Εραστήριο Ανώτερης Γεωδαισίας Μάθηµα 7ου Εξαµήνου (Ακαδ. Έτος 07-8) «Εισαωή στο Γήινο Πεδίο Βαρύτητας» ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ... ΕΞΑΜΗΝΟ... Ηµεροµηνία Παράδοσης : 8//09 ΑΣΚΗΣΗ 5 Σκοπός: Η παρούσα πρακτική εξάσκηση αποσκοπεί στην εξοικείωση σας Με κατάλληλα εραλεία ια τον υπολοισµό βασικών παραµέτρων του πεδίου βαρύτητας από µοντέλα του ήινου δυναµικού εκφρασµένα από αριθµοσειρές σφαιρικών αρµονικών συντελεστών. Με τις συναρτήσεις που περιράφουν το κανονικό πεδίο βαρύτητας και µε τους αντίστοιχους υπολοισµούς χαρακτηριστικών παραµέτρων ια την κανονική βαρύτητα και το χωροσταθµικό ελλειψοειδές. Μέρος Α (Online εραλεία) Για το συκεκριµένο µέρος της ερασίας θα χρειαστείτε τα δύο τελευταία ψηφία x, y του αριθµού µητρώου σας, τον οποίον θα πρέπει και να αναφέρετε στην άσκηση που θα παραδώσετε. Π.χ. αν ο ΑΜ σας είναι 6087, σηµειώστε τα ψηφία x = και y = 7. Αν τα x και y είναι ίδια, αυξήστε ή ελαττώστε ένα από τα δύο κατά µια µονάδα. Χρησιµοποιώντας τα online εραλεία (Calclation Service) της Γεωδαιτικής Υπηρεσίας ICGEM (International Centre for Global Earth Models - http://icgem.gfz-potsdam.de/home ) ια τον υπολοισµό διαφόρων παραµέτρων του ήινου πεδίου βαρύτητας ζητείται να υπολοιστούν τα ακόλουθα, ια κάθε ένα από τα µοντέλα SE (5), GEMT0B(6), OSU89B(60), EIGEN-6C (40), και ως ελλειψοειδές αναφοράς το GRS80. Οι τιµές στις παρενθέσεις µετά τα ονόµατα των µοντέλων υποδηλώνουν το µέιστο βαθµό του αναπτύµατος του µοντέλου σε σφαιρικές αρµονικές συναρτήσεις. Για τους υπολοισµούς επιλέξτε ια τις παλίρροιες το µοντέλο Mean Tide : Ενδεικτικό προφίλ κατά µήκος µεσηµβρινού (λ=σταθερό) Ενδεικτικό προφίλ κατά µήκος παραλλήλου (φ=σταθερό) () Υπολοίστε τα υψόµετρα του εωειδούς Ν στα σηµεία ανά δφ = 0 κατά µήκος ενός προφίλ από φ=x ο έως φ=4y ο (π.χ. αν έχετε x=, y=7, θα έχετε σηµεία στο προφίλ από φ= ο έως από φ=47 ο ), στους µεσηµβρινούς που διέρχονται αντίστοιχα από τα λ = x ο, x ο, y ο και 5y ο (π.χ. αν έχετε x=, y=7, θα έχετε λ= ο, ο, 7 ο και 57 ο ). ηλαδή θα υπολοίσετε τέσσερα προφίλ σηµείων κατά µήκος των αντίστοιχων µεσηµβρινών. Για κάθε ένα από τα εν λόω προφίλ σηµείων, µε το τέλος των υπολοισµών, αποθηκεύστε στον Η/Υ σας το αρχείο των αποτελεσµάτων και την εικόνα του προφίλ (κάνοντας κλικ µε το mose στους συνδέσµους download grid και download eps της ιστοσελίδας
των αποτελεσµάτων). Τα αρχεία των αποτελεσµάτων θα έχουν ονόµατα της µορφής EGM96_a7b754b4dc59b7a448bac9c90de0ae4a5675baaa8e08548080f.dat, όπου π.χ. EGM96_ είναι το µοντέλο σφαιρικών αρµονικών που επιλέξατε. Στον Η/Υ σας συνιστάται, ΚΑΘΕ ΦΟΡΑ, να αλλάξετε το υπόλοιπο της αρχικής ονοµασίας του αρχείου σε κάτι που να είναι ενδεικτικό των υπολοισµών ή του προφίλ στο οποίο αναφέρονται τα αποτελέσµατα. Π.χ., αλλάξτε την αρχική ονοµασία σε EGM96_profile_long.dat διατηρώντας την ίδια επέκταση.dat του αρχικού αρχείου των αποτελεσµάτων. Τα αρχεία του ραφήµατος θα έχουν επέκταση.eps, δηλ. είναι postscript αρχεία που µπορείτε να τα ανοίξετε και να τα επιθεωρήσετε µε κάποιο pdf reader (π.χ., Adobe Reader). Αντίστοιχα, στην ιστοσελίδα των αποτελεσµάτων που εµφανίζεται το αντίστοιχο ράφηµα, µε δεξί κλίκ του mose πάνω στο ράφηµα µπορείτε να το αποθηκεύσετε στον Η/Υ σας σε ραφική µορφή.png. () ΜΕ ανάλοο τρόπο, υπολοίστε τα υψόµετρα του εωειδούς Ν στα σηµεία ανά δλ = 0 κατά µήκος ενός προφίλ από λ=y ο έως λ=y ο αντίστοιχα στους παραλλήλους που διέρχονται από τα φ = y ο, x ο, 4x.8 ο και 5y.8 ο. ηλαδή θα υπολοίσετε τέσσερα προφίλ σηµείων κατά µήκος των αντίστοιχων παραλλήλων. Αποθηκεύστε µε τον ίδιο τρόπο τα αρχεία των αποτελεσµάτων και τα ραφήµατα που δηµιουρήσατε κάθε φορά (µε τις αντίστοιχες κατάλληλες ονοµασίες). () Από τα αποτελέσµατα του κάθε ερωτήµατος () και (), δηµιουρήστε ένα φύλλο ερασίας Excel ή ένα MATLAB modle ή ένα µικρό πρόραµµα λοισµικού (σε λώσσα προραµµατισµού της επιλοής σας) και υπολοίστε τις διαφορές των υψοµέτρων Ν του εωειδούς στα σηµεία κάθε προφίλ, από τη χρήση του εκάστοτε άλλου µοντέλου του ήινου δυναµικού σε σύκριση µε το µοντέλο EGM96, π.χ. σε κάθε σηµείο Ρ i υπολοίστε τις διαφορές Ν(i) = N model (i) N EGM96 (i). Απεικονίσετε τα αποτελέσµατα σας σε ένα ράφηµα και σχολιάστε τις διαφορές. (4) Από τις ιστοσελίδες του µαθήµατος κατεβάστε στον Η/Υ σας το αρχείο test_gsv.txt το οποίο περιέχει τις συντεταµένες 8 σηµείων κατά µήκος µιας υψηλής ακρίβειας εωδαιτικής όδευσης που έχει µετρηθεί µε GPS και χωροστάθµηση, σε κάποια τοποθεσία στις ΗΠΑ. Τα δεδοµένα είναι στη µορφή PointID, LAT, LONG, ELHGT (εωµετρικό υψόµετρο). Από τη µηχανή υπολοισµών (στο αριστερό µενού επιλέξτε Calclation Service User-defined points. Εισάετε το αρχείο µε τα δεδοµένα των σηµείων, ορίστε ως επιλοές: το µοντέλο EGM008 και ως παράµετρο προς υπολοισµό το υψόµετρο του εωειδούς (geoid), Reference System GRS80 και Tide System Mean Tide. Από τις ιστοσελίδες του µαθήµατος κατεβάστε στον Η/Υ σας το αρχείο excel GSV_pls.xls το οποίο περιέχει ια τα προαναφερόµενα 8 σηµεία κατά µήκος µιας υψηλής ακρίβειας εωδαιτικής όδευσης τις τιµές PointID, LAT, LONG, ELHGT (εωµετρικό υψόµετρο GPS), HGT (ορθοµετρικό υψόµετρο), και τα υψόµετρα Ν του εωειδούς κατά σειρά από τα µοντέλα USGG009, USGG0D, GOCOs, και xegm-g (το ενδιάµεσο µοντέλο του EGM00). Από τα αποτελέσµατα των υψοµέτρων του εωειδούς N που υπολοίστηκαν από την Υπηρεσία ICGEM κατά µήκος της όδευσης, υπολοίστε αντίστοιχες τιµές ορθοµετρικών υψοµέτρων Η comp = h N, όπου h είναι τα δεδοµένα των εωµετρικών υψοµέτρων GPS στο αρχείο GSV_pls.xls. Σε ένα φύλλο excel, συκρίνετε τα εν λόω υπολοισµένα ορθοµετρικά υψόµετρα Η comp µε τις αντίστοιχες τιµές HGT που περιέχονται στο αρχείο GSV_pls.xls και σχολιάστε τις τυχόν διαφορές µεταξύ τους. Για το καθένα από τα µοντέλα GAO0(60), EIGEN-6C4(90) και EGM008(90), και ως ελλειψοειδές αναφοράς το GRS80, και ια τις παλίρροιες την επιλοή Tide Free, εκτελέστε τους ακόλουθους υπολοισµούς: (5) Υπολοίστε στους παρακάτω καννάβους ανά δφ = 0, δλ = 0 τα υψόµετρα του εωειδούς Ν, τις ανωµαλίες υψοµέτρου ζ (height anomaly), καθώς και τις κλασσικές ανωµαλίες βαρύτητας g cl (gravity_anomaly-cl):. ια την περιοχή του ελλαδικού χώρου από φ=4.5xy ο ως φ=4.5yx ο και από λ=9y ο ως λ=8.x ο.
. ια την περιοχή της Κύπρου από φ=.0x ο ως φ=6.5y ο και από λ=0.xy ο ως λ=6.5yx ο. Κάθε φορά, όπως και µε τα αποτελέσµατα των προηούµενων ερωτηµάτων ια τα προφίλ σηµείων, κατεβάστε στον Η/Υ σας τα αντίστοιχα αρχεία των αποτελεσµάτων στα σηµεία των κανάβων και τις αντίστοιχες ραφικές απεικονίσεις (στην µορφή όπως, φαίνεται στην παραπλεύρως ενδεικτική εικόνα). Σχολιάστε τις τυχόν ραφικές διαφορές των παραπάνω επιµέρους αποτελεσµάτων που προκύπτουν από τη χρήση των µοντέλων GAO0(60), EIGEN-6C4(90) σε σύκριση µε το µοντέλο EGM008. (6) Από τις ιστοσελίδες του µαθήµατος κατεβάστε στον Η/Υ σας τα αρχεία AN6.xyz, ΒN6.xyz, και CN6.xyz στα οποία δίνονται τα υψόµετρα του εωειδούς στη Μυτιλήνη που προέκυψαν από συνδυασµό µοντέλων του εωειδούς από σφαιρικές αρµονικές και από διαθέσιµες τοπικές µετρήσεις βαρύτητας. Χρησιµοποιώντας τα µοντέλα EGM96, EGM008, και EIGEN-6C4, υπολοίστε τα υψόµετρα του εωειδούς Ν σε αντίστοιχους καννάβους ανά δφ και δλ που αντιστοιχούν στα προαναφερόµενα αρχεία AN6.xyz, ΒN6.xyz, και CN6.xyz και ακολούθως σχολιάστε τις τυχόν παρατηρούµενες διαφορές µεταξύ των µοντέλων. Μέρος Β (Κανονικό πεδίο βαρύτητας) Για αυτό το µέρος της άσκησης, στον παρακάτω πίνακα, ια τις δεδοµένες συντεταµένες αντί των συµβολικών ψηφίων χρησιµοποιήστε τα αντίστοιχα ψηφία του Αριθµού Μητρώου σας bcdefgh. Παραδείµατος χάριν, εάν ο Α.Μ. σας είναι 6087, αντί ια efgh θα χρησιµοποιήσετε τα ψηφία 87, κ.λπ. Στις συναρτήσεις κανονικού δυναµικού και βαρύτητας χρησιµοποιούνται οι ελλειψοειδείς συντεταµένες (, β, λ), οι οποίες συνδέονται µε τις καρτεσιανές (x, y, z) µέσω των θεµελιακών νωστών σχέσεων (,β,λ) (x,y,z), που αναφέρονται στις σηµειώσεις του µαθήµατος. () Χρησιµοποιώντας το χωροσταθµικό ελλειψοειδές GRS80, αναφερθείτε µε σαφήνεια στα επιµέρους βήµατα ια τους µετασχηµατισµούς (,β,λ) (x,y,z), και ακολούθως υπολοίστε (δείχνοντας όλα τα ενδιάµεσα αποτελέσµατα) και συµπληρώστε στον παρακάτω πίνακα τις εκάστοτε τελικές µετασχηµατισµένες συντεταµένες ενδιαφέροντος: ΣΗΜΕΙΟ Ελλειψοειδείς Συντεταµένες Καρτεσιανές Συντεταµένες 4 = 65675.4 x = β = 8o 45' 5.efgh y = λ = 4o 5' 5.efgh z = = 65775.4 x = β = 45o ' 4.efgh y = λ = 0o 4' 4.efgh z = = β = λ = = β = λ = x = 45956.bcde m y = 04474.cdef m z = 9607.efgh m x = 5986.8fcf m y = 8944.fdc m z = 876.eb0 m
() Ποια από τα σηµεία του παραπάνω πίνακα βρίσκονται πάνω στην επιφάνεια του ελλειψοειδούς και ιατί; () Θεωρείστε ότι η συνάρτηση του κανονικού δυναµικού δίνεται από τη σχέση GM ε q (, β ) = tan + ω a sin β + ω + ε q ( ε ) cos β U (a) όπου = + ε q tan ε ε και q = q( = b). Για την ευκολία των υπολοισµών, εναλλακτικά µπορεί να χρησιµοποιηθεί η σχέση ( ε ) β (, β ) = c0 V0 + c V + ω + cos U (b) όπου c + ε V0 = tan ε V 0 = GM c, c = a ( b V a V ) ( + ε ) cos β + V V0 V0 sin = β ε ε V 0 = tan, V 0 ) ε + ε ( 0 = V = b ε V = tan ε ε ω, V ( = V = b) 0 Αποδείξτε την ισοδυναµία των σχέσεων a και b, υπολοίζοντας τις τιµές του δυναµικού στα 4 σηµεία του προηούµενου πίνακα. Ποια είναι η τιµή του κανονικού δυναµικού πάνω στο ελλειψοειδές; (4) Χρησιµοποιώντας τη σχέση b µπορεί να δειχθεί (σας συνιστάται εκτός άσκησης να ασχοληθείτε µε την εξαωή των εν λόω σχέσεων) ότι οι συνιστώσες της κανονικής βαρύτητας, β, λ δίνονται από τις σχέσεις + ε + ε sin β (a) β + ε sin β β (b) λ cos β + ε λ (c)
Από τη σχέση (a) προσδιορίστε τη βαρύτητα στον ισηµερινό a και στους πόλους b συναρτήσει των a, b, GM, ω και κατόπιν, υπολοίστε τις τιµές τους. Ακολούθως χρησιµοποιώντας τις συναρτήσεις a και b επαληθεύστε το θεώρηµα του Pizzetti: a b GM + a b a b ω (5) Θεωρείστε τις ακόλουθες εκφράσεις της µεταβολής της κανονικής βαρύτητας σε ένα σηµείο µε εωραφικό πλάτος φ και υψόµετρο h, όπου 0 είναι η κανονική βαρύτητα στην επιφάνεια του ελλειψοειδούς και e είναι η κανονική βαρύτητα στον ισηµερινό του ελλειψοειδούς Χρησιµοποιώντας τις εν λόω εκφράσεις σε συνδυασµό µε τα µοντέλα της κανονικής βαρύτητας (i) GRS 967 και (ii) GRS 980, επιλέξτε ένα σηµείο σε ένα από τα προφίλ του ερωτήµατος () του µέρους Α της άσκησης και υπολοίστε τις αντίστοιχες µεταβολές της κανονικής βαρύτητας ια υψόµετρα h=0, 00, 600 και 5000 m. ώστε ένα κατάλληλο ράφηµα των παρατηρούµενων µεταβολών και σχολιάστε τις τυχόν διαφορές τους. ΣΗΜΕΙΩΣΤΕ Οι βασικοί παράµετροι ια το χωροσταθµικό ελλειψοειδές WGS 84 και GRS80 σας έχουν δοθεί στις διαφάνειες του µαθήµατος. Για όλους τους παραπάνω υπολοισµούς µαζί µε τη Τεχνική Έκθεση σας παραδώστε και αντίραφα από οποιαδήποτε προράµµατα ή ρουτίνες λοισµικού ή φύλλα ερασίας Excel που χρησιµοποιήσατε, καθώς επίσης και όλα τα αρχεία εξόδου που συκεντρώσατε από τη χρήση των εραλείων της Υπηρεσίας ICGEM. ΣΗΜΕΙΩΣΗ - ΓΙΑ ΤΙΣ ΙΑΦΟΡΕΣ ΣΤΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΕΠΙΛΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΤΩΝ ΠΑΛΙΡΡΟΙΩΝ Φανταστείτε τα πεδία βαρύτητας: () Tο πεδίο βαρύτητας της Γης, που περιράφεται στο περιστρεφόµενο µε τη Γη σύστηµα συντεταµένων (rotating Earth-fixed coordinate system), υπό την παραδοχή ότι η Σελήνη και ο Ήλιος δεν υπάρχουν Απαλλαµένο από παλίρροιες µοντέλο του πεδίου βαρύτητας (Tide Free) () Tο πεδίο βαρύτητας της Γης, που περιράφεται στο περιστρεφόµενο µε τη Γη σύστηµα συντεταµένων (rotating Earth-fixed coordinate system) καθώς και τα πεδία βαρύτητας της Σελήνης και του Ήλιου κατά µέσο όρο ια µεάλο χρονικό διάστηµα (το λεόµενο µόνιµο παλιρροιακό φαινόµενο), συν την επίδραση της παραµόρφωσης της Γης, που προκαλείτε από τη Σελήνη και τον Ήλιο, στο πεδίο βαρύτητας (επίσης κατά µέσο όρο µε το χρόνο) Μέσης παλίρροιας µοντέλο του πεδίου βαρύτητας (mean tide gravity field model) () Το πεδίο βαρύτητας της Γης, που περιράφεται στο περιστρεφόµενο µε τη Γη σύστηµα συντεταµένων (rotating Earth-fixed coordinate system) χωρίς τα πεδία βαρύτητας της Σελήνης και του Ήλιου, αλλά µε την έµµεση επίδραση της παραµόρφωσης της Γης µηδενικής παλίρροιας µοντέλο του πεδίου βαρύτητας (zero tide gravity field model)