ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Ιδιότητες της βασικής κατάστασης των ισοτοπικών αλυσίδων με Ζ=38,40,4 στα πλαίσια της θεωρίας συναλλοίωτων συναρτησοειδών πυκνότητας Φραγκοπούλου Γεωργία Επιβλέπων: Λαλαζήσης Γεώργιος Ιούλιος 017
Περίληψη Σκοπός αυτής της εργασίας είναι να προβλέψει θεωρητικά τις ιδιότητες της βασικής κατάστασης των ισοτοπικών αλυσίδων Sr, Zr, Mo. Χρησιμοποιείται σχετικιστική θεωρία μέσου πεδίου με ανάπτυγμα σε ι- διοσυναρτήσεις αρμονικού ταλαντωτή με αξονική συμμετρία. Οι ιδιότητες που μελετώνται είναι η ενέργεια σύνδεσης, η ακτίνα, και η παραμόρφωση. Εξετάζεται επίσης η περίπτωση πυρήνων που εμφανίζουν ταυτόχρονα θετική και αρνητική παραμόρφωση. Τέλος, γίνεται διερεύνηση του μοντέλου σε διαφορετικές τιμές αρχικών παραμέτρων. Summary The purpose of this thesis is to predict the ground-state properties of the isotopic chains of Sr, Zr, Mo. Mean field theory is used through an expansion in an axially deformed harmonic oscillator. The properties in question include binding energy, radius and deformation. The case of nuclei with shape coexistence, i.e. appearing with positive and negative deformation at the same time, is examined. At last, the model is tested under different parameter sets.
Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 4 Σχετικιστική Θεωρία Μέσου Πεδίου και Συναρτησοειδή Πυκνότητας 4 3 Λεπτομέρειες του μοντέλου 8 3.1 Συμμετρία αντιστροφής χρόνου.................. 8 3. Αξονική συμμετρία......................... 9 3.3 Αριθμητική λύση των εξισώσεων................. 10 3.4 Συσχετίσεις ζεύγους....................... 14 4 Αποτελέσματα 16 4.1 Ενέργεια.............................. 1 4. Ακτίνα............................... 3 4.3 Ροπές και παραμορφώσεις..................... 5 4.4 Συνύπαρξη σχήματος....................... 8 4.5 Σύγκριση των ομάδων παραμέτρων................ 9 5 Συμπεράσματα 31 3
1 Εισαγωγή Για να μελετήσουμε τα χαρακτηριστικά της βασικής κατάστασης πυρήνων χρειαζόμαστε ένα θεωρητικό μοντέλο. Το μοντέλο αυτό θα πρέπει να αναπαράγει όσο το δυνατόν καλύτερα τα υπάρχοντα πειραματικά δεδομένα, να κάνει αξιόπιστες προβλέψεις για άγνωστους πυρήνες και να συμφωνεί με όσο το δυνατόν περισσότερες φυσικές θεωρίες. Μια πρώτη προσέγγιση του προβλήματος είναι μη σχετικιστική. Αυτό σημαίνει ότι οι προβλέψεις της θεωρίας προκύπτουν από τη λύση της εξίσωσης Schrödinger για πολλά σωματίδια με την εισαγωγή στατικού δυναμικού που συμφωνεί με δεδομένα σκέδασης. Παρόλο που τα μη σχετικιστικά μοντέλα εμφανίζουν πολύ καλή συμφωνία με το πείραμα, αγνοούν τις αρχές της ειδικής θεωρίας σχετικότητας. Οι αλληλεπιδράσεις μεταξύ νουκλεονίων γίνονται με α- νταλλαγή μεσονίων, άρα συμβαίνουν με πεπερασμένη ταχύτητα όχι μεγαλύτερη από την ταχύτητα του φωτός στο κενό και επομένως δεν μπορούν να περιγραφούν από ένα στατικό δυναμικό. Επίσης, τα μη σχετικιστικά μοντέλα δεν εμπεριέχουν το σπιν, το οποίο πρέπει να προστεθεί ξεχωριστά. Αντίθετα, στα σχετικιστικά μοντέλα το σπιν εμπεριέχεται μέσα στις εξισώσεις. Το πρόβλημα αυτό λύθηκε από τον Walecka που ανέπτυξε μια σχετικιστική κβαντική θεωρία πεδίου για το πρόβλημα των πολλών σωμάτων συνδυάζοντας την ειδική θεωρία σχετικότητας με τη θεωρία του Yukawa για την αλληλεπίδραση μεταξύ νουκλεονίων με ανταλλαγή μεσονίων. Σχετικιστική Θεωρία Μέσου Πεδίου και Συναρτησοειδή Πυκνότητας Το μοντέλο του Walecka περιγράφει τα νουκλεόνια ως σπίνορες Dirac που αλληλεπιδρούν με ανταλλαγή μεσονίων. Συγκεκριμένα τα μεσόνια αυτά είναι: 1. βαθμωτά μεσόνια σ, που παράγουν ισχυρή έλξη. διανυσματικά μεσόνια ω, που παράγουν ισχυρή άπωση 3. ισοδιανυσματικά μεσόνια ρ 4. φωτόνια, που παράγουν το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο 4
Θεωρούμε Α ανεξέρτητα μεταξύ τους νουκλεόνια των οποίων οι σπίνορες ψ i σχηματίζουν μια ορίζουσα Slater και αλληλεπιδρούν ανεξάρτητα με τα μεσονικά πεδία. Η λαγκρανζιανή πυκνότητα είναι: L = ψ i (iγ µ µ M)ψ i + 1 µ σ µ σ U(σ) g σ ψi ψ i σ 1 4 Ωµν Ω µν + 1 m ωω µ ω µ g ω ψi γ µ ψ i ω µ (1) 1 4 R µν Rµν + 1 m ρ ρ µ ρ µ g ρ ψi γ µ τψ i ρ µ 1 4 F µν F µν e ψ i γ µ (1 τ 3) ψ i A µ Στην παραπάνω σχέση χρησιμοποιούμε τη σύμβαση της άθροισης για τον δείκτη i που παίρνει τιμές για όλα τα νουκλεόνια (i = 1,, 3,..., A). Οι μάζες M, m σ, m ω, m ρ αντιστοιχούν στα νουκλεόνια και στα μεσόνια σ, ω, ρ και οι σταθερές σύζευξης είναι g σ, g ω, g ρ, e /4π. Το μεσόνιο σ κινείται σε ένα μη γραμμικό βαθμωτό δυναμικό: U(σ) = 1 m σσ + 1 3 g σ 3 + 1 4 g 3σ 4 () Τα πεδία για τα διανυσματικά μεσόνια καθώς και το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο είναι τανυστικά και δίνονται από τις σχέσεις: Ω µν = µ ω ν ν ω µ R µν = µ ρ ν ν ρ µ g ρ ( ρ µ ρ ν ) F µν = µ A ν ν A µ (3) Οι εξισώσεις κίνησης είναι η εξίσωση Dirac για τα νουκλεόνια και η εξίσωση Klein-Gordon για τα μεσόνια: ( {γ µ i µ + g ω ω µ + g ρ τ ρ µ + e 1 τ ) } 3 A µ + (M + g σ σ) ψ i = 0 (4) 5
{ ν ν + σ U(σ)} σ = g σ ρ s { } ν ν + m ω ω µ = g ω j µ { } ν ν + m ρ ρ µ = g ρ j µ (5) ν ν A µ = ej µ p Στις παραπάνω σχέσεις έχουμε τα εξής μεγέθη: Βαθμωτή πυκνότητα για το πεδίο σ: ρ s (x) = A i=1 ψ i (x)ψ i (x) (6) Πυκνότητα ρεύματος μάζας για το πεδίο ω: j µ (x) = A i=1 ψ i (x)γ µ ψ i (x) (7) Ισοβαθμωτή πυκνότητα ρεύματος για το πεδίο ρ: j µ (x) = A i=1 ψ i (x)γ µ τψ i (x) (8) Πυκνότητα ρεύματος πρωτονίων για το πεδίο φωτονίων: j µ p (x) = A i=1 ψ i (x)γ µ 1 τ 3 ψ i (x) (9) Για να περιγράψουμε τη βασική κατάσταση πυρήνων, αναζητούμε στατικές λύσεις των εξισώσεων κίνησης οπότε οι σπίνορες είναι ιδιοδιανύσματα της στατικής εξίσωσης Dirac με ιδιοτιμές τις ενέργειες του κάθε σωματιδίου: {α ( i V (r)) + βm (r) + V (r)} ψ i (r) = ɛ i ψ i (r) (10) Στην εξίσωση αυτή συμμετέχει η ενεργός μάζα, η οποία εξαρτάται από το πεδίο σ M (r) = M + g σ σ(r) (11) 6
καθώς και το βαθμωτό δυναμικό V (r) και το διανυσματικό δυναμικό V(r) τα οποία εξαρτώνται αντίστοιχα από τις χρονοειδείς και τις χωροειδείς συνιστώσες των διανυσματικών πεδίων. V (r) = g ω ω 0 (r) + g ρ τ ρ 0 (r) + e (1 τ 3) A 0 (r) (1) V (r) = g ω ω(r) + g ρ τ ρ(r) + e (1 τ 3) A(r) (13) Τα πεδία είναι λύσεις των μη-ομογενών εξισώσεων Klein-Gordon: { + m σ}σ(r) = g σ ρ s (r) g σ (r) g 3 σ 3 (r) { + m ω}ω µ (r) = g ω j µ (r) { + m ρ} ρ µ (r) = g ρ j µ (r) A µ (r) = ej p µ (r) (14) Σύμφωνα με το θεώρημα των Hohenberg-Kohn, η αναμενόμενη τιμή κάθε παρατηρήσιμου μεγέθους είναι ένα μοναδικό συναρτησοειδές της πυκνότητας της βασικής κατάστασης. Επιπλέον, αν θεωρήσουμε τη χαμιλτονιανή ως συναρτησοειδές πυκνότητας, η πυκνότητα της βασικής κατάστασης μπορεί να βρεθεί ελαχιστοποιώντας το ενεργειακό συναρτησοειδές. Οπότε, η ολική ενέργεια θα είναι: E = d 3 rh(r) (15) όπου H(r) = i ψ i {a ( i V (r)) + βm (r) + V (r)} ψ i + 1 ( σ) + U(σ) + 1 { ( ω ) 0 ( ) } + m ω ω 0 ( ω) m ωω + 1 { ( ρ ) 0 ( ) + m ρ ρ 0 ( ρ) m ρ ρ } + 1 { ( A ) } 0 + ( A) (16) 7
3 Λεπτομέρειες του μοντέλου 3.1 Συμμετρία αντιστροφής χρόνου Για τη λύση του προβλήματός μας θεωρούμε ότι υπάρχει συμμετρία αντιστροφής χρόνου. Άμεση συνέπεια αυτής της συμμετρίας είναι ότι δεν υπάρχουν ρεύματα, οπότε οι χωρικές συνιστώσεις των διανυσμάτων ω, ρ και Α μηδενίζονται και απομένουν μόνο οι χρονοειδείς συνιστώσες ω 0, ρ 0 και A 0. Αντίστοιχα μηδενίζεται και το διανυσματικό δυναμικό V(r) και παραμένει μόνο το βαθμωτό δυναμικό V (r). Εφαρμόζοντας τα παραπάνω, οι εξισώσεις Dirac και Klein- Gordon παίρνουν την ακόλουθη μορφή: { iα + βm (r) + V (r)} ψ i (r) = ɛ i ψ i (r { + m σ}σ(r) = g σ ρ s (r) g σ (r) g 3 σ 3 (r) { + m ω}ω 0 (r) = g ω ρ v (r) { + m ρ} ρ 0 (r) = g ρ ρ 3 (r) A 0 (r) = eρ p (r) (17) όπου ρ s (x) = ρ v (x) = ρ 3 (x) = ρ p (x) = A ψ i (x)ψ i (x) i=1 A ψ i (x)ψ i(x) i=1 A ψ i (x)τ 3ψ i (x) i=1 A i=1 ψ i (x)(1 τ 3) ψ i (x) (18) ρ s είναι η βαθμωτή πυκνότητα, ρ v η διανυσματική πυκνότητα, ρ 3 η διαφορά μεταξύ των πυκνοτήτων των πρωτονίων και των νετρονίων και ρ p η πυκνότητα πρωτονίων. 8
3. Αξονική συμμετρία Στην εργασία αυτή θα μελετήσουμε παραμορφωμένους πυρήνες που εμφανίζουν αξονική συμμετρία. Για το λόγο αυτό θα εκφράσουμε τις εξισώσεις Dirac και Klein-Gordon σε κυλινδρικές συντεταγμένες: x = r cos φ y = r sin φ z = z (19) Οι πυκνότητες παραμένουν αναλλοίωτες σε περιστροφές γύρω από τον άξονα συμμετρίας οπότε η εξίσωση Dirac μπορεί να γραφεί ως ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων με μεταβλητές μόνο τα r και z. Κάθε σπίνορας ψ i εκφράζεται με βάση κάποιους κβαντικούς αριθμούς, χαρατκηριστικούς για τον κάθε σπίνορα. Αυτοί είναι η ιδιοτιμή Ω i = m li + m si του τελεστή J z, η ομοτιμία (parity) π i και το ισοσπίν t i. Ως γνωστόν, κάθε σπίνορας αποτελείται από τις μεγάλες και τις μικρές συνιστώσες. Επιπλέον, διαχωρίζουμε τις καταστάσεις με θετικό σπιν από αυτές με αρνητικό οπότε καταλήγουμε σε 4 συνιστώσες για κάθε σπίνορα: ψ i (r, t) = ( fi (r) ig i (r) ) = 1 π f + i (z, r )e i(ω i 1/)φ f i (z, r )e i(ω i+1/)φ ig + i (z, r )e i(ω i 1/)φ ig i (z, r )e i(ω i+1/)φ χ t i (t) (0) Τελικά καταλήγουμε σε ένα σύστημα 4 εξισώσεων Dirac που περιλαμβάνει τις 4 συνιστώσες f ± i, g± i. ( (M + V )f + i + z g + i + r + Ω + 1/ ) g i r ( (M + V )f i z g i + r Ω 1/ ) g + i r ( (M V )g + i + z f + i + r + Ω + 1/ ) f i r ( (M V )g i z f i r Ω 1/ ) f + i r 9 = ɛ i f + i = ɛ i f i = ɛ i g + i = ɛ i g i (1)
Η εξίσωση Klein-Gordon σε κυλινδρικές συντεταγμένες είναι: ( 1 ) r r r z + m φ φ(z, r ) = s φ (z, r ) () r όπου ο όρος s φ περιγράφει τις πηγές του πεδίου και ισούται με: g σ ρ s (r, z) g σ (r, z) g 3 σ 3 (r, z) g ω ρ v (r, z) s φ (r, z) = g ρ ρ 3 (r, z) eρ p (r, z) (3) όπου ρ s,v = i>0 n i [( f + i + f i ) ( g + i + g i )] (4) 3.3 Αριθμητική λύση των εξισώσεων Για να επιλύσουμε τις εξισώσεις Dirac (1) και Klein-Gordon () θεωρούμε τη λύση ως ανάπτυγμα σε ιδιοσυναρτήσεις του αρμονικού ταλαντωτή. Επειδή το πρόβλημά μας έχει αξονική συμμετρία, χρησιμοποιούμε αξονικά συμμετρικό δυναμικό αρμονικού ταλαντωτή: V osc (z, r ) = 1 Mω zz + 1 Mω r (5) Κάθε μία από τις διευθύνσεις ταλάντωσης z και r έχει τη δική της ιδιοσυχνότητα hω z και hω, οι οποίες συνδέονται με την ολική συχνότητα hω 0 μέσω μιας παραμέτρου παραμόρφωσης β 0 : ( ) 5 hω z = hω 0 exp 4π β 0 ( ) (6) 1 5 hω = hω 0 exp 4π β 0 Επίσης κάθε διεύθυνση έχει ένα μήκος ταλάντωσης: b z = h/mω z b = h/mω (7) 10
Για τις b z και b ισχύει b b z = b 3 0 όπου b 0 = h/mω 0. Ως αποτέλεσμα, η βάση μας ορίζεται από δύο σταθερές, τις hω 0 και β 0. Κάθε ιδιοσυνάρτηση του αρμονικού ταλαντωτή με παραμόρφωση αντιστοιχεί στους εξής κβαντικούς αριθμούς: α = n z, n r, m l, m s (8) Η ιδιοτιμή του τελεστή J z που είναι διατηρήσιμη ποσότητα είναι και η ομοτιμία Ω = m l + m s (9) π = ( 1) nz+m l (30) Οι ιδιοσυναρτήσεις του αρμονικού ταλαντωτή με παραμόρφωση μπορούν να εκφραστούν ως εξής: όπου Φ α (z, r, φ, s, t) = φ nz (z)φ m 1 l n r (r ) e imlφ χ ms (s) (31) π και φ nz (z) = N n z b z H nz (ζ)e ζ / n r (r ) = N m l n r φ m l b η m l / L m l n r (η)e η/ (3) ζ = z b z η = r b (33) H nz (ζ) και L m l n r (η) είναι τα πολυώνυμα Hermite και τα προσαρτημένα πολυώνυμα Laguerre αντίστοιχα και οι σταθερές κανονικοποίησης είναι: N nz = N m l n r = 1 π n znz! n r! (n r + m l )! (34) 11
Ετσι, η μεγάλη και η μικρή συνιστώσα του σπίνορα αναπτύσσονται ως εξής: f i (r, s, t) = 1 ( f + i (z, r ) )e i(ω 1/)φ π f i (z, r )e i(ω+1/)φ = a g i (r, s, t) = 1 ( g + i (z, r ) )e i(ω 1/)φ ã max π g i (z, r )e i(ω+1/)φ = a max ã f a (i) Φ a (r, s)χ ti (t) g (i) ã Φ ã(r, s)χ ti (t) (35) Τελικά, η λύση της εξίσωσης Dirac ανάγεται στη διαγωνιοποίηση του παρακάτω συστήματος διάστασης α max + ã max : ( ) ( ) ( ) Aα,α B α, α f (i) α f α (i) B α,α C α, α g (i) = ɛ i α g (i) (36) α Τα στοιχεία πίνακα δίνονται από τις σχέσεις: ) = δ ml m δ m l sm N m l s n r N nz N m l n N n r z ( Aαα C αα 0 0 dηe η η m l L m l n r (η)l m l n r (η) dζe ζ H nz (ζ)h n z (ζ) (M (b z ζ, b η) ± V (bz ζ, b η)) B αα =δ ml m l δ m sm s δ n rn r + δ ml m δ n l zn z { δ m s m s+1 ( 1) 1/ ms N m l n z N m l n r b 0 + δ msm s +1 0 b (δ n z n z+1 n z / δ nzn z +1 nz /) ) dηe η η ml 1/ L m l n r (η) l ( Lm n (η) m ll m l r n (η) r ) } dηe η η ml 1/ L m l n r (η) l ( Lm n (η) (m l + 1)L m l r n (η) r Οσον αφορά τα μεσόνια, γίνεται πάλι ανάτυγμα σε ιδιοσυναρτήσεις του αρμονικού ταλαντωτή με παραμόρφωση αλλά με διαφορετικό μήκος ταλάντωσης b B = b 0 /. φ(z, r ) = 1 b 3/ B e ζ / η/ N B φ nznr N nz H nz (ζ) L 0 nr (η) (37) n zn r 1
όπου σε αυτήν την περίπτωση ζ = z b z η = r b (38) Τελικά η εξίσωση Klein-Gordon ανάγεται σε ένα μη ομογενές σύστημα γραμμικών εξισώσεων: με στοιχεία πίνακα: ( H nznrn = z n r b z + ( 1 b z b N B n z n r H nzn rn zn r φ n zn r = sφ n zn r (39) ) (n r + 1) + m φ δ nrn b δ r n zn z (nz + 1)n zδ n z nz+1 + 1 ) (n z + 1)n z δ nzn z +1 (n z + 1/) ( n r δ n r nr+1 + n r δ nrn r +1 ) 13
3.4 Συσχετίσεις ζεύγους Οι συσχετίσεις ζεύγους (pairing correlations) είναι απαραίτητες στη μελέτη μας, ειδικά όσον αφορά τη παραμόρφωση βαρέων πυρήνων. Ομως, η θεωρία μας δεν τις εμπεριέχει. Θα εισάγουμε λοιπόν τις συσχετίσεις ζεύγους μέσω του συναρτησοειδούς της ενέργειας σε συμμετρία αντιστροφής χρόνου. Βρίσκουμε λοιπόν ότι η ολική ενέργεια σύνδεσης μπορεί να εκφραστεί ως ένα άθροισμα από διάφορες συνεισφορές: E(ψ i, ψ i, σ, ω 0, A 0, v i ) = E part +E σ +E ω +E ρ +E c +E pair +E CM AM (40) όπου E part = vi d 3 rψ i {α ( i V ) + βm + V } ψ i i { } 1 E σ = d 3 r ( σ) + U(σ) { 1 ( E ω = d 3 r ) } ω 0 1 + m ωω 0 { 1 ( E ρ = d 3 r ) } ρ 0 1 + m ρρ 0 E c = d 3 r 1 ( ) A 0 (41) ( ) E pair = G u i v i i>0 E CM = 3 4 hω 0 = 3 4 41A 1/3 E part είναι η ενέργεια των νουκλεονίων, E σ, E ω, E ρ, E c οι συνεισφορές των πεδίων στην ενέργεια, E pair η ενέργεια ζεύγους με σταθερά G και πιθανότητες κατάληψης v i και u i = 1 v i και E CM η διόρθωση σχετικά με το κέντρο μάζας. Από τη μεταβολή του συναρτησοειδούς ενέργειας (40) μπορούμε να εξάγουμε και πάλι τις εξισώσεις Dirac και Klein-Gordon (17) με τη διαφορά ότι τώρα οι πυκνότητες (18) εμπεριέχουν αριθμούς κατάληψης n i = v i. Τελικά παίρνουμε τις εξισώσεις BCS: ɛ i u i v i (u i v i ) = 0 (4) 14
με παράμετρο χάσματος Δ: = G i>0 u i v i (43) Η λύση της εξίσωσης BSC (4) είναι: ( ) ( ) u i = 1 ɛ i λ 1 ± (ɛi λ) + v i (44) Η σταθερά G μας είναι άγνωστη, οπότε την προσαρμόζουμε έτσι ώστε η παράμετρος χάσματος Δ να έχει τιμή που συμφωνεί με το πείραμα. Στην πράξη, δεν υπολογίζουμε καθόλου τη σταθερά G αλλά βρίσκουμε τις πιθανότητες κατάληψης απευθείας από την παράμετρο Δ μέσω της σχέσης (44). λ είναι το χημικό δυναμικό, το οποίο καθορίζεται από τον αριθμό των πρωτονίων και των νετρονίων. Χρησιμοποιώντας τη σχέση (43) εξαλείφουμε τελείως την ανάγκη γνώσης της σταθεράς G, αφού η συνεισφορά στην ενέργεια των συσχετίσεων ζεύγους γίνεται: E pair = u i v i (45) i>0 Αφού λύσουμε τις εξισώσεις κίνησης (17) μπορούμε να υπολογίσουμε όλες τις συνεισφορές στη συνολική ενέργεια: E part = vi ɛ i i E σl = g σ d 3 rρ s (r)σ(r) E σnl = 1 { d 3 r 3 g σ 3 (r) + 1 } g 3σ 4 (r) E ω = g ω d 3 rρ v (r)ω 0 (r) E ρ = g ρ d 3 rρ 3 (r)ρ 0 (r) E c = e d 3 rρ c (r)a 0 (r) 8π (46) E pair = i>0 u i v i E CM = 3 4 hω 0 = 3 4 41A 1/3 15
4 Αποτελέσματα Στην παρούσα εργασία ενδιαφερόμαστε για κάποια χαρακτηριστικά μεγέθη της βασικής κατάστασης των ισοτοπικών αλυσίδων Στροντίου (Ζ=38), Ζιρκονίου (Ζ=40) και Μολυβδαινίου (Ζ=4). Τα μεγέθη αυτά είναι η ενέργεια σύνδεσης, ακτίνες πρωτονίων, νετρονίων και φορτίου, τετραπολική και δεκαεξαπολική ροπή και παράμετροι παραμόρφωσης. Για την εξαγωγή των αποτελεσμάτων ακολουθούμε μια επαναληπτική διαδικασία με ανάπτυγμα σε αρμονικό ταλαντωτή όπως περιγράφηκε στην ενότητα 3.3. Ξεκινώντας από μια λογική εκτίμηση για τα πεδία, μπορούμε να λύσουμε την εξίσωση Dirac και να βρούμε τους σπίνορες των σωματιδίων. Επειτα με γνωστούς τους σπίνορες υπολογίζουμε τις πυκνότητες, οι οποίες εισάγονται στην εξίσωση Klein-Gordon και δίνουν μια νέα τιμή για τα πεδία. Η διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται μέχρι να έχουμε την επιθυμητή σύγκλιση. Στην προκειμένη περίπτωση επιδιώκουμε σύγκλιση της τάξης του 10 6 για την ενέργεια σύνδεσης. Για να ξεκινήσουμε όμως την επαναληπτική διαδικασία πρέπει να ξέρουμε εκ των προτέρων κάποια μεγέθη. Αυτά είναι οι μάζες των νουκλεονίων και των μεσονίων καθώς και οι σταθερές σύζευξης. Τα μεγέθη αυτά δίνονται σε ομάδες παραμέτρων που δίνονται στον πίνακα 1. Στο μεγαλύτερο μέρος της εργασίας γίνεται χρήση των παραμέτρων NL3, ενώ στην υποενότητα 4.5 γίνεται σύγκριση των αποτελεσμάτων που προκύπτουν από τις υπόλοιπες ομάδες παραμέτρων. Πίνακας 1: Ομάδες παραμέτρων NL3 NL SH NL4 Μ 939 939 939 m σ 508.19 56.06 513.48 m ω 78.50 783 781.11 m ρ 763 763 763 g σ 10.1 10.44 10.9 g ω 1.87 1.95 1.79 g ρ 4.47 4.38 4.4 g -10.43-6.91-10.78 g 3-8.89-15.83-9.78 16
Επίσης πρέπει να καθορίσουμε τον αριθμό των φλοιών στους οποίους θα γίνει το ανάπτυγμα. Επιλέγουμε N F = 1 για τα φερμιόνια και N B = 0 για τα μποζόνια. Οσον αφορά τις συσχετίσεις ζεύγους δίνουμε στο χάσμα τις παρακάτω τιμές για τα νετρόνια και τα πρωτόνια αντίστοιχα: = 4.8 N 1/3 και = 4.8 Z 1/3 (47) Στους πίνακες -4 βλέπουμε συνοπτικά τα αποτελέσματά μας. 17
Πίνακας : Ιδιότητες της βασικής κατάστασης της ισοτοπικής αλυσίδας Sr. Α BE(MeV ) r n (fm) r p (fm) r ch (fm) Q(b) H(b ) β β 4 7 57.99 3.97 4.148 4.5 3.787-0.113 0.79-0.011 74 605.0 4.080 4.198 4.73 6.380 1.788 0.449 0.166 76 634.87 4.143 4.10 4.86 7.035 1.958 0.473 0.171 78 660.03 4.194 4.15 4.91 7.316 1.679 0.471 0.138 80 68.10 4.153 4.135 4.1 0.019-0.008 0.001-0.001 8 704.6 4.196 4.138 4.15-0.85-0.038-0.051-0.003 84 76.5 4.36 4.14 4.18 0.898-0.047 0.051-0.003 86 747.95 4.7 4.145 4.1 0.6-0.006 0.014 0.000 88 767.98 4.31 4.150 4.7 0.03-0.00 0.00-0.001 90 779.98 4.380 4.169 4.45 0.14-0.04 0.006-0.001 9 791.10 4.454 4.03 4.78 -.51 0.55-0.13 0.014 94 803.03 4.53 4.51 4.35-4.499 1.077-0.1 0.057 96 814.77 4.604 4.9 4.366-5.776 1.681-0.63 0.085 98 86.5 4.674 4.339 4.41-7.097.353-0.313 0.114 100 835.36 4.77 4.359 4.43-7.367.4-0.314 0.103 10 843.04 4.785 4.39 4.464-8.181.3-0.337 0.10 104 85.00 4.807 4.371 4.444-6.463 0.767-0.58 0.03 106 859.50 4.855 4.393 4.466-6.714 0.59-0.59 0.04 108 866.5 4.956 4.473 4.544 11.658.933 0.437 0.113 110 871.48 5.011 4.491 4.56 1.07 3.78 0.439 0.11 11 878.80 4.959 4.388 4.460-0.965-0.001-0.034 0.000 114 883.94 4.996 4.408 4.480 1.537 0.066 0.053 0.00 116 888.98 5.030 4.46 4.497-1.381-0.090-0.046-0.003 118 893.41 5.063 4.443 4.514 0.03 0.007 0.001 0.000 10 897.5 5.10 4.461 4.53 0.00 0.009 0.000 0.000 1 898.38 5.159 4.474 4.545-0.00 0.011 0.000 0.000 18
Πίνακας 3: Ιδιότητες της βασικής κατάστασης της ισοτοπικής αλυσίδας Zr. Α BE(MeV ) r n (fm) r p (fm) r ch (fm) Q(b) H(b ) β β 4 76 604.68 4.093 4.61 4.335 6.583 1.569 0.443 0.137 78 637.14 4.153 4.71 4.345 7.333 1.669 0.47 0.137 80 665.57 4.06 4.75 4.349 7.743 1.38 0.478 0.103 8 690.77 4.176 4.04 4.79-3.387-0.00-0.01-0.015 84 715.0 4.18 4.06 4.81-3.4-0.36-0.195-0.016 86 738.5 4.41 4.193 4.68 0.045-0.019 0.00-0.001 88 761.64 4.77 4.195 4.70 0.031-0.00 0.00-0.001 90 783.53 4.316 4.199 4.74 0.01-0.0 0.001-0.001 9 797.3 4.381 4.16 4.91 0.010-0.06 0.00-0.001 94 810.6 4.453 4.6 4.337 3.854 1.61 0.18 0.067 96 84.63 4.5 4.30 4.376 5.365 1.35 0.45 0.063 98 837.36 4.594 4.347 4.40 7.54.310 0.319 0.111 100 850.0 4.680 4.408 4.480 9.865 4.01 0.40 0.185 10 861.4 4.733 4.430 4.50 10.309 3.843 0.45 0.169 104 870.80 4.787 4.457 4.58 11.186.875 0.446 0.11 106 881.4 4.88 4.469 4.540 10.719.47 0.414 0.099 108 890.38 4.879 4.491 4.561 11.094.033 0.416 0.078 110 898.01 4.94 4.50 4.590 1.058.386 0.438 0.088 11 904.79 5.005 4.550 4.60 13.16.939 0.463 0.104 114 91.66 4.944 4.451 4.53-4.858-0.957-0.166-0.03 116 919.0 4.977 4.441 4.513 0.114 0.004 0.004 0.000 118 95.35 5.010 4.458 4.59 0.086 0.006 0.003 0.000 10 931.47 5.044 4.476 4.547 0.005 0.009 0.000 0.000 1 936.58 5.08 4.493 4.563-0.019 0.011-0.001 0.000 14 938.54 5.138 4.506 4.576 0.059 0.016 0.00 0.000 16 939.19 5.198 4.517 4.587 0.3 0.09 0.007 0.001 18 939.77 5.58 4.58 4.598 1.14 0.189 0.03 0.005 19
Πίνακας 4: Ιδιότητες της βασικής κατάστασης της ισοτοπικής αλυσίδας Mo. Α BE(MeV ) r n (fm) r p (fm) r ch (fm) Q(b) H(b ) β β 4 8 666.70 4.140 4.56 4.331-3.353-0.034-0.199-0.016 84 696.04 4.187 4.59 4.333-3.663-0.037-0.09-0.01 86 70.97 4.09 4.4 4.317 0.16 0.00 0.009 0.000 88 747.08 4.46 4.4 4.316 0.917 0.009 0.048 0.005 90 77.40 4.80 4.41 4.315 0.073 0.001 0.004-0.00 9 796.43 4.318 4.44 4.319 0.08 0.000 0.001-0.00 94 811.89 4.380 4.61 4.336 0.046 0.000 0.00-0.00 96 87.84 4.453 4.307 4.381 4.037 0.040 0.184 0.075 98 843.37 4.518 4.343 4.416 5.357 0.054 0.36 0.06 100 857.37 4.580 4.375 4.447 6.514 0.065 0.77 0.07 10 871.46 4.657 4.45 4.497 8.853 0.089 0.365 0.15 104 884.06 4.714 4.454 4.55 9.667 0.097 0.386 0.148 106 895.6 4.750 4.458 4.530 9.483 0.095 0.366 0.099 108 907.1 4.806 4.491 4.56 10.030 0.100 0.376 0.081 110 918.51 4.83 4.463 4.534-6.473-0.065-0.35 0.000 11 97.81 4.863 4.477 4.548-6.99-0.063-0. -0.013 114 936.64 4.899 4.485 4.556-5.64-0.056-0.193-0.031 116 945.13 4.936 4.498 4.568-5.97-0.053-0.176-0.041 118 95.44 4.971 4.509 4.579-4.9-0.049-0.159-0.038 10 959.31 4.994 4.495 4.565-0.454-0.005-0.014 0.000 1 966.97 5.06 4.510 4.581-0.039 0.000-0.001 0.000 14 973.50 5.063 4.56 4.596-0.003 0.000 0.000 0.000 16 976.1 5.118 4.540 4.610 0.045 0.000 0.001 0.001 18 977.49 5.177 4.55 4.6 0.06 0.00 0.006 0.001 0
4.1 Ενέργεια Σε κάθε ισοτοπική αλυσίδα μελετούμε τους πυρήνες από τη γραμμή κόρου (drip line) πρωτονίων μέχρι τη γραμμή κόρου νετρονίων. Αυτές εμφανίζονται όταν οι ενέργειες διαχωρισμού πρωτονίων και νετρονίων αντίστοιχα γίνονται αρνητικές. S p = BE(Z, N) BE(Z, N) < 0 S n = BE(Z, N) BE(Z, N ) < 0 (48) Παρατηρούμε ότι η περιοχή μελέτης για καθεμιά από τις αλυσίδες είναι: Sr :A = 7 1 Zr :A = 76 18 Mo :A = 80 18 (49) Στα σχήματα 1-3 βλέπουμε την ενέργεια σύνδεσης συναρτήσει του μαζικού αριθμού. Περιλαμβάνονται πειραματικά δεδομένα από την αναφορά [4] Σχήμα 1: Ενέργεια σύνδεσης για το Sr. 1
Σχήμα : Ενέργεια σύνδεσης για το Zr. Σχήμα 3: Ενέργεια σύνδεσης για το Mo.
Στα διαγράμματα παρατηρούμε μια αναμενόμενη αύξηση της ενέργειας σύνδεσης με αυξανόμενο μαζικό αριθμό. Οσο ο μαζικός αριθμός αυξάνεται, η κλίση της καμπύλης μειώνεται μέχρι να φτάσει σε ένα πλατό κοντά στη γραμμή κόρου των νετρονίων. Επίσης, στην περιοχή που διαθέτουμε πειραματικά δεδομένα διαπιστώνουμε ότι υπάρχει καλή συμφωνία με τους θεωρητικούς υπολογισμούς μας. 4. Ακτίνα Το μοντέλο μας μπορεί να υπολογίσει ακτίνες πρωτονίων και νετρονίων. Ομως η ακτίνα που μπορεί να μετρηθεί πειραματικά είναι η ακτίνα φορτίου. Επομένως, για να μπορέσουμε να συγκρίνουμε τα αποτελέσματα του μοντέλου με το πείραμα, χρειαζόμαστε την ακτίνα φορτίου η οποία υπολογίζεται από τη σχέση: r c = rp + 0.64 (50) Στα σχήματα 4-6 βλέπουμε την ακτίνα νετρονίων, την ακτίνα πρωτονίων, την ακτίνα φορτίου και πειραματικές τιμές της ακτίνας φορτίου από την αναφορά [5]. Σχήμα 4: Ακτίνα νετρονίων, πρωτονίων, φορτίου και πειραματική ακτίνα φορτίου για το Sr. 3
Σχήμα 5: Ακτίνα νετρονίων, πρωτονίων, φορτίου και πειραματική ακτίνα φορτίου για το Zr. Σχήμα 6: Ακτίνα νετρονίων, πρωτονίων, φορτίου και πειραματική ακτίνα φορτίου για το Mo. 4
Στα διαγράμματα παρατηρούμε μια μικρή αύξηση της ακτίνας πρωτονίων και κατά συνέπεια της ακτίνας φορτίου, ενώ η ακτίνα νετρονίων αυξάνεται γρήγορα με την αύξηση του μαζικού αριθμού. Το γεγονός αυτό μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι όταν υπάρχει πληθώρα νετρονίων, αυτά κατανέμονται κατά κύριο λόγο στο εξωτερικό του πυρήνα, σχηματίζοντας έτσι ένα περίβλημα. Βέβαια αυτό δεν είναι απόλυτο αφού όπως βλέπουμε τα πρωτόνια εξωθούνται ελαφρώς προς τα έξω με την προσθήκη περισσοτερων νετρονίων. Επιπλέον, οι υπολογισμοί του μοντέλου μας για την ακτίνα φορτίου εμφανίζουν πολύ καλή συμφωνία με τα πειραματικά δεδομένα στην περιοχή που εκείνα είναι διαθέσιμα. 4.3 Ροπές και παραμορφώσεις Σημαντικά μεγέθη για τη μελέτη των παραμορφωμένων πυρήνων είναι οι τετραπολικές και δεκαεξαπολικές ροπές και οι παράμετροι παραμόρφωσης. Η τετραπολική ροπή για νετρόνια και πρωτόνια δίνεται από τη σχέση: Q n,p = r P (cos θ) n,p = z x y n,p (51) και η δεκαεξαπολική ροπή: 9 H n,p = r 4 Y 40 (θ) n,p = 64π 8z4 4z (x + y ) + 3(x + y ) n,p (5) Η τετραπολική ροπή συνδέεται με την παράμετρο παραμόρφωσης β μέσω της σχέσης: Q = Q n + Q p = 16π 3 5 4π AR 0β (53) όπου R 0 = 1.A 1/3. Με ανάλογο τρόπο συνδέεται και η δεκαεξαπολική ροπή με την παράμετρο β 4. Η παράμετρος παραμόρφωσης β συνδέεται άμεσα με το σχήμα του πυρήνα, αφού όταν β > 0 ο πυρήνας έχει σχήμα επίμηκες (prolate), ενώ όταν β < 0 το σχήμα του πυρήνα είναι πεπλατυσμένο (oblate). 5
Σχήμα 7: Παράγοντας παραμόρφωσης β για το Sr. Σχήμα 8: Παράγοντας παραμόρφωσης β για το Zr. 6
Σχήμα 9: Παράγοντας παραμόρφωσης β για το Mo. Στα σχήματα 7-9 βλέπουμε τις παραμέτρους παραμόρφωσης β για τις τρεις ισοτοπικές αλυσίδες. Επίσης, εμφανίζονται πειραματικά δεδομένα από την αναφορά [6]. Παρατηρούμε ότι το β παίρνει τόσο θετικές όσο και αρητικές τιμές κατά μήκος κάθε αλυσίδας. Μάλιστα κάποιες φορές συνυπάρχουν θετικές και αρνητικές τιμές του β όπως θα δούμε στην υποενότητα 4.4. Επίσης, σε κάθε αλυσίδα διακρίνονται δύο περιοχές όπου η παραμόρφωση είναι σχεδόν μηδενική, δηλαδή ο πυρήνας τείνει σε σφαιρικό. Μάλιστα, και στις τρεις αλυσίδες, η μία περιοχή είναι κοντά στη γραμμή κόρου νετρονίων. 7
4.4 Συνύπαρξη σχήματος Σε κάποιες περιπτώσεις παρατηρούνται δύο ελάχιστα της ενέργειας, ένα για θετική παραμόρφωση β και ένα για αρνητική. Αν η διαφορά στην ενέργεια σύνδεσης είναι πολύ μικρή (< 1MeV ) λέμε ότι ο πυρήνας βρίσκεται σε κατάσταση συνύπαρξης σχήματος (shape coexistence). Αυτό σημαίνει ότι ο πυρήνας είναι ταυτόχρονα επιμήκης και πεπλατυσμένος. Στον πίνακα 5 βλέπουμε τους πυρήνες στους οποίους εμφανίζεται συνύπαρξη σχήματος. Παρουσιάζονται οι δύο τιμές της παραμόρφωσης και η διαφορά στην ενέργεια σύνδεσης μεταξύ των δύο καταστάσεων. Παρατηρούμε ότι το φαινόμενο είναι πολύ έντονο στην αλυσίδα του Sr. Ε- πίσης, τείνει να εμφανίζεται σε γειτονικούς πυρήνες. Πίνακας 5: Διαφορά στην ενέργεια σύνδεσης και παραμορφώσεις για πυρήνες με συνύπαρξη σχήματος. Α BE pro BE obl β (pro) β (obl) Sr 80 0.091 0.001-0.187 9 0.073 0.138-0.13 94 0.176 0.14-0.1 96 0.547 0.450-0.63 98 0.046 0.444-0.313 100 0.363 0.436-0.314 10 0.968 0.437-0.337 104 0.457 0.418-0.58 106 0.533 0.40-0.59 114 0.04 0.053-0.057 116 0.03 0.065-0.046 Zr 8 0.76 0.486-0.01 Mo 106 0.055 0.366-0.31 108 0.679 0.376-0.33 8
4.5 Σύγκριση των ομάδων παραμέτρων Σε αυτήν την υποενότητα θέλουμε να επιβεβαιώσουμε την ισχύ του μοντέλου μας και σε άλλες ομάδες παραμέτρων. Για το σκοπό αυτό, χρησιμοποιούμε την ισοτοπική αλυσίδα Zr και υπολογίζουμε την ενέργεια σύνδεσης με τις παραμέτρους NL-SH και NL4 όπως αυτές ορίστηκαν στον πίνακα 1. Τα αποτελέσματα παρουσιάζονται στον πίνακα 6, όπου βλέπουμε τις ενέργειες σύνδεσης που προκύπτουν από τις τρεις ομάδες παραμέτρων καθώς και τις αποκλίσεις των NL-SH και NL4 από την NL3. Παρατηρούμε ότι οι τιμές της ενέργειας που δίνει η ομάδα παραμέτρων NL- SH διαφέρει από τις τιμές της NL3 κατά λιγότερο από 1 MeV στο μεγαλύτερο εύρος της αλυσίδας. Ομως σε πυρήνες με μεγαλύτερο μαζικό αριθμό οι α- ποκλίσεις φτάνουν τα -3 MeV. Ως αποτέλεσμα, η γραμμή κόρου νετρονίων διαφέρει και εντοπίζεται μετά το 14 Zr. Οσον αφορά την ομάδα παραμέτρων NL4, τα αποτελέσματά της διαφέρουν από αυτά της NL3 κατά 1 MeV. Αξιοσημείωτο είναι το γεγονός ότι για όλους τους πυρήνες η NL4 δίνει μεγαλύτερη ενέργεια σύνδεσης από την NL3. Σε γενικές γραμμές, οι διαφορές που παρατηρούνται δεν είναι μεγάλες, γεγονός που καθιστά το μοντέλο μας αξιόπιστο και σχετικά ανεξάρτητο της αρχικής παραμετροποίησης. 9
Πίνακας 6: Ενέργεια σύνδεσης για την αλυσίδα του Zr με τις παραμέτρους NL3, NLSH, NL4 και οι διαφορές αυτών. Α NL3 NLSH NLSH-NL3 NL4 NL4-NL3 76 604.68 604.89 0.1 606.6 1.59 78 637.14 637.49 0.35 638.64 1.50 80 665.57 666.39 0.83 667.07 1.51 8 690.77 690.71-0.06 691.67 0.90 84 715.0 714.8-0.38 716.8 1.6 86 738.5 736.75-1.50 738.95 0.70 88 761.64 760.49-1.15 76.44 0.80 90 783.53 783.5-0.8 784.44 0.91 9 797.3 796.4-0.90 798.10 0.78 94 810.6 811.39 0.78 81.09 1.47 96 84.63 85.09 0.46 86.13 1.50 98 837.36 838.0 0.66 838.99 1.63 100 850.0 850.78 0.58 851.76 1.56 10 861.4 861.66 0.41 86.78 1.54 104 870.80 871.09 0.30 87.3 1.5 106 881.4 881.14-0.10 88.84 1.60 108 890.38 890.0-0.36 89.09 1.71 110 898.01 897.54-0.47 899.78 1.77 11 904.79 903.9-0.87 906.66 1.87 114 91.66 909.95 -.71 914.7 1.61 116 919.0 916.4 -.60 90.30 1.9 118 95.35 9.04-3.31 96.85 1.50 10 931.47 98.18-3.9 933. 1.74 1 936.58 933.88 -.70 938.54 1.96 14 938.54 934.90-3.64 940.45 1.91 16 939.19 934.3-4.87 940.99 1.80 18 939.77 935.8-4.49 941.58 1.81 30
5 Συμπεράσματα Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι η σχετικιστική θεωρία μέσου πεδίου και τα συναρτησοειδή πυκνότητας μας προσφέρουν ένα αξιόπιστο θεωρητικό μοντέλο. Αναπαράγει σε καλό βαθμό τα πειραματικά δεδομένα, όπου εκείνα υπάρχουν. Επίσης, μπορεί να κάνει προβλέψεις σε περιοχές που δεν υπάρχουν πειραματικά δεδομένα, όπως τις προβλέψεις για τη γραμμή κόρου. Τέλος, το μοντέλο είναι ανεξάρτητο της παραμετροποίησης, αφου από τη μελέτη της υποενότητας 4.5 δεν εντοπίστηκαν σημαντικές διαφορές στη χρήση διαφορετικών παραμέτρων. 31
Αναφορές [1] Y.K. Gambir, P. Ring, A. Thimet, Relaticistic Mean Field Theory for Finite Nuclei, 1990 [] G. A. Lalazissis, S. Raman, P. Ring Ground-state properties of even-even nuclei in the Reletivistic Mean-Field Theory, 1999 [3] J. D. Walecka, Theoretical Nuclear and Subnuclear Physics [4] A.H. Wapstra, G. Audi, C. Thibault, The AME003 atomic mass evaluation, 003 [5] K. Marinova, I. Angeli, Nuclear Charge Radii [6] S. Raman, C. W. Nestor, P. Tikkanen, Transition probability from the ground state to the first-excited + state of even-even nuclides, 001 3