09 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Μιγαδικοί αριθµοί 8. Εισαγγικά Αναφέρουµε αρχικά ότι οι µιγαδικοί αριθµοί χρησιµοοιούνται ευρύτατα στην ειστήµη της Ηλεκτρολογίας. Παρακάτ δίδονται οι βασικές γνώσεις της µιγαδικης άλγεβρας ααραίτητες για όλα τα µαθήµατα Ηλεκτρολογίας. Ορισµός φανταστικής µονάδας Η λύση της εξίσσης ορίζεται στα µαθηµατικά ς η φανταστική µονάδα και συµβολίζεται µε τα γράµµατα i ή στην Ηλεκτρολογία χρησιµοοιείται το για αοφυγή σύγχυσης µε το σύµβολο του ηλεκτρικού ρεύµατος i. Άρα λοιόν ισχύει: και είσης ισχύουν: - -, 3 - και 4 Με βάση τη φανταστική µονάδα σχηµατίζονται οι φανταστικοί αριθµοί ου έχουν τη γενική µορφή: όου οοιοσδήοτε ραγµατικός αριθµός. Μιγαδικοί αριθµοί µιγαδικό είεδο Ένας µιγαδικός αριθµός compl umbr σχηµατίζεται αό το άθροισµα ενός ραγµατικού αριθµού και ενός φανταστικού αριθµού. ηλαδή: Η γραµµή ου υάρχει άν αό το συµβολίζει µιγαδικό αριθµό και έτσι γίνεται η διάκριση αό ένα ραγµατικό αριθµό. Είναι αντιλητό ότι ή έννοια του µιγαδικού αριθµού θυµίζει αρκετά τη έννοια του διανύσµατος στον χώρο δύο διαστάσεν είεδο. Άρα λοιόν µορούµε να θερήσουµε, αντίστοιχα, το λεγόµενο «µιγαδικό είεδο» το οοίο θα διαθέτει δύο κάθετους άξονες, τον άξονα τν ραγµατικών και τον άξονα τν φανταστικών αριθµών. Στο είεδο αυτό µορούν να αρασταθούν όλοι οι µιγαδικοί αριθµοί.
0 Στο αρακάτ σχήµα φαίνεται το µιγαδικό είεδο. φανταστικός άξονας Im o Z 0 R ραγµατικός άξονας Ο µιγαδικός αριθµός αριστάνεται στο µιγαδικό είεδο, µε τον µικρό κύκλο o Ο ραγµατικός αριθµός ονοµάζεται ραγµατικό µέρος του, συµβολισµός R{ } το σύµβολο R { } αό το ral. Αντίστοιχα ο ραγµατικός ονοµάζεται φανταστικό µέρος του, Im{ } το σύµβολο Im{ } αό το imagiar 8. Πράξεις µεταξύ µιγαδικών αριθµών Αρχικά θα δώσουµε τον ορισµό του συζυγούς µιγαδικού αριθµού Έστ ο µιγαδικός αριθµός. Ως συζυγής µιγαδικός του ορίζεται ο µιγαδικός αριθµός : ηλ. δύο συζυγείς µιγαδικοί αριθµοί έχουν ίσα ραγµατικά µέρη και αντίθετα φανταστικά µέρη. Το αστεράκι * συµβολίζει τον συζυγή µιγαδικό. Οι 4 βασικές ράξεις της αριθµητικής εκτελούνται στους µιγαδικούς αριθµούς ς εξής: 8.. Πρόσθεση και αφαίρεση Έστ οι µιγαδικοί αριθµοί και Τότε:
και ηλαδή η ρόσθεση και η αφαίρεση δύο µιγαδικών ανάγονται σε ρόσθεση και αφαίρεση τν αντίστοιχν ραγµατικών και φανταστικών µερών τους. Αυτό αρουσιάζει λήρη ταύτιση µε την ρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτν, εφ όσον θερήσουµε το ραγµατικό και το φανταστικό µέρος ενός µιγαδικού αριθµού ς τις «συνιστώσες» και ενός διανύσµατος. 8.. Πολλαλασιασµός Έστ οι µιγαδικοί αριθµοί και Ο ολλαλασιασµός εκτελείται κατά τα γνστά έχοντας υ όψη την βασική σχέση άρα ή 8..3 ιαίρεση Έστ οι µιγαδικοί αριθµοί και Το ηλίκο υολογίζεται ς εξής: Πολλαλασιάζουµε αριθµητή και αρονοµαστή εί τον συζυγή µιγαδικό του αρονοµαστή και έχουµε: Ο ολλαλασιασµός και η διαίρεση µιγαδικών αριθµών δεν συµβαδίζουν τους κανόνες της διανυσµατικής άλγεβρας ός συµβαίνει µε την ρόσθεση και την αφαίρεση Ειδικά για τον ολλαλασιασµό και την διαίρεση θα δούµε αρακάτ έναν ιο αοτελεσµατικό τρόο εκτελέσεώς τους.
8. 3 Αόλυτη τιµή ή µέτρο µιγαδικού αριθµού Ως αόλυτη τιµή, ή µέτρο, του µιγαδικού αριθµού ορίζεται ο θετικός ραγµατικός αριθµός: 8. 4 Πολική εκθετική µορφή µιγαδικού αριθµού Οι µιγαδικοί αριθµοί µορούν να γραφούν και σε µια άλλη εναλλακτική µορφή η οοία µορεί να φανεί ολύ χρήσιµη σε ληθώρα εριτώσεν. Στο µιγαδικό είεδο θερούµε τον µιγαδικό αριθµό Im r si 0 r r cos o R Το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος 0 Z είναι ίσο µε r όου r το µέτρο του µιγαδικού. Έστ ότι θ είναι η γνία ου σχηµατίζεται αό τον ραγµατικό άξονα και το ευθύγραµµο τµήµα 0 Z. Η γνία θ λέγεται όρισµα του µιγαδικού αριθµού και µεταβάλλεται µεταξύ τν ορίν. Παρατηρούµε ότι το ραγµατικό και το φανταστικό µέρος του µιγαδικού γράφονται: R { } r cos και Im { } r si
3 άρα ο γράφεται r cos r si r cos si αυτή η µορφή γραφής r cos si ονοµάζεται ολική µορφή του µιγαδικού γιατί έχει άµεση σχέση µε τις ολικές συντεταγµένες ενός σηµείου, στο είεδο. Συνοψίζουµε: Καρτεσιανή αλγεβρική µορφή µιγαδικού: Πολική µορφή µιγαδικού: r cos si όου: r cos, r si και r a, Σηµ. η συνάρτηση a τόξο εφατοµένης χρειάζεται ροσοχή, κατά τον υολογισµό της, δηλαδή την εύρεση της γνίας στο σστό τεταρτηµόριο, ανάλογα µε τα ρόσηµα τν αριθµών και. Πάντς όλες οι αριθµοµηχανές calculaors ου έχουν τη δυνατότητα µετατροής συντεταγµένν αό καρτεσιανές σε ολικές, έχουν ενσµατµένο ειδικό ρόγραµµα ου υολογίζει σστά τη γνία Εανερχόµαστε στην ολική µορφή µιγαδικού r cos si και αναφέρουµε µια βασική ταυτότητα ου αοδεικνύεται στα Μαθηµατικά τύος του Eulr cos si Με βάση τον τύο του Eulr ο µιγαδικός γράφεται: για κάθε ραγµατικό αριθµό r cos si r Αυτός ο τρόος γραφής ονοµάζεται εκθετική µορφή µιγαδικού αριθµού και χρησιµοοιείται ευρύτατα στην ράξη.
4 8.4. Υολογισµός γινοµένου και ηλίκου µιγαδικών σε εκθετική µορφή Το άθροισµα και η διαφορά δύο µιγαδικών υολογίζονται ολύ εύκολα σε αλγεβρική καρτεσιανή µορφή. Ο υολογισµός όµς του γινοµένου και ιδίς του ηλίκου αρουσιάζει κάοια ολυλοκότητα στη µορφή αυτή. Η χρήση όµς της εκθετικής µορφής αλοοιεί άρά ολύ τα ράγµατα για τις δύο αυτές ράξεις γινόµενο ηλίκο. Συγκεκριµένα θα έχουµε: Έστ οι µιγαδικοί και Το γινόµενο υολογίζεται κατά τα γνστά δηλαδή το γινόµενο έχει µέτρο το γινόµενο τν µέτρν τν και και όρισµα το άθροισµα τν ορισµάτν και. Σηµ. οι ράξεις µε τους µιγαδικούς εκθέτες ακολουθούν τους ίδιους νόµους µε τις ράξεις µε ραγµατικούς εκθέτες Με όµοιο τρόο το ηλίκο υολογίζεται ς εξής: δηλαδή το ηλίκο έχει µέτρο το ηλίκο τν µέτρν τν και και όρισµα την διαφορά τν ορισµάτν αριθµητή µείον αρονοµαστή -. Συµεραίνουµε λοιόν ότι είναι ροτιµότερο η ρόσθεση και η αφαίρεση δύο µιγαδικών να γίνονται σε αλγεβρική καρτεσιανή µορφή ενώ ο ολλαλασιασµός και η διαίρεση να γίνονται σε εκθετική µορφή. Χρειάζεται βέβαια κάθε φορά ή αντίστοιχη µετατροή τν µιγαδικών αό την µία µορφή στην άλλη µε χρήση τν γνστών τύν.
5 8.4. Έκφρασή συζυγούς και αντιστρόφου µιγαδικού σε εκθετική µορφή Έστ ο µιγαδικός αριθµός cos si Ο συζυγής του γράφεται: cos _ si διότι ισχύει ς γνστόν cos si cos si ηλαδή στην εκθετική µορφή ο συζυγής µιγαδικός του έχει το ίδιο µέτρο και αντίθετο όρισµα _ Είσης θα ισχύει ηλαδή το γινόµενο ενός µιγαδικού µέτρου του. εί τον συζυγή του είναι ίσο µε το τετράγνο του Ο αντίστροφος ενός µιγαδικού γράφεται: 0 ηλαδή ο αντίστροφος του έχει µέτρο το αντίστροφο του µέτρου του και όρισµα το αντίθετο του ορίσµατός του. 8. 5 υνάµεις µιγαδικών αριθµών Οι δυνάµεις µιγαδικών αριθµών υολογίζονται σύµφνα µε τους γνστούς κανόνες ου ισχύουν για τους ραγµατικούς αριθµούς και ο υολογισµός αλοοιείται σηµαντικά όταν ο µιγαδικός είναι γραµµένος σε εκθετική µορφή. Έστ ο µιγαδικός Τότε: και όου ακέραιος Αλλά και γενικότερα ισχύει m m m όου, m ακέραιοι
6 8. 6 Ρίζες µιγαδικών αριθµών Ο µιγαδικός αριθµός έχει τον αριθµό -οστές ρίζες οι οοίες υολογίζονται αό τον ακόλουθο τύο: k k όου k 0,,, - 8. 7 Στρεφόµενοι µιγαδικοί αριθµοί Θερούµε τον µιγαδικό αριθµό, η ακριβέστερα την µιγαδική συνάρτηση: όου Α και σταθεροί ραγµατικοί αριθµοί και ραγµατική µεταβλητή χρόνος. Παρατηρούµε ότι ο έχει σταθερό µέτρο Α ενώ το όρισµά του αυξάνει γραµµικά συναρτήσει του χρόνου. Αυτό σηµαίνει ότι ο, στο µιγαδικό είεδο, κινείται άν σε µία εριφέρεια µε ακτίνα Α µε σταθερή γνιακή ταχύτητα. βλ. και καττέρ σχήµα Im si 0 cos o R Το ραγµατικό και το φανταστικό µέρος του θα είναι αντίστοιχα: R { } cos και Im { } si Αό τις σχέσεις αυτές γίνεται δυνατή η αράσταση ηµιτονοειδών συναρτήσεν µε χρήση µιγαδικών αριθµών. Ο µιγαδικός αριθµός λέγεται και στροφέας phasor.
7 Η χρονική αράγγος και το ολοκλήρµα του µορούν εύκολα να υολογιστούν εφαρµόζοντας τους κανόνες αραγώγισης ου ισχύουν για ραγµατικές συναρτήσεις. Έτσι θα έχουµε: διότι ισχύει Άρα αραγώγιση του σηµαίνει ολλαλασιασµό του µέτρου του εί και ταυτόχρονα αύξηση κατά γνία του ορίσµατός του. Αντίστοιχα για το ολοκλήρµα: διότι ισχύει Άρα ολοκλήρση του σηµαίνει διαίρεση µέτρου του δια και ταυτόχρονα µείση κατά γνία του ορίσµατός του.