Ανάλυση Αποτελεσμάτων

Ανάλυση Αποτελεσμάτων (Output Data Analysis) Προσομοίωση Βιομηχανικής Παραγωγής & Επιχειρήσεων ΚΕΦ. 6 Μοντελοποίηση Τυχαίοι Αριθμοί Διαγράμματα Επαλήθευση Ανάλυση Αποτελεσμάτων

Στόχος της Ανάλυσης Αποτελεσμάτων Συλλογή και ανάλυση των αποτελεσμάτων που προκύπτουν από ένα πείραμα το οποίο διεξάγεται με τη βοήθεια ενός μοντέλου προσομοίωσης. Η ανάλυση γίνεται: 1. για να βοηθήσει στη λήψη αποφάσεων 2. κατά τη διαδικασία της επαλήθευσης και ελέγχου της αξιοπιστίας του μοντέλου. Μέθοδοι για την παραγωγή αξιόπιστου δείγματος μέσω της προσομοίωσης. Τα αποτελέσματα της προσομοίωσης αποτελούν παράγωγα δειγματοληψίας και επομένως για την εξαγωγή συμπερασμάτων πρέπει να ακολουθήσει ανάλυση του δείγματος, όπως ακριβώς θα γινόταν εάν διεξαγόταν ένα πραγματικό πείραμα. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 7.2

Τυχαία Δείγματα Δεδομένων Οι πληροφορίες που προκύπτουν από μια προσομοίωση εμφανίζουν τυχαιότητα, είναι τιμές στοχαστικών μεταβλητών, γιατί η είσοδος (ή κάποιο στάδιο στον μηχανισμό του μοντέλου) περιλαμβάνει τυχαίες μεταβλητές, συνήθως τυχαίους αριθμούς από γεννήτριες (π.χ. τυχαίους αφίξεων πελατών). Αυτό σημαίνει ότι αν τρέξουμε το πρόγραμμα προσομοίωσης περισσότερες από 1 φορές, τροφοδοτώντας το κάθε φορά με διαφορετική ακολουθία τυχαίων αριθμών, αναμένουμε και την παραγωγή διαφορετικού δείγματος δεδομένων (π.χ. χρόνους αναμονής στην ουρά). ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 7.3

Στόχοι Προσομοίωσης - Δεδομένα Κάθε προσομοίωση ανάλογα με το στόχο έχει διαφορετικές απαιτήσεις στη συλλογή στοιχείων για στατιστική επεξεργασία. 1. προσομοίωση που αναπτύσσεται για διερευνητικούς σκοπούς (description, investigation) πρέπει να παρέχει πληροφορίες που σχετίζονται με διάφορους δείκτες απόδοσης. 2. προσομοίωση γίνεται για να συγκριθούν εναλλακτικά σενάρια/στρατηγικές (comparison), σχεδιάζονται διαδοχικές εκτελέσεις του προγράμματος με στόχο την παραγωγή δείγματος από κάθε εναλλακτική στρατηγική. 3. Στην περίπτωση που το μοντέλο κατασκευάζεται με στόχο την πρόβλεψη (prediction, forecast), είναι πιθανόν να γίνουν όλα τα παραπάνω, διερευνητική/περιγραφική εμφάνιση των αποτελεσμάτων με τη χρήση γραφικής αναπαράστασης, με συλλογή και έλεγχο των δεικτών απόδοσης, αλλά επιπλέον να εκτιμηθούν και οι τάσεις του συστήματος με τη δημιουργία δεδομένων σε μορφή χρονοσειράς. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 7.4

Κατάσταση Ισορροπίας Οριακή Κατάσταση Ορισμός: Ένα σύστημα θεωρείται ότι βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας (steady state) ή οριακή κατάσταση ή σταθερή κατάσταση, αν η πιθανότητα να βρίσκεται σε οποιαδήποτε από τις δυνατές του καταστάσεις δίνεται από μια σταθερή συνάρτηση πιθανότητας (ανεξάρτητη του χρόνου). Στην κατάσταση ισορροπίας η τρέχουσα συμπεριφορά του συστήματος δεν επηρεάζεται πλέον από τις αρχικές συνθήκες εκκίνησης και γενικά η πιθανότητα να εμφανιστεί μια κατάσταση δεν εξαρτάται από τη χρονική στιγμή του ρολογιού της προσομοίωσης. Το σύστημα προσεγγίζει την κατάσταση ισορροπίας του καθώς η παράμετρος του χρόνου t τείνει στο άπειρο. Ορισμός: Μια προσομοίωση ονομάζεται οριακής κατάστασης ή κατάστασης ισορροπίας (steady state simulation) αν ο χρόνος του ωρολογίου τείνει στο άπειρο (πρακτικά αν τρέχει για μεγάλο χρονικό διάστημα), έτσι ώστε όλες μεταβλητές κατάστασης του μοντέλου να φτάσουν σε κατάσταση ισορροπίας. Κάθε προσομοίωση οριακής κατάστασης διέρχεται από μια αρχική περίοδο/φάση η οποία ονομάζεται περίοδος σταθεροποίησης ή παροδική φάση (transient period). ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 7.5

Κατάσταση Ισορροπίας- Παροδική φάση Ένα σύστημα θεωρείται ότι βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας (steady state) ή οριακή κατάσταση ή σταθερή κατάσταση, αν η πιθανότητα να βρίσκεται σε οποιαδήποτε από τις δυνατές του καταστάσεις δίνεται από μια σταθερή συνάρτηση πιθανότητας (ανεξάρτητη του χρόνου). Κάθε προσομοίωση οριακής κατάστασης διέρχεται από μια αρχική περίοδο/φάση η οποία ονομάζεται περίοδος σταθεροποίησης ή παροδική φάση (transient period) Αν τρέξουμε μια προσομοίωση είναι αναμενόμενο στην αρχή οι μεταβλητές κατάστασης να «περάσουν» μια παροδική φάση μέχρι να σταθεροποιηθούν οι τιμές τους. Π.χ. η ουρά σε ένα σύστημα εξυπηρέτησης ξεκινά από το μηδέν και αν έρχονται πολλοί πελάτες θα αρχίσει να αυξάνει, μέχρι να σταθεροποιηθεί ανάλογα με το ρυθμό αφίξεων και ρυθμό εξυπηρέτησης μετά από κάποιο χρονικό διάστημα. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 7.6

Τερματική- Μη Τερματική Προσομοίωση υπάρχουν συστήματα τα οποία δεν μπορούν να λειτουργήσουν για θεωρητικά άπειρο χρονικό διάστημα ή δεν μας ενδιαφέρει να πλησιάσουν κάποια οριακή κατάσταση ή δεν είναι απαραίτητο να συμβεί αυτό για να φτάσουν σε οριακή κατάσταση. Η προσομοίωση τέτοιων συστημάτων ονομάζεται τερματική προσομοίωση, ολοκληρώνεται/ τερματίζεται με βάση κάποιο χρονικό κριτήριο ή κριτήριο γεγονότος και η ολοκλήρωση αυτή συμπίπτει με τον τερματισμό της λειτουργίας του συστήματος. Π.χ. στο σύστημα εξυπηρέτησης πελατών μιας τράπεζας επειδή κάθε ημέρα ξεκινά σε συγκεκριμένη ώρα η εξυπηρέτηση πελατών και τελειώνει επίσης σε συγκεκριμένη ώρα έχουμε μια τερματική προσομοίωση. Συνδυάζοντας την έννοια του Τερματισμού με την Κατάσταση Ισορροπίας έχουμε τις παρακάτω 4 περιπτώσεις: 1. Μη τερματική προσομοίωση με περιοδική ισορροπία 2. Τερματική προσομοίωση χωρίς ισορροπία 3. Μη τερματική προσομοίωση με κατάσταση ισορροπίας 4. Τερματική προσομοίωση με κατάσταση ισορροπίας ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 7.7

Σύστημα Χωρίς Ισορροπία 1. Μη τερματική προσομοίωση με περιοδική ισορροπία Το σύστημα δεν παρουσιάζει κατάσταση ισορροπίας στο σύνολο του χρόνου μετά την παροδική φάση, μπορούμε να δούμε «παροδικές» καταστάσεις ισορροπίας. 2. Τερματική προσομοίωση χωρίς ισορροπία Το σύστημα μετά την παροδική φάση στην αρχή δεν προλαβαίνει να σταθεροποιηθεί και μηδενίζεται. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 7.8

Σύστημα σε Κατάσταση Ισορροπίας 3. Μη τερματική προσομοίωση με κατάσταση ισορροπίας Το σύστημα παρουσιάζει κατάσταση ισορροπίας στο σύνολο του χρόνου μετά την παροδική φάση. 4 Τερματική προσομοίωση με κατάσταση ισορροπίας Το σύστημα μετά την παροδική φάση στην αρχή σταθεροποιείται (κατάσταση ισορροπίας) και στη συνέχεια μηδενίζεται. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 7.9

Κατάσταση Ισορροπίας Συστήματος- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Το σύστημα επεξεργάζεται 2 τύπους εργασιών, ΑΑ και ΑΕ. Η κάθε μεταβλητή φαίνεται να παρουσιάζει ισορροπία μετά τις πρώτες 15 εργάσιμες ημέρες του έτους τόσο για τους δύο τύπους όσο και για το σύνολο των εργασιών. Η ισορροπία διαταράσσεται τουλάχιστον 2 φορές, η μια οφείλεται στις θερινές διακοπές και η άλλη στην έναρξη του νέου ακαδημαϊκού έτους. Το σύστημα είναι τερματικό με χρονικό σημείο τερματισμού το τέλος του ημερολογιακού έτους. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 7.1 0

Τυχαιότητα Δεδομένων (Παρατηρήσεων) Με την προσομοίωση ενός συστήματος/μοντέλου έχουμε στόχο να δημιουργήσουμε δεδομένα (παρατηρήσεις) του συστήματος που κατόπιν θα επεξεργαστούμε στατιστικά. Θεωρητικά μας ενδιαφέρει να παράγουμε ανεξάρτητες παρατηρήσεις και αυτό είναι εφικτό με 3 μεθόδους λήψης δεδομένων: 1. μέθοδος των ανεξάρτητων επαναλήψεων/εκτελέσεων της προσομοίωσης. 2. μέθοδος των συνεχόμενων δεσμών ή συνεχόμενων εκτελέσεων. 3. μέθοδος της ανανέωσης ή αναγέννησης. Στην κάθε περίπτωση συστήματος λαμβάνουμε υπόψη το αν το σύστημα είναι τερματικό και σε κατάσταση ισορροπίας. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 7.1 1

Μέθοδοι Λήψης Δεδομένων (Παρατηρήσεων) -1 1. Η συνηθισμένη μέθοδος λήψης ανεξάρτητων και ισόνομων παρατηρήσεων είναι η μέθοδος των ανεξάρτητων επαναλήψεων/εκτελέσεων της προσομοίωσης. Με τη μέθοδο αυτή, ο αναλυτής πραγματοποιεί μια σειρά από ξεχωριστές και ανεξάρτητες μεταξύ τους εκτελέσεις («τρεξίματα») της προσομοίωσης. Οι εκτελέσεις αυτές είναι ίδιου χρονικού μήκους (ή ίδιου πλήθους γεγονότων). Ο μέσος όρος, δηλαδή ένας δείκτης απόδοσης από κάθε ανεξάρτητη επανάληψη της εκτέλεσης του προγράμματος (π.χ. το μέσο μήκος της ουράς αναμονής) χρησιμοποιείται ως μια παρατήρηση του δείγματος. 2. Η μέθοδος των συνεχόμενων δεσμών ή συνεχόμενων εκτελέσεων. Η μέθοδος αυτή μειώνει τη συσχέτιση μεταξύ των παρατηρήσεων με τη χρήση μιας συνεχούς εκτέλεσης της προσομοίωσης η οποία διαμοιράζεται σε ισομήκη τμήματα («δέσμες», «παρτίδες»). Αφού αγνοηθεί ένα αρχικό τμήμα που αφορά την παροδική φάση, τα επόμενα τμήματα είναι τα ξεχωριστά δείγματα των οποίων οι μέσοι όροι θα αποτελούν τις παρατηρήσεις του τελικού δείγματος. Η τελική κατάσταση κάθε προηγούμενου τμήματος αποτελεί την αρχική κατάσταση για το κάθε επόμενο. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 7.1 2

Μέθοδοι Λήψης Δεδομένων (Παρατηρήσεων) -2 3. Η μέθοδος της ανανέωσης ή αναγέννησης. Με την τεχνική αυτή αντιμετωπίζονται επίσης τα προβλήματα που προκύπτουν από τη συσχέτιση και τη μεροληψία στα αποτελέσματα λόγω των συνθηκών εκκίνησης. Η μέθοδος χρησιμοποιείται σε περιπτώσεις συστημάτων τα οποία, καθώς εξελίσσεται ο χρόνος, φαίνεται ότι διέρχονται ξανά από μια κατάσταση που έχει ήδη παρατηρηθεί, δηλαδή, αναγεννούνται. Όταν το σύστημα, και το μοντέλο που το περιγράφει, εμφανίζεται να επανέρχεται σε μια προηγούμενή του μορφή ή κατάσταση, τότε το σημείο αυτό ονομάζεται σημείο ανανέωσης ή αναγέννησης. Το χρονικό διάστημα ανάμεσα σε δύο σημεία ανανέωσης ονομάζεται "εποχή" ή "κύκλος" ή "περίοδος". Στο παράδειγμα επειδή παρατηρούμε ότι οι τιμές της μεταβλητής «ακολουθούν κύκλους» χρησιμοποιούμε τις τιμές (παρατηρήσεις) κάθε κύκλου σαν 1 δείγμα. Τα δείγματα που αντιστοιχούν σε κάθε κύκλο δεν έχουν ίσο μήκος (πλήθος τιμών) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 7.1 3

Ανάλυση Δεδομένων Εξόδου - Εκτιμητές Σε τερματικά μοντέλα η συλλογή δεδομένων για την εκτίμηση κάποιας παραμέτρου γίνεται αποτελεσματικά μόνο με τη μέθοδο των ανεξάρτητων επαναλήψεων. Κάθε επανάληψη δίνει 1 ανεξάρτητη παρατήρηση που προκύπτει από τον αριθμητικό μέσο (ή άλλου είδους μέσο ή από κάποια τιμή δείκτη) των τιμών της τυχαίας μεταβλητής από την επανάληψη αυτή. Για να υπολογίσουμε ένα 100(1-α)% διάστημα εμπιστοσύνης για την αντίστοιχη άγνωστη παράμετρο, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την κατανομή t-student. Παράδειγμα Τερματικού Μοντέλου: Σύστημα με 1 εργαζόμενο σε μια θυρίδα πώλησης εισιτηρίων. Μας ενδιαφέρει να εκτιμήσουμε το μέσο χρόνο αναμονής των πελατών. Ο χρόνος αναμονής είναι μια τυχαία μεταβλητή που τη συμβολίζουμε με W (εξαρτάται από την ουρά και τον χρόνο εξυπηρέτησης). Επειδή ο υπάλληλος εργάζεται 8ωρο κάθε «τρέξιμο» της προσομοίωσης θα αφορά 1 8ωρο. Κάθε προσομοίωση θα αφορά 1 ημέρα λειτουργίας, θα προκύπτει μια εκτίμηση w i όπου i=1,2,3,..,n οι ημέρες δηλ. για n ημέρες. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΕΠΟΜΕΝΗ ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 7.1 4

Ανάλυση Δεδομένων Εξόδου Εκτιμητές μ, σ Παράδειγμα Τερματικού Μοντέλου: Στο σύστημα με 1 εργαζόμενο σε μια θυρίδα πώλησης εισιτηρίων μας ενδιαφέρει να εκτιμήσουμε τον μέσο χρόνο αναμονής των πελατών. Ο χρόνος αναμονής είναι μια τυχαία μεταβλητή που τη συμβολίζουμε με W (εξαρτάται από την ουρά και τον χρόνο εξυπηρέτησης). Επειδή εργάζεται 8ωρο κάθε «τρέξιμο» της προσομοίωσης θα αφορά ένα 8ωρο. Από κάθε προσομοίωση για ένα 8ωρο, προκύπτει μια εκτίμηση w i όπου i=1,2,3,,n ημέρες προσομοίωσης. Θέλουμε να εκτιμήσουμε το μέσο μ=ε(w), το μέσο χρόνο παραμονής στο σύστημα ενός πελάτη. Για τα δεδομένα κάθε ημέρας θα έχουμε n i πελάτες οπότε ο μέσος για κάθε ημέρα θα είναι: n i w i = 1 σ n i u=1 wiu όπου το u=1,2,3,, n i εκφράζει τους n i πελάτες της i ημέρας που προσομοιώθηκε. Επομένως κάθε «ημέρα» προσομοίωσης i θα αναπαριστάτε από την αντίστοιχη μέση τιμή w i. Αν προσομοιώσουμε n ημέρες, ο μέσος θα είναι: μ=ε(w)= ഥw = 1 σ n i=1 n w i δηλαδή ο μέσος των μέσων των n ημερών! Η τυπική απόκλιση του W θα υπολογιστεί από τη γνωστή σχέση: s w = 1 σ n i n 1 u=1 (wi ഥw) 2 Έχοντας εκτιμήσει το μέσο μ και την τυπική απόκλιση σ μπορούμε να υπολογίσουμε Διαστήματα Εμπιστοσύνης (Δ.Ε.) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 7.1 5

Ανάλυση Δεδομένων Εξόδου Εκτιμητές Δ.Ε. Παράδειγμα Τερματικού Μοντέλου: Στο σύστημα με 1 εργαζόμενο σε μια θυρίδα πώλησης εισιτηρίων μας ενδιαφέρει να εκτιμήσουμε τον μέσο χρόνο αναμονής των πελατών. μέσος μ=ε(w)= ഥw = 1 σ n i=1 n w i δηλαδή ο μέσος των μέσων των n ημερών! Η τυπική απόκλιση του W είναι s w = 1 σ n i n 1 u=1 (wi ഥw) 2 Για το Διάστημα Εμπιστοσύνης (Δ.Ε.) με πιθανότητα a χρησιμοποιούμε την αντίστοιχη κρίσιμη τιμή από τον πίνακα t-student t n-1,a/2 και ισχύει: Δ.Ε.(100-a%)=(μέσος- t n-1,a/2 *τυπ. Απόκλιση/ n, μέσος- t n-1,a/2 *τυπ. απόκλιση/ n) => Δ.Ε.(100-a%)=(ഥw+ t n-1,a/2 *s w / n, ഥw+ t n-1,a/2 *s w / n) Το εύρος r (range) του Δ.Ε. είναι r= t n-1,a/2 *s w / n => n(r)=(t n-1,a/2 *s w /r) 2 Η σχέση n(r)=(t n-1,a/2 *s w /r) 2 μας επιτρέπει να υπολογίσουμε το n (πόσες προσομοιώσεις θα εκτελέσουμε) αν θέλουμε να εκτιμήσουμε μια τιμή σε ένα Δ.Ε. με εύρος 2r. Επειδή στην προσομοίωση έχουμε τη δυνατότητα να «τρέξουμε» το μοντέλο όσες φορές θέλουμε, μπορούμε να αποφασίσουμε τον αριθμό προσομοιώσεων n, με κριτήριο την επιθυμητή «ακρίβεια» της εκτίμησης. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 7.1 6

Παράδειγμα 6.1: BATMAN Airlines Το παράδειγμα αφορά το σύστημα online κρατήσεων με χρήση 11 υπολογιστών servers. Εκτελούμε 20 προσομοιώσεις (επαναλήψεις) για χρόνο ίσο 1 βάρδιας κάθε φορά. Η μεταβλητή Χ είναι ο αριθμός των server που είναι απασχολημένοι στο σύστημα. Αν πάρουμε σαν δείγμα τις 10 πρώτες προσομοιώσεις, υπολογίζουμε ഥΧ=9.331 και s Χ =0.137 ενώ από πίνακα t για a=5% είναι t n-1,a/2 = t 9,0.025 =2.26 επομένως για το Διάστημα Εμπιστοσύνης (Δ.Ε.): Δ.Ε.(100-a%)=(ഥΧ+ t n-1,a/2 *s Χ / n, ഥΧ+ t n-1,a/2 *s Χ / n) =(9.2331, 9.4289) => ΕΥΡΟΣ= 9.4289-9.2331=0.1958 Αν πάρουμε σαν δείγμα τις 20 προσομοιώσεις, υπολογίζουμε ഥΧ=9.349 και s Χ =0.153 ενώ από πίνακα t για a=5% είναι t n-1,a/2 = t 19,0.025 =2.093 επομένως για το Διάστημα Εμπιστοσύνης (Δ.Ε.): Δ.Ε.(100-a%)=(ഥΧ+ t n-1,a/2 *s Χ / n, ഥΧ+ t n-1,a/2 *s Χ / n) =(9.2779, 9.4201) => ΕΥΡΟΣ=9.4201-9.2779=0.1422 ΤΟ ΕΥΡΟΣ με n=20 είναι (0.196-0142)/0196=27% μικρότερο ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Αυξάνοντας το n (μέγεθος δείγματος) είναι γνωστό ότι μειώνουμε την εκτιμωμένη διακύμανση των τιμών και η εκτιμωμένη ποσότητα έχει μικρότερη διακύμανση, έχουμε μεγαλύτερη ακρίβεια στην εκτίμηση. Από τη σχέση n(r)=(t n-1,a/2 *s w /r) 2 μπορούμε να υπολογίσουμε το n αν επιθυμούμε την ακρίβεια (ΕΥΡΟΣ) r 7.1 7

Ανάλυση Δεδομένων Εξόδου - Εκτιμητές Μη τερματικά μοντέλα, μοντέλα σε κατάσταση ισορροπίας Σε μη τερματικά μοντέλα, που βρίσκονται σε κατάσταση ισορροπίας, μπορεί κανείς να εφαρμόσει τη μέθοδο των επαναλήψεων (με απόρριψη της παροδικής φάσης) αλλά και τη μέθοδο των συνεχόμενων δεσμών. Μέθοδος συνεχόμενων Δεσμών: Αν έχουμε μοντέλο σε κατάσταση ισορροπίας πραγματοποιούμε μια προσομοίωση μεγάλου μήκους και την χωρίζουμε σε n ίσα τμήματα (δέσμες), κάθε τμήμα με k παρατηρήσεις είναι ένα δείγμα. Υπολογίζουμε τα στατιστικά από τα n τμήματα. Στο παράδειγμα αφού απορρίψουμε το τμήμα παροδικής φάσης, χωρίζουμε την περίοδο της κατάστασης ισορροπίας σε ίσα τμήματα (δέσμες) που το καθένα είναι 1 δείγμα. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 7.1 8

Μήκος Δέσμης- Μοντέλα σε Κατάσταση Ισορροπίας Στη Μέθοδο συνεχόμενων Δεσμών μπορεί να έχουμε προβλήματα εξαιτίας των συσχετίσεων στα δείγματα που προέρχονται από 1 προσομοίωση μεγάλου μήκους. Η λύση είναι να χρησιμοποιήσουμε μεγάλη τιμή του k (μήκος κάθε τμήματος-δέσμης) Αν έχουμε μοντέλο σε κατάσταση ισορροπίας πραγματοποιούμε μια προσομοίωση μεγάλου μήκους και την χωρίζουμε σε n ίσα τμήματα (δέσμες), κάθε τμήμα με k παρατηρήσεις είναι ένα δείγμα. Υπολογίζουμε τα στατιστικά από τα n τμήματα. Στο παράδειγμα αφού απορρίψουμε το τμήμα παροδικής φάσης, χωρίζουμε την περίοδο της κατάστασης ισορροπίας σε ίσα τμήματα (δέσμες) που το καθένα είναι 1 δείγμα. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 7.1 9

Μέθοδος Ανανέωσης ή Αναγέννησης Η βασική ιδέα είναι ότι η εκτέλεση της προσομοίωσης μπορεί να διαχωριστεί σε μια σειρά από κύκλους όχι ίσου μήκους, κάθε κύκλος μπορεί να θεωρηθεί ως ανεξάρτητη επανάληψη. Στο σημείο της ανανέωσης το σύστημα εμφανίζεται σαν να ξεκινάει πάλι από την αρχή, χωρίς να επηρεάζεται καθόλου από ότι προηγήθηκε. Το μήκος του κύκλου είναι τυχαία μεταβλητή και εξαρτάται από τον χρόνο που μεσολαβεί ανάμεσα σε δύο σημεία ανανέωσης. Όπως στις ανεξάρτητες επαναλήψεις θεωρούμε ότι οι παρατηρήσεις που προκύπτουν από κάθε κύκλο είναι ανεξάρτητες και ισόνομες. Στο παράδειγμα επειδή παρατηρούμε ότι οι τιμές της μεταβλητής «ακολουθούν κύκλους» χρησιμοποιούμε τις τιμές (παρατηρήσεις) κάθε κύκλου σαν 1 δείγμα. Τα δείγματα που αντιστοιχούν σε κάθε κύκλο δεν έχουν ίσο μήκος (πλήθος τιμών). ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 7.2 0

Μέθοδοι Μείωσης Διασποράς Εκτιμητών όσο μεγαλύτερη είναι η διασπορά της τυχαίας μεταβλητής που μετράμε στην έξοδο προσομοίωσης (διασπορά s 2 =σ 2 /n για την μέση τιμή), τόσο μειώνεται η αξιοπιστία της εκτίμησης. Η αποδοτικότητα ενός εκτιμητή μπορεί να εκφραστεί μέσω του εύρους του διαστήματος εμπιστοσύνης το οποίο γενικά έχει τη μορφή: x±z a/2 σ/ n όπου z a/2 η τιμή από την τυποποιημένη κανονική κατανομή. Τρόπος μείωσης της δειγματικής διασποράς s 2 =σ 2 /n μιας εκτίμησης, είναι η αύξηση του μεγέθους του δείγματος n, αν αυτό είναι δύσκολο χρησιμοποιούμε μεθόδους μείωσης διασποράς σ των εκτιμητών. Παράδειγμα Έστω ότι μας ενδιαφέρει η διαφορά 2 τυχαίων μεταβλητών Χ-Υ (που μπορεί να είναι 2 εναλλακτικές του μοντέλου), οπότε ξέρουμε ότι για την διασπορά της διαφοράς ισχύει: Var(X - Y) = Var(X) + Var(Y) - 2Cov(X,Y) Όπου Cov(X,Y) είναι η Συνδιακύμανση των X,Y που είναι Cov(X,Y) 0 αν οι μεταβλητές Χ,Υ είναι συσχετισμένες. Επομένως αν θέλουμε να μειώσουμε τη διασπορά της Χ-Υ, η λύση είναι να χρησιμοποιήσουμε (παράγουμε στην προσομοίωση) Χ και Υ που να είναι συσχετισμένες ώστε από την παραπάνω σχέση να μειωθεί το Var(X-Y). ΕΠΟΜΕΝΗ ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 7.21

Μέθοδοι Μείωσης Διασποράς Εκτιμητών 1. Αν συγκρίνουμε εναλλακτικές διαμορφώσεις λειτουργίας (σενάρια) ενός συστήματος: Κοινές ακολουθίες τυχαίων αριθμών Χρησιμοποιούμε ακριβώς τους ίδιους τυχαίους σε όλες τις εναλλακτικές αν έχουμε να εκτιμήσουμε τις διαφορές μεταξύ εναλλακτικών, δηλαδή χρήση στην είσοδο της ίδιας (κοινής) ακολουθίας γεγονότων, δηλ. κοινή ακολουθία τυχαίων αριθμών (αυτό μπορεί απλά να σημαίνει τον ίδιο σπόρο στη γεννήτρια για το τρέξιμο των εναλλακτικών). 2. Όταν υπολογίζουμε τους δείκτες απόδοσης σε ένα σύστημα: Αντιθετικές ή συμπληρωματικές παρατηρήσεις Η μέθοδος αυτή εισάγει αρνητική συσχέτιση μεταξύ των παρατηρήσεων με την παραγωγή μιας τιμής από κάποιον τυχαίο αριθμό, έστω R, και ακόμη μιας από τον συμπληρωματικό (αντιθετικό) του τον 1-R (π.χ. αν R=0.23 τότε 1-R=1-0.23=0.77). αν εκτελέσουμε n ζεύγη επαναλήψεων έτσι ώστε σε κάθε ζεύγος να έχουμε χρησιμοποιήσει συμπληρωματικούς τυχαίους αριθμούς, θα πάρουμε n ζεύγη παρατηρήσεων στην έξοδο έστω (x i, y i ), i=1,2,...,n. Τα x i προκύπτουν από τη χρήση μιας ακολουθίας τυχαίων αριθμών, ενώ τα y i προκύπτουν με τη χρήση της συμπληρωματικής της ακολουθίας. Τα ζεύγη είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους, όμως, αναμένεται ότι τα (x i, y i ), i=1,2,...,n θα είναι αρνητικά συσχετισμένα λόγω των συμπληρωματικών τυχαίων αριθμών. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 7.22

Στατιστική Σύγκριση Εναλλακτικών Διαμορφώσεων (Configurations) Η σύγκριση εναλλακτικών σχεδιασμών/ στρατηγικών, πριν από κάθε εφαρμογή τους στο πραγματικό σύστημα, είναι ένας από τους στόχους των μοντέλων προσομοίωσης. Η σύγκριση γίνεται με μεθόδους στατιστικής ανάλυσης των αποτελεσμάτων από διαφορετικά μοντέλα προσομοίωσης που αντιπροσωπεύουν τις ανταγωνιστικές διαμορφώσεις σχεδιασμού ενός συστήματος ή τις εναλλακτικές στρατηγικές λειτουργίας του. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Έστω ότι έχουμε την περίπτωση όπου δύο σενάρια (Α και Β) συγκρίνονται ως προς τον δείκτη που αφορά την ημερήσια παραγωγική δυναμικότητα ενός συστήματος. Το Σενάριο Α δίνει μέσο όρο των 1.050 μονάδων/ημέρα, ενώ το σενάριο Β 1.080 μονάδων/ημέρα. Μήπως αυτό σημαίνει ότι το σενάριο Β είναι καλύτερο από το σενάριο Α; Για να είμαστε βέβαιοι ότι πραγματικά υπάρχει διαφορά στις τιμές που προκύπτουν πρέπει να κάνουμε Έλεγχο Υποθέσεων για τους μέσους, οπότε θα χρησιμοποιηθούν ακόμα 2 παράγοντες (στατιστικές παράμετροι): α) η τυπική απόκλιση της μέσης ημερήσιας απόδοσης για τα δύο σενάρια s A, s B β) οι επαναλήψεις που χρησιμοποιήθηκαν για να παραχθούν τα αποτελέσματα n A, n B Μια άλλη προσέγγιση βασίζεται στη δημιουργία και τη μελέτη Διαστημάτων Εμπιστοσύνης για τη διαφορά μεταξύ των αποτελεσμάτων, που είναι η άλλη όψη του νομίσματος για τους ελέγχους υποθέσεων. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 7.23

Διαστήματα Εμπιστοσύνης (Δ.Ε.) για τη Διαφορά Έστω X 11,X 12, X 1n1 ένα τυχαίο δείγμα από n 1 ανεξάρτητες και ισόνομες παρατηρήσεις από το σενάριο 1 με μέσο μ 1 =Ε(X 1j ) και X 21,X 22, X 2n2 ένα τυχαίο δείγμα από n 2 ανεξάρτητες και ισόνομες παρατηρήσεις από το σενάριο 2 με μέσο μ 2 =Ε(X 2j ). Για να συγκρίνουμε τα 2 σενάρια πρέπει να κατασκευάσουμε Διάστημα Εμπιστοσύνης για τη διαφορά δ=μ 1 μ 2. Υποθέτοντας ότι οι τυχαίοι αριθμοί που παράγονται στην είσοδο είναι οι ίδιοι για τα δύο σενάρια (αυτό έχει ως αποτέλεσμα τα X 1j και X 2j να μην είναι ανεξάρτητα) και ότι n 1 =n 2 =n. Το 100(1-α)% διάστημα εμπιστοσύνης (Paired-t confidence interval) για τη διαφορά μεταξύ των αποτελεσμάτων από τα δύο σενάρια, υπολογίζεται από την σχέση: Όπου D είναι οι διαφορές D i =X 1i- X 2i, ഥD η μέση διαφορά και s D η τυπική απόκλιση των διαφορών. t n-1,a/2 τιμή από πίνακα t-student ΕΠΟΜΕΝΗ ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 7.24

Διαστήματα Εμπιστοσύνης (Δ.Ε.) για τη Διαφορά Έχοντας υπολογίσει το Δ.Ε. για τη διαφορά δ=μ 1 μ 2 Αποτέλεσμα (a): Το Διάστημα Εμπιστοσύνης είναι εντελώς αριστερά του μηδενός. Συμπέρασμα ότι στο καθορισμένο επίπεδο εμπιστοσύνης α (συνήθως 95%), ο δείκτης απόδοσης για το σενάριο 1 είναι μικρότερος από τον αντίστοιχο για το σενάριο 2. Αποτέλεσμα (b): Το Διάστημα Εμπιστοσύνης περιλαμβάνει το μηδέν. Συμπέρασμα ότι στο καθορισμένο επίπεδο εμπιστοσύνης α (συνήθως 95%), ο δείκτης απόδοσης για το σενάριο 1 ΔΕΝ διαφέρει σημαντικά από τον αντίστοιχο για το σενάριο 2. Αποτέλεσμα (c): Το Διάστημα Εμπιστοσύνης είναι εντελώς δεξιά του μηδενός. Συμπέρασμα ότι στο καθορισμένο επίπεδο εμπιστοσύνης α (συνήθως 95%), ο δείκτης απόδοσης για το σενάριο 1 είναι μεγαλύτερος από τον αντίστοιχο που ισχύει για το σενάριο 2. Ελέγχουμε τη «θέση» του Δ.Ε. ως προς το Ο ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 7.25

Διαστήματα Εμπιστοσύνης (Δ.Ε.) για τη Διαφορά με n 1 n 2 Αν οι τυχαίοι αριθμοί που παράγονται στην είσοδο δεν είναι οι ίδιοι στο πλήθος n 1 n 2, ένα 100(1-α)% Διάστημα Εμπιστοσύνης για τη διαφορά μεταξύ των αποτελεσμάτων με n 1 n 2 υπολογίζεται ως εξής: f o εκτιμώμενος βαθμός ελευθερίας, ο οποίος γενικά δεν είναι ακέραιος αριθμός και ο υπολογισμός του σημείου t f,1 a/2 γίνεται με τη χρήση του κανόνα της παρεμβολής στον πίνακα της t-κατανομής (μπορεί να χρησιμοποιηθεί ο μέσος των 2 πλησιέστερων τιμών) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 7.26

Διαστήματα Εμπιστοσύνης (Δ.Ε.) για τη Διαφορά Παράδειγμα 1 Έστω τα παρακάτω δεδομένα από 2 εναλλακτικά σενάρια Α, Β για 1 μοντέλο προσομοίωσης Προσομοίωση σενάριο A σενάριο B Διαφορά D 1 8.09 8.65-0.56 2 8.30 9.98-1.68 3 8.17 9.43-1.26 4 8.55 8.46 0.09 5 8.21 9.72-1.52 6 8.21 8.61-0.41 7 9.93 9.04 0.89 8 9.64 9.78-0.14 9 9.25 8.98 0.27 10 8.99 9.64-0.65 Μέσος 8.73 9.23-0.50 τυπ. Αποκλ. 0.67 0.55 0.82 Υπολογίζουμε: διαφορές D i =X Αi- X Βi, ഥD=-0.50 η μέση διαφορά και s D =0.82 η τυπική απόκλιση των διαφορών. t n-1,a/2 τιμή από πίνακα t-student t n-1,a/2 = t 9,0.025 =2.262 Επομένως Δ.Ε.(95%)=(-050-2.262*0.82/ 10, -0502.262*0.82/ 10)= (-1.09, 0.09) Επειδή το Δ.Ε. περιλαμβάνει την τιμή 0 συμπεραίνουμε ότι τα 2 εναλλακτικά σενάρια ΔΕΝ διαφέρουν στατιστικά σημαντικά σε επίπεδο α=5% (με πιθανότητα 95% είναι ισοδύναμα) Ελέγχουμε τη «θέση» του Δ.Ε. ως προς το Ο ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 7.27

Διαστήματα Εμπιστοσύνης (Δ.Ε.) για τη Διαφορά Παράδειγμα 2 (α=5%) Έστω τα παρακάτω δεδομένα από 2 εναλλακτικά σενάρια Α, Β για 1 μοντέλο προσομοίωσης Προσομοίωση σενάριο A σενάριο B Διαφορά D 1 10.93 11.46-0.53 2 8.95 10.58-1.64 3 10.85 10.56 0.29 4 9.83 11.31-1.48 5 9.32 11.83-2.51 6 9.63 10.54-0.91 7 8.27 10.93-2.65 8 9.44 11.31-1.87 9 10.57 11.24-0.66 10 9.86 10.01-0.15 Μέσος 9.77 10.98-1.21 τυπ. Αποκλ. 0.84 0.55 0.98 Υπολογίζουμε: διαφορές D i =X Αi- X Βi, ഥD=-1.21 η μέση διαφορά και s D =0.98 η τυπική απόκλιση των διαφορών. t n-1,a/2 τιμή από πίνακα t-student t n-1,a/2 = t 9,0.025 =2.262 Επομένως Δ.Ε.(95%)=(-1.21-2.262*0.98/ 10, -1.21+2.262*0.98/ 10)= (-1.91, -0.51) Επειδή το Δ.Ε. είναι αριστερά του 0 συμπεραίνουμε ότι το σενάριο Α έχει μικρότερη τιμή σε επίπεδο α=5% (με πιθανότητα 95% είναι μικρότερο) Ελέγχουμε τη «θέση» του Δ.Ε. ως προς το Ο ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 7.28

Διαστήματα Εμπιστοσύνης (Δ.Ε.) για τη Διαφορά Παράδειγμα 2 (α=1%) Έστω τα παρακάτω δεδομένα από 2 εναλλακτικά σενάρια Α, Β για 1 μοντέλο προσομοίωσης Προσομοίωση σενάριο A σενάριο B Διαφορά D 1 10.93 11.46-0.53 2 8.95 10.58-1.64 3 10.85 10.56 0.29 4 9.83 11.31-1.48 5 9.32 11.83-2.51 6 9.63 10.54-0.91 7 8.27 10.93-2.65 8 9.44 11.31-1.87 9 10.57 11.24-0.66 10 9.86 10.01-0.15 Μέσος 9.77 10.98-1.21 τυπ. Αποκλ. 0.84 0.55 0.98 Υπολογίζουμε: διαφορές D i =X Αi- X Βi, ഥD=-1.21 η μέση διαφορά και s D =0.98 η τυπική απόκλιση των διαφορών. ΑΝ α=1% t n-1,a/2 τιμή από πίνακα t-student t n-1,a/2 = t 9,0.005 =3.250 Επομένως Δ.Ε.(99%)=(-1.21-3.250*0.98/ 10, -1.21+3.250*0.98/ 10)= (-2.22, -0.20) Επειδή το Δ.Ε. είναι αριστερά του 0 συμπεραίνουμε ότι το σενάριο Α έχει μικρότερη τιμή σε επίπεδο α=1% (με πιθανότητα 99% είναι μικρότερο) Αν κάνουμε «αυστηρότερο» τον έλεγχο από α=5% σε α=1% το ΔΕ πάντα «μεγαλώνει» Ελέγχουμε τη «θέση» του Δ.Ε. ως προς το Ο ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 7.29

Σύγκριση Πολλών Εναλλακτικών Σεναρίων Αν έχουμε περισσότερα από 2 εναλλακτικά σενάρια για ένα σύστημα/μοντέλο προσομοίωσης, τότε πρέπει να χρησιμοποιήσουμε διαφορετική προσέγγιση. Χρήση της ανισότητας Bonferroni: Αν θέλουμε να κατασκευάσουμε c διαστήματα εμπιστοσύνης με συνολικό επίπεδο σημαντικότητας α, τα επιμέρους διαστήματα εμπιστοσύνης θα πρέπει να κατασκευαστούν με επίπεδο σημαντικότητας α/c. Παράδειγμα: Εάν 10 διαστήματα εμπιστοσύνης πρόκειται να κατασκευαστούν για σύγκριση εναλλακτικών και απαιτείται ένα συνολικό επίπεδο σημαντικότητας 10% (βαθμός εμπιστοσύνης 90%), κάθε διάστημα εμπιστοσύνης θα πρέπει να υπολογίζεται με επίπεδο σημαντικότητας 1% (βαθμός εμπιστοσύνης 99%). ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 7.30

Σύγκριση Πολλών Εναλλακτικών Σεναρίων: Παράδειγμα Πολιτικών Αποθεμάτων 1 Χρήση της ανισότητας Bonferroni: Αν θέλουμε να κατασκευάσουμε c διαστήματα εμπιστοσύνης με συνολικό επίπεδο σημαντικότητας α, τα επιμέρους διαστήματα εμπιστοσύνης θα πρέπει να κατασκευαστούν με επίπεδο σημαντικότητας α/c. Έστω ότι έχουμε τη σύγκριση 4 διαφορετικών (s, S) πολιτικών ελέγχου αποθεμάτων (Stock) σε σχέση με την τρέχουσα πολιτική που εφαρμόζεται από μια επιχείρηση (s to ελάχιστο stock και S το μέγιστο Stock). Οι πολιτικές που θέλουμε να συγκρίνουμε είναι: Από την προσομοίωση τους προέκυψαν τα κόστη: Από αντίστοιχες προσομοιώσεις του συστήματος προέκυψαν οι μέσοι για κάθε πολιτική, το ερώτημα είναι αν οι πολιτικές διαφέρουν στατιστικά σημαντικά μεταξύ τους! ΕΠΟΜΕΝΗ ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 7.31

Σύγκριση Πολλών Εναλλακτικών Σεναρίων: Παράδειγμα Πολιτικών Αποθεμάτων 2 Εάν θέλουμε να συγκρίνει κάθε εναλλακτική πολιτική με την τρέχουσα, σύμφωνα με την ανισότητα Bonferroni πρέπει να κατασκευαστούν 4 διαστήματα εμπιστοσύνης (c=k-1, όπου k είναι ο αριθμός των πολιτικών). Αν το συνολικό επίπεδο εμπιστοσύνης που θέλουμε είναι 95% (επίπεδο σημαντικότητας α=5%), τότε τα επιμέρους επίπεδα σημαντικότητας πρέπει να είναι c/k=5/4=1,25%. Τα 4 διαστήματα εμπιστοσύνης με α=1,25% είναι: Από τον πίνακα φαίνεται ότι οι πολιτικές 2, 3 και 5 είναι καλύτερες σε σχέση με την τρέχουσα πολιτική 1 (έχουν αναμενόμενο κόστος μικρότερο). Η πολιτική 4 δεν διαφέρει σημαντικά από την τρέχουσα πολιτική 1 (υπάρχει το 0 στο Δ.Ε.) ΔΕΝ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΒΓΑΛΟΥΜΕ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΛΥΤΕΡΗ ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΕΠΟΜΕΝΗ ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 7.32

Σύγκριση Πολλών Εναλλακτικών Σεναρίων: Παράδειγμα Πολιτικών Αποθεμάτων 3 Εάν θέλουμε να συγκρίνουμε όλες τις 5 πολιτικές μεταξύ τους, τότε πρέπει να κατασκευαστούν 10 Διαστήματα Εμπιστοσύνης c=k(k 1)/2=5*4/2=20/2=10, όπου k=5 είναι ο αριθμός των πολιτικών). Για συνολικό βαθμό εμπιστοσύνης 90% (α=10%), τα επιμέρους διαστήματα εμπιστοσύνης πρέπει να υπολογιστούν σε επίπεδο σημαντικότητας α=10%/10=1%. Τα διαστήματα και η σύγκριση όλων των πολιτικών μεταξύ τους αυτά παρουσιάζονται στους 2 πίνακες. 3 Η χρήση της ανισότητας Bonferroni είναι αποτελεσματική όταν ο αριθμός των εναλλακτικών σεναρίων είναι μικρός. Όταν αυξηθεί ο αριθμός των εναλλακτικών, μπορεί να γίνει πολύ μεγάλο το c=k(k-1)/2 για k=10 εναλλακτικές έχουμε c=10*9/2=45 Δ.Ε.!!! ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 7.33

Σύγκριση Πολλών Εναλλακτικών Σεναρίων: Παράδειγμα Πολιτικών Αποθεμάτων 4 Εάν θέλουμε να συγκρίνουμε όλες τις 5 πολιτικές μεταξύ τους, τότε πρέπει να κατασκευαστούν 10 Διαστήματα Εμπιστοσύνης σε επίπεδο σημαντικότητας α=10%/10=1%. Ποια πολιτική είναι καλύτερη??? καλύτερη η 2 της 1 καλύτερη η 3 της 1 3 καλύτερη η 5 της 1 καλύτερη η 3 της 2 καλύτερη η 2 της 4 καλύτερη η 3 της 5 καλύτερη η 3 της 4 καλύτερη η 5 της 4 Αν ελέγξουμε στον πίνακα τα αποτελέσματα για κάθε εναλλακτική πολιτική: Η 1 έχει καλύτερες (Πολ. 1 > Πολ. 2) Η 2 έχει καλύτερες (Πολ. 2 > Πολ. 3) Η 3 ΔΕΝ έχει καλύτερες Η 4 έχει καλύτερες (Πολ. 3 > Πολ. 4) Η 5 έχει καλύτερες (Πολ. 3 > Πολ. 5) ΕΠΟΜΕΝΩΣ Η 3 είναι η καλύτερη όλων! (αναμενόμενο αν δούμε ότι είχε το μικρότερο κόστος) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 7.34

Βελτίωση Αποτελεσματικότητας Πειραματισμού Επειδή στην προσομοίωση χρειάζεται να κάνουμε πειραματισμούς για την βελτίωση της απόδοσης του συστήματος/μοντέλου μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε Προσεγγίσεις Βελτίωσης Αποτελεσματικότητας της διαδικασίας του πειραματισμού: 1) Τεχνικές σχεδιασμού πειραμάτων (experimental design): εντοπισμός των πειραματικών παραγόντων που είναι πιο πιθανό να οδηγήσουν σε βελτιώσεις, μειώνοντας το σύνολο των συνδυασμών που πρέπει να αναλυθούν. 2) Μετά-μοντελοποίηση (meta-modelling): Χρήση των αποτελεσμάτων εξόδου ενός μοντέλου προσομοίωσης σε ένα άλλο νέο μοντέλο (όχι προσομοίωσης αλλά «αναλυτικό»). Επειδή το μετά-μοντέλο (meta model) τρέχει πολύ πιο γρήγορα από την προσομοίωση, αυτό δίνει τη δυνατότητα να μελετηθούν πολλοί περισσότεροι συνδυασμοί παραγόντων/τιμών. Η πιο διαδεδομένη τεχνική μετά-μοντελοποίησης είναι εκείνη της πολλαπλής παλινδρόμησης στην οποία ένας δείκτης απόδοσης χρησιμοποιείται ως εξαρτημένη μεταβλητή, ενώ οι πειραματικοί παράγοντες θεωρούνται ανεξάρτητες μεταβλητές (οπότε εξετάζεται η επίδραση των παραγόντων στον δείκτη). 3) Βελτιστοποίηση (optimization): Με τη βελτιστοποίηση γίνεται προσπάθεια να καταστεί δυνατή η αποτελεσματική αναζήτηση των συνδυασμών παραγόντων και τιμών ώστε να βρεθεί ο καλύτερος δυνατός συνδυασμός τους. Ονομάζεται βελτιστοποίηση με προσομοίωση (simulation optimization). Είναι αντίστοιχη με τις αναλυτικές μεθόδους της βελτιστοποίησης. Υπάρχει ένα σύνολο μεταβλητών απόφασης και μια αντικειμενική συνάρτηση που πρέπει να βελτιστοποιηθεί (εισόδημα, κόστος, κέρδος, απόδοση, ωφέλεια κ.ά.). Με τους πειραματισμούς της προσομοίωσης αναζητάμε τις τιμές των μεταβλητών που βελτιστοποιούν την αντικειμενική συνάρτηση. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 7.35

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 1. Πότε ένα σύστημα είναι σε κατάσταση ισορροπίας και πότε έχουμε προσομοίωση κατάστασης ισορροπίας. 2. Τι είναι παροδική φάση προσομοίωσης, πως αντιμετωπίζουμε τα προβλήματα που δημιουργεί. 3. Ποιες είναι οι 3 μέθοδοι λήψης δεδομένων προσομοίωσης. 4. Τι είναι η μέθοδος των ανεξάρτητων επαναλήψεων στην προσομοίωση. 5. Ποια (-ες) οι διαφορές της μεθόδου ανεξάρτητων επαναλήψεων με τη μέθοδο δεσμών. 6. Έστω ότι έχουμε την προσομοίωση του συστήματος αναμονής σε μια στάση αστικού λεωφορείου μιας πόλης. Αν θέλουμε να εκτιμήσουμε το μέσο χρόνο αναμονής των επιβατών, ποια είναι η κατάλληλη μέθοδος λήψης δεδομένων και γιατί. 7. Ποιες είναι μέθοδοι για μείωση της Διασποράς στην προσομοίωση, ποιο στόχο έχουν. 8. Πως μπορούμε να συγκρίνουμε 2 εναλλακτικές στρατηγικές (σενάρια) σε ένα σύστημα με την προσομοίωση? 9. Πως μπορούμε να συγκρίνουμε 5 εναλλακτικές στρατηγικές (σενάρια) σε ένα σύστημα/μοντέλο προσομοίωσης? 10. Γιατί κάνουμε έλεγχο Διαστήματος Εμπιστοσύνης σε 1 μοντέλο προσομοίωσης. 11. Πως μπορούμε να κάνουμε έλεγχο εναλλακτικών σεναρίων σε μοντέλο προσομοίωσης. 12. Που χρησιμοποιούμε την ανισότητα Bonferroni? 13. Τι είναι η τεχνική μετα-μοντελοποίηση? 14. Πως μπορούμε να κάνουμε βελτιστοποίηση ενός συστήματος/μοντέλου με προσομοίωση? ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 7.36

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 1. Έστω τα παρακάτω δεδομένα από 2 εναλλακτικά σενάρια Α, Β για 1 μοντέλο προσομοίωσης. Συγκρίνετε τα 2 σενάρια με Δ.Ε.(95%) Προσομοίωση σενάριο A σενάριο B Διαφορά D 1 8.86 7.91 0.96 2 7.12 7.74-0.63 3 6.89 9.86-2.97 4 7.85 9.63-1.78 5 6.48 8.43-1.95 6 5.07 8.85-3.78 7 6.86 9.21-2.35 8 7.76 7.42 0.34 9 7.31 7.01 0.30 10 8.72 8.83-0.10 Μέσος -1.20 τυπ. Αποκλ. 1.59 Τιμές από πίνακα t για df 8-9-10-11-12 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 7.37

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 2. Έστω τα παρακάτω δεδομένα από 2 εναλλακτικά σενάρια Α, Β για 1 μοντέλο προσομοίωσης. Συγκρίνετε τα 2 σενάρια με Δ.Ε.(95%) Προσομοίωση σενάριο A σενάριο B 1 8.50 8.00 2 8.00 7.70 3 6.70 9.90 4 7.70 9.50 5 6.50 8.50 Τιμές από πίνακα t για df 4-5-6 Model System SIMULATION ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 7.38