Βέλτιστος Έλεγχος μέσω Λογισμού των ( ) Μεταβολών Εστω σύστημα!x ( t) = a x( t),u( t),t με t 0, x(t 0 ) καθορισμένα. Ζητείται η εύρεση κατάλληλης συνάρτησης ελέγχου u*(t) που, παράγοντας τη τροχιά x*(t) μέσω της παραπάνω ΔΕ του συστήματος, αντιστοιχεί σε ακρότατη τιμή του συναρτησιακού Στο συναρτησιακό, το ολοκλήρωμα αντιστοιχεί στην διαδικασία της πορείας του συστήματος μεταξύ [t 0, t f ] ενώ η συνάρτηση h(x(t f ), t f ) εξαρτάται μόνο από την τελική κατάσταση και χρόνο. Ποιές είναι οι αντιστοιχες συνθηκες που μας οδηγούν στην εύρεση του ακροτάτου? Παρατηρούμε ότι οπότε το συναρτησιακό γίνεται Επειδή το h(x(t 0 ), t 0 ) είναι ανεξάρτητο της βελτιστοποίησης (εξαρτάται μόνο από τα x(t 0 ), t 0 που είναι προκαθορισμένα) μπορούμε να ασχοληθούμε με την εύρεση ακροτάτων για το Αν δε, εφαρμόσουμε τον «κανόνα της αλυσίδας» Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 70
Βέλτιστος Έλεγχος μέσω Λογισμού των Μεταβολών ( ) Οι ΔΕ!x ( t) = a x( t),u( t),t του συστήματος εισάγονται ως ισοτικοί περιορισμοί μέσω των πολ/στών Lagrange οπότε, άν «δομηθούν» με τη μορφή του διανύσματος T p( t) = p 1 ( t) p ( t)! p n ( t), λαμβάνουμε Ορίζοντας Καταλήγουμε στο (γνώριμο) πρόβλημα ευρεσης ακροτάτων για το συναρτησιακό ] Aν ακολουθήσουμε τη γνωστή τακτική εύρεσης ολικής και πρωτης μεταβολής με βαση τις μεταβολές δ x,δ!x,δu,δ p και ότι δεν εμφανίζονται τα!u,!p στο g a έχουμε + Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 71 ( ) + +
Βέλτιστος Έλεγχος μέσω Λογισμού των Μεταβολών + + + Αν ληφθεί υπόψη η μορφή της g a και το Ακρογωνιαίο Θεώρημα Λογισμού των Μεταβολών λαμβάνουμε εξισώσεις τύπου Euler (διαφορικές) και Οριακών συνθηκών (αλγεβρικές) που πρέπει να ικανοποιούν οι επιζητούμενες συναρτήσεις ακροτάτων x ( t), p ( t),u ( t). Δηλαδη Εξισώσεις κατάστασης Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 7 ( ) Εξισώσεις «Συγκατάστασης» (Co- state Equakons) Εξισώσεις Ελέγχου Οριακές Εξισώσεις Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 7
Βέλτιστος Έλεγχος μέσω Λογισμού των Μεταβολών Αν στa παραπάνω εισάγουμε την έννοια την Χαμιλτονιανής ή Συνάρτησης Pontryagin Οι προηγούμενες εξισώσεις των ακροτάτων γίνονται Εξισώσεις κατάστασης Εξισώσεις «Συγκατάστασης» (Co- state Equakons) Εξισώσεις Βελτίστου Ελέγχου Οριακές Εξισώσεις Όπως και στη προηγούμενη θεώρηση (βελτιστοποίηση συναρτησιακού χωρίς ισοτικούς περιορισμούς), ανάλογα με τις τελικές οριακές συνθήκες, οι παραπάνω σχέσεις εξειδικεύονται όπως φαίνονται στον επόμενο πίνακα: Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 73
Βέλτιστος Έλεγχος μέσω Λογισμού των Μεταβολών Αντικατάσταση στις Οριακές Εξισώσεις 3. 4. 5. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 74
Παράδειγμα- 1 Ξ Solukon u ( t) = p ( t) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 75
Παράδειγμα- 1 Solukon Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 76
Παράδειγμα- 1 Εξισώσεις Καταστασης, x(0)=0 Εξισώσεις Συγκατάστασης: x( 0) = 0 h x x( ) p ( ) = 0 p( ) = x( ) 5 T Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 77
Παράδειγμα- Αναζητουμε τον βέλτιστο σχεδιασμό προφυλακτήρα για «βέλτιστη απόδοση» κατά τη σύγκρουση Θεωρούμε ως είσοδο τη δύναμη από το προφυλακτήρα και το μοντελλο: x1 = y x = y! Με y την μετατόπιση από τη στιγμή της προσκρουσης και μετά. Οι λειτουργικές προδιαγραφές είναι: ti = 0 tf = 1 y(ti) = 0, y (ti) = 4 y(tf) = free, y (tf) = 0 Η έννοια του «βελτιστου» υλοποιείται t μ έσω ελαχιστοποίησης ενός κριτηρίου =1 1 λειτουργικής απόδoσης J =!! y ( t ) dt t =0 ΛΥΣΗ: Οι εξισώσεις κατάστασης f i x!1 = x x! = F =u m οπότε ως είσοδος u ελήφθη η ανα μονάδα μάζας δύναμη και το κριτήριο 1 λειτουργικής απόδoσης γίνεται J ( u ) = 1 u ( t ) dt 0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 78
Παράδειγμα- Θεωρούμε την Χαμιλτονιανή Η εξίσωση Βελτίστου Ελέγχου είναι οπότε x,u, p Οι εξισώσεις συγκατάστασης Οι εξισώσεις κατάστασης είναι Οι οριακές συνθήκες είναι t=0: t=1: H ( x,u, p) = 1 u + p 1 x + p u H u = H u ( ) = 0 = u + p u = p!p 1 = H = 0 p 1 ( t) = c 1 x 1!p = H = p 1 = c 1 p x ( ) = 0 c 4 = 0 x ( 0) = 4 c 3 = 4 x 1 0 ( ) = 0 c + c 3 = 0 c = 4 x 1 ( 1) : free h x 1 x 1 p 1!x = H = p = c 1 t c x p H = H ( x,u, p ) = 1 p ( t) = c 1 t + c ( ) + p 1 x ( t) = c 1 t c t + c 3!x 1 = H = x = c 1 p 1 t c t + c 3 x 1 ( t) = c 1 6 t 3 c t + c 3 t + c 4 ( ( )) p 1 ( 1) = 0 p 1 ( 1) = 0 c 1 = 0 x 1 x 1 ( t) = t + 4t x t t ( ) = 4t + 4 ( ) = 0 p ( t) = 4 u ( t) = p ( t) = 4 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 79
Παράδειγμα- Στο σχήμα φαίνονται: Οι βέλτιστες αποκρίσεις και Ο έλεγχος Από κατασκευαστικής σκοπιάς είναι σημαντικό να διερευνηθεί αν ο απαιτούμενος «σταθερός έλεγχος» (δύναμη αντίστασης) μπορεί να υλοποιηθεί με παθητική ή είναι απαραίτητη η ενεργητική διάταξη. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 80
Παράδειγμα- 3 Σε ορισμένες περιπτωσεις, που έχουμε μειώσεις της γωνιακής ταχυτητας γεννητριών, θέλουμε να την επαναφέρουμε στον ελάχιστο δυνατό χρόνο στην επιθυμητή γωνιακή ταχύτητα, προσέχοντας ταυτόχρονα να μη ασκήθει απότομα μεγάλη ροπή στην άτρακτο του ρότορα. Το σύστημα περιγράφεται από την: dω T = B ω + J dt Αν Β = J = 1, η κατάσταση x = ω και η είσοδος u = T, τότε: x! = x + u Οριακές συνθήκες (απλουστευμένη περίπτωση) x(0) = 0 και x(tf) = 10, tf : free Επιθυμούμε: Η μετάβαση x(0) = 0 x(tf) = 10 να γίνει στον ελάχιστο δυνατό χρόνο tf, και ταυτόχρονα να μη ασκήθει απότομα μεγάλη ροπή στην άτρακτο του ρότορα δηλαδή να διατηρηθεί η απόλυτη τιμή της επιτάχυνσης ω! = x! = x + u σε χαμηλά επίπεδα. Επομένως μπορούμε να υιοθετήσουμε ένα Δείκτη Λειτουργικής Απόδoσης tf 1 J ( u ) = γ t f + ( u x ) dt 0 όπου γ «επιβάλλει» τη σχετική βαρύτητα μεταξύ των «επιθυμιών» μας. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 81
Παράδειγμα- 3 ΛΥΣΗ: 1 Θεωρούμε την Χαμιλτονιανή H ( x,u, p ) = ( u x ) + p ( u x ) H H Eξίσ. Βελτίστου Ελέγχου: = ( x,u, p ) = 0 = u x + p u = x p οπότε u u 1 H = H ( x,u, p ) = ( p ) Εξισ. Συγκατάστασης: H p! = = 0 p ( t ) = c1 x Εξισ. (βέλτιστης τροχιάς) κατάστασης: H x! = = p = c1 x ( t ) = c1 t + c0 p Οι οριακές συνθήκες είναι h ( x (t ),t ) t t=0: x ( 0 ) = 0 c0 = 0 x ( t ) = c1 t t f : free H + γ t=1: x t f = 10 c1 t f = 10 ( ) ( f ) tf f 1 = 0 ( p ) + γ = 0 c1 = ± γ t Για να λάβουμε χρόνο tf θετικό πρέπει c1 < 0, επομένως c1 = γ f x ( t ) = γ t p ( t ) = γ u ( t ) = x ( t ) p ( t ) = γ ( t + 1) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 8
APPENDIX: Τετραγωνικές Μορφές Για το διάνυσµα x ℜn η ευκλίδεια νόρµα είναι x = x T x Αν S µη ιδιόµορφος πίνακας τότε η ευκλείδια νόρµα του διανύσµατος Sx P (µετασχηµατισµός του x) ορίζεται ώς η P-νόρµα του διανύσµατος x.! T Sx = ( Sx ) Sx = x T S T S x = x T Px " x Γενικά, η (µονόµετρη) µορφή xtqx, Q ℜn n λέγεται τετραγωνική και ενδιαφερόµαστε να αναλύσουµε τη συµπεριφορά της ώς προς το πρόσηµό της. Ορίζουµε τους πίνακες Qs! Q + Q T =QsT : συµµετρικος Q = Qs + Qa T T Qa! Q Q = Qa : αντι συµµετρικος µονοµετρο Παρατηρείστε ότι:! T T T x Qa x = x Qa x = x T QaT x = x T Qa x x T Qa x = 0 x ( ( ( ) ( ) P ) ) Οπότε Κατά συνέπεια: όταν θεωρούµε το πρόσηµο της τετραγωνικής µορφής xtqx αν ο Q δεν είναι συµµετρικός θεωρούµε τον συµµετρικό παράγοντά του Qs. Εποµένως στην ανάλυση της τετραγωνικής µορφής ο Q θεωρείται πάντα ως συµµετρικός. x T Qx = x T (Qs + Qa ) x = x T Qs x Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 119
APPENDIX: Τετραγωνικές Μορφές Λέµε ότι ο συµµετρικός πίνακας Q είναι: Θετικά ορισµένος (Q > 0) αν x T Qx > 0, x 0. Θετικά ηµι-ορισµένος (Q 0) αν x T Qx 0, x 0. Αρνητικά ηµι-ορισµένος (Q 0) αν x T Qx 0, x 0. Αρνητικά ορισµένος (Q < 0) αν x T Qx < 0, x 0. Αόριστος αν x T Qx > 0 για κάποια x και x T Qx < 0 για άλλα x. Μπορούµε να ελέγξουµε τα παραπάνω ανεξάρτητα από τα x, µέσω των εξής τρόπων: TEST-1: ορίζουµε τις ιδιοτιµές λ i i=1 n του πίνακα Q. Αν λ i > 0 γιά όλες τι ιδιοτιµές τότε Q > 0. Αν λ i 0 γιά όλες τι ιδιοτιµές τότε Q 0. Αν λ i 0 γιά όλες τι ιδιοτιµές τότε Q 0. Αν λ i < 0 γιά όλες τι ιδιοτιµές τότε Q < 0. TEST-: Ορίζουµε τις leading minors m i, i = 1 n και principal minors M ij, i,j=1 n Πίσω... Q > 0 αν m i > 0 i=1 n Q 0 αν m i 0 i=1 n και M ij 0 i,j=1 n Q 0 αν - Q 0 Q < 0 αν m i < 0 m i > 0 i :περιττο i :αρτιο m i = q 11! q 1i " # " q i1! q ii M ij = j-στήλη q 11! q 1n " # " i-γραµµή q n1! q nn Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 10
Έστω (διανύσματα) x, y R n 1 και (πίνακας) Q=Q T R n n Αν f(x) (βαθμωτή) συνάρτηση, για την παράγωγό της x f (x) R n 1 ισχύει: Αν APPENDIX: Παράγωγοι Τετραγωνικών Μορφών f ( x) = y T x f x = x yt x ( ) = y R n 1 Αν Αν f ( x) = x T y f x = ( x xt y) = y R n 1 f ( x) = x T Qx f x = ( x xt Qx) = = ( x xt )Qx + ( x T Q) T ( x x ) = Qx R n 1 Πίσω... Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 11