1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Προσανατολισμένο Ευθύγραμμο Τμήμα (π.ε.τ.) είναι το ευθύγραμμο τμήμα PQ στο οποίο ορίζουμε το άκρο Ρ αυτού να είναι η αρχή του π.ε.τ. και το άκρο Q αυτού να είναι το πέρας του π.ε.τ. Φορέας του π.ε.τ. PQ PQ καλείται η ευθεία που ορίζεται από τα σημεία Ρ και Q P Q Το π.ε.τ. σημείο Q" PQ QP Τα π.ε.τ. και Μήκος του π.ε.τ. ορίζει επί του φορέα του μία φορά "από το σημείο Ρ προς το PQ PQ έχουν τον ίδιο φορέα αλλά αντίθετη φορά καλείται το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος PQ 1

PQ ST Δύο π.ε.τ. και καλούνται συγγραμμικά όταν έχουν τον ίδιο φορέα ή παράλληλα όταν έχουν παράλληλους φορείς. PQ Τα π.ε.τ. και έχουν την ίδια φορά ST PQ ST Τα π.ε.τ. και έχουν αντίθετες φορές 2

Ορισμός: Δύο π.ε.τ. PQ και ST καλούνται ίσα π.ε.τ. όταν είναι συγγραμμικά ή παράλληλα, έχουν την ίδια φορά και έχουν το ίδιο μήκος, PQ οπότε γράφουμε = ST Ορισμός: To διάνυσμα Α που αντιστοιχεί στο π.ε.τ. των π.ε.τ. του χώρου που είναι ίσα με το ST A = ST : ST = ST PQ PQ PQ είναι το σύνολο όλων, δηλαδή Κάθε π.ε.τ. που ανήκει στο διάνυσμα Α καλείται αντιπρόσωπος του διανύσματος Α. 3

Ορισμός: Διεύθυνση του διανύσματος A= PQ είναι η δέσμη όλων των ευθειών που είναι παράλληλες προς την ευθεία PQ. Φορά του διανύσματος A = αντιπροσώπων του Α. PQ καλείται η κοινή φορά όλων των Μέτρο (ή μήκος) του διανύσματος A= καλείται το κοινό μήκος όλων των αντιπροσώπων του Α και συμβολίζεται με Α, δηλαδή A = = >. PQ PQ 4

Ορισμός: Γωνία των διανυσμάτων A= QPR, συμβολίζεται με ( A, B) PQ PR και B= καλείται το μέτρο της γωνίας ή απλά με ένα μικρό γράμμα, π.χ. θ, και ισχύει: ( A, B) π Q θ ) R P A και B συγγραμμικά (ή παράλληλα), δηλαδή Α// //Β όταν έχουν την ίδια διεύθυνση και τότε είναι: ( A, B) = A και B έχουν την ίδια φορά: A και B έχουν αντίθετες φορές: A και B ορθογώνια ή κάθετα,, : ή π A B ( A, B) = ( A, B) = π ( A, B) = π 2 5

Ορισμός: Ένα διάνυσμα Α που έχει μέτρο Α = 1 καλείται μοναδιαίο διάνυσμα (ή κατεύθυνση). Για κάθε διάνυσμα Α υπάρχει ακριβώς ένα μοναδιαίο διάνυσμα Α που έχει τη διεύθυνση και τη φορά του Α Δεχόμαστε ότι υπάρχει ένα μοναδικό διάνυσμα με μέτρο που δεν έχει διεύθυνση και φορά, το οποίο καλούμε μηδενικό διάνυσμα και θα το συμβολίζουμε με Ο 6

Ορισμός: Αν A= PQ και B= QR τότε άθροισμα Α+Β είναι το διάνυσμα A + B = PR 7

Ορισμός: Το βαθμωτό γινόμενο λ Α του αριθμού λ R επί το διάνυσμα Α καλείται το διάνυσμα που έχει - μέτρο λα = = λ Α - διεύθυνση αυτή του Α (όταν λ και Α ) - φορά την ίδια με το Α αν λ> και αντίθετη του Α αν λ< 8

2 ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ x,y,z Δεξιόστροφο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων x,y,z πληρούται ο κανόνας των τριών δάκτυλων του αριστερού χεριού: " Όταν ο αντίχειρας τον αριστερού χεριού δείχνει το θετικό ημιάξονα ΟΧ και ο μεσαίος δάκτυλος δείχνει το θετικό ημιάξονα ΟΥ, τότε ο δείκτης τον αριστερού χεριού δείχνει το θετικό ημιάξονα ΟΖ." 9

P=(A 1,A 2,A 3 ) τυχόν σημείο του χώρου OP Α= καλείται διάνυσμα θέσεως (ή διανυσματική ακτίνα) του σημείου P A=A 1 i+a 2 j+a 3 k Οι συντεταγμένες A 1, A 2, A 3 του P καλούνται συντεταγμένες του διαν. Α Άρα A=A 1 i+a 2 j+a 3 k ή A=(A 1,A 2,A 3 ) Τα διανύσματα A 1 i, A 2 j, A 3 k καλούνται συνιστώσες του διαν. Α Μέτρο A = A + 2 2 2 1 + A2 A3 1

11

3 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ, ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ, ΜΙΚΤΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝ. Για τα διανύσματα Α και Β ισχύει Α Β = αν και μόνον αν A B ή Α= ή Β= 12

A B 13

14

Για τα διανύσματα Α και Β ισχύει ΑxΒ = αν και μόνον αν A // B ή Α= ή Β= 15

16

Ορισμός: Μικτό γινόμενο τριών διανυσμάτων Α, Β, C (με αυτήν τη σειρά) καλείται ο αριθμός [ A B C] = A (B C) Θεώρημα: ΓιαταδιανύσματαΑ, Β, C ισχύει [Α ΒC] = αν και μόνον αν τα διανύσματα Α, Β, C είναι συνεπίπεδα (συμπεριλαμβάνοντας και τις ειδικές περιπτώσεις: (i) ένα από τα διανύσματα αυτά να είναι το Ο, και (ii) δύο τουλάχιστον από τα διανύσματα αυτά να είναι συγγραμμικά). 17

18

4 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 19

2

21

Θεώρημα: Αν οι διανυσματικές συναρτήσεις Α και Β είναι συνεχείς στο ανοικτό διάστημα Δ τότε και οι Α Β και ΑxB είναι επίσης συνεχείς στο Δ Θεώρημα: Η διανυσματική συνάρτηση Α(t)=At)=A 1 (t)i+ A 2 (t)j+ A 3 (t)k είναι συνεχής στο ανοικτό διάστημα Δ αν και μόνο αν οι A 1 (t), A 2 (t), A 3 (t) είναι επίσης συνεχείς στο Δ 22

5 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 23

Θεώρημα: Η σταθερή διανυσματική συνάρτηση Α(t)=A t, είναι παραγωγίσιμη και A = O Θεώρημα: Αν οι διαν. συναρτ. A, Β και η αριθμητική συνάρτηση φ είναι παραγωγίσιμες στο ανοικτό διάστημα Δ τότε (A (A B) + B) = A+ B (ϕ Α) = = A Α + ϕ B + A ϕ Α B (A λ σταθερός αριθμός C σταθερό διάνυσμα B) = A B + A B (λ Α) = λ Α ( ϕc) = ϕ C A = A1 i + A2 j+ A3 k 24

Θεώρημα (Συνθήκη σταθερού μέτρου): Για την παραγωγίσιμη διανυσματική συνάρτηση Α(t) t) t Δ ισχύει A(t) = σταθ. A = A A, A κάθετα, t Δ Θεώρημα (Συνθήκη σταθερής κατεύθυνσης): Για την παραγωγίσιμη διανυσματική συνάρτηση Α(t) t) t Δ ισχύει A o = σταθ. A A = A, A συγγραμ., t Δ 25

Θεώρημα (παράγωγος σύνθετης συνάρτησης): da da du = A = A(u) u = u(t ) dt du dt Θεώρημα (παράγωγος v τάξεως): A ( ν ) ( ν ) = A1 i + A2 j+ A ( ν ) ( ν ) 3 k 26

6 ΔΙΑΦΟΡΙΣΗ & ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ da = A dt Το διαφορικό da είναι διανυσματική συνάρτηση δύο ανεξάρτητων αριθμητικών μεταβλητών, των t και dt Α=A=A 1 i+ A 2 j+ A 3 k da = da 1 i+ da 2 j+ da 3 k Διαφόριση της Α καλείται η εύρεση του διαφορικού da της συνάρτησης Α 27

Η παράγωγος διαν. συν. είναι πηλίκο δύο διαφορικών (των da και dt): 28

Ορισμός: Αν η διαν. συν. Α είναι συνεχής στο ανοικτό διάστημα Δ και α,β Δ, τότε ορίζεται το ορισμένο ολοκλήρωμα της Α από το α μέχρι το β, και 29

Θεώρημα: Αν η διαν. συν. Α είναι συνεχής στο ανοικτό διάστημα Δ και α Δ, τότε η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο Δ και Ορισμός: Αν η διαν. συν. Α είναι συνεχής στο ανοικτό διάστημα Δ και α σταθερό σημείο του Δ, τότε η συνάρτηση καλείται αόριστο ολοκλήρωμα του διαφορικού Α(t)dt και συμβολίζεται ως 3

Όμως, επειδή κάθε συνάρτηση B(t)+ (t)+c, όπου C σταθερό διάνυσμα, έχει παράγωγο και πάλι την A(t) έχουμε Ολοκλήρωση της Α καλείται η εύρεση του αορίστου ολοκληρώματος του διαφορικού Α(t)dtt)dt Η διαφόριση και η ολοκλήρωση διανυσματικών συναρτήσεων είναι αντίστροφες πράξεις και αλληλοαναιρούνται 31

32

7 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΚΑΙ ΚΑΘΕΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΚΑΜΠΥΛΗΣ ΣΕ ΣΗΜΕΙΟ ΑΥΤΗΣ P 1 =P(t 1 ) A(t 1 ) A(t 2 ) P 2 =P(t 2 ) Η εξίσωση r=a(t A(t),, t Δ, t είναι η διανυσματική εξίσωση της καμπύλης c r=a(t A(t)= )=A 1 (t)i+ i+a 2 (t)j+ j+a 3 (t)k Οι εξισώσεις x=a 1 (t), y=a 2 (t), z=a 3 (t) είναι οι παραμετρικές εξισώσεις της καμπύλης c 33

Η καμπύλη c καλείται απλή όταν δεν αυτοτέμνεται, δηλαδή για t 1 t 2, ισχύει P(t 1 ) P(t 2 ) και Α(t 1 ) A(t 2 ) Η εφαπτομένη της καμπύλης c στο σημείο P =P(t ) αυτής, έχει τη διεύθυνση της παραγώγου και ορίζεται μόνο σε ομαλά σημεία A(t ) 34

Διανυσματική εξίσωση της εφαπτομένης της c στο σημείο P =P(t ) Παραμετρικές εξισώσεις της εφαπτομένης της c στο σημείο P =P(t ) Συνήθεις εξισώσεις της εφαπτομένης χωρίς παράμετρο Ai(t ), i = 1,2,3 35

(Ορίζεται σε ομαλό σημείο) 36

Αν η εφαπτομένη της καμπύλης c στο σημείο P =(x,y,z ) έχει διεύθυνση τότε η συνήθης εξίσωση του κάθετου επιπέδου της καμπύλης c στο σημείο P =(x,y,z ) είναι: Aν A1(t ) X x A A 3(t 2 (t ) ) Y y A 1(t ) Z z 1(t A ) = Aν A2(t ) Aν A3(t ) X x A 2(t ) Y y 1(t ) A A 3 (t ) Z z A 2(t ) = X x A 3(t ) Y A y 3(t ) Z z 1(t A A 2 (t ) ) = 37

Κατεύθυνση της εφαπτομένης (ή μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα), ε, της καμπύλης c, με διανυσματική εξίσωση Α(t), στο σημείο P =P(t ) ε A(t = A(t ) ) P * P Το αλγεβρικό μήκος s του τόξου της c είναι μια αριθμητική συνάρτηση του t και καλείται φυσική παράμετρος της καμπύλης c 38

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ Ή ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Αν οι αριθμητικές συναρτήσεις Α 1 =Α 1 (u,v,,w),,w), Α 2 =Α 2 (u,v,,w),,w), Α 3 =Α 3 (u,v,,w),w) των n ανεξαρτήτων μεταβλητών u,v,,w,w ορίζονται στον ίδιο τόπο D του R n τότε το διάνυσμα A=A 1 i+a 2 j+a 3 k είναι μια διανυσματική συνάρτηση των n μεταβλητών u,v,..,w Δηλαδή A=Α(u,v u,v,,w)=a,w)=a 1 (u,v,,w),w)i+a 2 (u,v,,w),w)j+a 3 (u,v,,w) w)k 39

11 ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΚΑΙ ΟΛΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ Η διανυσματική συνάρτηση A=Α(u,v u,v,,w),w) ορίζεται σε ένα τόπο D του R n Έστω P =(u,v,,w,w ) ένα σημείο του D Θεωρούμε τη διανυσματική συνάρτηση μίας μεταβλητής: A u (t)= )=Α(t,v,,w,w ), t Δt u όπου Δ u ={t R / (t,v,,w,w ) D} Αν υπάρχει η παράγωγος dau dt t= u τότε καλείται μερική παράγωγος της συνάρτησης Α ως προς τη μεταβλητή u στο σημείο P και συμβολίζεται A u P= P 4

Αν Α, Β, C διανυσματικές συναρτήσεις και φ αριθμητική συνάρτηση των μεταβλητών u,v,,w,w ισχύουν οι ιδιότητες: Οι μερικές παράγωγοι A, u A, v A w είναι διανυσματικές συναρτήσεις των μεταβλητών u,v,,w,w..., 41

Μερικές παράγωγοι δεύτερης τάξεως: 42

Ολικό διαφορικό της διανυσματικής συνάρτησης Α είναι μία διανυσματική συνάρτηση 2n ανεξάρτητων μεταβλητών (των u,v,,w και du,dv, dw) Ιδιότητα: Ο τύπος του ολικού διαφορικού πρώτης τάξεως, da, δεν εξαρτάται από το αν οι μεταβλητές u,v,,w,w είναι ανεξάρτητες ή συναρτήσεις άλλων ανεξάρτητων μεταβλητών [π.χ. u=u(s,t u(s,t), v=v(s,t v(s,t),,, w=w(s,t w(s,t)] 43

12 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΚΑΙ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΠΕΔΙΑ Μία αριθμητική συνάρτηση f(x,y,z) τριών ανεξάρτητων μεταβλητών x,y,z που ορίζεται σε ένα τόπο D του R 3, καλείται αριθμητικό πεδίο Μία διανυσματική συνάρτηση Α(x,y,z) τριών ανεξάρτητων μεταβλητών x,y,z που ορίζεται σε ένα τόπο D του R 3, καλείται διανυσματικό πεδίο Ορίζεται ο τελεστής που καλείται nabla ή ανάδελτα και γράφεται σχηματικά: = i x + j + k y z 44

Με τη βοήθεια του τελεστή ανάδελτα ορίζονται τα ακόλουθα πεδία: 45

Α ασυμπίεστο διανυσματικό πεδίο Α= = Α αστρόβιλο διανυσματικό πεδίο Α= 46

Για τον τελεστή ανάδελτα ισχύουν οι ιδιότητες: 47

Για τα αριθμητικά πεδία ορίζεται το σύμβολο του Laplace 2 = = x 2 2 + y 2 2 + z 2 2 για το οποίο χρησιμοποιείται και το σύμβολο Δ, δηλαδή Δ= 2 Με το σύμβολο του Laplace ορίζεται η λαπλασιανή ενός αριθμητικού πεδίου Δf = 2 f = 2 f 2 x + 2 f 2 y + 2 f 2 z η οποία είναι επίσης ένα αριθμητικό πεδίο Ιδιότητα: 48

13 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΤΑ ΜΗΚΟΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Στο χώρο R 3 θεωρούμε μια καμπύλη c με διανυσματική εξίσωση r=r(t r(t) Επίσης, θεωρούμε και ένα αριθμητικό πεδίο f=f(x,y,z f(x,y,z) που ορίζεται σε ένα τόπο του R 3 εντός του οποίου κείται η καμπύλη c Επί των σημείων της c ορίζεται μία αριθμητική συνάρτηση c f που καλείται παράγωγος συνάρτηση (ή απλά παράγωγος) του πεδίου f κατά μήκος της καμπύλης c Η «κατευθυνόμενη παράγωγος» εκφράζει την ταχύτητα μεταβολής της τιμής f(p) του πεδίου f, όταν το σημείο P κινείται επί της καμπύλης c, σε σχέση με το μήκος μετατόπισης του σημείου P 49

c f = f ε = f r(t) r(t) f ε είναι η κλίση του αριθμητικού πεδίου f επί των σημείων της c είναι το μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα της καμπύλης c: r=r(t r(t) 5

Αν η καμπύλη c είναι ευθεία παράλληλη προς την κατεύθυνση α τότε η κατευθυνόμενη παράγωγος καλείται παράγωγος του πεδίου f κατά την κατεύθυνση α και συμβολίζεται α f α f = f α = f cos θ θ είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων f και α max( α f ) = f min( α f ) = f α f = όταν α είναι η κατεύθυνση του διανύσματος f όταν -α είναι η κατεύθυνση του διανύσματος f όταν α f 51

15 ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Η διανυσματική συνάρτηση F(x,y,z)=F 1 (x,y,z)i+f 2 (x,y,z)j+f 3 (x,y,z)k ορίζεται και είναι συνεχής σε ένα τόπο D του R 3 Ο τόπος D περιέχει στο εσωτερικό του την απλή καμπύλη c: r(t)= )=x(t) x(t)i+y(t) +y(t)j+z(t) +z(t)k,, t [α,β] t Α = P(t= t=α) = (x(α), ),y( y(α),z(,z(α)) Β = P(t= t=β) ) = (x(β), ),y( y(β),z(,z(β)) Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα της παράστασης F 1 dx+f 2 dy+f 3 dz επί της καμπύλης c είναι το 52

Εκφράζει το έργο που παράγεται από τη μετακίνηση υλικού σημείου κατά μήκος της καμπύλης c από το σημείο Α μέχρι το σημείο Β υπό την επίδραση του πεδίου δυνάμεων F 53

Ιδιότητες: ΙΙ. Αν η καμπύλη c αποτελείται από πεπερασμένο πλήθος διαδοχικών τόξων, δηλαδή c=c 1 +c 2 + +c+c m με τότε 54

ΙΙΙ. Αν Α Β, δηλαδή η καμπύλη c είναι κλειστή καμπύλη, τότε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα επί της κλειστής καμπύλης c δεν εξαρτάται από το σημείο Α Β που λαμβάνεται ως αρχή της c αλλά μόνο από τη φορά διαγραφής της c 55

Αν c είναι μια απλή κλειστή καμπύλη του επιπέδου Oxy ορίζουμε ως «θετική φορά διαγραφής της c αυτή που είναι αντίθετη από τη φορά κίνησης των δεικτών του ρολογιού» Τότε, το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα συμβολίζεται με: 56

IV. Αν η παράσταση F 1 dx+f 2 dy+f 3 dz είναι το ολικό διαφορικό μίας αριθμητικής συνάρτησης f(x,y,z), δηλαδή [ ή f = F ] τότε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα είναι ανεξάρτητο από την καμπύλη c, που ακολουθούμε για να φθάσουμε από το σημείο Α(x 1,y 1,z 1 ) στο Β(x 2,y 2,z 2 ), και ισχύει: 57

V. Αν η παράσταση F 1 dx+f 2 dy+f 3 dz είναι το ολικό διαφορικό της αριθμητικής συνάρτησης f(x,y,z), τότε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα αυτής σε κάθε απλή κλειστή καμπύλη c είναι μηδέν () Δηλαδή: 58

Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι η F 1 dx+f 2 dy+f 3 dz ολικό διαφορικό μίας αριθμητικής συνάρτησης Θεωρούμε ότι οι F 1, F 2, F 3 έχουν μερικές παραγώγους ως προς x, y, z συνεχείς στον ανοικτό τόπο D του R 3 Όταν η παράσταση F 1 dx+f 2 dy+f 3 dz είναι το ολικό διαφορικό μίας αριθμητικής συνάρτησης f(x,y,z) τότε 59

Για να αποτελούν οι παραπάνω σχέσεις και ικανή συνθήκη για να είναι η παράσταση F 1 dx+f 2 dy+f 3 dz ολικό διαφορικό μίας αριθμητικής συνάρτησης f(x,y,z) σε ένα τόπο D, υποθέτουμε επιπλέον ότι: «ο τόπος D περιέχει τουλάχιστον ένα σημείο P =(α,β,γ) τέτοιο ώστε P=(x,y,z x,y,z) του D η τεθλασμένη γραμμή P P 1 P 2 P, όπου P 1 =(α,β,z) και P 2 =(α,y,z y,z), να κείται στο εσωτερικό του τόπου D» 6

Με την πρόσθετη υπόθεση της προηγούμενης διαφάνειας, οι σχέσεις είναι ικανή συνθήκη για να είναι η παράσταση F 1 dx+f 2 dy+f 3 dz ολικό διαφορικό στον τόπο D της αριθμητικής συνάρτησης f(x,y,z) 61

Στο επίπεδο Oxy, η σχέση είναι ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι η παράσταση F 1 dx+f 2 dy ολικό διαφορικό της αριθμητικής συνάρτησης f(x,y) αν ισχύει ότι: «ο τόπος D του R 2 περιέχει τουλάχιστον ένα σημείο P =(α,β) τέτοιο ώστε P=(x,y x,y) του D η τεθλασμένη γραμμή P P 1 P, όπου P 1 =(α,y), να κείται στο εσωτερικό του τόπου D» y P 1 =(α,y) P=( =(x,y) P =(α,β) x 62

Συντηρητικά πεδία και συνάρτηση δυναμικού Όταν ισχύει μία από τις παραπάνω ισοδύναμες σχέσεις, τότε το πεδίο F καλείται συντηρητικό και η συνάρτηση f καλείται συνάρτηση δυναμικού του πεδίου F Σε αυτή την περίπτωση, το έργο που παράγεται κατά τη μετατόπιση ενός σωματιδίου από το σημείο P 1 = (x 1,y 1,z 1 ) στο P 2 = (x 2,y 2,z 2 ) υπό την επίδραση του πεδίου F είναι ανεξάρτητο της τροχιάς και ισούται με τη διαφορά δυναμικού Δf f = f(x 2,y 2,z 2 ) - f(x 1,y 1,z 1 ) 63

Αν F είναι συντηρητικό πεδίο και f είναι η συνάρτηση δυναμικού αυτού S 1 και S 2 ισοβαρείς επιφάνειες της f S 1 : f(x 1,y 1,z 1 ) = c 1 όπου (x 1,y 1,z 1 ) τυχόν σημείο της S 1 S 2 : f(x 2,y 2,z 2 ) = c 2 όπου (x 2,y 2,z 2 ) τυχόν σημείο της S 2 Fdx 1 + F2 dy + F3 dz = Fdx 1 + F2dy + F3 dz = Δf 1 2 Q1Q 2 P P Δf f = f(x 2,y 2,z 2 ) - f(x 1,y 1,z 1 ) 64

Τύπος του Green Δίνει μία σχέση μεταξύ: - του επικαμπύλιου ολοκληρώματος επί μίας απλής κλειστής καμπύλης c του επιπέδου Oxy και - του διπλού ολοκληρώματος στον κλειστό χώρο Τ που ορίζεται από την καμπύλη c. H κλειστή καμπύλη c πρέπει να μην έχει διπλό σημείο (να μην αυτοτέμνεται). Το χωρίο Τ πρέπει να περιέχει όλα τα σημεία που βρίσκονται στο εσωτερικό και επί της καμπύλης c. Το χωρίο Τ πρέπει να μπορεί να χωρισθεί με πεπερασμένο πλήθος παραλλήλων προς τους άξονες Ox και Οy σε χωρία T 1, T 2, καθένα από τα οποία είναι «απλό χωρίο και ως προς x και ως προς y» 65

Χωρίο απλό ως προς y: φ 1 (x)<φ 2 (x) α<x<β Μόνο στα άκρα α, β μπορούμε να έχουμε φ 1 (α)=φ 2 (α) ή φ 1 (β)=φ 2 (β) Κάθε παράλληλος προς τον άξονα Oy που διέρχεται από το εσωτερικό του Τ έχει ακριβώς δύο σημεία κοινά με την καμπύλη ΑΒΓΔΑ 66

Χωρίο απλό ως προς x: φ 1 (y)<φ 2 (y) γ<y<δ Μόνο στα άκρα γ, δ μπορούμε να έχουμε φ 1 (γ)=φ 2 (γ) ή φ 1 (δ)=φ 2 (δ) Κάθε παράλληλος προς τον άξονα Ox που διέρχεται από το εσωτερικό του Τ έχει ακριβώς δύο σημεία κοινά με την καμπύλη ΑΒΓΔΑ 67

Χωρίο απλό ως προς x και ως προς y: Κάθε παράλληλος προς τον άξονα Oy με εξίσωση x=x, α<x <β και κάθε παράλληλος προς τον άξονα Ox με εξίσωση y=y, γ<y <δ τέμνουν την καμπύλη c σε ακριβώς δύο σημεία 68

Ο τύπος του Green: Η απλή κλειστή καμπύλη c διαγράφεται κατά τη θετική φορά. 69

Γενίκευση του τύπου του Green: Ο τύπος του Green ισχύει και όταν μία παράλληλος προς έναν από τους άξονες τέμνει την καμπύλη c σε περισσότερα από δύο σημεία Ο τύπος του Green ισχύει σχεδόν για κάθε απλή κλειστή καμπύλη του επιπέδου (απαιτείται πεπερασμένο πλήθος παραλλήλων προς τους δύο άξονες για να χωρισθεί το χωρίο Τ σε απλά χωρία ως προς x και ως προς y) 7

Υπολογισμός εμβαδού επιπέδου χωρίου με τον τύπο του Green: Θεωρούμαι τις συναρτήσεις F 1 = και F 2 =x ή F 1 =-y και F 2 = και τότε: 71

Ας θεωρήσουμε δύο απλές κλειστές καμπύλες c και c* H καμπύλη c* βρίσκεται εξ ολοκλήρου στο εσωτερικό του χωρίου που ορίζει η c Το χωρίο Τ αποτελείται από τα σημεία των c και c* καθώς και όλα τα σημεία που είναι εσωτερικά της c και εξωτερικά της c* Η σχέση F1 F2 Ισχύει ακόμα και όταν οι συναρτήσεις F 1, F2,, y x δεν ορίζονται ή δεν είναι συνεχείς σε κάποιο από τα εσωτερικά σημεία της καμπύλης c*, τα οποία βέβαια δεν ανήκουν στο Τ 72

Επικαμπύλια ολοκληρώματα αριθμητικών συναρτήσεων Θεωρούμε μία αριθμητική συνάρτηση f(x,y,z) ορισμένη και συνεχή σε ένα τόπο D του R 3 στο εσωτερικό του οποίου κείται εξ ολοκλήρου η καμπύλη c με παραμετρικές εξισώσεις x=x(t x(t), y=y(t y(t), z=z(t z(t) όπου t [α,β] Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα του γινομένου f(x,y,z) ds επί της καμπύλης c όπου πάντα α β Συμβολίζεται: 73

Ιδιότητες: Ι. Αν η καμπύλη c αποτελείται από πεπερασμένο πλήθος διαδοχικών τόξων, δηλαδή c=c 1 +c 2 + +c n τότε ΙΙ. 74