Εαρινό εξάμηνο 2011 21.02.11 Χ. Χαραλάμπους
Μεσοποταμία Αίγυπτος 3000 1000 π.χ.
Αίγυπτος: ο πάπυρος του Rhind ~1650 π.χ. Αγοράσθηκε από τον Σκωτσέζο Rhind το 1858
Αίγυπτος: ο πάπυρος της Μόσχας ~ 1600 π.χ. (βρίσκεται στο Μουσείο Καλών Τεχνών της Μόσχας από το 1893 μ.χ.)
π. της Μόσχας, το 14 ο πρόβλημα υπολογίζει τον όγκο μίας (κομμένης) τετραγωνικής πυραμίδας
π. της Μόσχας, 14 ο πρόβλημα: «Εάν σου πουν: μία κομμένη πυραμίδα με ύψος 6, με βάση κατά 4 και κορυφή 2 : πάρε το τετράγωνο του 4, βρες 16. Διπλασίασε το 4, βρες 8. Πάρε το τετράγωνο του 2, βρες 4. Πρόσθεσε το 16, το 8 και το 4, βρες 28. πάρε το 1/3 του 6, βρες 2. Διπλασίασε το 28, βρες 56. Επιβεβαίωσε ότι είναι 56. Θα βρεις ότι είναι σωστό.»
Τα νούμερα στην ιερατική γραφή των αρχαίων Αιγυπτίων
Κλάσματα στους αρχαίους Αιγυπτίους Όλατακλάσματαεκτόςαπότο2/3 είχαν αριθμητή το 1. (παράδ. στην ιερογλυφική γραφή ) 1/3 1/2+1/4=3/4 2/3 Πρόβλημα 3, π. του Rhind: «να διαιρέσεις 6 φραντζόλες σε 10 άνδρες. Απάντηση :1/2+1/10.» (δηλ. κόβειςστομισότις5 φραντζόλες και την έκτη σε 10 κομμάτια. Σύγκριση με το 3/5.)
Πολλαπλασιασμός στους αρχαίους Αιγυπτίους Γιαναυπολογίσουμεa x b ξεκινάμε με την δυάδα 1 και b. Διπλασιάζουμε διαδοχικά έως ότου το πρώτο στοιχείο της δυάδας να ξεπερνά το a. Υπολογίζουμε ποιες δυνάμεις του 2 αθροίζουν και δίνουν a και αθροίζουμε και τα αντίστοιχα πολλαπλάσια του b.
(πολλαπλασιασμός στην αρχαία Αίγυπτο) Οι γραφείς γνώριζαν ότι κάθε θετικός αριθμός γράφεται ως άθροισμα δυνάμεων του 2(θεωρία αριθμών???) (δεν υπάρχει απόδειξη για αυτό στους παπύρους, ούτε και ένδειξη το πώς το ανακάλυψαν οι Αιγύπτιοι).
πολλαπλασιασμός στην αρχαία Αίγυπτο 19 x 12 1 12 2 24 4 48 8 96 16 192 19= 1+2+16 19 x 12=12+24+192=228
Γραμμικές εξισώσεις και αρχαίοι Αιγύπτιοι πρόβλημα από π. της Μόσχας: «Βρες την τιμή που όταν την πάρουμε μία και μισή φορές και μετά προσθέσουμε το 4 βρίσκουμε 10.» (αντίστοιχη εξίσωση 1 ½ x+4=10) Περιγραφή λύσης: «αφαίρεσε 4 από 10, βρες 6. πολλαπλασίασε με 2/3, βρες 4.»
Γραμμικές εξισώσεις και αρχαίοι Αιγύπτιοι Πρόβλημα 26, πάπυρος του Rhind: «Βρες την τιμή που όταν την προσθέσεις στο ¼ του εαυτού της το αποτέλεσμα είναι 15.» (αντίστοιχη εξίσωση x+ (1/4) * x= 15.) Λύση: «έστω ότι η απάντηση είναι 4. Τότε 1 και ¼ του 4 είναι 5. Πολλαπλασίασε το 5 για να βρεις 15. Η απάντηση είναι 3. Πολλαπλασίασε το 3 με το 4. Η απάντηση είναι 12.»
Γραμμικές εξισώσεις και αρχαίοι Αιγύπτιοι x+ (1/4) * x= 15. Έστω x=4. Τότε 4+ 1/4 * 4=5. Αφού 15/5 =3 και 3(4+1/4 *4)=15 έχουμε 12+ 1/4 * 12 =15 H λύση είναι x=12
ΓνώσηΒασικήςΓεωμετρίαςαπόΑιγυπτίουςκαι Βαβυλωνίους Κατά τους Αιγυπτίους το π είναι 256/81 (προκύπτει από τον τετραγωνισμό του κύκλου χρησιμοποιώντας το οκτάγωνο που είναι εγκλεισμένο σε ένα τετράγωνο με πλευρά 9.).
Μεσοποταμία: Πήλινες πλάκες και η Σφηνοειδής γραφή 3000 π.χ. NBC5828
Πλάκα του Plimpton 1700 π.χ.
Αριθμοί στη Βαβυλωνία 1 (και 60) 8 10 30 11 70 ή 1,10
Πράξεις στην Βαβυλωνία Δεν έχουν βρεθεί πίνακες για πρόσθεση. Έχουν βρεθεί πολλοί πίνακες για τον πολλαπλασιασμό: O πίνακας για το a δίνει τα πολλαπλάσια 1x a,, 20 x a, 30 x a, 40 x a, 50 x a Έχουν βρεθεί επίσης πίνακες αντιστρόφων: δηλαδή δυάδες που δίνουν το 60 ή δυνάμεις του 60.
Έτσι η διαίρεση γίνεται χρησιμοποιώντας τους πίνακες πολλαπλασιασμού και τους πίνακες των αντιστρόφων. a b = a 1 b Έχουν βρεθεί πίνακες με τετράγωνα, τετραγωνικές ρίζες, κύβους και κυβικές ρίζες. (Συνήθως ρίζες είναι ρητοί.)
Γραμμικές εξισώσεις και αρχαίοι Βαβυλώνιοι Ένα από δύο χωράφια παράγει 2/3 «κιλού σπόρων» ανά «μονάδα εμβαδού» ενώ το άλλο χωράφι παράγει 1/2 «κιλό σπόρων» ανά «μονάδα εμβαδού» Το πρώτο χωράφι έδωσε 500 κιλά σπόρους περισσότεροαπότοδεύτερο. Τα εμβαδά των δύο χωραφιών ήταν 1800. Πόσο μεγάλα ήταν τα χωράφια? (έστω x, y τα αντίστοιχα εμβαδά.) 2/3 x -1/2 y =500 x+ y = 1800
Γραμμικές εξισώσεις και αρχαίοι Βαβυλώνιοι 2/3 x 1/2 y =500, x+ y = 1800 Λύση: «Έστω ότι x και y ήταν και τα δύο 900. Τότε 2/3* 900 1/2 *900=150. Ηδιαφοράείναι350. Πρόσθεσε στο 300 στο 900 και το x είναι 1200, αφαίρεσε το 300 από το 900 και το y είναι 600.» (Γιατί?) (αν αυξήσουμε κατά μία μονάδα το x και μειώσου κατά μία μονάδα το y τότε η ποσότητα της δεύτερης εξίσωσης (x+1)+ (y 1)=x+y=1800 μένει σταθερή ενώ η ποσότητα της πρώτης εξίσωσης αλλάζει κατά (2/3 (x+1) 1/2( y 1)) (2/3 x 1/2 y )= 2/3+1/2=7/6. Άρα πρέπει να προσθέσουμε στο x, τόσες μονάδες s έτσι ώστε το s να ικανοποιεί την σχέση 7/6 s=350. Άρα s=6/7 350=300. *αναλογία τα των τριών!* )
Υπολογισμός (ακρίβεια έως 5 δεκαδικά) Yale Babylonian collection, 1800 π.χ. 24 51 10 1+ + + = 1.41421296 2 3 60 60 60
Ασκήσεις 1. Να πολλαπλασιάσετε όπως οι αρχαίοι Αιγύπτιοι τους αριθμούς 23 και 32. 2. Να αποδείξετε με επαγωγή ότι κάθε θετικός αριθμός γράφεται ως άθροισμα δυνάμεων του 2. Να ελέγξετε αν αυτό γίνεται με μοναδικό τρόπο. 3. Να λύσετε όπως οι αρχαίοι Αιγύπτιοι την εξίσωση x+2/5 x= 14 4. Να πολλαπλασιάσετε όπως οι Βαβυλώνιοι 30 με 1,35,20 και 25 με 1,04. 5. Να λύσετε όπως οι Βαβυλώνιοι το σύστημα x+2y=1800, 2/3x 1/2y=480.