Μάθηµα 4 Κεφάλαιο: Στατιστική Θεµατικές Ενότητες:. Μέτρα θέσης. Εισαγωγή. Για πιο σύντοµη, αποδοτική και συγκρίσιµη θεώρηση της κατανοµής συχνοτήτων µιας µεταβλητής, έχουµε ορίσει και χρησιµοποιούµε κάποια αριθµητικά µεγέθη τα οποία ονοµάζουµε µέτρα. Έχουµε λοιπόν τα εξής µέτρα: Α. Μέτρα θέσης. Μας δίνουν τη θέση του «κέντρου» των (ποσοτικών) παρατηρήσεων πάνω στον οριζόντιο άξονα. Β. Μέτρα διασποράς ή µέτρα µεταβλητότητας. Μας δίνουν τη διασπορά των (ποσοτικών) παρατηρήσεων, δηλαδή πόσο αυτές «απλώνονται» γύρω από το κέντρο τους. Γ. Μέτρα ασυµµετρίας. Συνήθως εκφράζονται συναρτήσει των µέτρων θέσεων και διασποράς. Μας δίνουν πληροφορίες για τη µορφή της κατανοµής, δηλαδή για το κατά πόσον αυτή είναι συµµετρική - ή όχι - ως προς την ευθεία χ =κ, για ένα δεδοµένο σηµείο (κ, 0) του οριζόντιου άξονα. Α. Μέτρα θέσης Όπως είπαµε, µας δίνουν τη θέση του «κέντρου» των παρατηρήσεων πάνω στον οριζόντιο άξονα. Τα µέτρα θέσης της ύλης µας είναι:. Ο αριθµητικός µέσος ή µέση τιµή. 2. Ο Σταθµικός Μέσος 3. Η διάµεσος. Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, Στατιστική 37
. Αριθµητικός µέσος ή Μέση τιµή ( x ) Ορίζεται ως το κλάσµα που έχει αριθµητή το άθροισµα των παρατηρήσεων και παρονοµαστή το πλήθος των παρατηρήσεων (δηλαδή το µέγεθος του δείγµατος). Απλός Αριθµητικός Μέσος (Μέση Τιµή) Γενικά, αν t, t 2,..., t όλες οι παρατηρήσεις και το πλήθος τους, η µέση τιµή συµβολίζεται x και ισχύει ο επόµενος µαθηµατικός τύπος: t + t +... + t x= 2 t = = t Προσοχή!!! Στον προηγούµενο τύπο, t, t 2,..., t είναι όλες οι παρατηρήσεις του δείγµατος, άσχετα αν κάποιες από αυτές είναι ίσες µεταξύ τους. Στο άθροισµα του t+ t2 +... + t αριθµητή του τύπου x=, αθροίζονται όλες οι παρατηρήσεις. Αν κάποια από αυτές έχει εντοπισθεί στο δείγµα περισσότερες από µία φορές, αθροίζεται στον αριθµητή τόσες φορές, όσες φορές βρέθηκε στο δείγµα. Σε µια κατανοµή συχνοτήτων, αν x, x 2,..., x k είναι οι τιµές µιας µεταβλητής Χ σε ένα δείγµα µεγέθους κ, µε αντίστοιχες (απόλυτες) συχνότητες,,...,, η µέση τιµή προκύπτει ως εξής: 2 k x + x22+... + xk x= + +... + 2 k k k. x k k x x = k = = = όπου f οι σχετικές συχνότητες. = = k x f, Αν οµαδοποιήσουµε τα δεδοµένα µας σε κλάσεις και θεωρήσουµε x το κέντρο της κλάσης και t την αντίστοιχη συχνότητα, τότε η µέση xt τιµή προκύπτει από τον τύπο: x= =. Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, Στατιστική 38
Στα οµαδοποιηµένα δεδοµένα, δουλεύοντας έτσι, (και επειδή οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης µπορεί να µην εκπροσωπούνται επακριβώς από την κεντρική τιµή της κλάσης), χάνουµε λίγο σε ακρίβεια, κερδίζουµε όµως πολύ σε χρόνο... 2. Σταθµικός µέσος Αν οι τιµές µιας µεταβλητής δεν έχουν όλες την ίδια βαρύτητα, τότε τον αριθµητικό µέσο αντικαθιστά ο σταθµισµένος αριθµητικός µέσος ή σταθµικός µέσος. Σταθµικός Μέσος Αν x, x 2,..., x είναι οι τιµές µιας µεταβλητής και w, w 2,..., w αντίστοιχα οι συντελεστές βαρύτητας (συντελεστές στάθµισης), ο σταθµικός µέσος xw + x2w2 +... + xk w προκύπτει από τον τύπο: x= w + w +... + w 2 = = x w w. Προσοχή!!! Κλασσικό παράδειγµα εφαρµογής των πιο πάνω (σταθµικός µέσος), αποτελεί η διαδικασία εξαγωγής του βαθµού («µέσου όρου») µε τον οποίο κάθε απόφοιτος λυκείου διεκδικεί την είσοδό του στα Α.Ε.Ι.!!! Παράδειγµα. Αν 5 είναι ο γενικός βαθµός πρόσβασης (συντελεστής βαρύτητας 0,8), 4 ο βαθµός του ου µαθήµατος αυξηµένης βαρύτητας (συντελεστής βαρύτητας 0,3) και 6 ο βαθµός του 2 ου µαθήµατος αυξηµένης βαρύτητας (συντελεστής βαρύτητας 0,07), τότε η µέση βαθµολογία του συγκεκριµένου υποψηφίου είναι 5 0,8+ 4 0.3+ 6 0.07 4,94 x= = = 4,94 (οπότε ο υποψήφιος 0,8+ 0,3+ 0, 07 συγκεντρώνει 4.940 µόρια). Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, Στατιστική 39
3. ιάµεσος (δ) Έστω ότι έχουµε ένα δείγµα κ παρατηρήσεων, τις οποίες έχουµε διατάξει κατά αύξουσα (ή φθίνουσα) σειρά. Ονοµάζουµε διάµεσο (δ) του δείγµατος:. Τη µεσαία παρατήρηση, αν το κ είναι περιττός. 2. Το µέσο όρο (ηµιάθροισµα) των δυο µεσαίων παρατηρήσεων, αν το κ είναι άρτιος. Προσοχή!!! Αν έχουµε οµαδοποιηµένα δεδοµένα, η διάµεσος θα αντιστοιχεί στην τιµή χ = δ, ώστε το 50% των παρατηρήσεων να είναι µικρότερο από το δ (και το υπόλοιπο 50% µεγαλύτερο από το δ). Η διάµεσος θα έχει αθροιστική συχνότητα F = 50%. Μέθοδος Εύρεσης ιαµέσου σε Οµαδοποιηµένα εδοµένα (Κλάσεις) Κατασκευάζουµε το ιστόγραµµα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων F %. Από το σηµείο του κατακόρυφου άξονα στο οποίο αντιστοιχεί το 50, φέρνουµε παράλληλη στον άξονα χ χ (δηλαδή την ευθεία y= 50% ), µέχρι το σηµείο που αυτή (η, παράλληλη στον χ χ, y= 50) θα κόψει την γραµµή του πολυγώνου αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων %. Από το σηµείο τοµής φέρνουµε την κατακόρυφη (κάθετη στον χ χ) ευθεία χ = δ. Το δ είναι η διάµεσος των παρατηρήσεών µας. Με άλλα λόγια, η διάµεσος είναι η τετµηµένη του σηµείου στο οποίο η ευθεία y= 50 (%) τέµνει τη γραµµή του πολυγώνου των αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων F %. Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, Στατιστική 40
ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΤΡΩΝ ΘΕΣΗΣ ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ Πλεονεκτήµατα Μειονεκτήµατα Για τον υπολογισµό της χρησιµοποιούνται όλες οι τιµές Είναι µοναδική για κάθε σύνολο δεδοµένων Είναι εύκολα κατανοητή Έχει µεγάλη εφαρµογή για περαιτέρω στατιστική ανάλυση Ο υπολογισµός της είναι σχετικά εύκολος ΙΑΜΕΣΟΣ Πλεονεκτήµατα Είναι εύκολα κατανοητή εν επηρεάζεται από τις ακραίες τιµές Ο υπολογισµός της είναι απλός Είναι µοναδική σε κάθε σύνολο δεδοµένων Υπολογίζεται και στην περίπτωση που οι ακραίες κλάσεις είναι ανοικτές Επηρεάζεται πολύ από ακραίες τιµές εν υπολογίζεται για ποιοτικά δεδοµένα Μπορεί να µην αντιστοιχεί σε δυνατή τιµή της µεταβλητής. Π.χ όταν η Χ είναι διακριτή µε ακέραιες τιµές, τότε η µέση τιµή µπορεί να µην είναι ακέραιος Είναι δύσκολος ο υπολογισµός της σε οµαδοποιηµένα δεδοµένα µε ανοικτές τις ακραίες κλάσεις Μειονεκτήµατα εν χρησιµοποιούνται όλες οι τιµές για τον υπολογισµό της Είναι δύσκολη η εφαρµογή της για περαιτέρω στατιστική ανάλυση εν υπολογίζεται για ποιοτικά δεδοµένα Για τον υπολογισµό της µπορεί να χρειαστεί παρεµβολή Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, Στατιστική 4
Λυµένες Ασκήσεις.. Πέντε διαδοχικοί περιττοί αριθµοί έχουν µέση τιµή 5. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Λύση. Έστω x ο πρώτος (ο µικρότερος) αριθµός. Τότε, οι άλλοι 4 θα είναι οι x+ 2, x+ 4, x+ 6, x+ 8. Από υπόθεση έχουµε x= 5, εποµένως θα είναι: x+ ( x+ 2) + ( x+ 4) + ( x+ 6) + ( x+ 8) = 5 5x+ 20= 25 x=. 5 Άρα οι 5 αριθµοί είναι οι,3,5,7,9 και η διάµεσός τους είναι το 5 (η µεσαία παρατήρηση). 2. Ένας µαθητής πήρε σε 5 µαθήµατα τους ακόλουθους βαθµούς: 0,4,8,2,4. a) Να βρεθεί η διάµεσος των 5 βαθµών. b) Να βρεθεί η µέση βαθµολογία του στα 5 µαθήµατα. c) Αν τα µαθήµατα έχουν συντελεστές βαρύτητας µε τιµές,4,2,,4, σε ποια µαθήµατα πρέπει να δώσει ιδιαίτερη σηµασία ο µαθητής; Πώς διαµορφώνεται σε αυτήν την περίπτωση η µέση βαθµολογία του στα 5 µαθήµατα; Λύση. Για να βρούµε τη διάµεσο: Γράφουµε τους 5 βαθµούς σε αύξουσα διάταξη: 0,2,4,4,8. Το πλήθος των παρατηρήσεων είναι περιττός αριθµός, άρα η διάµεσος είναι η µεσαία (3 η ) παρατήρηση, άρα δ=4. Μέση τιµή: 0+ 2+ 4+ 4+ 8 68 x= = = 3,6. 5 5 Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, Στατιστική 42
Αν τα µαθήµατα είχαν συντελεστές βαρύτητας, είναι προφανές ότι ο µαθητής πρέπει να δώσει ιδιαίτερη σηµασία στα µαθήµατα µε τους µεγαλύτερους συντελεστές βαρύτητας. Σε αυτήν την περίπτωση, η µέση βαθµολογία θα διαµορφωθεί ως εξής (σταθµικός µέσος): 0 + 4 4+ 8 2+ 2 + 4 4 70 x= = = 4,7. + 4+ 2+ + 4 2 3. Το µέσο ύψος των 9 παικτών µιας οµάδας µπάσκετ είναι 205 εκ. a) Για να «ψηλώσει» την οµάδα, ο προπονητής παίρνει έναν ακόµα παίκτη, µε ύψος 26 εκ. Ποιο είναι τώρα το µέσο ύψος της οµάδας; b) Αν ο προπονητής θέλει να φτάσει το µέσο ύψος της οµάδας στα 208 εκ., τι ύψος πρέπει να έχει ο 0 ος παίκτης της οµάδας; Λύση. Έστω x, x 2,... τα ύψη των παικτών της οµάδας. Για τους 9 παίκτες της οµάδας έχουµε: 9 x + x2+... + x9 x= = 205 x = 9 205= 845 εκ. 9 α). Μετά τον ερχοµό του 0 ου παίκτη µε ύψος 26 εκ., θα έχουµε: 0 x = 845+ 26= 206εκ. Άρα, το µέσο ύψος της οµάδας τώρα θα είναι: 0 x x + x2+... + x9+ x 0 206 x = = = = 206,εκ. 0 0 0 β). Για να φτάσει το µέσο ύψος της οµάδας στα 208 εκ., θα πρέπει να είναι: 0 x 0 x + x2+... + x9+ x 0 x= = 208 = 208 x = 2080 εκ., οπότε ο 0 ος 0 0 παίκτης που θα έρθει θα πρέπει να έχει ύψος 2080-845=235 εκ.!!! Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, Στατιστική 43
4. Η µέση ηλικία των 8 αγοριών και των 2 κοριτσιών µιας τάξης, είναι 5,4 χρόνια. Αν τα αγόρια έχουν µέση ηλικία 5,8 χρόνια, βρείτε τη µέση ηλικία των κοριτσιών. Λύση. Έστω a, a2,..., a 8 και k, k 2,..., k 2 οι ηλικίες των 8 αγοριών και 2 κοριτσιών αντίστοιχα. 8 2 a + k 8 2 Από υπόθεση έχουµε 5, 4= a + k = 30 5, 4= 462 30 (). a 8 Επίσης από υπόθεση, έχουµε 5,8= a = 8 5,8= 284, 4 (2). 8 Από (), (2) έχουµε ότι 2 των 2 κοριτσιών θα είναι 8 k = 462 284, 4= 77, 6, εποµένως η µέση ηλικία 2 k 77,6 = = = 4,8. 2 2 x = Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, Στατιστική 44
5. Στον επόµενο πίνακα, φαίνονται οι τιµές µιας µεταβλητής µε τις αντίστοιχες συχνότητές τους. x v 2 3 3 4 5 2 6 ; 7 Κάτι έγινε όµως και χάσαµε την 5 η συχνότητα. Βρείτε την, αν γνωρίζετε ότι: a) Η µέση τιµή τους είναι 4,4 b) Η διάµεσος είναι 4,5 Λύση. α) Από υπόθεση έχουµε: 2 + 3 3+ 4 + 5 2+ 6 v + 7 32+ 6 v 4,4 4, 4 + 3+ + 2+ v + 8+ v 5 5 = = 5 5 35,2+ 4,4 v = 32+ 6 v,6 v = 3,2 v = 2 5 5 5 5 β) Από υπόθεση έχουµε ότι δ= 5 + 4. 2 Άρα, το 4 και το 5 θα είναι οι 2 µεσαίες παρατηρήσεις του δείγµατος (το οποίο, προφανώς, θα έχει πλήθος ν περιττό). Μέχρι και το 4 όµως, έχουµε +3+=5 παρατηρήσεις, εποµένως τόσες θα έχουµε και από το 5 και µετά. Άρα θα είναι 2+ v5+ = 5 v5 = 2. Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, Στατιστική 45
6. Η βαθµολογία 50 µαθητών στα µαθηµατικά γενικής παιδείας, κυµαίνεται από 0 µέχρι 20 (κανείς δεν έχει πάρει κάτω από τη βάση και κανείς δεν έχει πάρει 20). Πιο αναλυτικά, γνωρίζουµε ότι πέντε µαθητές έχουν βαθµό κάτω από 2, δεκαπέντε έχουν κάτω από 4, πέντε µεγαλύτερο ή ίσο του 8 και δεκαπέντε µεγαλύτερο ή ίσο του 6. a) Να παραστήσετε τα δεδοµένα σε έναν πίνακα συχνοτήτων. b) Να υπολογίσετε τη µέση τιµή και τη διάµεσο των παρατηρήσεων. c) Εάν στο 5% των µαθητών (αυτούς µε την καλύτερη επίδοση φυσικά) δοθεί έπαινος, από ποιο βαθµό και πάνω πρέπει να έχει κάποιος µαθητής, ώστε να πάρει έπαινο; Λύση. α) Από την εκφώνηση γίνεται σαφές ότι έχουµε δεδοµένα (βαθµούς) οµαδοποιηµένα σε 5 κλάσεις: [0,2), [2,4), [4,6), [6,8) και [8,20). Η κατανοµή συχνοτήτων φαίνεται στον επόµενο πίνακα: Κλάσεις v f N F f % F % [0,2) 5 0, 5 0, 0 0 [2,4) 0 0,2 5 0,3 20 30 [4,6) 20 0,4 35 0,7 40 70 [6,8) 0 0,2 45 0,9 20 90 [8,20) 5 0, 50 0 00 Σύνολο 50 00 β) Για τη µέση τιµή των παρατηρήσεων έχουµε: 5+ 3 0+ 5 20+ 7 0+ 9 5 750 x= = = 5. 50 50 Άρα ο µέσος βαθµός των 50 µαθητών είναι το 5. Για τη διάµεσο των βαθµών, δηµιουργούµε πρώτα το ιστόγραµµα (και από αυτό, το πολύγωνο) των σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων F %. Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, Στατιστική 46
Ιστόγραµµα Σχετικών Αθροιστικών Συχνοτήτων % Σχετικές Αθροιστικές Συχνότητες % 20 00 80 60 40 20 0 30 70 90 00 0 κλάσεις Πάνω στο ιστόγραµµα των αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων %, σχεδιάζουµε το πολύγωνο των αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων, ενώνοντας µε διαδοχικά ευθύγραµµα τµήµατα το σηµείο (0,0) µε το (2,0), µετά µε το (4,30), από εκεί µε το (6,70), µετά µε το (8,90) και, τέλος, µε το (20,00). Αµέσως µετά, σχεδιάζουµε την (οριζόντια, δηλαδή παράλληλη στον άξονα χ χ) ευθεία ψ=50. Η ψ=50 τέµνει την γραµµή του προηγούµενου πολυγώνου και, πιο συγκεκριµένα, τέµνει την πλευρά του που αποτελείται από το ευθύγραµµο τµήµα που ενώνει τα σηµεία (4,30) και (6,70). Η τετµηµένη αυτού του σηµείου τοµής µεταξύ της ψ=50 και της ευθείας που ορίζεται από τα σηµεία (4,30) και (6,70), είναι η διάµεσος των παρατηρήσεων. Εδώ λοιπόν έχουµε δ=5. Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, Στατιστική 47
Προσοχή!!! Για τον εντοπισµό της διαµέσου, δηλαδή για την εύρεση της τετµηµένης του σηµείου τοµής που λέγαµε πιο πάνω, το σχολικό βιβλίο κάνει εκτίµηση («µε το µάτι»). Ωστόσο, µπορείτε να βρείτε ακριβώς την τετµηµένη του σηµείου τοµής άρα και τη διάµεσο βρίσκοντας την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία και βρίσκοντας το σηµείο στο οποίο αυτή τέµνει την ψ=50. Ας το δούµε: Η ευθεία που διέρχεται από τα σηµεία (4,30) και (6,70) έχει συντελεστή y y διεύθυνσης (από τον τύπο λ= 2 ) λ= 70 30 = 40 = 20 και εξίσωση (από x x 6 4 2 2 τον τύπο y y= λ ( x x )) y 30= 20 ( x 4) y= 20 x 250. Αυτή η ευθεία τέµνει την y= 50 στο σηµείο που προκύπτει από τη λύση της εξίσωσης: 20x 250= 50 20x= 300 x= 5 (και προέκυψε η διάµεσος, όχι µε «εκτίµηση», αλλά µε απόλυτη µαθηµατική ακρίβεια ). γ) Από την εκφώνηση, γνωρίζουµε ότι το 5% των (καλύτερων) µαθητών θα πάρει έπαινο. Στον πίνακα συχνοτήτων του ου ερωτήµατος, πάµε στη στήλη των σχετικών συχνοτήτων f % και ξεκινάµε το «ψάξιµο» από την κλάση [8,20) (αφού µιλάµε για τους καλύτερους). Παρατηρούµε ότι στην κλάση [8,20) βρίσκεται το 0% των µαθητών, ενώ έπαινος θα δοθεί µόνο στο 5%, άρα κάποιοι µαθητές της κλάσης «περισσεύουν». Πόσοι; Και τι σηµαίνει αυτό για την ελάχιστη βαθµολογία που πρέπει να έχει κάποιος για να κερδίσει τον έπαινο; Από τη θεωρία γνωρίζουµε ότι µέσα σε κάθε κλάση, µπορούµε να θεωρήσουµε ότι τα δεδοµένα είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένα. Με αυτό το δεδοµένο και αφού µας «περισσεύει» το µισό ποσοστό της κλάσης, µπορούµε να θεωρήσουµε ότι µας «περισσεύουν» οι µισοί µαθητές ή, µε άλλα λόγια, ότι έπαινο θα πάρουν αυτοί που έχουν βαθµό από το µισό της κλάσης και πάνω. Τελικά, έπαινος θα δοθεί σε όσους έχουν βαθµό από 9 και πάνω. Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, Στατιστική 48
Άλυτες Ασκήσεις.. Η µέση τιµή 7 διαδοχικών περιττών αριθµών είναι 9. Βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. 2. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή 5. Βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. 3. Η µέση τιµή και η διάµεσος 5 αριθµών είναι το 6. Οι 3 από αυτούς τους αριθµούς είναι οι 5, 8, 9. Βρείτε τους άλλους δύο. 4. Σε µια κάλπη υπάρχουν άσπρες, µαύρες, κόκκινες και πράσινες µπάλες, σε αναλογία 0%, 20%, 30%, 40% αντίστοιχα. Ξέρουµε ότι κάθε άσπρη µπάλα ζυγίζει 0 γρ., κάθε µαύρη γρ., κάθε κόκκινη 2 γρ. και κάθε πράσινη 3 γρ. Να βρείτε τη µέση τιµή και τη διάµεσο του βάρους για όλες τις µπάλες, αν: a) Γνωρίζετε ότι στην κάλπη υπάρχουν 0 µπάλες. b) Γνωρίζετε ότι στην κάλπη υπάρχουν 20 µπάλες. c) εν γνωρίζετε πόσες µπάλες υπάρχουν στην κάλπη. 5. Μια ποσοτική µεταβλητή παίρνει ως τιµές τους αριθµούς,2,3. Μπορεί η µέση τιµή των παρατηρήσεων να είναι το a. 4; b. ; c. 2; d. 3; 6. Οι αριθµοί χ, χ+2, χ+3, χ+2 έχουν µέση τιµή 2. Να βρείτε το χ. 7. Μια επιχείρηση απασχολεί 5 υπαλλήλους µε µέσο µισθό 800 ευρώ, 6 υπαλλήλους µε µέσο µισθό 900 ευρώ και 4 υπαλλήλους µε µέσο µισθό 000 ευρώ. Να βρείτε το µέσο µισθό όλων των υπαλλήλων της επιχείρησης. 8. Μια οµάδα µπάσκετ, σε 30 αγώνες (5 εντός και 5 εκτός έδρας), είχε κατά µέσο όρο 7 πόντους. Αν εντός έδρας σκοράριζε κατά µέσο όρο 75 πόντους σε κάθε αγώνα, να βρείτε το µέσο σκοράρισµα της οµάδας στους εκτός έδρας αγώνες της. 9. Ένα τµήµα της 3 ης λυκείου, έχει 2 αγόρια. Στα µαθηµατικά γενικής παιδείας, τα αγόρια έχουν µέση βαθµολογία 4,875 ενώ το σύνολο του τµήµατος έχει µέση βαθµολογία 4,5. Πόσα παιδιά έχει το τµήµα; 0. Οι αριθµοί α, β, γ έχουν µέση τιµή 30. Οι α, β έχουν µέση τιµή 4 και οι β, γ έχουν µέση τιµή 8. Ποιοι είναι οι 3 αριθµοί; Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, Στατιστική 49
. Ένας σύλλογος έκανε έρανο για κάποιο φιλανθρωπικό σκοπό. Το 0% των µελών του συλλόγου έδωσε 30 ευρώ, το 50% έδωσε 5 ευρώ και το υπόλοιπο 0 ευρώ. Ποια είναι η µέση συνεισφορά των µελών του συλλόγου; 2. Σε 9 διαδοχικές µετρήσεις της θερµοκρασίας ενός σώµατος, προέκυψαν τα αποτελέσµατα: -, -4, -5, 0, 2, 4, 3, 0, -2 (σε βαθµούς Κελσίου). Βρείτε τη διάµεσο των θερµοκρασιών και τη µέση θερµοκρασία του σώµατος. 3. Μια τάξη έχει 20 µαθητές. Για τους βαθµούς τους στα µαθηµατικά, γνωρίζουµε τα εξής: 5 µαθητές έχουν µέση βαθµολογία 8, 2 µαθητές έχουν µέση βαθµολογία 5 και οι υπόλοιποι έχουν µέσο βαθµό το 2. Ποια είναι η µέση βαθµολογία της τάξης; 4. Ένας µαθητής της 3 ης λυκείου και υποψήφιος για τα Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι., είχε πέρσι τις εξής βαθµολογίες: Προφορικός βαθµός (µέσος όρος 2 Βαθµός πανελλαδικών τετραµήνων ο µάθηµα 9 4 κατεύθυνσης 2 ο µάθηµα 8 6 κατεύθυνσης 3 ο µάθηµα 9 5 κατεύθυνσης 4 ο µάθηµα 20 8 κατεύθυνσης Νέα Ελληνικά 8 3 Μάθηµα επιλογής 20 8 Ο συγκεκριµένος µαθητής στόχευε να περάσει σε µια σχολή η οποία, τελικά, διαµόρφωσε βάση εισαγωγής τα 6.800 µόρια. Κατάφερε ο µαθητής να πετύχει το στόχο του; 5. Το µέσο βάρος των αγοριών µιας τάξης είναι 72 κιλά. a) Αν έρθει ένας καινούργιος µαθητής µε βάρος 75 κιλά, πόσο θα είναι το µέσο βάρος των 2 αγοριών; b) Αν µε έναν καινούργιο µαθητή, το µέσο βάρος γίνει 73 κιλά, ποιο είναι το βάρος του νέου µαθητή; 6. Σε µια οµαδοποίηση δεδοµένων, έχουµε τον επόµενο πίνακα: Κλάσεις Συχνότητα [00,50) 7 [50,200) 5 [200,250) 20 [250,300) 3 [300,350) 5 Κάντε πλήρη πίνακα συχνοτήτων, βρείτε τη µέση τιµή και τη διάµεσο των παρατηρήσεων. Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, Στατιστική 50
7. Σε µια εταιρεία εργάζονται 40 εργαζόµενοι, µε µέση ηλικία τα 38 χρόνια. a) Πώς θα γίνει η µέση ηλικία, αν φύγει ένας εργαζόµενος 29 ετών; b) Πώς θα γίνει η µέση ηλικία, αν έρθει άλλος ένας εργαζόµενος 32 ετών; c) Πώς θα γίνει η µέση ηλικία, αν φύγει ένας εργαζόµενος 29 ετών και έρθει ένας 32 ετών; 8. Ρωτήσαµε 40 µαθητές, πόσες σοκολάτες τρώνε σε ένα µήνα. Τα αποτελέσµατα των απαντήσεών τους, φαίνονται στον επόµενο πίνακα: Σοκολάτες Μαθητές (Συχνότητα) [0,6) 8 [6,2) 5 [2,8) 6 [8,24) 7 [24,30) Να κάνετε πλήρη πίνακα συχνοτήτων και να υπολογίσετε τη µέση τιµή και τη διάµεσο των παρατηρήσεων. 9. Να υπολογίσετε τη µέση τιµή των γωνιών ενός τριγώνου. 20. Το µέσο ύψος των 30 µαθητών και µαθητριών µιας τάξης είναι 70 εκ. Ποιο θα είναι το µέσο ύψος της τάξης, αν: a) Φύγει ένας µαθητής µε ύψος 80 εκ. b) Έρθει µια µαθήτρια µε ύψος 70 εκ. c) Φύγει ένας µαθητής µε ύψος 80 εκ. και έρθει µια µαθήτρια µε ύψος 70 εκ. 2. Οι 3 από τους 5 παίκτες µιας οµάδας µπάσκετ σε έναν αγώνα είχαν ευστοχία 70% στις ελεύθερες βολές και οι άλλοι 2 είχαν ευστοχία 80%. Ποια ήταν η ευστοχία της οµάδας στις ελεύθερες βολές; (Θεωρούµε ότι δεν έγιναν αλλαγές). 22. Ένα ενιαίο λύκειο έχει συνολικά 80 µαθητές. Οι τρεις τάξεις του λυκείου έχουν 72, 68 και 40 µαθητές µε µέσες ηλικίες 4,2 5,8 και 7 χρόνια αντίστοιχα. Βρείτε τη µέση ηλικία όλων των µαθητών του λυκείου. 23. Ο επόµενος πίνακας, δίνει το πλήθος των επισκέψεων 40 µαθητών σε διάφορα µουσεία της Ελλάδας. Πλήθος Επισκέψεων Μαθητές (Συχνότητα) [0,2) 8 [2,4) 2 [4,6) ; [6,8) 6 [8,0) 4 Να υπολογίσετε τη µέση τιµή και τη διάµεσο. Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, Στατιστική 5