ΔΠΑΝΑΛΖΠΣΗΚΟ ΓΗΑΓΧΝΗΜΑ Γ' ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (ζε όλη ηην ύλη) ΘΔΜΑ Α Α. Έζησ ζπλάξηεζε νξηζκέλε ζην, ΓΗΑΡΚΔΗΑ ΔΞΔΣΑΖ: ΧΡΔ α) Πόηε ε είλαη ζπλερήο ζην, ; (Μνλάδεο ) β) Να δηαηππώζεηε ην Θεώξεκα Δλδηάκεζσλ Τηκώλ γηα ηελ (Μνλάδεο ) Α. Να απνδείμεηε όηη αλ νη ζπλαξηήζεηο, g είλαη παξαγσγίζηκεο ζην, ηόηε θαη ε ζπλάξηεζε g είλαη παξαγσγίζηκε ζην θαη ηζρύεη: g g (Μνλάδεο 7) Α. Έζησ κία ζπλερήο ζπλάξηεζε ζε έλα δηάζηεκα Γ ε νπνία παξνπζηάδεη θξίζηκα ζεκεία. Θεσξήζηε ηνλ παξαθάησ ηζρπξηζκό: «Δεν είναι όλα τα κρίσιμα σημεία θέσεις τοπικών ακροτάτων της» α) Να ραξαθηεξίζεηε ηνλ παξαπάλσ ηζρπξηζκό γξάθνληαο ζην ηεηξάδηό ζαο ην γξάκκα Α, αλ είλαη αιεζήο, ή ην γξάκκα Φ, αλ είλαη ςεπδήο (Μνλάδεο ) β) Να αηηηνινγήζεηε ηελ απάληεζή ζαο ζην εξώηεκα α). (Μνλάδεο ) Α. Σην παξαθάησ ζρήκα δίλεηαη ε γξαθηθή παξάζηαζε κηαο παξαγσγίζηκεο ζπλάξηεζεο : R R. Με βάζε ην ζρήκα λα ραξαθηεξίζεηε κε αλ είλαη ζσζηή ή κε Λ αλ είλαη ιαλζαζκέλε θάζε κία από ηηο παξαθάησ πξνηάζεηο (Μνλάδεο ) i. Η είλαη ζπλάξηεζε "-" ζην πεδίν iii. Η ' είλαη γλεζίσο αύμνπζα ζην ii. νξηζκνύ ηεο lim ( ), iv. lim v. Η έρεη νιηθό κέγηζην Σειίδα /
ΘΔΜΑ Β Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε ( )=,, > Β. α) Να δείμεηε όηη γηα ηελ ζπλάξηεζε ηζρύνπλ νη πξνππνζέζεηο ηνπ Θεσξήκαηνο Μέζεο Τηκήο ζην δηάζηεκα, (Μνλάδεο 6) β) Να βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ, γηα ηηο νπνίεο ηζρύεη 5 (Μνλάδεο ) Β. Να κειεηήζεηε ηε ζπλάξηεζε σο πξνο ηε κνλνηνλία, ηα αθξόηαηα, ηελ θπξηόηεηα θαη ηα ζεκεία θακπήο. (Μνλάδεο 6) Β. Να θάλεηε ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο θαη λα εξκελεύζεηε γεσκεηξηθά ην Β εξώηεκα. (Μνλάδεο 5) Β. Να ππνινγηζηεί ην όξην: lim (Μνλάδεο ) ΘΔΜΑ Γ Γίλεηαη ε παξαγσγίζηκε ζπλάξηεζε κε D =, ηεο νπνίαο ε γξαθηθή παξάζηαζε δηέξρεηαη από ην ζεκείν Α(, ) θαη ε θιίζε ηεο ζην ζεκείν, ( ) είλαη e. Γ. Να δείμεηε όηη ( ) = e γηα θάζε, θαη λα βξείηε ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο. (Μνλάδεο 7) Γ. Έλα ζεκείν Κ θηλείηαη πάλσ ζηε C γηα θαη ε πξνβνιή ηνπ ζηνλ άμνλα ' έρεη ηαρύηεηα cm/sec. Να βξείηε ηελ ηαρύηεηα ηεο πξνβνιήο ηνπ ζηνλ άμνλα y'y ηε ρξνληθή ζηηγκή πνπ ην ζεκείν βξίζθεηαη ζηε ζέζε,. (Μνλάδεο ) Γ. α) Να βξείηε ηηο θαηαθόξπθεο αζύκπησηεο ηεο ζπλάξηεζεο g. (Μνλάδεο 5) β) Να δείμεηε όηη ε εμίζσζε g έρεη δύν αθξηβώο ιύζεηο, κε θαη,. (Μνλάδεο 5) Σειίδα /
γ) Να ππνινγίζεηε ην νινθιήξσκα: ' g d (Μνλάδεο ) ΘΔΜΑ Γ Έζησ ε δύν θνξέο παξαγσγίζηκε ζπλάξηεζε : R R ηζρύνπλ ηα εμήο: κε ζπλερή δεύηεξε παξάγσγν γηα ηελ νπνία '' γηα θάζε R 8 lim ln 8 Να απνδείμεηε όηη: Γ. (Μνλάδεο 6) Γ. ε είλαη θνίιε γηα θάζε R (Μνλάδεο ) Γ. ε παξνπζηάδεη νιηθό κέγηζην ζην, (Μνλάδεο ) Γ. Η εμίζσζε 5 έρεη κνλαδηθή ιύζε ηελ - (Μνλάδεο ) Γ5. α) lim, β) d e (Μνλάδεο 7) Καλή Δπιηυχία! Σειίδα /
ΔΝΓΔΗΚΣΗΚΔ ΛΤΔΗ ΓΗΑΓΧΝΗΜΑΣΟ ΠΡΟΟΜΟΗΧΖ 8 ΘΔΜΑ Α Α. α) Σρ. Βηβιίν.8 β) Σρ. Βηβιίν.8 Α. Σρ. Βηβιίν. Α. α) Αιεζήο β) Η αηηηνιόγεζε ζην α) εξώηεκα γίλεηαη κε αληηπαξάδεηγκα: Πρ γηα ηελ ζπλάξηεζε έρνπκε θαη (θξίζηκν ζεκείν). Όκσο γηα θάζε R, άξα ε είλαη γλεζίσο αύμνπζα θαη δελ παξνπζηάδεη αθξόηαην ζην Α. i) Λ ii) Λ iii) Σ iv) Λ v) Σ ΘΔΜΑ Β Τν πεδίν νξηζκνύ ηεο είλαη όιν ην R Β. α) Η είλαη ζπλερήο ζην, σο πνιπσλπκηθή, νκνίσο θαη ζην,. Δπεηδή, lim lim θαη lim lim ζπλερήο ζην, R, ε είλαη. Από ηα παξαπάλσ έρνπκε όηη ε είλαη ζπλερήο ζην R άξα θαη ζην Η είλαη παξαγσγίζηκε ζην, σο πνιπσλπκηθή κε. Η είλαη παξαγσγίζηκε ζην, σο πνιπσλπκηθή κε. Δπεηδή lim lim lim θαη lim lim lim ζπκπεξαίλνπκε όηη ε είλαη παξαγσγίζηκε ζην R άξα θαη ζην από ηα παξαπάλσ lim, R Οπόηε ε είλαη ζπλερήο θαη παξαγσγίζηκε ζην, R, νπόηε ηζρύεη ην Θ.Μ.Τ. ζην, β) Αθνύ γηα ηελ ηζρύεη ην Θ.Μ.Τ. ζην,, ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ, ηέηνην ώζηε 6 5 5 Όκσο ηζρύεη γηα θάζε,, Σειίδα /
Δλώ γηα, είλαη: ή Οπόηε ην Θ.Μ.Τ. ηθαλνπνηείηαη γηα, Β. Γηα θάζε, είλαη άξα ε είλαη γλεζίσο αύμνπζα, ελώ γηα, είλαη,, θαη,. Έηζη έρνπκε ηνλ παξαθάησ πίλαθα κνλνηνλίαο: - - + + + + Άξα ε σο ζπλερήο είλαη γλεζίσο αύμνπζα ζην,, γλεζίσο θζίλνπζα ζην, 9, γλεζίσο αύμνπζα ζην θαη ηνπηθό ειάρηζην γηα, ην θαη παξνπζηάδεη ηνπηθό κέγηζην γηα 9 ην Γηα θάζε, ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο είλαη επζεία ( δελ παξνπζηάδεη θπξηόηεηα), ελώ γηα, είλαη '' 6. Έηζη έρνπκε ηνλ παξαθάησ πίλαθα: - - + '' '' 6 + επζεία Άξα ε σο ζπλερήο είλαη θνίιε ζην,, θπξηή ζην, θαη παξνπζηάδεη ζεκείν θακπήο γηα ην, αθνύ γηα ηελ νξίδεηαη εθαπηνκέλε ζην, Σειίδα 5/
Β. Ο πίλαθαο κεηαβνιώλ ηεο ζύκθσλα κε ην Β εξώηεκα έρεη σο εμήο: + + + + + επζεία Κάζε εθαπηόκελε επζεία ζηε C ζηα ζεκεία, κε, είλαη παξάιιειε ζηε ρνξδή πνπ νξίδνπλ ηα ζεκεία K,,, 6 ηεο C. Σην δηάζηεκα, ε εθαπηόκελε είλαη ε ίδηα ε C, ελώ ζην, ε εθαπηόκελε ζην ζεκείν Γ(,) είλαη παξάιιειε ζηελ ΚΛ. Σειίδα 6/
Ηδιαίηερη προζοχή θέλει να δειχθεί ζηη γραθική παράζηαζη όηι η είναι παραγωγίζιμη ζηο - Β. Δπεηδή ηόηε γηα ηελ ζα ρξεζηκνπνηήζνπκε ζηνλ ππνινγηζκό ηνπ νξίνπ ηνλ δεύηεξν θιάδν. Δίλαη: lim lim lim lim ΘΔΜΑ Γ Γ. Αθνύ ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο δηέξρεηαη από ην ζεκείν Α(, ) ηόηε: () Δπεηδή ε θιίζε ηεο ζην ζεκείν, ( ) είλαη e ηόηε: e Δίλαη: () e e e e e e c () () () e c c c () Οπόηε: () e e (5) Γηα ην ζύλνιν ηηκώλ ε είλαη παξαγσγίζηκε άξα θαη ζπλερήο γηα θάζε, 5 () e e e, e (γηα κνλαδηθή ιύζε ε είλαη αδύλαηε) Από ηηο γξαθηθέο παξαζηάζεηο ηνπ εκ θαη ζπλ είλαη: e, e, Έηζη έρνπκε ηνλ παξαθάησ πίλαθα γηα ηελ + Σειίδα 7/
Άξα ε σο ζπλερήο είλαη γλεζίσο αύμνπζα ζην, ζην, κέγηζην γηα Γ., γλεζίσο θζίλνπζα, θαη παξνπζηάδεη νιηθό ην e θαη ειάρηζην γηα θαη ην. Οπόηε ζύλνιν ηηκώλ ην, e θ ίλ ε ζ ε y e y t t e t Τν ζεκείν Κ θηλείηαη πάλσ ζηε C γηα νπόηε είλαη () Η πξνβνιή ηνπ ζηνλ άμνλα ' έρεη ηαρύηεηα cm/sec, άξα t c m / s e c ε νπνία ηζρύεη θαη γηα ηε ρξνληθή ζηηγκή t t, δειαδή / t c m s e c Να βξείηε ηελ ηαρύηεηα ηεο πξνβνιήο ηνπ ζηνλ άμνλα y'y, δειαδή ην y t () t y ' t e t ' t t y ' t e t e t t t y ' t e t t e t t t= t * t t y ' t e t t e t t * y t n e e y t c m / s e c * Τε ρξνληθή ζηηγκή t t ηζρύνπλ: / t c m s e c t Γ. α) Η ζπλάξηεζε g έρεη πεδίν νξηζκνύ ην Β= D D, Άξα αλαδεηνύκε θαηαθόξπθεο αζύκπησηεο όηαλ θαη lim lim lim e g δηόηη: lim θαη θνληά ζην γηα. Οπόηε ε επζεία θαηαθόξπθε αζύκπησηε ηεο C g lim lim lim e g δηόηη: lim θαη θνληά ζην γηα Σειίδα 8/
Οπόηε ε επζεία θαηαθόξπθε αζύκπησηε C g β) Αλαδεηνύκε ιύζεηο ηεο εμίζσζεο g γηα, g, () Η ηηκή αλήθεη ζην, e ην νπνίν είλαη ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο αθνύ: e e e e ην νπνίν ηζρύεη αθνύ e Πξνθαλήο ιύζε ηεο () ζην,, Άξα. είλαη ε θαη είλαη κνλαδηθή αθνύ γλεζίσο αύμνπζα ζην Αθνύ, e γλεζίσο θζίλνπζα ζην, ππάξρεη,, ηέηνην ώζηε θαη είλαη κνλαδηθή αθνύ Άξα ε εμίζσζε g έρεη δύν αθξηβώο ιύζεηο, κε θαη, ' γ) ' g d = ΘΔΜΑ Γ ' ' d d = ln d = ln ln ln ln ln e ln ln e ln () () '' γηα θάζε R () Σειίδα 9/
8 lim ln 8 () Γ. Έζησ ζπλάξηεζε g = 8, κε lim g ln 8. Τόηε: g 8 g 8 (*)θαη g = ln 8 θη επεηδή ε είλαη lim lim 8 παξαγσγίζηκε ζα είλαη θαη ζπλερήο, άξα lim lim lim g 8 8 lim g = δηόηη: θαη lim g ln 8 ' D L H 8 8 ln 8 8 lim lim lim ' ln 8 Γ. Η ζπλάξηεζε είλαη ζπλερήο ζην R θαη ηζρύεη γηα θάζε ζηαζεξό πξόζεκν θαη ε ζα είλαη θπξηή ή θνίιε. R, νπόηε δηαηεξεί Ιζρύεη ην Θ.Μ.Τ. ζην δηάζηεκα, γηα ηελ, άξα ππάξρεη, ηέηνην ώζηε: κε, άξα γλεζίσο θζίλνπζα νπόηε ε είλαη θνίιε γηα θάζε R Γ. Γηα ηελ ηζρύεη ην Θ. Rlle ζην δηάζηεκα, αθνύ, άξα ππάξρεη ηέηνην ώζηε. Όκσο γλεζίσο θζίλνπζα:, Γηα: Όπσο θαίλεηαη από ην δηπιαλό πίλαθα ε παξνπζηάδεη νιηθό κέγηζην ζην, + Γ. Η εμίζσζε εθαπηνκέλεο ηεο C ζην είλαη: Δπεηδή ε είλαη θνίιε γηα θάζε ην ζεκείν επαθήο. Γειαδή γηα R ζα ηζρύεη 5 y y 5 κε ηελ ηζόηεηα λα ηζρύεη κόλν γηα. Άξα ε εμίζσζε έρεη κνλαδηθή ιύζε Σειίδα /
ΥΟΛΗΟ Μπνξνύκε λα εξγαζηνύκε θαη αιιηώο ζεσξώληαο ηελ βνεζεηηθή ζπλάξηεζε g 5 Γ5. α) Δπεηδή 5 θαη lim 5 ηόηε θαη lim β) Ιζρύεη 5 d 5 d () Όκσο ln. Έρνπκε e e e κε ηελ ηζόηεηα λα ηζρύεη κόλν γηα 5 e + 5 d e d e e e () (), () d e Σειίδα /