Α. ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ - ΙΑΜΕΣΟΣ

ΜΑΘΗΜΑ 17 Κεφάλαιο 4o : Περιγραφική Στατιστική Υποενότητα 4.5: Μέση Τιµή - ιάµεσος Θεµατικές Ενότητες: 1. Μέση Τιµή - ιάµεσος. Α. ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ - ΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Για πιο σύντοµη, αποδοτική και συγκρίσιµη θεώρηση της κατανοµής συχνοτήτων µιας µεταβλητής, έχουµε ορίσει και χρησιµοποιούµε κάποια αριθµητικά µεγέθη τα οποία ονοµάζουµε µέτρα. Τα µέτρα θέσης µας δίνουν τη θέση του «κέντρου» των παρατηρήσεων πάνω στον οριζόντιο άξονα. Τα µέτρα θέσης της ύλης µας είναι: Ο αριθµητικός µέσος ή µέση τιµή. Η διάµεσος. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ ή ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ( x) Ορίζεται ως το κλάσµα που έχει αριθµητή το άθροισµα των παρατηρήσεων και παρονοµαστή το πλήθος των παρατηρήσεων (δηλαδή το µέγεθος του δείγµατος). Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός -185-

Απλός Αριθµητικός Μέσος (Μέση Τιµή) Γενικά, αν x1, x2,..., x n όλες οι παρατηρήσεις και n το πλήθος τους, η µέση τιµή συµβολίζεται x και ισχύει ο επόµενος µαθηµατικός τύπος: x x + x + + x n 1 2... n =. Προσοχή!!! Στον προηγούµενο τύπο, x1, x2,..., xnείναι όλες οι παρατηρήσεις του δείγµατος, άσχετα αν κάποιες από αυτές είναι ίσες µεταξύ τους. Στο x1 + x2 +... + xn άθροισµα του αριθµητή του τύπου x=, αθροίζονται όλες n οι παρατηρήσεις. Αν κάποια από αυτές έχει εντοπισθεί στο δείγµα περισσότερες από µία φορές, αθροίζεται στον αριθµητή τόσες φορές, όσες φορές βρέθηκε στο δείγµα. Σε µια κατανοµή συχνοτήτων, αν x 1, x 2,..., x k είναι οι τιµές µιας µεταβλητής Χ σε ένα δείγµα µεγέθους κ, µε αντίστοιχες (απόλυτες) συχνότητες n, n,...,, η µέση τιµή προκύπτει ως εξής: 1 2 n k x= x1n1 + x2n2+... + xkn n + n +... + n 1 2 k k Αν οµαδοποιήσουµε τα δεδοµένα µας σε κλάσεις και θεωρήσουµε x i το κέντρο της i κλάσης και n i την αντίστοιχη συχνότητα, τότε η µέση τιµή προκύπτει από τον τύπο: x= x1n1 + x2n2+... + xkn n + n +... + n 1 2 k k. Στα οµαδοποιηµένα δεδοµένα, δουλεύοντας έτσι, (και επειδή οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης µπορεί να µην εκπροσωπούνται επακριβώς από την κεντρική τιµή της κλάσης), χάνουµε λίγο σε ακρίβεια, κερδίζουµε όµως πολύ σε χρόνο... Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός -186-

ΙΑΜΕΣΟΣ (δ). Έστω ότι έχουµε ένα δείγµα κ παρατηρήσεων, τις οποίες έχουµε διατάξει κατά αύξουσα (ή φθίνουσα) σειρά. Ονοµάζουµε διάµεσο (δ) του δείγµατος: 1. Τη µεσαία παρατήρηση, αν το κ είναι περιττός. 2. Το µέσο όρο (ηµιάθροισµα) των δυο µεσαίων παρατηρήσεων, αν το κ είναι άρτιος. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Πέντε διαδοχικοί περιττοί αριθµοί έχουν µέση τιµή 5. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Έστω x ο πρώτος (ο µικρότερος) αριθµός. Τότε, οι άλλοι 4 θα είναι οι x+ 2, x+ 4, x+ 6, x+ 8. Από υπόθεση έχουµε x= 5, εποµένως θα είναι: x+ ( x+ 2) + ( x+ 4) + ( x+ 6) + ( x+ 8) = 5 5x+ 20= 25 x= 1. 5 Άρα οι 5 αριθµοί είναι οι 1,3,5,7,9 και η διάµεσός τους είναι το 5 (η µεσαία παρατήρηση). Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός -187-

2. Ένας µαθητής πήρε σε 5 µαθήµατα τους ακόλουθους βαθµούς: 10,14,18,12,14. a) Να βρεθεί η διάµεσος των 5 βαθµών. b) Να βρεθεί η µέση βαθµολογία του στα 5 µαθήµατα. Για να βρούµε τη διάµεσο: Γράφουµε τους 5 βαθµούς σε αύξουσα διάταξη: 10,12,14,14,18. Το πλήθος των παρατηρήσεων είναι περιττός αριθµός, άρα η διάµεσος είναι η µεσαία (3 η ) παρατήρηση, άρα δ=14. Μέση τιµή: 10+ 12+ 14+ 14+ 18 68 x= = = 13,6. 5 5 3. Το µέσο ύψος των 9 παικτών µιας οµάδας µπάσκετ είναι 205 εκ. a) Για να «ψηλώσει» την οµάδα, ο προπονητής παίρνει έναν ακόµα παίκτη, µε ύψος 216 εκ. Ποιο είναι τώρα το µέσο ύψος της οµάδας; b) Αν ο προπονητής θέλει να φτάσει το µέσο ύψος της οµάδας στα 208 εκ., τι ύψος πρέπει να έχει ο 10 ος παίκτης της οµάδας; Έστω x 1, x 2,... τα ύψη των παικτών της οµάδας. Για τους 9 παίκτες της οµάδας έχουµε: x + x +... + x = = 205 + +... + = 9 205= 1845 εκ. 9 1 2 9 x x1 x2 x9 Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός -188-

α) Μετά τον ερχοµό του 10 ου παίκτη µε ύψος 216 εκ., θα έχουµε: x + x +... + x + x = 1845+ 216= 2061 εκ. 1 2 9 10 Άρα, το µέσο ύψος της οµάδας τώρα θα είναι: x x + x +... + x + x 2061 206,1 10 10 1 2 9 10 = = = εκ. β) Για να φτάσει το µέσο ύψος της οµάδας στα 208 εκ., θα πρέπει να είναι: x1 + x2+... + x9+ x10 x= = 208 x1+ x2+... + x9+ x10 = 2080 εκ., οπότε ο 10 ος παίκτης 10 που θα έρθει θα πρέπει να έχει ύψος 2080-1845=235 εκ.!!! 4. Η µέση ηλικία των 18 αγοριών και των 12 κοριτσιών µιας τάξης, είναι 15,4 χρόνια. Αν τα αγόρια έχουν µέση ηλικία 15,8 χρόνια, βρείτε τη µέση ηλικία των κοριτσιών. Έστω a 1, a 2,..., a 18 και k 1, k 2,..., k 12 οι ηλικίες των 18 αγοριών και 12 κοριτσιών αντίστοιχα. Από υπόθεση έχουµε a + a +... + a + k + k +... + k 30 a a a k k k 1 2 18 1 2 12 15, 4 = 1+ 2+... + 18+ 1+ 2+... + 12 = 30 15,4= 462 (1) Επίσης από υπόθεση, έχουµε: a + a +... + a = a + a + + a = = (2). 18 1 2 18 15,8 1 2... 18 18 15,8 284, 4 Από (1), (2) έχουµε ότι k 1 + k 2 +... + k 12 = 462 284, 4= 177, 6, εποµένως η µέση k1+ k2+... + k12 177,6 ηλικία των 12 κοριτσιών θα είναι x= = = 14,8. 12 12 Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός -189-

5. Στον επόµενο πίνακα, φαίνονται οι τιµές µιας µεταβλητής µε τις αντίστοιχες συχνότητές τους. x i v i 2 1 3 3 4 1 5 2 6 ; 7 1 Κάτι έγινε όµως και χάσαµε την 5 η συχνότητα. Βρείτε την, αν γνωρίζετε ότι: a) Η µέση τιµή τους είναι 4,4 b) Η διάµεσος είναι 4,5 α) Από υπόθεση έχουµε: 2 1+ 3 3+ 4 1+ 5 2+ 6 v + 7 1 32+ 6 v 4,4 4, 4 1+ 3+ 1+ 2+ v + 1 8+ v 5 5 = = 5 5 35,2+ 4,4 v = 32+ 6 v 1,6 v = 3,2 v = 2 5 5 5 5 β) Από υπόθεση έχουµε ότι δ= 5 + 4. 2 Άρα, το 4 και το 5 θα είναι οι 2 µεσαίες παρατηρήσεις του δείγµατος (το οποίο, προφανώς, θα έχει πλήθος ν περιττό). Μέχρι και το 4 όµως, έχουµε 1+3+1=5 παρατηρήσεις, εποµένως τόσες θα έχουµε και από το 5 και µετά. Άρα θα είναι 2+ v5+ 1= 5 v5 = 2. Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός -190-

6. Η βαθµολογία 50 µαθητών στα µαθηµατικά γενικής παιδείας, κυµαίνεται από 10 µέχρι 20 (κανείς δεν έχει πάρει κάτω από τη βάση και κανείς δεν έχει πάρει 20). Πιο αναλυτικά, γνωρίζουµε ότι πέντε µαθητές έχουν βαθµό κάτω από 12, δεκαπέντε έχουν κάτω από 14, πέντε µεγαλύτερο ή ίσο του 18 και δεκαπέντε µεγαλύτερο ή ίσο του 16. a) Να παραστήσετε τα δεδοµένα σε έναν πίνακα συχνοτήτων. b) Να υπολογίσετε τη µέση τιµή των παρατηρήσεων. c) Εάν στο 5% των µαθητών (αυτούς µε την καλύτερη επίδοση φυσικά) δοθεί έπαινος, από ποιο βαθµό και πάνω πρέπει να έχει κάποιος µαθητής, ώστε να πάρει έπαινο; α) Από την εκφώνηση γίνεται σαφές ότι έχουµε δεδοµένα (βαθµούς) οµαδοποιηµένα σε 5 κλάσεις: 10-12, 12-14, 14-16, 16-18 και 18-20. Η κατανοµή συχνοτήτων φαίνεται στον επόµενο πίνακα: Κλάσεις Κεντρικές Τιµές v i f i Κλάσεων 10-12 11 5 0,1 12-14 13 10 0,2 14-16 15 20 0,4 16-18 17 10 0,2 18-20 19 5 0,1 Σύνολο 50 1 β) Για τη µέση τιµή των παρατηρήσεων έχουµε: 11 5+ 13 10+ 15 20+ 17 10+ 19 5 750 x= = = 15. 50 50 Άρα ο µέσος βαθµός των 50 µαθητών είναι το 15. Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός -191-

γ) Από την εκφώνηση, γνωρίζουµε ότι το 5% των (καλύτερων) µαθητών θα πάρει έπαινο. Στον πίνακα συχνοτήτων του 1 ου ερωτήµατος, πάµε στη στήλη των σχετικών συχνοτήτων f i % και ξεκινάµε το «ψάξιµο» από την κλάση [18,20) (αφού µιλάµε για τους καλύτερους). Παρατηρούµε ότι στην κλάση [18,20) βρίσκεται το 10% των µαθητών, ενώ έπαινος θα δοθεί µόνο στο 5%, άρα κάποιοι µαθητές της κλάσης «περισσεύουν». Πόσοι; Και τι σηµαίνει αυτό για την ελάχιστη βαθµολογία που πρέπει να έχει κάποιος για να κερδίσει τον έπαινο; Από τη θεωρία γνωρίζουµε ότι µέσα σε κάθε κλάση, µπορούµε να θεωρήσουµε ότι τα δεδοµένα είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένα. Με αυτό το δεδοµένο και αφού µας «περισσεύει» το µισό ποσοστό της κλάσης, µπορούµε να θεωρήσουµε ότι µας «περισσεύουν» οι µισοί µαθητές ή, µε άλλα λόγια, ότι έπαινο θα πάρουν αυτοί που έχουν βαθµό από το µισό της κλάσης και πάνω. Τελικά, έπαινος θα δοθεί σε όσους έχουν βαθµό από 19 και πάνω. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Η µέση τιµή 7 διαδοχικών περιττών αριθµών είναι 19. Βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. 2. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή 15. Βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. 3. Η µέση τιµή και η διάµεσος 5 αριθµών είναι το 6. Οι 3 από αυτούς τους αριθµούς είναι οι 5, 8, 9. Βρείτε τους άλλους δύο. a) γνωρίζετε πόσες µπάλες υπάρχουν στην κάλπη. 4. Μια ποσοτική µεταβλητή παίρνει ως τιµές τους αριθµούς 1,2,3. Μπορεί η µέση τιµή των παρατηρήσεων να είναι το a. 4; b. 1; c. 2; d. 3; Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός -192-

5. Οι αριθµοί χ, χ+2, χ+3, χ+12 έχουν µέση τιµή 12. Να βρείτε το χ. 6. Μια επιχείρηση απασχολεί 5 υπαλλήλους µε µέσο µισθό 800 ευρώ, 6 υπαλλήλους µε µέσο µισθό 900 ευρώ και 4 υπαλλήλους µε µέσο µισθό 1000 ευρώ. Να βρείτε το µέσο µισθό όλων των υπαλλήλων της επιχείρησης. 7. Μια οµάδα µπάσκετ, σε 30 αγώνες (15 εντός και 15 εκτός έδρας), είχε κατά µέσο όρο 71 πόντους. Αν εντός έδρας σκοράριζε κατά µέσο όρο 75 πόντους σε κάθε αγώνα, να βρείτε το µέσο σκοράρισµα της οµάδας στους εκτός έδρας αγώνες της. 8. Ένα τµήµα της 3 ης λυκείου, έχει 12 αγόρια. Στα µαθηµατικά γενικής παιδείας, τα αγόρια έχουν µέση βαθµολογία 14,875 ενώ το σύνολο του τµήµατος έχει µέση βαθµολογία 14,5. Πόσα παιδιά έχει το τµήµα; 9. Οι αριθµοί α, β, γ έχουν µέση τιµή 30. Οι α, β έχουν µέση τιµή 14 και οι β, γ έχουν µέση τιµή 18. Ποιοι είναι οι 3 αριθµοί; 10. Ένας σύλλογος έκανε έρανο για κάποιο φιλανθρωπικό σκοπό. Το 10% των µελών του συλλόγου έδωσε 30 ευρώ, το 50% έδωσε 15 ευρώ και το υπόλοιπο 10 ευρώ. Ποια είναι η µέση συνεισφορά των µελών του συλλόγου; 11. Σε 9 διαδοχικές µετρήσεις της θερµοκρασίας ενός σώµατος, προέκυψαν τα αποτελέσµατα: -1, -4, -5, 0, 2, 4, 3, 0, -2 (σε βαθµούς Κελσίου). Βρείτε τη διάµεσο των θερµοκρασιών και τη µέση θερµοκρασία του σώµατος. 12. Μια τάξη έχει 20 µαθητές. Για τους βαθµούς τους στα µαθηµατικά, γνωρίζουµε τα εξής: 5 µαθητές έχουν µέση βαθµολογία 18, 12 µαθητές έχουν µέση βαθµολογία 15 και οι υπόλοιποι έχουν µέσο βαθµό το 12. Ποια είναι η µέση βαθµολογία της τάξης; 13. Το µέσο βάρος των 11 αγοριών µιας τάξης είναι 72 κιλά. a) Αν έρθει ένας καινούργιος µαθητής µε βάρος 75 κιλά, πόσο θα είναι το µέσο βάρος των 12 αγοριών; b) Αν µε έναν καινούργιο µαθητή, το µέσο βάρος γίνει 73 κιλά, ποιο είναι το βάρος του νέου µαθητή; Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός -193-

14. Σε µια οµαδοποίηση δεδοµένων, έχουµε τον επόµενο πίνακα: Κλάσεις Συχνότητα 100-150 7 150-200 5 200-250 20 250-300 3 300-350 15 Κάντε πλήρη πίνακα συχνοτήτων και να βρείτε τη µέση τιµή των παρατηρήσεων. 15. Σε µια εταιρεία εργάζονται 40 εργαζόµενοι, µε µέση ηλικία τα 38 χρόνια. a) Πώς θα γίνει η µέση ηλικία, αν φύγει ένας εργαζόµενος 29 ετών; b) Πώς θα γίνει η µέση ηλικία, αν έρθει άλλος ένας εργαζόµενος 32 ετών; c) Πώς θα γίνει η µέση ηλικία, αν φύγει ένας εργαζόµενος 29 ετών και έρθει ένας 32 ετών; 16. Ρωτήσαµε 40 µαθητές, πόσες σοκολάτες τρώνε σε ένα µήνα. Τα αποτελέσµατα των απαντήσεών τους, φαίνονται στον επόµενο πίνακα: Σοκολάτες Μαθητές (Συχνότητα) 0-6 8 6-12 15 12-18 6 18-24 7 24-30 Να κάνετε πλήρη πίνακα συχνοτήτων και να υπολογίσετε τη µέση τιµή των παρατηρήσεων. 17. Να υπολογίσετε τη µέση τιµή των γωνιών ενός τριγώνου. 18. Το µέσο ύψος των 30 µαθητών και µαθητριών µιας τάξης είναι 170 εκ. Ποιο θα είναι το µέσο ύψος της τάξης, αν: a) Φύγει ένας µαθητής µε ύψος 180 εκ. b) Έρθει µια µαθήτρια µε ύψος 170 εκ. c) Φύγει ένας µαθητής µε ύψος 180 εκ. και έρθει µια µαθήτρια µε ύψος 170 εκ. 19. Ένα ενιαίο λύκειο έχει συνολικά 180 µαθητές. Οι τρεις τάξεις του λυκείου έχουν 72, 68 και 40 µαθητές µε µέσες ηλικίες 14,2 15,8 και 17 χρόνια αντίστοιχα. Βρείτε τη µέση ηλικία όλων των µαθητών του λυκείου. Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός -194-

20. Ο επόµενος πίνακας, δίνει το πλήθος των επισκέψεων 40 µαθητών σε διάφορα µουσεία της Ελλάδας. Πλήθος Επισκέψεων Μαθητές (Συχνότητα) 0-2 8 2-4 12 4-6 ; 6-8 6 8-10 4 Να υπολογίσετε τη µέση τιµή των παρατηρήσεων. Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός -195-