξαγωγή συμπερασμάτων (επαγωγικά), από ένα αντιπροσωπευτικό δείγμα για τον συνολικό πληθυσμό. Βασίζεται στη θεωρία πιθανοτήτων και την θεωρία της Στατιστικής I. 6

ΣΥΛΛΟΓΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Απογραφή: καταγραφή όλων των ατόμων του πληθυσμού χωρίς εξαίρεση. Προβλήματα: κόστος, χρόνος. Δειγματοληψία: Συλλογή δεδομένων μόνο από τμήμα του πληθυσμού (Δείγμα). Πρέπει το δείγμα να είναι αντιπροσωπευτικό ώστε να δώσει αξιόπιστες πληροφορίες για όλο τον πληθυσμό (π.χ. 5% του συνόλου) Πλεονεκτήματα: χαμηλό κόστος, ταχύτητα Προβλήματα: επιλογή δείγματος, εκτέλεση δειγματοληψίας, μη αντιπροσωπευτικότητα, Δειγματοληπτικό σφάλμα, Μη Δειγματοληπτικό σφάλμα. I. 7

ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ Ειδικό έντυπο συλλογής στατιστικού υλικού. Τρόποι Συλλογής (συμπλήρωσης) Προσωπική συνέντευξη Ταχυδρομικά Ηλεκτρονικό Ταχυδρομείο (e-mal) Απαιτήσεις για ερωτηματολόγιο και στατιστικό υλικό Αξιοπιστία Αντικειμενικότητα Αντιπροσωπευτικότητα Συγκρισιμότητα Επεξεργασία Χρήση υπολογιστή και κατάλληλου λογισμικού για ταχύτητα και ακρίβεια. I. 8

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ Η χρήση ειδικών προγραμμάτων στατιστικής διευκολύνει την εφαρμογή στατιστικών μεθόδων και τεχνικών, ειδικά σε περιπτώσεις πολλών δεδομένων και πολύπλοκων μεθόδων. Υπάρχουν ειδικά στατιστικά πακέτα που έχουν αντικείμενο αποκλειστικά τη στατιστική και προγράμματα «γενικότερου» ενδιαφέροντος που προσφέρουν και στατιστικές μεθόδους, π.χ. τα λογιστικά φύλλα. Στατιστικά Πακέτα: Τα πιο γνωστά είναι το SPSS, SAS, Statstca, κλπ. Λογιστικά φύλλα: Το ecel της Mcrosoft που είναι εξαιρετικά διαδεδομένο σε επιχειρήσεις περιλαμβάνει βασικά στατιστικά εργαλεία όπως στατιστικές συναρτήσεις (fuctos) π.χ. για υπολογισμό του μέσου και τυπικής απόκλισης δεδομένων και στατιστικά εργαλεία π.χ. τα ιστογράμματα για δημιουργία ιστογραμμάτων. Βασικό πλεονέκτημα της στατιστικής ανάλυσης με λογιστικά φύλλα είναι το χαμηλό κόστος αφού δεν χρειάζεται να αγοραστεί ειδικό λογισμικό για στατιστική και επιπλέον η ευκολία χρήσης αφού το «περιβάλλον» εργασίας είναι ήδη γνωστό στο χρήστη του λογιστικού φύλλου. Μειονέκτημα είναι ότι απαιτούν κάποια εξοικείωση με τις στατιστικές μεθόδους και το ότι δεν προσφέρουν μεθόδους και τεχνικές που θεωρούνται «προχωρημένες». I. 9

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Ένας Πίνακας έχει στόχο να παρουσιάσει στατιστικά δεδομένα με τρόπο κατανοητό στους πιθανούς αναγνώστες. Τα στατιστικά δεδομένα που παρουσιάζει ένας πίνακας τα «ομαδοποιούμε» ή «ταξινομούμε» κατά τις γραμμές και στήλες του πίνακα. I. 10

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ Ένα διάγραμμα πρέπει να περιέχει τα παρακάτω στοιχεία: Τίτλο, Κλίμακα, Υπόμνημα, Πηγή. 35 ΓΕΝΝΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑΔΑ ΑΝΑ 1000 ΚΑΤΟΙΚΟΥΣ 30 25 20 Γεννήσεις 15 10 5 0 1925 1935 1945 1955 1965 1975 1985 1995 2005 I. 11

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΚΑΤΑΤΑΞΗ Δεδομένα: Βαθμολογία φοιτητών Βαθμός Συχνότητα f 0 3 1 4 2 8 3 3 4 2 5 5 6 5 7 1 8 5 9 19 10 1 Σύνολο 56 Τάξη (Κλάση) Επιλέγω 3 τάξεις επειδή στα δεδομένα το 0-4 είναι «ανεπαρκώς», το 5-7 Καλώς, το 8-10 Άριστα ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ Κεντρική Τιμή Συχνότητα 0-4 2 20 5-7 6 11 8-10 9 25 Σύνολο 56 I. 12

ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ Ανάλογα με τη φύση των δεδομένων: Χρονολογική κατάταξη, Γεωγραφική κατάταξη, κλπ. Ποσοτική κατάταξη ή Κατανομή Συχνοτήτων για ποσοτικά δεδομένα. τύπος του Sturges για εύρεση διαστήματος τάξεων M m 1 3.3log( N ) Π: πλάτος ή διάστημα τάξεων Μ: μεγαλύτερη τιμή m: μικρότερη τιμή Ν: Πλήθος δεδομένων I. 13

ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΑ 22 38 33 36 25 53 28 36 31 27 45 21 41 29 40 50 27 34 32 32 37 29 39 33 29 47 29 42 33 27 Ν=30 Μ=53 m=21 Log(30)=1.47 Υπολογισμός Π Π=(Μ-m)/(1+ 3.3 Log(30)= (53-21)/(1+3.3*1.47)=5.45 Άρα δ=5 στρογγύλευση Τάξη Κεντρικός συχνότητα όρος X f 20-25 22.5 3 25-30 27.5 8 30-35 32.5 7 35-40 37.5 6 40-45 42.5 3 45-50 47.5 2 50-55 52.5 1 Σύνολο 30 I. 14

ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ - ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ Συχνότητα f 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 3 8 7 6 3 2 Συχνότητα Αθροιστική % 1 0 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% Αθροιστική Συχν. f% 20 25 30 35 40 45 50 55 > τάξεις I. 15

ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΑ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ Τάξη Κεντρικός όρος X Συχνότητα f Συχνότητα f% ΔΕΞΙΟΣΤΡΟΦΗ ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΗ % ΑΡΙΣΤΕΡΟΣΤΡΟΦΗ ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΗ % 20-25 22.5 3 10% 10% 100% 25-30 27.5 8 27% 37% 90% 30-35 32.5 7 23% 60% 63% 35-40 37.5 6 20% 80% 40% 40-45 42.5 3 10% 90% 20% 45-50 47.5 2 7% 96% 10% 50-55 52.5 1 3% 100% 3% Σύνολο 30 100% 100% ΑΡΙΣΤΕΡΟΣΤΡΟΦΗ ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ ΑΡΙΣΤΕΡΟΣΤΡΟΦΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΔΕΞΙΟΣΤΡΟΦΗ ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ ΔΕΞΙΟΣΤΡΟΦΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ 100% Συχνότητα f 80% 60% 40% 20% Αθροιστική % Συχνότητα f 80% 60% 40% 20% Αθροιστική % 0% 20 25 30 35 40 45 50 τάξεις 0% 20 25 30 35 40 45 50 τάξεις I. 16

ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ-παράδειγμα 1 1 2 3 4 5 1 51 87 47 65 58 2 61 65 54 60 78 3 60 93 67 80 45 4 92 84 97 91 63 5 95 71 87 42 77 Δημιουργήστε την Αριστερόστροφη % και Δεξιόστροφη % κατανομή συχνοτήτων για τα παραπάνω δεδομένα ΒΗΜΑΤΑ ΛΥΣΗΣ 1. Εφαρμογή τύπου Sturges για εύρεση Π 2. Δημιουργία Τάξεων 3. Μέτρηση συχνοτήτων f 4. Υπολογισμός % συχνοτήτων 5. Δεξιόστροφη και Αριστερόστροφη % I. 17

ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ-παράδειγμα 2 ΜΙΣΘΟΙ ΕΡΓΑΖΟΜΕΝΩΝ Δημιουργήστε την Αριστερόστροφη % και Δεξιόστροφη % κατανομή συχνοτήτων για τα παραπάνω δεδομένα ΒΗΜΑΤΑ ΛΥΣΗΣ 1. Εφαρμογή τύπου Sturges για εύρεση Π 2. Δημιουργία Τάξεων 3. Μέτρηση συχνοτήτων f 4. Υπολογισμός % συχνοτήτων 5. Δεξιόστροφη και Αριστερόστροφη % I. 18

ΜΕΣΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΘΕΣΗΣ Αντικαθιστούμε όλα τα δεδομένα με ένα αντιπροσωπευτικό τους αριθμό. Μια Στατιστική παράμετρο του πληθυσμού Κεντρική τάση, η ιδιότητα των τιμών μιας ομάδας να συγκεντρωθούν γύρω από μια τιμή που είναι η μέση τιμή. Κατηγορίες Μέσων: Μέσοι κεντρικής Τάσης (αριθμητικός, γεωμετρικός, αρμονικός μέσος) Μέσοι θέσης (Διάμεσος, Τεταρτημόρια, Επικρατούσα τιμή, κλπ) I. 19

ΜΕΣΟΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΤΑΣΗΣ Μέσος Αριθμητικός μ Μέσος Γεωμετρικός G Μέσος Αρμονικός Η Απλοί ή Αστάθμητοι μέσοι: Κάθε τιμή X έχει την ίδια σημασία και συντελεστή στάθμισης Σταθμικοί Μέσοι: Κάθε τιμή X έχει διαφορετικό συντελεστή βαρύτητας (στάθμισης) w. I. 20

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ Αστάθμητος: Σταθμικός: Ταξινομημένα δεδομένα άμεσος τρόπος Έμμεσος τρόπος... 3 2 1 w w w w w w... 3 3 2 2 1 1 N f f f 0 0 X X f f I. 21

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΕΣΟΥ 1 φοιτητής 1ος 2ος 3ος 4ος 5ος 6ος 7ος 8ος βαθμός 7 6 5 4 7 8 6 9 Υπολογίστε το μέσο των βαθμών φοιτητών 1 2 =8 Σ =7+6+ +9=52 Επομένως μέσος=52/8=6.5 3... Αν υποθέσουμε ότι οι παραπάνω βαθμοί είναι του ίδιου φοιτητή σε διαφορετικά μαθήματα και ισχύει ότι τα 4 πρώτα έχουν βαρύτητα (Διδακτικές Μονάδες) 5 ενώ τα υπόλοιπα 4 Διδ. Μονάδες, υπολογίστε τον σταθμισμένο μέσο. w 1 1 2 w 2 3w 3... w w w =9 Σw =5*7+5*6+ +4*9= Επομένως μέσος σταθμισμένος =Σw /Σw =6.39 I. 22

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΕΣΟΥ 2 Παράδειγμα από ιστόγραμμα δεδομένων, πραγματικός μέσος 30 τιμών μ=34.167 Τάξη Κεντρικός όρος X συχνότητα f Χ *f ξ =(X -X 0 )/δ ξ *f 20-25 22.5 3 67.5-3 -9 25-30 27.5 8 220-2 -16 30-35 32.5 7 227.5-1 -7 35-40 37.5 6 225 0 0 40-45 42.5 3 127.5 1 3 45-50 47.5 2 95 2 4 50-55 52.5 1 52.5 3 3 Σύνολο 30 1015 0-22 Μέσος με άμεσο τρόπο =ΣX *f /N=1015/30=33.83 Μέσος με έμμεσο τρόπο =Χ 0 +δσξ *f /Σf =37.5+5*(-22)/30=37.50-3.67=33.83 Χ 0 =37.5, δ=5 I. 23

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ Αστάθμητος: Σταθμικός: Χρησιμοποιούμε τη σχέση log(g)=σlog(x )/ Αστάθμητος: Σταθμικός: G 1 2 3... w G w1 w2 w3... w 1 log 1 log 2 log 3 log G w1 log 1 w2 log 2 w3 log 3 log G 2 1 3... log... w log log w log I. 24

Παράδειγμα Γεωμετρικού Μέσου ΕΤΟΣ έτος 1 έτος 2 έτος 3 έτος 4 έτος 5 ΠΩΛΗΣΕΙΣ 125 150 210 240 300 Υπολογίστε τη μέση ετήσια % αύξηση των πωλήσεων 1. Υπολογίζουμε τις ετήσιες αυξήσεις πωλήσεων: έτος 2 έτος 3 έτος 4 έτος 5 Ετήσια Αύξηση 0,20 0,40 0,14 0,25 2. Επειδή η αύξηση επιδρά «πολλαπλασιαστικά» πρέπει να υπολογίσουμε τον Γεωμετρικό Μέσο: G 1... 2 3 1 Π.χ. αύξηση έτους 2: (150-125)/125 = 25/125=1/5=0,20=20% G = 4 0, 20 0, 40 0, 14 0, 25 = 0, 2312 Γεωμετρικός Μέσος G=0,2312 ή μέση ετήσια αύξηση 23,12% Ενώ ο αριθμητικός μέσος είναι μ=(0,20+0,40+014+0,25)/4=0,2482=24,82% Ο «σωστός» μέσος είναι ο γεωμετρικός γιατί η μέση ετήσια αύξηση «επιδρά» πολλαπλασιαστικά στις πωλήσεις. I. 25

ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ Αστάθμητος: Σταθμικός: ) 1 ( 1... 1 1 1 3 2 1 H ) (...... 3 3 2 2 1 1 3 2 1 w w w w w w w w w w H I. 26

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΑΡΜΟΝΙΚΟΥ ΜΕΣΟΥ Ένας οδηγός επαγγελματικού φορτηγού σε ταξίδι Ηράκλειο-Χανιά που είναι απόσταση 150 χλμ. ολοκληρώνει τη διαδρομή σε 2 ώρες. Στην επιστροφή από Χανιά - Ηράκλειο ολοκληρώνει τη διαδρομή σε 1,5 ώρες. Ποια ήταν η μέση ταχύτητα όλου του ταξιδιού Ηράκλειο-Χανιά-Ηράκλειο? Ηράκλειο-Χανιά: Απόσταση 150 χλμ. σε χρόνο 2 ώρες, μέση ταχύτητα=(απόσταση)/χρόνος=150/2=75 χλμ./ώρα Χανιά-Ηράκλειο: Απόσταση 150 χλμ. σε χρόνο 1,5 ώρες, μέση ταχύτητα=(απόσταση)/χρόνος=150/1,5=100 χλμ./ώρα Επομένως αν υπολογίσουμε τον αριθμητικό μέσο (75+100)/2=175/2=87,5 χλμ./ώρα ΔΕΝ ΕΊΝΑΙ ΌΜΩΣ ΣΩΣΤΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΓΙΑΤΙ: Με 87,5 χλμ./ώρα σε 2+1,5=3,5 ώρες θα διένυε απόσταση 87.5*3.5=306,25 χλμ. (περισσότερα των πραγματικών) Η πραγματική μέση ταχύτητα ήταν: Συνολική απόσταση 150+150=300 χλμ., συνολικός χρόνος 2+1,5=3,5 ώρες, επομένως μέση ταχύτητα=(συν. Απόσταση)/(συν. Χρόνος)=300/3,5=85,714 χλμ./ώρα Αν υπολογίσουμε τον Αρμονικό μέσο: Η = 2 =85,714 είναι η πραγματική μέση ταχύτητα!!! 1 75 + 1 100 I. 27

ΔΙΑΜΕΣΟΣ Μ (MEDIAN) Το σπουδαιότερο στατιστικό μέτρο θέσης Ταξινομούμε τις τιμές από τη μικρότερη στη μεγαλύτερη και η διάμεσος είναι η τιμή που έχει την κεντρική θέση. Η διάμεσος χωρίζει τις τιμές σε δύο ομάδες με ίσο πλήθος. 50% των τιμών βρίσκονται κάτω και 50% πάνω. Αν μονός αριθμός τότε μια μόνο τιμή έχει την κεντρική θέση η (+1)/2 π.χ. για 9 τιμές (9+1)/2=5, η 5 η τιμή στη σειρά είναι η διάμεσος. Αν άρτιος τότε υπάρχουν δυο κεντρικοί όροι και διάμεσος ορίζεται ο μέσος όρος των δυο κεντρικών τιμών. I. 28

ΔΙΑΜΕΣΟΣ Μ (MEDIAN)-Παράδειγμα 1 ΔΕΔΟΜΕΝΑ 22 38 33 36 25 53 28 36 31 27 45 21 41 29 40 50 27 34 32 32 37 29 39 33 Ταξινόμηση των αριθμών (αύξουσα) Το Ν=30 άρα το μέσο στο 15-16 (Ν ζυγός αριθμός) οι κεντρικοί όροι είναι ο 15 ος και 16 ος (33,33) Επομένως διάμεσος Μ=(33+33)/2=33 29 47 29 42 33 27 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 21 22 25 27 27 27 28 29 29 29 29 31 32 32 33 33 33 34 36 36 37 38 39 40 41 42 45 47 50 53 I. 29

ΔΙΑΜΕΣΟΣ Μ (MEDIAN)-Παράδειγμα 2 φοιτητής 1ος 2ος 3ος 4ος 5ος 6ος 7ος 8ος 9ος βαθμός 7 6 5 4 7 8 6 7 9 Ταξινόμηση των αριθμών (αύξουσα) Το Ν=9 άρα το μέσο στο 5ο (Ν μονός αριθμός) ο κεντρικός όρος είναι ο 5 ος Επομένως διάμεσος Μ=7 ΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ ΣΕ ΑΥΞΟΥΣΑ ΣΕΙΡΑ φοιτητής 1ος 2ος 3ος 4ος 5ος 6ος 7ος 8ος 9ος βαθμός 4 5 6 6 7 7 7 8 9 I. 30

ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΑ-ΔΕΚΑΤΗΜΟΡΙΑ-ΕΚΑΤΟΣΤΗΜΟΡΙΑ 1 ο Τεταρτημόριο Q 1 η τιμή κάτω από την οποία βρίσκονται το 25% του συνόλου των τιμών. 2 ο Τεταρτημόριο Q 2 είναι η διάμεσος (50%) 3 ο Τεταρτημόριο Q 3 η τιμή κάτω από την οποία βρίσκονται το 75% του συνόλου των τιμών. 1 ο Δεκατημόριο D 1 η τιμή κάτω από την οποία βρίσκονται το 10% του συνόλου των τιμών Παρόμοια ορίζονται τα υπόλοιπα δεκατημόρια 1 ο Εκατοστημόριο C 1 η τιμή κάτω από την οποία βρίσκονται το 1% του συνόλου των τιμών. Παρόμοια ορίζονται τα υπόλοιπα εκατοστημόρια I. 31

ΔΕΚΑΤΗΜΟΡΙΑ-παράδειγμα ΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 21 22 25 27 27 27 28 29 29 29 29 31 32 32 33 33 33 34 36 36 37 38 39 40 41 42 45 47 50 53 Ταξινόμηση των αριθμών (αύξουσα) Το Ν=30 άρα Ν/10=3, κάθε τριάδα αποτελεί ένα Δεκατημόριο Στο Top 10% είναι τα άτομα του πληθυσμού με τιμές 47,50,53 Στο Bottom 10% είναι τα άτομα με τιμές 21,22,25 ΔΕΚΑΤΗΜΟΡΙΑ D1-1ο D2-2ο D3-3ο D4-4ο D5-5ο D6-6ο D7-7ο D8-8ο D9-9ο D10-10ο 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 21 22 25 27 27 27 28 29 29 29 29 31 32 32 33 33 33 34 36 36 37 38 39 40 41 42 45 47 50 53 ΔΕΝ ΕΧΟΥΜΕ ΑΡΚΕΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΓΙΑ ΝΑ ΚΑΝΟΥΜΕ ΕΚΑΤΟΣΤΗΜΟΡΙΑ I. 32

ΕΠΙΚΡΑΤΟΥΣΑ ΤΙΜΗ (ΤΥΠΟΣ) Επικρατούσα τιμή ή τύπος (Mode) είναι η τιμή μιας μεταβλητής που αντιστοιχεί στη μεγαλύτερη συχνότητα κατανομής. Ονομάζεται και Σημείο Μεγαλύτερης Συχνότητας και συμβολίζεται με M 0 Μπορεί να βρεθεί (εντοπιστεί) κατασκευάζοντας το ιστόγραμμα και παρατηρώντας ποια τιμή X έχει μεγαλύτερη συχνότητα, αν αυτό έχει μοναδική κορυφή. I. 33

ΕΠΙΚΡΑΤΟΥΣΑ ΤΙΜΗ (ΤΥΠΟΣ)-παράδειγμα φοιτητής 1ος 2ος 3ος 4ος 5ος 6ος 7ος 8ος 9ος βαθμός 7 6 5 4 7 8 6 7 9 ΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ ΣΕ ΑΥΞΟΥΣΑ ΣΕΙΡΑ φοιτητής 1ος 2ος 3ος 4ος 5ος 6ος 7ος 8ος 9ος βαθμός 4 5 6 6 7 7 7 8 9 Στη διπλανή εικόνα είναι οι αξιολογήσεις της εφαρμογής skype, από χρήστες που την «κατέβασαν» από το Google Play Store. Η επικρατούσα τιμή είναι «5» όπως φαίνεται από τον αριθμό των 5-4-3-2-1 αστεριών που βαθμολόγησαν 6.542.614 χρήστες. I. 34

ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΣΟΥ, ΔΙΑΜΕΣΟΥ, ΤΥΠΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ M 0 M X M M 0 X ΑΡΝΗΤΙΚΗ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Από τις τιμές των: Μέσος μ= X Διάμεσος (Meda) M Επικρατούσα τιμή (Mode) M 0 Βγάζω συμπέρασμα για την συμμετρία της κατανομής συχνοτήτων των δεδομένων X M M 0 I. 35

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΕΣΩΝ Στην εικόνα παρουσιάζονται οι αξιολογήσεις επισκεπτών του αρχαιολογικού χώρου της Κνωσσού. Υπολογίστε το μέσο, διάμεσο, επικρατούσα τιμή των αξιολογήσεων (υποθέτοντας ότι η βαθμολογία είναι αριθμητική 5-4-3-2-1 αντίστοιχα) Σχολιάστε τη συμμετρία των αξιολογήσεων Ν=2061 αξιολογήσεις Κατανέμονται σε 834-666-411-112-38 στο σύστημα 5 αστεριών, επομένως υποθέτουμε ότι οι 834 βαθμολογούν με 5, οι 666 με 4, κ.λπ. Μέσος αριθμητικός: μ=σ/n=(5+5+5+ +5+4+4+ +4+3+3+ +3+2+2+ +2+1+1+ +1)/2061 Προφανώς υπάρχουν 834 φορές 5, 666 φορές 4, Επομένως μ=σ/n=(834*5+666*4+411*3+112*2+38*1)/2061=8329/2061=4.041 Διάμεσος: Πρέπει να ταξινομήσουμε τις αξιολογήσεις σε αύξουσα σειρά και να βρούμε την μεσαία τιμή: 1,1,,1, 2,2,,2, 3,3,,3, 4,4,,4, 5,5, 5 38 «1» 112 «2» 411 «3» 666 «4» 834 «5» Η διάμεσος είναι στη θέση 2061/2+1=1030+1=1031 επομένως είναι 38+112+411=561 ενώ 38+112+411+666=1227, δηλ. τα «4» ξεκινάνε στη θέση 561+1 και τελειώνουν στη θέση 1227. ΕΠΟΜΕΝΩΣ στη ΘΕΣΗ 1031 η τιμή είναι 4. Διάμεσος Μ=4 Επικρατούσα τιμή: Η τιμή που «εμφανίζεται» περισσότερες φορές, επομένως επειδή έχουμε 834 «5» είναι M 0 =5 ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ: Είναι μ=4.041 Μ=4 < Μ 0 =5 ΑΡΝΗΤΙΚΗ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ (ΒΛΕΠΕ ΚΑΙ ΣΧΗΜΑ) I.36

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΕΣΩΝ (2) Βρείτε τον Αριθμητικό Μέσο και την Διάμεσο (Meda) I.37