Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ονομάζεται ένα σύστημα από δύο κάθετους άξονες με κοινή αρχή στους οποίους οι μονάδες έχουν το ίδιο μήκος. Υπάρχουν περιπτώσεις στις οποίες επιβάλλεται να χρησιμοποιήσουμε διαφορετικές μονάδες μέτρησης στους άξονες x'x και y y. Ένα τέτοιο σύστημα δεν είναι ορθοκανονικό. Συντεταγμένες (τετμημένη, τεταγμένη ) σημείου ονομάζεται ένα μοναδικό για κάθε σημείο, ζευγάρι αριθμών (α, β) που αντιστοιχίζεται στο σημείο και μας επιτρέπει να προσδιορίσουμε την θέση του στο επίπεδο που είναι εφοδιασμένο με ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων. Το α ονομάζεται τετμημένη και το β τεταγμένη του σημείου. τεταγμένη συντεταγμένες τετμημένη
2 Κάθε ζεύγος αριθμών αντιστοιχεί σε ένα μόνο σημείο του Μ του επιπέδου. Το σύστημα των αξόνων χωρίζει το επίπεδο σε τέσσερα μέρη που λέγονται τεταρτημόρια. Kάθε σημείο του άξονα χ χ έχει τεταγμένη 0. Kάθε σημείο του άξονα y y έχει τετμημένη 0. www.ma8eno.gr Σελίδα 2
3 Το σημείο Μ(α,β) βρίσκεται: Πάνω από τον άξονα χ χ, όταν β > 0 Κάτω από τον άξονα χ χ, όταν β < 0 Πάνω από το σημείο Μ( α,β ), όταν β > β www.ma8eno.gr Σελίδα 3
4 Κάτω από το σημείο Μ( α,β ), όταν β < β www.ma8eno.gr Σελίδα 4
5 Συμμετρικό σημείου Το συμμετρικό του σημείου Μ(α,β) ως προς: τον άξονα χ χ είναι το Μ 1 (α,-β) τον άξονα y y είναι το Μ 2 (-α,β) την αρχή των αξόνων Ο είναι το Μ 3 (-α,-β) Απόσταση σημείων Η απόσταση των σημείων Α(χ 1, y 1 ) και Β(χ 2, y 2 ) είναι : ΑΒ = (χ 2 χ 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 Η απόσταση του σημείου Α(α,β) από τον άξονα: χ χ είναι β y y είναι α www.ma8eno.gr Σελίδα 5
6 Γραφική παράσταση συνάρτησης Γραφική παράσταση συνάρτησης f είναι το σύνολο όλων των σημείων M του επιπέδου με συντεταγμένες της μορφής (x, f(x)) με x A. Συμβολισμός C f. Εξίσωση γραφικής παράστασης της f: Είναι η εξίσωση y = f(x), όπου f(x) είναι ο τύπος της συνάρτησης f. Χαρακτηριστική ιδιότητα της y = f(x) : Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει στην γραφική παράσταση C f αν οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση y = f(x) και αντιστρόφως. Έστω (ε) μία ευθεία που τέμνει τον χχ στο Α. Την γωνία ω που διαγράφει η Αχ όταν περιστραφεί κατά την θετική φορά μέχρι να συμπέσει με την (ε) την λέμε γωνία της (ε) με τον χχ. Αν η ε//χχ τότε ω=0 www.ma8eno.gr Σελίδα 6
7 Συντελεστή διεύθυνσης ευθείας λέμε το λ = εφω (όπου ω είναι η γωνία που σχηματίζει η (ε) με τον χχ ) Παρατηρήσεις Tα σημεία του x x έχουν τεταγμένη μηδέν και τα σημεία του y y έχουν τετμημένη μηδέν. Από τον ορισμό της συνάρτησης, η τιμή της μεταβλητής x αντιστοιχίζεται σε μια μόνο τιμή της μεταβλητής y. Αυτό σημαίνει ότι στη γραφική παράσταση της συνάρτησης δεν υπάρχουν δύο ή περισσότερα σημεία που να έχουν την ίδια τετμημένη. Θα πρέπει δηλαδή κάθε ευθεία κάθετη στον άξονα χ χ να έχει το πολύ ένα σημείο τομής με τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης. Έτσι για παράδειγμα ο κύκλος δεν είναι γραφική παράσταση συνάρτησης. Όταν ένα σημείο βρίσκεται στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης, τότε οι συντεταγμένες του επαληθεύουν τη συνάρτηση. Όταν οι συντεταγμένες ενός σημείου επαληθεύουν μια συνάρτηση, τότε το σημείο θα ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης. Σημεία τομής με τους άξονες: www.ma8eno.gr Σελίδα 7
8 Για να βρούμε το σημείο τομής με τον άξονα y y, θέτουμε χ = 0 και το σημείο τομής είναι το ( 0,f(0)). Για να βρούμε τα σημεία τομής με τον άξονα χ χ, θέτουμε y = 0 οπότε f(χ 0 ) = 0 και τα σημεία τομής είναι τα ( χ 0,0), όπου χ 0 οι λύσεις της εξίσωσης f(χ) = 0. Σημεία τομής γραφικών παραστάσεων Για να βρούμε τα σημεία τομής δύο γραφικών παραστάσεων δύο συναρτήσεων f(χ) και g(χ)λύνουμε την εξίσωση f(χ) = g(χ) και αφού βρούμε το χ, βρίσκουμε και το y. Σχετικές θέσεις γραφικής παράστασης συνάρτησης αξόνων Πάνω από τον άξονα χ χ είναι όταν f(χ) > 0 Κάτω από τον άξονα χ χ είναι όταν f(χ) < 0 Σχετικές θέσεις γραφικής παράστασης συναρτήσεων Μια συνάρτηση f(χ) είναι πάνω από την g(χ) όταν f(χ) > g(χ) ή κάτω f(χ) < g(χ). www.ma8eno.gr Σελίδα 8