Μοντέλα Προσομοίωσης

Μοντέλα Προσομοίωσης Προσομοίωση Βιομηχανικής Παραγωγής & Επιχειρήσεων ΚΕΦ 1.1-1.3 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 1

ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ: ΟΡΙΣΜΟΣ Wikipedia: Simulation is the imitation of the operation of a real-world process or system over time. (Προσομοίωση είναι η μίμηση της λειτουργίας μιας πραγματικής διαδικασίας ή πραγματικού συστήματος στο χρόνο). Η προσομοίωση (απομίμηση, simulation) είναι μια τεχνική μοντελοποίησης στην οποία η Επιχειρησιακή Έρευνα, η Πληροφορική και η Στατιστική «συναντώνται» και συνεργάζονται αρμονικά για την επίτευξη του τελικού στόχου. Βασικό χαρακτηριστικό της μεθοδολογίας είναι η αποτύπωση ενός συστήματος με τη βοήθεια λογικών σχέσεων, διαγραμμάτων και προγραμμάτων στον υπολογιστή. Στόχος η λήψη βέλτιστων αποφάσεων με την εκτέλεση πειραμάτων (στον υπολογιστή μας), τη δειγματοληψία και την ανάλυση δεδομένων. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 1.2

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΕΞΥΠΗΡΕΤΗΣΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΕΞΥΠΗΡΕΤΗΣΗΣ ΣΕ ΤΡΑΠΕΖΑ ΠΕΛΑΤΕΣ ΤΑΜΙΕΣ ΑΦΙΞΕΙΣ ΠΕΛΑΤΩΝ ΟΥΡΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΧΡΟΝΟΣ ΕΞΥΠΗΡΕΤΗΣΗΣ ΥΠΑΡΧΕΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ ΣΤΟ «ΣΥΣΤΗΜΑ»: Μπορούμε να «αλλάξουμε» τις μεταβλητέςπαραμέτρους του συστήματος! Αριθμός ταμείων, Χρήση ATM, «κοινή» ουρά ΣΤΟΧΟΣ: ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΑΠΟΔΟΣΗΣ: Μείωση χρόνου αναμονής Πελατών Έλεγχος-Αξιολόγηση «εναλλακτικών» ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 1.3

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΚΥΚΛΟΦΟΡΙΑΣ ΑΥΤΟΚΙΝΗΤΩΝ ΡΥΘΜΙΣΗ ΚΥΚΛΟΦΟΡΙΑΣ: Αυτοκίνητα Δρόμοι Διασταυρώσεις Φανάρια Λωρίδες Κυκλοφορίας ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 1.4

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΠΤΗΣΗΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΠΤΗΣΗΣ: Αεροσκάφος Ταχύτητα Ύψος Πτήσης Όργανα Πτήσης Χειριστήρια Πτήσης Αεροδρόμια Αεροδιάδρομοι Έδαφος Συνθήκες καιρού Συστήματα Επικοινωνίας Υπολογιστής ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 1.5

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Νέος Τερματικός Σταθμός (Terminal) ΥΠΟΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΠΙΒΑΤΕΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΕΙΣΗΤΗΡΙΩΝ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΑΠΟΣΚΕΥΩΝ ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ ΕΠΙΒΙΒΑΣΗ ΑΠΟΒΙΒΑΣΗ ΠΑΡΑΛΑΒΗ ΑΠΟΣΚΕΥΩΝ ΑΕΡΟΠΛΑΝΑ ΠΡΟΣΓΕΙΩΣΗ ΑΠΟΒΙΒΑΣΗ ΕΠΙΒΑΤΩΝ ΕΠΙΒΙΒΑΣΗ ΕΠΙΒΑΤΩΝ ΑΠΟΓΕΙΩΣΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 1.6

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Νέος Τερματικός Σταθμός (Terminal)-2 Χρειάζονται αποφάσεις σχετικά με υποσυστήματα του τερματικού σταθμού: Σημεία ελέγχου αποσκευών και επιβατών Σημεία ελέγχου ασφαλείας Επαρκείς Χώροι Αναμονής Επιβατών Πύλες και αερογέφυρες επιβίβασης-αποβίβασης (φυσούνες) Εστίαση και αναψυχή για τους επιβάτες Χώροι για τις αεροπορικές εταιρίες και το εμπλεκόμενο προσωπικό Άλλες υπηρεσίες επιβατών (καταστήματα, wc, ) κ.α. Οι αποφάσεις εξαρτώνται από το πλήθος των επιβατών και ιδιαίτερα σε περιόδους αιχμής (μέγιστο «φορτίο»), μέγεθος αεροσκαφών (χωρητικότητα), είδος επιβατών, Η αποτελεσματική σχεδίαση της δυναμικότητας του τερματικού σταθμού μπορεί να γίνει με προσομοίωση του υπό κατασκευή έργου (στον υπολογιστή), και συγκεκριμένα των επιμέρους υποσυστημάτων τα οποία σχετίζονται με τα κριτήρια απόδοσης του αεροδρομίου (ταχύτητα εξυπηρέτησης των επιβατών, ασφάλεια, τήρηση χρόνων αναχώρησης και άφιξης αεροσκαφών και επιβατών, αριθμός εργαζομένων σε κάθε επιμέρους «τμήμα» του αεροδρομίου, ) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 1.7

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ (HER) ΑΦΙΞΕΙΣ ΝΕΩΝ ΕΠΙΒΑΤΩΝ ΣΤΟ ΑΕΡΟΔΡΟΜΙΟ ΑΦΙΞΕΙΣ ΕΠΙΒΑΤΩΝ ΠΤΗΣΗΣ ΕΚΤΟΣ SCHENGEN ΟΥΡΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΕΙΣΙΤΗΡΙΩΝ ΕΞΟΔΟΙ (GATES) Προβλήματα Εξυπηρέτησης Ταχύτητα Εξυπηρέτησης Μέγεθος Ουράς Συνθήκες Ουράς Χωρητικότητα Ουράς Αναμονής ΑΥΓΟΥΣΤΟΣ 2016: 1.359.703 επιβάτες ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 1.8

Σύστημα Σύστημα ονομάζεται μια συλλογή οντοτήτων/αντικειμένων τα οποία αποτελούν ένα σύνολο, στο οποίο κάθε στοιχείο αλληλεπιδρά ή συσχετίζεται με ένα τουλάχιστον στοιχείο του συνόλου με στόχο την επίτευξη ενός καθορισμένου σκοπού. Εκτός από το σύνολο των οντοτήτων του, κάθε σύστημα χαρακτηρίζεται και από μια συλλογή από παραμέτρους (parameters) και μεταβλητές (variables). Οι παράμετροι και οι μεταβλητές αποτελούν μεγέθη μέτρησης και χαρακτηρισμού των συστημάτων. Οι παράμετροι είναι ανεξάρτητα μέτρα που διαμορφώνουν τις συνθήκες των εισόδων (inputs). Οι μεταβλητές είναι μέτρα που εξαρτώνται από τις παραμέτρους, αλληλεπιδρούν μεταξύ τους και μέσω της μεταβολής των τιμών τους, αλλάζει η κατάσταση στην οποία βρίσκεται το σύστημα. Παράδειγμα: Σε ένα σύστημα ουράς αναμονής το μέγιστο μέγεθος της ουράς είναι παράμετρος, ένας σταθερός αριθμός, που για μια τράπεζα εξαρτάται από τον διαθέσιμο χώρο, ενώ το μέγεθος της ουράς είναι μεταβλητή που μπορεί και αναμένεται να μεταβάλλεται συνεχώς στη διάρκεια μια προσομοίωσης. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 1.9

Παραδείγματα Συστημάτων 1. Μια δημόσια υπηρεσία (π.χ. εφορία, νοσοκομείο, υπουργείο, κ.λπ.). Οι οντότητες που το αποτελούν είναι το ανθρώπινο δυναμικό, ο εξοπλισμός γραφείου, τα δίκτυα, κ.λπ. 2. Ένα συνεργείο συντήρησης και επισκευής οχημάτων και γενικότερα μηχανών. Οι οντότητες που το αποτελούν μπορεί να είναι ο μηχανικός (ή η ομάδα μηχανικών), ο εξοπλισμός του συνεργείου, το υπό συντήρηση όχημα, κ.λπ. 3. Τα μέσα μεταφοράς (λεωφορείο, τρένο, αεροσκάφος, πλοίο). Οι οντότητες είναι οι επιβάτες, το πλήρωμα, το μέσο μεταφοράς, οι διαδρομές, κ.λπ. 4. Το υποκατάστημα μιας τράπεζας. Οι οντότητες είναι τα ταμεία, οι ταμιολογιστές (tellers), το προσωπικό γενικά, οι πελάτες, κ.λπ. 5. Ένα σύστημα βιομηχανικής παραγωγής στο οποίο εμπλέκονται οντότητες όπως οι εργαζόμενοι, οι σταθμοί παραγωγής και αποθήκευσης, οι πρώτες ύλες, τα ημιτελή και τελικά προϊόντα, κ.λπ. 6. Τα καιρικά συστήματα και οι προβλέψεις με οντότητες όπως η βροχή, οι άνεμοι, η υγρασία, η θερμοκρασία, η περιοχή πρόβλεψης, η χρονική περίοδος, το ανθρώπινο δυναμικό, κ.λπ. 7. Τα συστήματα χρηματοπιστωτικών αγορών όπως οι αγορές χρήματος και κεφαλαίου, οι αγορές αγαθών, συναλλάγματος, παραγώγων κ.λπ. Οι οντότητες είναι οι διακινούμενοι τίτλοι, τα κεφάλαια, οι κυβερνήσεις, οι εταιρείες, τα φυσικά ή νομικά πρόσωπα, κ.λπ. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 1.10

Προσομοίωση Συστημάτων Ορισμός: Η προσομοίωση είναι μια τεχνική μοντελοποίησης η οποία μιμείται τη λειτουργία ενός πραγματικού συστήματος καθώς αυτό αναπτύσσεται μέσα στο χρόνο (ή με παράμετρο τον χρόνο). Η Προσομοίωση περιλαμβάνει 3 βασικές φάσεις: 1. την προκαταρκτική διαδικασία συλλογής δεδομένων εισόδου (input data collection and analysis) και τη μοντελοποίηση (modeling), 2. την ανάπτυξη του προγράμματος είτε με τη χρήση μιας γλώσσας προγραμματισμού/προσομοίωσης είτε με τη χρήση του κατάλληλου λογισμικού (simulation programming) 3. και την ανάλυση των αποτελεσμάτων και δεδομένων εξόδου για την εξαγωγή συμπερασμάτων (output data analysis) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 1.11

ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΜΟΝΤΕΛΟΥ Μοντέλο είναι η αναπαράσταση ενός συστήματος με σκοπό τη διερεύνηση και την κατανόηση της λειτουργίας και της τρέχουσας συμπεριφοράς του, τη σύγκριση εναλλακτικών τρόπων λειτουργίας και την εκτίμηση και την πρόβλεψη της μελλοντικής συμπεριφοράς του κάτω από διαφορετικές συνθήκες. η προσομοίωση μπορεί να χαρακτηριστεί πρακτικά ως στατιστική δειγματοληψία, η οποία αντί να γίνει στον πραγματικό πληθυσμό του συστήματος, πραγματοποιείται στο μοντέλο του συστήματος, το οποίο «τρέχει» στον υπολογιστή μας, με σκοπό τον υπολογισμό εκτιμητών των πραγματικών παραμέτρων λειτουργίας και απόδοσης. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 1.12

Μοντέλο (Model) Μοντέλο (model) είναι είτε η τυπική αναπαράσταση είτε η ερμηνεία μιας θεωρίας που περιγράφει αναλυτικά ένα φυσικό σύστημα ή έναν οργανισμό ή ένα φυσικό φαινόμενο ή ακόμη και μια ιδέα (concept). ανάλογα με τον τρόπο προσέγγισης του συστήματος, τα μοντέλα μπορούν να διαχωριστούν σε: φυσικά (κατασκευές, εικόνες), εννοιολογικά/περιγραφικά, μαθηματικά ή λογικά, αριθμητικά/υπολογιστικά κ.ά. η μακέτα ενός κατασκευαστικού έργου αποτελεί παράδειγμα φυσικού μοντέλου. Η μακέτα αναπαριστά ένα κτίριο, μια γέφυρα, ένα σκάφος (το πραγματικό σύστημα) με τρισδιάστατο τρόπο και υπό κλίμακα. Η μακέτα χρησιμοποιείται ακόμα για να μεταδώσει την εικόνα, τη μορφή και την τοποθέτηση του συστήματος χωροταξικά. Δεν μπορεί να μας βοηθήσει αν θέλουμε να εκτελέσουμε πειράματα και δεν εφαρμόζεται σε όλα τα είδη συστημάτων. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 1.13

ΚΑΤΑΣΤΡΟΦΗ Tacoma Narrows Bridge Η κατάρρευση της «κρεμαστής» γέφυρας Tacoma το 1940 εξαιτίας πλευρικών ανέμων 64 χλμ/ώρα και ταλάντωσης. Wikipedia: It opened to traffic on July 1, 1940, and dramatically collapsed into Puget Sound on November 7 of the same year. At the time of its construction (and its destruction), the bridge was the third-longest suspension bridge in the world. Τα κατασκευαστικά έργα χρειάζεται να προσομοιωθούν για διάφορες συνθήκες ώστε να εκτιμηθεί η αντοχή τους. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 1.14

ΜΟΝΤΕΛΟ-ΑΕΡΟΔΥΝΑΜΙΚΟ ΤΟΥΝΕΛ Μοντέλο (model) είναι είτε η τυπική αναπαράσταση είτε η ερμηνεία μιας θεωρίας που περιγράφει αναλυτικά ένα φυσικό σύστημα ή έναν οργανισμό ή ένα φυσικό φαινόμενο ή ακόμη και μια ιδέα (concept). Η μακέτα χρησιμοποιείται για να αποδώσει την εικόνα ενός κτιρίου, μιας γέφυρας, ενός σκάφους (το πραγματικό σύστημα) με τρισδιάστατο τρόπο και υπό κλίμακα. Παράδειγμα: Στο σχεδιασμό και κατασκευή ενός νέου μοντέλου αυτοκινήτου, επειδή θα παραχθεί σε εκατομμύρια αντίτυπα, είναι κανόνας η κατασκευή μακέτας (πρωτότυπο), ώστε σε αεροδυναμικό τούνελ να ελεγχθεί η συμπεριφορά του τρισδιάστατου αεροδυναμικού» σχεδιασμού και η επίδραση στις επιδόσεις (ταχύτητα), κατανάλωση, ευστάθεια. Βασική Παράμετρος: CD συντελεστής οπισθέλκουσας (Coefficient Drag) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 1.15

ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΜΟΝΤΕΛΟΥ Τα μοντέλα που κυρίως χρησιμοποιούνται για τη λήψη αποφάσεων στη διοίκηση επιχειρήσεων διακρίνονται σε ποιοτικά και ποσοτικά. Τα ποσοτικά μοντέλα είναι εκείνα που ενσωματώνουν μαθηματικές και λογικές σχέσεις είτε με αναλυτικό είτε με μη αναλυτικό τρόπο. Όταν τα μοντέλα είναι αναλυτικά, τότε οι σημαντικοί παράγοντες και οι μεταξύ τους σχέσεις και αλληλεπιδράσεις αναπαρίστανται με ένα πλήρες σύνολο μαθηματικών εκφράσεων οι οποίες μπορούν να επιλυθούν και να δώσουν τις βέλτιστες λύσεις. Μερικά παραδείγματα όπου έχουμε ποσοτικά μοντέλα: μέθοδοι του γραμμικού ή μη γραμμικού προγραμματισμού (linear and nonlinear programming), θεωρία των ουρών αναμονής (queuing theory), μεθοδολογία του δυναμικού προγραμματισμού (dynamic programming), θεωρία των αποθεμάτων (inventory theory), γραμμική παλινδρόμηση (linear regression) άλλες προσεγγίσεις (έμπειρα συστήματα, expert systems) Στη μέθοδο της προσομοίωσης ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 1.16

ΠΟΙΟΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΚΑΙ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ Σύμφωνα με τη θεωρία της διοίκησης επιχειρήσεων το σχήμα «απεικονίζει» (είναι μοντέλο) για το εσωτερικό και εξωτερικό περιβάλλον μιας επιχείρησης. Είναι ποιοτικό μοντέλο γιατί αν και περιγράφονται κάποιες σχέσεις μεταξύ των οντοτήτων (παραγόντων) αυτές δεν μπορούν να ποσοτικοποιηθούν δηλ. να μετρηθούν με αριθμούς και μαθηματικές σχέσεις στη γενική περίπτωση. Παράδειγμα Marketing: Τα 4P (Product, Price, Place, Promotion) είναι ένα εννοιολογικό ποιοτικό μοντέλο για τους 4 βασικούς παράγοντες ενός προϊόντος. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 1.17

Προσομοίωση Η μέθοδος της προσομοίωσης είναι μια μαθηματική προσέγγιση μη αναλυτικών μοντέλων στην οποία χρησιμοποιούνται κατά κύριο λόγο μοντέλα λογικής αλληλουχίας γεγονότων και καταστάσεων και λιγότερο μαθηματικές σχέσεις. Οι λογικές σχέσεις εκφράζουν τον τρόπο λειτουργίας του συστήματος κάτω από ένα γενικότερο πλαίσιο σεναρίων, ή αν θέλετε, ερωτήσεων του τύπου: «Αν συμβεί κάποιο γεγονός Α, τότε ποια είναι η ακολουθία δραστηριοτήτων και γεγονότων που θα έχουμε ως αποτέλεσμα;». Ένας τρόπος αναπαράστασης τέτοιων μοντέλων είναι μέσω διαγραμμάτων ροής τα οποία αποτελούν και μια από τις μεθόδους αναπαράστασης που θα χρησιμοποιήσουμε. Μετά τη διαγραμματική αναπαράσταση ακολουθεί η μετατροπή της λογικής ακολουθίας γεγονότων σε πρόγραμμα με τη χρήση είτε: μιας γλώσσας προγραμματισμού/προσομοίωσης (π.χ. C, Java, ) ενός κατάλληλου λογισμικού - περιβάλλοντος προσομοίωσης (π.χ. AnyLogic, Arena, ) Η διαδικασία ολοκληρώνεται με την εκτέλεση πειραμάτων, «τρέχοντας» την προσομοίωση του συστήματος στον υπολογιστή μας (computer simulation) και την εξαγωγή συμπερασμάτων με τη βοήθεια της στατιστικής ανάλυσης δεδομένων. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 1.18

ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ (1/3) Η προσομοίωση, δεν πραγματοποιείται στο ίδιο το σύστημα αλλά σε ένα μοντέλο του συστήματος, οπότε: 1) Το μοντέλο δίνει την ευκαιρία στον ερευνητή να βάλει σε τάξη και να επαληθεύσει τις θεωρητικές γνώσεις που έχει αποκτήσει για το σύστημα και να τις συνδυάσει με τις εμπειρικές παρατηρήσεις ή τα πειράματα που έχει υλοποιήσει. Έτσι, μπορεί ευκολότερα να καταλήξει σε συμπεράσματα που σχετίζονται με τις συνέπειες κάποιας πολιτικής/απόφασης που εξετάζει χωρίς μάλιστα να παρενοχλήσει το αληθινό σύστημα. 2) Διευκολύνει τους αναλυτές του συστήματος αλλά και τη διοίκηση να κατανοήσουν καλύτερα τον τρόπο λειτουργίας του συστήματος. Ένα «χρήσιμο» μοντέλο οφείλει να είναι πολύ πιο απλό στην κατανόηση σε σύγκριση με το πραγματικό σύστημα και αυτό γιατί κατά την κατασκευή του πρέπει να ενσωματώνει μόνο τα επιμέρους στοιχεία του συστήματος τα οποία σχετίζονται και επηρεάζουν την επιχειρηματική απόφαση που μας ενδιαφέρει. 3) Προβάλλει την υπαρκτή ανάγκη εισαγωγής στοιχείων, όπου αυτά χρειάζονται, αλλά και της συσχέτισης των οντοτήτων του συστήματος. Τα στοιχεία που τελικά ενσωματώνονται σε ένα μοντέλο παίζουν σημαντικό ρόλο και γι αυτό θα επανέλθουμε στο ζήτημα στη συνέχεια. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 1.19

ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ (2/3) Η προσομοίωση, δεν πραγματοποιείται στο ίδιο το σύστημα αλλά σε ένα μοντέλο του συστήματος, οπότε: 4) Παρέχει ένα πλαίσιο εργασίας, ελέγχου και πειραματισμού για πιθανά σενάρια που αφορούν διαφορετικές τιμές λειτουργικών παραμέτρων του συστήματος. Ουσιαστικά, αναφερόμαστε στη σύγκριση εναλλακτικών διαμορφώσεων και στρατηγικών λειτουργίας του συστήματος. Το μοντέλο παρέχει αυτό το πλαίσιο πειραματισμού, κάτι που τις περισσότερες φορές είναι αδύνατο (αν όχι επικίνδυνο) να πραγματοποιηθεί με πειραματισμό επάνω στο αληθινό σύστημα. 5) Δίνει τη δυνατότητα της ασφαλούς και ευέλικτης διαχείρισης ενός μοντέλου παρά του ιδίου του συστήματος, η πρόσβαση στο οποίο μπορεί να είναι αδύνατη ή επικίνδυνη. Αυτή η εξόχως σημαντική δυνατότητα αποδεσμεύει τον αναλυτή από τον κίνδυνο καταστροφής που ενέχει ο πειραματισμός κατά τη διάρκεια λειτουργίας του πραγματικού συστήματος. Παράδειγμα: η εκπαίδευση των πληρωμάτων μαχητικών αεροσκαφών, των αξιωματικών, καθώς και του προσωπικού οποιουδήποτε στρατιωτικού σώματος. Οι προσομοιωτές πτήσεων, τα παίγνια στρατηγικής είναι όλα μοντέλα που προετοιμάζουν το προσωπικό σε συνθήκες μάχης και ελαχιστοποιούν τον κίνδυνο. 6) Η χρήση ενός μοντέλου δίνει τη δυνατότητα να ελεγχθούν και να μελετηθούν περισσότεροι παράγοντες που επηρεάζουν τη συμπεριφορά του συστήματος συγκριτικά με την απευθείας μελέτη του. Η χρήση κατάλληλων μαθηματικών μοντέλων τα οποία παρέχουν πληροφορίες αναφορικά με την καταπονήσεις που μπορεί να δεχτεί μια γέφυρα σε περιπτώσεις σεισμών ή φυσικών καταστροφών είναι απαραίτητη. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 1.20

ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ (3/3) Η προσομοίωση, δεν πραγματοποιείται στο ίδιο το σύστημα αλλά σε ένα μοντέλο του συστήματος, οπότε: 7) Μειώνει χρονικά τη συνολική διαδικασία μελέτης και βελτιστοποίησης της λειτουργίας ενός συστήματος. Στην προσομοίωση, μπορούμε να «τρέξουμε» στον υπολογιστή μας ένα σύστημα για πολλούς εικονικούς μήνες, ενώ στην πραγματικότητα θα έχουν περάσει μερικά δευτερόλεπτα του πραγματικού χρόνου. 8) Το κόστος πειραματισμού είναι μικρότερο από πλευράς δαπανών. Είναι προτιμότερο να αναπτυχθεί και να μελετηθεί το μοντέλο παρά το ίδιο το σύστημα, πριν εφαρμοστούν οι διάφορες λύσεις σ αυτό. Το κόστος δεν είναι μόνο οικονομικό, αλλά και σε άλλους παράγοντες, που περιλαμβάνουν διάφορες μορφές κινδύνων όπως υλικούς ή άυλους: πολιτικό κόστος, κοινωνικά προβλήματα, πολιτικές και οικονομικές κρίσεις, τα συστήματα χωρίς επιστροφή (π.χ. εκτόξευση ενός πυραύλου, η προσέγγιση της ταχύτητας απογείωσης ενός αεροσκάφους, η άτακτη χρεοκοπία ενός κράτους, η πρόκληση μιας στρατιωτικής σύρραξης, κ.λπ.). 9) Το μοντέλο μπορεί να κατασκευαστεί ως σχεδιαστικό εργαλείο στη φάση ανάπτυξης ενός νέου συστήματος για να συνδράμει στην εξαγωγή συμπερασμάτων ως προς τη βέλτιστη αρχική διαμόρφωση του συστήματος (π.χ. ένα νέο όχημα μεταφοράς επικίνδυνων αποβλήτων, διερεύνηση της επιδημιολογικής επίπτωσης ενός ιού-εμβολίου, κ.λπ). ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 1.21

ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ & ΛΕΠΤΟΜΕΡΕΙΑ ΥΠΟΘΕΣΕΙΣ & ΠΑΡΑΔΟΧΕΣ Αν τα στοιχεία που εισέρχονται στο μοντέλο είναι υπέρμετρα λεπτομερή, τότε υπάρχει ο κίνδυνος το μοντέλο να καταστεί δύσχρηστο και μη διαχειρίσιμο υπολογιστικά (αδυναμία κατάλληλου χειρισμού των μαθηματικών σχέσεων που οδηγεί σε αποδεκτή λύση). Η πολυπλοκότητα αυτή, συχνά, οδηγεί στην εγκατάλειψη της αναλυτικής επίλυσης του μοντέλου, με συνέπεια την αναζήτηση άλλης προσέγγισης. Στην άλλη πλευρά του ζυγού τοποθετούνται οι υποθέσεις και οι παραδοχές. Με την υιοθέτηση κατάλληλων παραδοχών και υποθέσεων για το πώς λειτουργεί το σύστημα, μειώνεται ο βαθμός λεπτομέρειας και το μοντέλο ισορροπεί, δηλαδή, γίνεται πιο αποδοτικό. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 1.22

Κίνδυνοι Μοντέλων Προσομοίωσης 1. Δεν υπάρχει γενικός κανόνας για την ανάπτυξη σωστού μοντέλου. Η μη ύπαρξη εγγύησης ότι τελικά το μοντέλο που κατασκευάστηκε θα αποδώσει τα αναμενόμενα (ανεύρεση εναλλακτικών λύσεων, βελτιστοποίηση του συστήματος ως προς τους παράγοντες και πρόβλεψη της μελλοντικής συμπεριφοράς του). Ο κίνδυνος αυτός μπορεί να μειωθεί με την αναζήτηση, τη συλλογή και την ανάλυση των κατάλληλων δεδομένων εισόδου, καθώς και με την εφαρμογή μιας καλά ορισμένης μεθοδολογίας ανάπτυξης και ελέγχου του μοντέλου. 2. Υποκειμενικότητα Ερευνητή. Υπάρχει η τάση, ο ερευνητής ο οποίος έχει καταναλώσει πολύ κόπο και χρόνο στην ανάπτυξη ενός μοντέλου να υποστηρίζει το μοντέλο ακόμη κι αν φανερά είναι εσφαλμένο ή προβληματικό. Πρέπει να είμαστε έτοιμοι να αναθεωρήσουμε τις απόψεις μας, εφόσον υπάρχουν σημαντικά επιχειρήματα που καταδεικνύουν ότι το μοντέλο απέχει από το υπό μελέτη πραγματικό σύστημα. Τα μοντέλα πρέπει να αναπτύσσονται με μια ανοιχτή διαδικασία αναθεώρησης, προσθήκης ή αφαίρεσης στοιχείων, λεπτομερειών και υποθέσεων και αν αυτό δεν αρκεί, τότε μπορεί να χρειαστεί να καταφύγουμε σε αλλαγή μεθοδολογίας. 3. Η εφαρμογή ενός μοντέλου πέρα από τα όρια για τα οποία αναπτύχτηκε. Ένα μοντέλο βραχυπρόθεσμης πρόβλεψης των καιρικών συνθηκών (2-3 ημέρες) το οποίο χρησιμοποιείται εσφαλμένα για προβλέψεις για περίοδο 7-10 ημέρες. Ένα μοντέλο το οποίο προσομοιώνει τη συμπεριφορά ελαστικών ασφάλτου να χρησιμοποιείται για να δοκιμαστούν ελαστικά εκτός δρόμου. Ένα μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού να χρησιμοποιείται για να επιλύσει ένα πρόβλημα μίξης προϊόντων (product mix) το οποίο όμως εκτός από τα μεταβλητά περιέχει και τα σταθερά κόστη, ενώ τα μεταβλητά τείνουν να μειώνονται καθώς αυξάνονται οι πωλήσεις (οικονομία κλίμακας). ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 1.23

Άσκηση Εγκατάλειψης Πλοίου Άσκηση Εγκατάλειψης Πλοίου: «Σύμφωνα με τους διεθνείς κανονισμούς Ασφάλειας, στις πρώτες 24 ώρες από την αναχώρηση της κρουαζιέρας πραγματοποιείται, μικρής διάρκειας άσκηση και η συμμετοχή σε αυτή είναι υποχρεωτική». ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 1.24

Αναλυτικά Μαθηματικά Μοντέλα Όταν τα μοντέλα είναι αναλυτικά, τότε οι σημαντικοί παράγοντες και οι μεταξύ τους σχέσεις και αλληλεπιδράσεις αναπαρίστανται με ένα πλήρες σύνολο μαθηματικών εκφράσεων οι οποίες μπορούν να επιλυθούν και να δώσουν τις βέλτιστες λύσεις. Τα παραδείγματα αυτά, είναι ένα δείγμα προσεγγίσεων αναλυτικής μοντελοποίησης που τα περισσότερα δεν θα μας απασχολήσουν στη συνέχεια του παρόντος βιβλίου. Θα βοηθήσουν να σχηματίσουμε μια πρώτη εικόνα για προβλήματα τα οποία πέρα από τα αναλυτικά μοντέλα μπορούν (όλα) να μελετηθούν με τη χρήση εναλλακτικών τεχνικών όπως είναι η προσομοίωση. Παράδειγμα 1.1: Προγραμματισμός Παραγωγής Παράδειγμα 1.2: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Παράδειγμα 1.4: Θεωρία δικτύων Δυναμικός Προγραμματισμός Παράδειγμα 1.5: Συστήματα Εξυπηρέτησης με Ουρές Αναμονής (Μ/Μ/1) Παράδειγμα 1.6: Παιχνίδι με 2 ζάρια ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 1.25

Παράδειγμα 1.1: Προγραμματισμός Παραγωγής ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Μια επιχείρηση κατασκευάζει τα προϊόντα της και τα διανέμει στους πελάτες με βάση τη ζήτηση και τις παραγγελίες. Το πρόβλημα της επιχείρησης είναι ο προσδιορισμός της ποσότητας που πρέπει να παράγει από κάθε προϊόν ώστε να μεγιστοποιείται το κέρδος της (product mix problem), όταν υπάρχει ελαστικότητα στην τιμή (price elasticity). Κάθε μονάδα προϊόντος που παράγεται από τα n διαφορετικά προϊόντα κοστίζει c i, i = 1,2,..., n. Αν η τιμή πώλησης ήταν σταθερή, ας υποθέσουμε ίση με p i, τότε η συνάρτηση του εισοδήματος θα ήταν γραμμική (άρα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού). Αν όμως η εταιρεία προσφέρει εκπτώσεις ποσότητας παραγγελίας, ισχύει μια καμπύλη της τιμής, έστω p i (x), όπως αυτή που απεικονίζει το σχήμα για τη διάθεση x μονάδων. συνάρτηση εσόδων από τη διάθεση x i μονάδων του προϊόντος i δίνεται από τη σχέση P i (x i ) = x i p i (x i ) - c i x i ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΛΥΣΗ ΜΕ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ή ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 1.26

Παράδειγμα 1.2: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Είναι μια μέθοδος της Στατιστικής η οποία μοντελοποιεί τη συσχέτιση που ενδεχομένως υπάρχει μεταξύ μιας εξαρτημένης (dependent) μεταβλητής y, και μιας ανεξάρτητης (independent) μεταβλητής x. Το μοντέλο αυτό θεωρεί ότι η σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών είναι γραμμική και μπορεί να δώσει απαντήσεις σε ενδιαφέροντα ερωτήματα όπως: «Ποια σχέση συνδέει τον τηλεοπτικό χρόνο διαφήμισης ενός προϊόντος με το ύψος των πωλήσεων του;» ή «Ποια είναι η σχέση μεταξύ της τιμής ενός αγαθού με τις πωλήσεις του σε 10 διαφορετικά καταστήματα;» κ.λπ. Το απλό μαθηματικό μοντέλο που δίνει τη σχέση των δύο μεταβλητών είναι μια ευθεία γραμμή της μορφής y = a+bx+e, όπου e το στατιστικό σφάλμα, ενώ οι συντελεστές a και b εκτιμώνται με τη μέθοδο των ελάχιστων τετραγώνων. Για να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος αυτή, πρέπει να έχουμε ένα δείγμα ζευγών από παρατηρήσεις της ανεξάρτητης μεταβλητής x με αντίστοιχες τιμές για την εξαρτημένη μεταβλητή y. Με βάση το δείγμα των τιμών {x i, y i }, υπολογίζουμε τους εκτιμητές ελαχίστων τετραγώνων a και b και το μοντέλο παίρνει τη μορφή y=a+bx. Είναι φανερό ότι το μοντέλο αυτό παρεμβάλλει μία ευθεία ανάμεσα στα ζευγάρια του δείγματος και μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εκτίμηση/πρόβλεψη των τιμών της εξαρτημένης μεταβλητής y για δοθείσες τιμές της ανεξάρτητης x. Ο δείκτης του βαθμού συσχέτισης των δύο μεταβλητών δίνεται από τον συντελεστή συσχέτισης r, ενώ ο βαθμός με τον οποίο η ανεξάρτητη μεταβλητή περιγράφει τη μεταβλητότητα της εξηρτημένης δίνεται από το τετράγωνο του συντελεστή συσχέτισης (συντελεστής προσδιορισμού R 2 ). ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 1.27

Παράδειγμα 1.4: Θεωρία δικτύων Δυναμικός Προγραμματισμός ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΔΙΚΤΥΩΤΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Έχουμε ένα δίκτυο το οποίο αναπαρίσταται στο σχήμα, στο οποίο οι κόμβοι παριστάνουν πόλεις που διασυνδέονται μέσω δρόμων και παριστάνονται από τις ακμές. Οι αριθμοί a in πάνω στις ακμές παριστάνουν το «κόστος» που προκύπτει όταν κάτι ρέει μέσα απ αυτήν την ακμή (π.χ. ένα όχημα) και μπορεί να είναι το νομισματικό κόστος, η απόσταση, ο χρόνος, ο δείκτης κινδύνου ή κάτι άλλο που μας ενδιαφέρει. Θέλουμε να εντοπίσουμε τη συντομότερη διαδρομή από τον κόμβο 1 (αφετηρία) μέχρι τον κόμβο 7 (προορισμός). Έτσι, το μαθηματικό μοντέλο που περιγράφει το παραπάνω πρόβλημα δίνεται από την ακόλουθη αναδρομική (recursive) σχέση: f n =min i<n (f i +a in ), που πρέπει να υπολογιστεί για όλα τα i = 1,2,..., 7 H βέλτιστη τιμή (δηλαδή, το ελάχιστο συνολικό κόστος) δίνεται από την f 7, ενώ η βέλτιστη διαδρομή μπορεί να βρεθεί με ιχνηλάτηση της διαδικασίας επίλυσης από το το f 7 μέχρι το f 1. Μεθοδολογία Δυναμικού Προγραμματισμού ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 1.28

Παράδειγμα 1.5: Συστήματα Εξυπηρέτησης με Ουρές Αναμονής (Μ/Μ/1) Το σύστημα εξυπηρέτησης με ουρές αναμονής (queuing system) αποτελεί το αναλυτικό μαθηματικό Αφίξεις Πελατών ΟΥΡΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΕΞΥΠΗΡΕΤΗΤΗΣ (ΥΠΗΡΕΤΗΣ) ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΟΥΡΕΣ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Αναχωρήσεις Πελατών πλαίσιο μοντελοποίησης ενός στοχαστικού φαινομένου το οποίο συναντάμε καθημερινά. Τα συστήματα εξυπηρέτησης με ουρές αναμονής αποτελούν ένα από τα βασικότερα παραδείγματα εφαρμογής μοντέλων προσομοίωσης. Υπάρχουν περιπτώσεις κατά τις οποίες το φαινόμενο που παρατηρούμε είναι τόσο πολύπλοκο, ώστε να μην εφαρμόζονται οι βασικές παραδοχές των αναλυτικών μοντέλων που μπορούν να οδηγήσουν στην επίλυσή τους και επομένως, η χρήση των τεχνικών προσομοίωσης καθίσταται αναγκαία. Στο παρόν παράδειγμα, θα δούμε ένα αναλυτικό μαθηματικό μοντέλο που περιγράφει έναν κλασικό τύπο συστήματος εξυπηρέτησης σε συνθήκες ισορροπίας. (Μ/Μ/1) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 1.29

ΣΥΣΤΗΜΑ ΟΥΡΑΣ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Μ/Μ/1 (1/2) Το απλούστερο σύστημα εξυπηρέτησης με ουρά αναμονής είναι το σύστημα που αναφέρεται ως Μ/Μ/1, στο οποίο το πρώτο Μ παριστάνει την εκθετική κατανομή (Markovian) για τον χρόνο μεταξύ δύο διαδοχικών αφίξεων, το δεύτερο Μ παριστάνει την εκθετική κατανομή για τον χρόνο εξυπηρέτησης και ο αριθμός 1 δηλώνει την παρουσία ενός υπηρέτη (Server). Στο σύστημα, η άφιξη των πελατών γίνεται με τη διαδικασία Poisson με μέσο ρυθμό λ και η κατανομή του χρόνου ανάμεσα σε δύο διαδοχικές αφίξεις ακολουθεί την εκθετική κατανομή με μέση τιμή 1/λ. Επίσης, ο ρυθμός εξυπηρέτησης στη μονάδα χρόνου είναι μ πελάτες (κατανομή Poisson), κάτι που συνεπάγεται ότι ο μέσος χρόνος εξυπηρέτησης είναι 1/μ (εκθετική). Το πηλίκο λ/μ ονομάζεται βαθμός απασχόλησης (utilization factor) του υπηρέτη, συμβολίζεται με ρ και πρακτικά εκφράζει το μέσο ποσοστό χρόνου κατά τον οποίο ο υπηρέτης είναι απασχολημένος. Όταν το σύστημα βρίσκεται στα πρώτα στάδια της λειτουργίας του, τότε αυτό διέρχεται από την παροδική φάση (φάση σταθεροποίησης) η οποία εξαρτάται σημαντικά από τις συνθήκες εκκίνησης του συστήματος. Όταν λειτουργήσει για μεγάλο χρονικό διάστημα, τότε η επίδραση των αρχικών συνθηκών εκμηδενίζεται και το σύστημα συγκλίνει σε κατάσταση ισορροπίας (steady state). Κατά τη διάρκεια της κατάστασης ισορροπίας, η πιθανότητα να υπάρχουν n πελάτες στο σύστημα δεν εξαρτάται πια από τη χρονική στιγμή παρατήρησης του συστήματος. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 1.30

ΣΥΣΤΗΜΑ ΟΥΡΑΣ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Μ/Μ/1 (2/2) Για να μπορεί, όμως, το σύστημα να εισέλθει σε κατάσταση ισορροπίας, θα πρέπει να ισχύει ότι ρ=λ/μ<1 (δηλαδή εξυπηρέτηση ταχύτερη από αφίξεις). Στο σύστημα Μ/Μ/1, η πιθανότητα να μην έχουμε κανέναν πελάτη δίνεται από τον τύπο p 0 =1 ρ, όπου το ρ είναι ο βαθμός απασχόλησης του υπηρέτη. Η πιθανότητα να υπάρχουν n πελάτες στο σύστημα δίνεται από τον τύπο p n =ρ n (1-ρ). Όταν το σύστημα βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε τα βασικά μέτρα λειτουργικότητας/απόδοσης του συστήματος Μ/Μ/1 από τις παρακάτω μαθηματικές σχέσεις: L: ο αναμενόμενος αριθμός πελατών στο σύστημα, L=ρ/(1 ρ)=λ/(μ λ) L q : ο αναμενόμενος αριθμός πελατών στην ουρά αναμονής, L q =ρ/(1 ρ) ρ=λ 2 /(μ(μ λ)) L q : ο αναμενόμενος χρόνος αναμονής στην ουρά, W q =λ/(μ(μ λ)) W: ο αναμενόμενος χρόνος παραμονής στο σύστημα, W=W q +1/μ=1/(μ λ) Για το παραπάνω μοντέλο, ισχύει ο κανόνας του Little, δηλαδή η σχέση L q =λw q αλλά και η L=λW= L q +λ/μ=μ L q. Τα παραπάνω (ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΛΥΣΗ) εφαρμόζονται όταν ισχύουν εκθετική κατανομή μεταξύ χρόνου αφίξεων και στο χρόνο εξυπηρέτησης επομένως σε μια ειδική περίπτωση ουρών αναμονής. Σε άλλες περιπτώσεις που δεν ακολουθούν οι αφίξεις και εξυπηρέτηση εκθετική κατανομή ΔΕΝ ΕΧΟΥΜΕ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΛΥΣΗ ΧΡΕΙΑΖΟΜΑΣΤΕ ΤΗΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 1.31

Παράδειγμα Εφαρμογής Μοντέλου Μ/Μ/1 (1/2) Ο Δήμος Θεσσαλονίκης διαθέτει ένα περίπτερο στην Πλατεία Αριστοτέλους με έναν εργαζόμενο ο οποίος διαθέτει εισιτήρια για το καλοκαιρινό Φεστιβάλ του Δήμου. Υπολογίζουμε ότι οι πελάτες καταφθάνουν με διαδικασία Poisson με μέσο ρυθμό άφιξης λ = 20 πελάτες/ώρα (τις ώρες αιχμής). Δηλαδή, η κατανομή του χρόνου μεταξύ δυο διαδοχικών αφίξεων είναι εκθετική με μέση τιμή 1/λ = 1/20 της ώρας, 3 λεπτά. Επίσης, χρησιμοποιώντας δεδομένα τα οποία συλλέξατε για κάποιες μέρες στο περίπτερο, εκτιμάτε την κατανομή του χρόνου εξυπηρέτησης του υπαλλήλου και συμπεραίνετε ότι είναι εκθετική με μέση τιμή 1/μ = 2 λεπτά/πελάτη. Δηλαδή, ο χρόνος εξυπηρέτησης ακολουθεί την εκθετική κατανομή με μέσο ρυθμό 1/μ = 1/30 της ώρας ανά πελάτη. Άρα, η κατανομή της εξυπηρέτησης είναι εκθετική με μέση τιμή μ=30 πελάτες/ώρα. Χρησιμοποιώντας τα προηγούμενα στοιχεία, βρίσκουμε ότι ο βαθμός απασχόλησης του υπαλλήλου είναι ρ=λ/μ=20/30=2/3<1. Επομένως, σε κατάσταση ισορροπίας, η πιθανότητα να μην υπάρχει πελάτης στο χώρο πώλησης εισιτηρίων είναι p 0 =1 ρ=1 2/3=1/3. Αυτό σημαίνει ότι η πιθανότητα να έρθει ένας πελάτης και να εξυπηρετηθεί αμέσως από τον υπάλληλο είναι ίση με 1/3. Επίσης κατά μέσο όρο το 1/3 του χρόνου απασχόλησής του (σε φάση ισορροπίας), ο υπάλληλος είναι αδρανής. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 1.32

Παράδειγμα Εφαρμογής Μοντέλου Μ/Μ/1 (2/2) μέσος ρυθμό άφιξης λ = 20 πελάτες/ώρα (τις ώρες αιχμής). κατανομή της εξυπηρέτησης είναι εκθετική με μέση τιμή μ=30 πελάτες/ώρα. βαθμός απασχόλησης του υπαλλήλου είναι ρ=λ/μ=20/30=2/3<1. Επομένως, σε κατάσταση ισορροπίας, η πιθανότητα να μην υπάρχει πελάτης στο χώρο πώλησης εισιτηρίων είναι p 0 =1 ρ=1 2/3=1/3. Αυτό σημαίνει ότι η πιθανότητα να έρθει ένας πελάτης και να εξυπηρετηθεί αμέσως είναι ίση με 1/3. Μια άλλη ερμηνεία της πιθανότητας αυτής είναι ότι το 67% περίπου των πελατών, πρέπει να περιμένουν, πριν έρθει η σειρά τους να εξυπηρετηθούν. Το μέσο πλήθος πελατών στο σύστημα είναι L=ρ/(1 ρ)=λ/(μ λ) =20/(30 20)=2 πελάτες, Ο μέσος αριθμός πελατών που περιμένουν στην ουρά για να προμηθευτούν εισιτήρια είναι L q =ρ/(1 ρ) ρ=λ 2 /(μ(μ λ))=2 2/3=4/3 πελάτες. Ο μέσος χρόνος που καταναλώνει ένας πελάτης στην ουρά αναμονής είναι 4 λεπτά αφού ισχύει W q =λ/(μ(μ λ))=20/(30(30 20))=1/15 της ώρας, ενώ ο μέσος χρόνος που καταναλώνει στην ουρά και στο ταμείο για να βγάλει το εισιτήριο είναι W=W q +1/μ=1/(μ λ)=1/(30 20)=1/10 της ώρας, δηλαδή, κατά μέσο όρο 6 λεπτά συνολικά. Η διοίκηση αποφασίζει αν οι δείκτες αυτοί είναι ικανοποιητικοί και δεν χρειάζεται να προστεθεί υπάλληλος. Όλοι οι παραπάνω δείκτες ισχύουν όταν το σύστημα βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 1.33

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Μοντέλου Μ/Μ/1 λ Αφίξεις Πελατών ΟΥΡΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΕΞΥΠΗΡΕΤΗΤΗΣ (ΥΠΗΡΕΤΗΣ) Αναχωρήσεις Πελατών Αν σε ένα σύστημα ΟΥΡΑΣ ΑΝΑΜΟΝΗΣ δεν ισχύουν οι εκθετικές κατανομές αφίξεων και εξυπηρέτησης δεν είναι σύστημα M/M/1 αλλά γενικό G/G/1, δεν εφαρμόζονται οι σχέσεις (δεν υπάρχει αναλυτική λύση) μ μέσος ρυθμό άφιξης λ (πελάτες/χρονική μονάδα) (εκθετική κατανομή χρόνου μεταξύ αφίξεων) κατανομή της εξυπηρέτησης είναι εκθετική με μέση τιμή μ (πελάτες/χρονική μονάδα) βαθμός απασχόλησης ρ=λ/μ κατάσταση ισορροπίας: πιθανότητα να μην υπάρχει πελάτης p 0 =1 ρ=1 2/3=1/3. Το μέσο πλήθος πελατών στο σύστημα είναι L=ρ/(1 ρ)=λ/(μ λ) Ο μέσος αριθμός πελατών στην ουρά L q =ρ/(1 ρ) ρ=λ 2 /(μ(μ λ)) Ο μέσος χρόνος πελάτη στην ουρά αναμονής W q =λ/(μ(μ λ)) ο μέσος χρόνος πελάτη στο σύστημα (ουρά+εξυπηρέτηση) W=W q +1/μ=1/(μ λ) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 1.34

Παράδειγμα 1.6: Παιχνίδι με 2 ζάρια Ας υποθέσουμε ότι κάποιος σας προτείνει να παίξετε το ακόλουθο παιχνίδι τύχης: Ρίχνετε 2 ζάρια. Αν το αποτέλεσμα και των δύο ζαριών είναι άρτιος αριθμός, τότε ο αντίπαλος είναι υποχρεωμένος να σας δώσει ένα χρηματικό ποσό Α. Για να συμμετάσχετε στο παιχνίδι αυτό, πρέπει κάθε φορά που ρίχνετε τα ζάρια να πληρώνετε στον αντίπαλο ένα ποσό που ανέρχεται στο άθροισμα των δύο ζαριών. Με άλλα λόγια, το ελάχιστο που πρέπει να πληρώνετε είναι 2 (=1+1) και το μέγιστο 12 (=6+6). Δηλαδή αν παίξετε και «έρθει» 4Χ5 πληρώνετε 4+5=9 ενώ αν «έρθει» 4Χ4 κερδίζετε Α-(4+4)=Α-8 Το παιχνίδι επαναλαμβάνεται πολλές φορές (n), έτσι ώστε (ανά γύρο του παιχνιδιού) να έχουμε πρακτικά ένα αξιόπιστο δείγμα για την εκτίμηση του αναμενόμενου (μέσου) κέρδους ανά γύρο του παιγνιδιού όπως θα δούμε παρακάτω. Το ερώτημα που τίθεται είναι: «Για ποιο ποσό Α θα μπαίνατε στον πειρασμό να παίξετε το παιχνίδι;» Δηλαδή με ποιο Α θα σας συμφέρει να παίξετε? ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 1.35

Αναλυτική Λύση Παιχνιδιού με 2 ζάρια (1/2) Η ρίψη των δύο ζαριών έχει 36 απλά ισοπίθανα ενδεχόμενα. Αν ορίσουμε ως Χ την τυχαία μεταβλητή του ποσού της πληρωμής που προκύπτει σε κάθε περίπτωση, τότε στον Πίνακα έχουμε όλα τα ενδεχόμενα (1 ζάρι στις γραμμές και 1 στις στήλες) με τις αντίστοιχες τιμές της μεταβλητής Χ. 9 από τα 36 ενδεχόμενα δίνουν κέρδος γιατί αντιστοιχούν σε άρτιο αποτέλεσμα και των 2 ζαριών. Η Αναμενόμενη Τιμή του Χ που είναι τυχαία μεταβλητή θα δίνεται από την σχέση: x i είναι η αντίστοιχη τιμή της τ.μ. Χ και p i η αντίστοιχη πιθανότητα, όλες ίσες με 1/36 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 1.36

Αναλυτική Λύση Παιχνιδιού με 2 ζάρια (2/2) Με τον ορισμό ως Χ την τυχαία μεταβλητή του ποσού της πληρωμής που προκύπτει σε κάθε περίπτωση, και την θεωρία των τυχαίων μεταβλητών της στατιστικής καταφέραμε να υπολογίσουμε ότι η αναμενόμενη τιμή της τ.μ. Χ υπολογίζετε από την σχέση: Επομένως το ποσό Α πρέπει να είναι τέτοιο ώστε Ε(Χ)>0 Αν Ε(Χ)=0 τότε είμαστε «αδιάφοροι» ούτε κερδίζουμε ούτε χάνουμε. Ε(Χ)>0 => Α/4-7>0 => Α/4>7 => Α>4*7 => Α>28 Αν Α=28 τότε Ε(Χ)=Α/4-7=28/4-7=0 μηδενικό αναμενόμενο κέρδος/γύρο του παιχνιδιού Αν π.χ. Α=40 τότε Ε(Χ)=40/4-7=10-7=3 αναμενόμενο κέρδος/γύρο του παιχνιδιού. ΤΟ ΠΑΙΧΝΙΔΙ ΜΑΣ ΕΧΕΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΛΥΣΗ (που όμως χρειάζεται να γνωρίζουμε τη θεωρία των τυχαίων μεταβλητών και τον τρόπο εφαρμογής (ανάλυση+μαθηματικά) της στο πρόβλημα για να την βρούμε!) ΤΙ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΚΑΝΟΥΜΕ ΑΝ ΔΕΝ ΓΝΩΡΙΖΟΥΜΕ την προσέγγιση της Τυχαίας Μεταβλητής? ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 1.37

Λογικό Διάγραμμα Παιχνιδιού με 2 ζάρια Επιλέγω ποσό Α και επαναλήψεις παιχνιδιού n. Θέτω μεταβλητές mesos=0 και i=0 Δημιουργώ τη ζαριά X, Y τυχαία. Ελέγχω αν Χ και Υ είναι άρτιοι αριθμοί (2,4,6) Αν ΝΑΙ τότε κερδίζω K=A-(X+Y) Με το Λογικό Διάγραμμα περιγράφω με λεπτομέρεια τη διαδικασία του παιχνιδιού! ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Κ Αν OXI τότε χάνω K=-(X+Y) Θέτω mesos=mesos+k και i=i+1 Ελέγχω αν i=n Αν ΟΧΙ τότε ξαναγυρίζω στη δημιουργία νέας ζαριάς. Αν ΝΑΙ τότε υπολογίζω μέσος /n δηλαδή το μέσο κέρδος σε κάθε επανάληψη του παιχνιδιού. Εκτυπώνω το αποτέλεσμα mesos 1.38

Προσέγγιση Λύσης Παιχνιδιού με 2 ζάρια Στο Λογικό Διάγραμμα του παιχνιδιού έχω περιγράψει με λεπτομέρεια ένα τρόπο για να αναπαραστήσω το παιχνίδι και παράλληλα να καταφέρω να βρω τη λύση (να βρω το Α). Επιλέγω να αναπαραστήσω το παιχνίδι για μια τιμή Α και αριθμό επαναλήψεων n. Επειδή για κάθε αποτέλεσμα ρίψης 2 ζαριών υπάρχει «τυχαιότητα»: 36 (=6Χ6) πιθανά ενδεχόμενα («ζαριές»), σε κάθε ρίψη αναμένεται 1 από τα 36 ενδεχόμενα, επομένως θα πρέπει να εξετάσω το αποτέλεσμα (κέρδος ή ζημιά) μετά από πολλές επαναλήψεις του παιχνιδιού n. Σε κάθε επανάληψη δημιουργώ (με τυχαίο τρόπο) το αποτέλεσμα ρίψης 2 ζαριών, μεταβλητές X,Y=1,2,3,4,5,6. Ανάλογα με το αποτέλεσμα X,Y έχω ζημιά K=-(Χ+Υ) ή κέρδος K=A-(X+Y) Στο διάγραμμα έχω ορίσει σαν μεταβλητή Κ το κέρδος ή ζημιά στην κάθε ρίψη (Επανάληψη), και στη μεταβλητή mesos αθροίζω το Κ της κάθε επανάληψης (δηλ. παρακολουθώ το συνολικό μου κέρδος ή ζημιά). Όταν ολοκληρώσω n ρίψεις (επαναλήψεις του παιχνιδιού) στη μεταβλητή mesos έχω υπολογίσει την τιμή του συνολικού κέρδους (ή ζημιάς) και αν το διαιρέσω με το n (αριθμό επαναλήψεων) θα προκύψει το κέρδος/επανάληψη. Ουσιαστικά το αποτέλεσμα είναι μια εκτίμηση της αναμενόμενης τιμής E(K). ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Πόσο πρέπει να είναι το Α? Μπορώ να δοκιμάσω! (μάλλον Α>12 αφού Χ+Υ μπορεί να είναι 12) Πόσο πρέπει να είναι το n? έχω 36 ενδεχόμενα! Λόγω τυχαιότητας θέλω >>36 Πως θα υπολογίζω το Χ,Υ Είτε με 2 ζάρια (πραγματικό παιχνίδι), είτε στον υπολογιστή (ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ!) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 1.39

Λύση Παιχνιδιού με 2 ζάρια-πραγματικό ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Πόσο πρέπει να είναι το Α? Μπορώ να δοκιμάσω! (μάλλον Α>12 αφού Χ+Υ μπορεί να είναι 12) Πόσο πρέπει να είναι το n? έχω 36 ενδεχόμενα! (Λόγω τυχαιότητας θέλω >>36) Στο Λογικό Διάγραμμα του παιχνιδιού έχω περιγράψει με λεπτομέρεια ένα τρόπο για να αναπαραστήσω το παιχνίδι και παράλληλα να καταφέρω να βρω τη λύση (να βρω το Α). Για να αντιμετωπίσω τα «προβλήματα» που εντόπισα μπορώ να «παίξω» το πραγματικό παιχνίδι χρησιμοποιώντας 2 ζάρια και καταγράφοντας τα αποτελέσματα της διαδικασίας (έστω Α=50): Επανάληψη Χ Υ Κ Μέσο Κ 1 2 3 -(2+3)=-5-5/1=-5 2 5 4 -(5+4)=-9-14/2=-7 3 1 4 -(1+4)=-5-19/3=-6.33 4 2 2 50-(2+2)=44 25/4=6.33 5 3 4 -(4+3)=-7 18/5=3.6 6 5 6 -(5+6)=-11 7/6=1.17 Πως θα υπολογίζω το Χ,Υ Είτε με 2 ζάρια (πραγματικό παιχνίδι), είτε στον υπολογιστή (ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ!) Τα αποτελέσματα είναι τυχαία και με τις πρώτες επαναλήψεις φαίνεται ότι θα χρειαστούν πάρα πολλές επαναλήψεις για να εκτιμήσω το αποτέλεσμα Αυτό είναι χρονοβόρο! Πρέπει να καταγράφω και να κάνω τις πράξεις Έχω επιλέξει Α=50 και δεν γνωρίζω ποιο θα είναι το αποτέλεσμα πρέπει να δοκιμάσω πολλές τιμές του Α. Η ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΑΝΑΜΕΝΕΤΑΙ ΝΑ ΟΔΗΓΗΣΕΙ ΣΤΗ ΛΥΣΗ ΑΛΛΑ ΕΊΝΑΙ ΧΡΟΝΟΒΟΡΑ! => Α Δ Ι Ε Ξ Ο Δ Ο ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 1.40

Λύση Παιχνιδιού με 2 ζάρια-προσομοίωση ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Πόσο πρέπει να είναι το Α? Μπορώ να δοκιμάσω! (μάλλον Α>12 αφού Χ+Υ μπορεί να είναι 12) Πόσο πρέπει να είναι το n? έχω 36 ενδεχόμενα! (Λόγω τυχαιότητας θέλω >>36) Πως θα υπολογίζω το Χ,Υ Είτε με 2 ζάρια (πραγματικό παιχνίδι), είτε στον υπολογιστή (ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ!) Στο Λογικό Διάγραμμα του παιχνιδιού έχω περιγράψει με λεπτομέρεια ένα τρόπο για να αναπαραστήσω το παιχνίδι και παράλληλα να καταφέρω να βρω τη λύση (να βρω το Α). Για να αντιμετωπίσω τα «προβλήματα» που εντόπισα μπορώ να «παίξω» το παιχνίδι «εικονικά» στον υπολογιστή «χρησιμοποιώντας» κατάλληλο πρόγραμμα: Μπορώ να χρησιμοποιήσω μια γλώσσα προγραμματισμού ΓΙΑΤΙ το λογικό διάγραμμα που έχω για το παιχνίδι περιγράφει λεπτομερώς τη διαδικασία που θέλω να προγραμματίσω, ΑΛΛΑ απαιτεί γνώσεις προγραμματισμού. Μπορώ να χρησιμοποιήσω κάποιο άλλο λογισμικό αρκεί να μπορεί να «κάνει» αυτά που περιγράφω στο Λογικό Διάγραμμα. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ γνωρίζω ότι για την δημιουργία μιας τυχαίας ζαριάς στο λογιστικό φύλλο excel μπορώ να χρησιμοποιήσω: τη συνάρτηση RANDBETWEEN(1,6) που «παράγει» τυχαίους αριθμούς μεταξύ 1 και 6. τη λογική συνάρτηση IF (A είναι ζυγός?, είναι ζυγός, δεν είναι ζυγός) για να ελέγξω τον αριθμό Α=0 ΕΠΟΜΕΝΩΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ EXCEL ΜΠΟΡΩ ΝΑ «ΤΡΕΞΩ» (ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΩ) ΤΟ ΠΑΙΧΝΙΔΙ ΣΕ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 1.41

Παιχνίδι με 2 ζάρια-προσομοίωση-excel (1/3) ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Πόσο πρέπει να είναι το Α? Μπορώ να δοκιμάσω! (μάλλον Α>12 αφού Χ+Υ μπορεί να είναι 12) Πόσο πρέπει να είναι το n? έχω 36 ενδεχόμενα! (Λόγω τυχαιότητας θέλω >>36) Πως θα υπολογίζω το Χ,Υ Είτε με 2 ζάρια (πραγματικό παιχνίδι), είτε στον υπολογιστή (ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ!) Για να αναπαραστήσω το παιχνίδι στο excel τα ζητούμενα είναι: 1. Δημιουργία μιας τυχαίας ρίψης 2 ζαριών Χ, Υ 2. Υπολογισμό του κέρδους Κ ανάλογα με το αποτέλεσμα: αν Χ,Υ άρτιοι Κ=Α-(Χ+Υ), αν όχι Κ=-(Χ+Υ) 3. Επανάληψη των παραπάνω n φορές και υπολογισμό του μέσου Κ=άθροισμα όλων/n Προφανώς πρέπει να γράψω σε κελιά του excel τον υπολογισμό των ζητούμενων και τη «σειρά» για να επιτύχω το αποτέλεσμα! Κάθε γραμμή αντιστοιχεί σε μια επανάληψη της ρίψης 2 ζαριών. 1. Η στήλη Α αναφέρει τον Αύξοντα Αριθμό Επανάληψης 2. Η στήλη Β το τυχαίο αποτέλεσμα στο 1 ο ζάρι, υπολογίζεται με την συνάρτηση =RANDBETWEEN(1,6) ενώ η στήλη C το τυχαίο αποτέλεσμα στο 2 ο ζάρι, υπολογίζεται με την συνάρτηση =RANDBETWEEN(1,6) 3. Οι στήλες D και Ε υπολογίζουν το MODULO (υπόλοιπο διαίρεσης) των X,Y με το 2 και επομένως αν είναι 0 σημαίνει άρτιος, αν είναι 1 σημαίνει περιττός, στο κελί D2:=MOD(B2,2), κελί E2:=MOD(B2,2) 4. Η στήλη F υπολογίζει το κέρδος Κ με Α=40 χρησιμοποιώντας τη λογική συνάρτηση if: F2:=IF(D2+E2=0,40-B2-C2,-B2-C2) δηλ. αν τα υπόλοιπα της διαίρεσης των Χ,Υ είναι και τα 2 μηδέν τότε Κ=40-(Χ+Υ) διαφορετικά Κ=-(Χ+Υ) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 1.42

Παιχνίδι με 2 ζάρια-προσομοίωση-excel (2/3) ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Πόσο πρέπει να είναι το Α? Μπορώ να δοκιμάσω! (μάλλον Α>12 αφού Χ+Υ μπορεί να είναι 12) Πόσο πρέπει να είναι το n? έχω 36 ενδεχόμενα! (Λόγω τυχαιότητας θέλω >>36) Πως θα υπολογίζω το Χ,Υ Είτε με 2 ζάρια (πραγματικό παιχνίδι), είτε στον υπολογιστή (ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ!) Στην στήλη F υπολογίζουμε το κέρδος Κ με Α=40, στις 9 επαναλήψεις που παρουσιάζει η εικόνα έχουμε μέσο Κ=(-5-7-2+34-6-7-5-6-2)/9=(-40+34)/9= -6/9=-0.67 ΑΛΛΑ αν παρατηρήσουμε τις επόμενες γραμμές όπου έχουμε αντιγράψει τις σχέσεις στις στήλες μπορούμε να δούμε τι συμβαίνει στο μέσο Κ για διάφορες τιμές του n Από τις αντίστοιχες γραμμές του φύλλου excel μπορούμε να δούμε την τιμή του Κ για n=20,50,100,200,500,1000,1000 παρατηρούμε ότι «συγκλίνει αργά στο αναμενόμενο 3! Επομένως με την προσομοίωση στον υπολογιστή καταφέραμε να εκτιμήσουμε ότι για τιμή Α=40 το αναμενόμενο κέρδος/επανάληψη πλησιάζει το Κ=3 ΑΛΛΑ για μεγάλο αριθμό επαναλήψεων!!! ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 1.43

Παιχνίδι με 2 ζάρια-προσομοίωση-excel (3/3) ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Πόσο πρέπει να είναι το Α? Μπορώ να δοκιμάσω! (μάλλον Α>12 αφού Χ+Υ μπορεί να είναι 12) Πόσο πρέπει να είναι το n? έχω 36 ενδεχόμενα! (Λόγω τυχαιότητας θέλω >>36) Πως θα υπολογίζω το Χ,Υ Είτε με 2 ζάρια (πραγματικό παιχνίδι), είτε στον υπολογιστή (ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ!) ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ Υπολογίσαμε με προσομοίωση ότι για Α=40 το μέσο Κ=3 Λύσαμε το αρχικό πρόβλημα-ερώτημα? «Για ποιο ποσό Α θα μπαίνατε στον πειρασμό να παίξετε το παιχνίδι;» ΌΧΙ ΑΚΡΙΒΩΣ αλλά υπολογίσαμε για Α=40 ότι συμφέρει αφού το μέσο κέρδος είναι 3 («φαίνεται να συγκλίνει στο 3»). ΔΕΝ ΓΝΩΡΙΖΟΥΜΕ ΑΠΌ ΤΗΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΙ ΑΚΡΙΒΩΣ ΣΥΜΒΑΙΝΕΙ ΣΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ??? Αν απεικονίσουμε σε ένα γράφημα τις τιμές του Κ και μέσο Κ π.χ. για 1000 επαναλήψεις μπορούμε να δούμε τι ακριβώς συμβαίνει καθώς αυξάνει ο αριθμός επαναλήψεων ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΤΗΝ ΕΠΟΜΕΝΗ ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 1.44

Παιχνίδι με 2 ζάρια-προσομοίωση-excel (μελέτη 1) 36-12 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΓΡΑΦΗΜΑ 1000 ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΩΝ: Η τιμή του Κ μεταβάλλεται συνεχώς από -12 έως 36=40-4 Η τιμή του μέσο Κ μεταβάλλεται στην αρχή έντονα και στη συνέχεια «σταθεροποιείται κοντά» στο 3 με μικρές αυξομειώσεις Γιατί με Α=40 το μέσο Κ πλησιάζει το 3? ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΤΗΝ ΕΠΟΜΕΝΗ ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1.45 3

Παιχνίδι με 2 ζάρια-προσομοίωση-excel (μελέτη 2) 16-12 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΓΡΑΦΗΜΑ 1000 ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΩΝ: Η τιμή του Κ μεταβάλλεται συνεχώς από -12 έως 16=20-4 Η τιμή του μέσο Κ μεταβάλλεται στην αρχή έντονα και στη συνέχεια «σταθεροποιείται κοντά» στο -2 με μικρές αυξομειώσεις Γιατί με Α=20 το μέσο Κ πλησιάζει το -2? ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΤΗΝ ΕΠΟΜΕΝΗ ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1.46-2

Παιχνίδι με 2 ζάρια-προσομοίωση-excel (μελέτη 3) ΔΕΙΓΜΑ1 ΔΕΙΓΜΑ2 ΠΡΟΦΑΝΩΣ ΜΠΟΡΩ ΕΥΚΟΛΑ ΝΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΩ ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΥΚΟΛΑ & ΓΡΗΓΟΡΑ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Μπορούμε να ονομάσουμε τις πρώτες 1000 επαναλήψεις σαν Δείγμα1 της προσομοίωσης με Α=40, και τις επόμενες 1000 Δείγμα2 της προσομοίωσης με Α=20 Η τιμή του Α είναι μια παράμετρος της προσομοίωσης (συστήματος-μοντέλου) που επηρεάζει τα αποτελέσματα (ΚΕΡΔΟΣ). Το κέρδος Κ είναι μια μεταβλητή της προσομοίωσης που με μεγάλο αριθμό επαναλήψεων συγκλίνει σε ένα αριθμό (μέσο Κ=3 αν Α=40, μέσο Κ=-2 αν Α=20) όπως φαίνεται μετά από μερικές χιλιάδες επαναλήψεις. Προφανώς υπάρχει σχέση μεταξύ των Κ και Α που γνωρίζοντας την αναλυτική λύση είχαμε υπολογίσει ακριβώς ότι E(K)=A/4-7 (προφανώς ισχύει για τα παραπάνω), επιβεβαιώνει ότι το μοντέλο και το πρόγραμμα της προσομοίωσης είναι σωστά!!! Με την προσομοίωση στον υπολογιστή κερδίσαμε εξαιρετικά μεγάλο χρόνο, το «τρέξιμο» μερικών χιλιάδων επαναλήψεων στο excel γίνεται πρακτικά άμεσα στο πραγματικό σύστημα (με 2 πραγματικά ζάρια) θα χρειαζόταν ώρες ή ημέρες! ΕΊΝΑΙ ΕΦΙΚΤΟ ΑΠΌ ΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΝΑ ΒΡΩ ΤΗ ΣΧΕΣΗ ΜΕΤΑΞΥ Κ και Α??? ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΤΗΝ ΕΠΟΜΕΝΗ ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1.47

Παιχνίδι με 2 ζάρια-προσομοίωση-excel (μελέτη 4) ΔΕΙΓΜΑ1 ΔΕΙΓΜΑ2 ΠΡΟΦΑΝΩΣ ΜΠΟΡΩ ΕΥΚΟΛΑ ΝΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΩ ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΥΚΟΛΑ & ΓΡΗΓΟΡΑ ΕΊΝΑΙ ΕΦΙΚΤΟ ΑΠΌ ΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΝΑ ΒΡΩ ΤΗ ΣΧΕΣΗ ΜΕΤΑΞΥ Κ και Α??? (με την υπόθεση ότι δεν γνωρίζουμε τη μέθοδο της τυχαίας μεταβλητής) Από το γράφημα παρατηρώ τι συμβαίνει κατά τις επαναλήψεις: Η τιμή του κέρδους Κ σε κάθε επανάληψη είναι τις περισσότερες φορές αρνητική ενώ λιγότερες φορές είναι θετική, ΓΙΑΤΙ: Μόνο οι «ζαριές» 2Χ2,2Χ4,2Χ6,4Χ2,4Χ4,4Χ6,6Χ2,6Χ4,6Χ6 δηλαδή 9 από τις συνολικά 36 ενδεχόμενα, γιατί έχω 2 ζάρια άρα 6Χ6=36 δυνατές περιπτώσεις, οδηγούν σε θετικό κέρδος Α-(Χ+Υ) όλες οι υπόλοιπες οδηγούν σε ζημιά (Χ+Υ) από 36-9=27 ενδεχόμενα (φαίνεται και από τον πίνακα στη διαφάνεια 36). Αν προσπαθήσω να το γράψω μαθηματικά θα έγραφα ότι το κέρδος συνολικά θα είναι: Κ=9/36*(Α-Χ-Υ)+27/36*(-Χ-Υ)=1/4*(Α-Χ-Υ)+3/4(-Χ-Υ)=Α/4-Χ/4-Υ/4-3/4Χ-3/4Υ=Α/4-Χ-Υ Επειδή το κέρδος σε κάθε επανάληψη μεταβάλλεται μπορώ να προσπαθήσω να υπολογίσω το μέσο: Μέσο(Κ)=μέσο (Α/4-Χ-Υ)=μέσο (Α/4)-μέσο(Χ)-μέσο(Υ), Επειδή Α/4 σταθερό, ο μέσος(α/4)=α/4 Επειδή Χ έχει τιμές 1,2,3,4,5,6 μέσο(χ)=(1+2+3+4+5+6)/6=21/6=3.5 και επίσης μέσο(υ)=3.5 Με τα παραπάνω ισχύει: Μέσο(Κ)=μέσο (Α/4-Χ-Υ)=μέσο (Α/4)-μέσο(Χ)-μέσο(Υ)=Α/4-7 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΤΗΝ ΕΠΟΜΕΝΗ ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1.48

Παιχνίδι με 2 ζάρια-προσομοίωση-excel (ΣΥΝΟΨΗ) ΔΕΙΓΜΑ1 ΔΕΙΓΜΑ2 ΠΡΟΦΑΝΩΣ ΜΠΟΡΩ ΕΥΚΟΛΑ ΝΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΩ ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΥΚΟΛΑ & ΓΡΗΓΟΡΑ Από τη μελέτη της προσομοίωσης στο excel και τα αριθμητικά αποτελέσματα που υπολόγισα και ανέλυσα «ανακάλυψα» και την βασική σχέση που ισχύει στο παιχνίδι. Μέσο κέρδος Κ=Α/4-7, το Α για να συμφέρει το παιχνίδι πρέπει να είναι Α>28 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Η αναλυτική Λύση με Χρήση Τυχαίας Μεταβλητής είναι εύκολη αν ξέρω την αντίστοιχη θεωρία (μέθοδο), υπάρχουν πάντα προβλήματα (συστήματα) που υπάρχει αναλυτική λύση αλλά δεν την γνωρίζουμε! (Μπορώ να κάνω αναζήτηση στη βιβλιογραφία) Η λύση με προσομοίωση στον υπολογιστή απαιτεί γνώσεις υπολογιστή (κατάλληλου λογισμικού) στο οποίο «αναπαριστώ» το μοντέλο του συστήματος, είναι χρήσιμο να κάνω λογικό διάγραμμα του μοντέλου. (Πρέπει να γνωρίζω τη χρήση του λογισμικού) Από την προσομοίωση στον υπολογιστή δημιουργώ δεδομένα (δείγματα) από τα οποία θα βγάλω συμπεράσματα αν τα επεξεργαστώ με στατιστική μεθοδολογία. Είναι απαραίτητες γνώσεις στατιστικής για την επεξεργασία αποτελεσμάτων της προσομοίωσης. (Η στατιστική συμπερασματολογία είναι μέρος της προσομοίωσης) Η χρήση του υπολογιστή μας επιτρέπει να πειραματιστούμε με το σύστημα και να το καταλάβουμε καλύτερα. (Εξοικονομεί συνήθως πολύ χρόνο) Αν γνωρίζω την Αναλυτική Λύση η Προσομοίωση την επιβεβαιώνει. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 1.49

Πλεονεκτήματα της Προσομοίωσης (1-2) 1) Η θεωρία πάνω στην οποία βασίζεται η προσομοίωση (δηλαδή, η στατιστική ανάλυση δεδομένων και οι διαδικασίες ανάπτυξης του μοντέλου) είναι στιβαρή και καλά ορισμένη (robust, well defined) και εφαρμόζεται στην πλειονότητα των περιπτώσεων. 2) Ο πειραματισμός με ένα πραγματικό σύστημα απαιτεί χρόνο. Η προσομοίωση, όμως, συμπιέζει τον πραγματικό χρόνο εκτέλεσης του πειράματος. Εφόσον έχουμε τα δεδομένα εισόδου για να επεξεργαστούμε επαρκώς τον τρόπο λειτουργίας του συστήματος, το πείραμα ουσιαστικά διεξάγεται στον υπολογιστή μας, η μεταβλητή του χρόνου ελέγχεται από το ρολόι της προσομοίωσης και κατά συνέπεια, η μεταβολή του δεν πραγματοποιείται στην πραγματική κλίμακα αλλά στην προσομοιωμένη. Έτσι, ο υπολογισμός ενός δείκτη απόδοσης για ένα σύστημα, που πιθανόν να χρειάζεται μεγάλο χρόνο συλλογής και επεξεργασίας δεδομένων σε πραγματικό χρόνο πειράματος, μπορεί με την προσομοίωση να διαρκέσει μόνο λίγα λεπτά ή και δευτερόλεπτα, ανάλογα με τη διαθέσιμη υπολογιστική ισχύ. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 1.50

Πλεονεκτήματα της Προσομοίωσης (3-4-5) 3) Πολλές φορές, τα αναλυτικά μοντέλα απαιτούν υπερβολικό αριθμό παραδοχών και υποθέσεων, ώστε να καταστεί εφικτή η επίλυσή τους (δηλ., η εύρεση βέλτιστης λύσης για τις μεταβλητές απόφασης και βέλτιστης τιμής αναφορικά με την αντικειμενική συνάρτηση). Αυτό έχει ως αποτέλεσμα την υπεραπλούστευση και τη σχετική απομάκρυνση από τις πραγματικές συνθήκες λειτουργίας του συστήματος. Σε ένα μοντέλο προσομοίωσης, αν και υπάρχουν παραδοχές και υποθέσεις το πλήθος τους είναι συνήθως μικρότερο. Η αποτύπωση του μηχανισμού λειτουργίας του συστήματος μέσω του ορισμού οντοτήτων, γεγονότων, δραστηριοτήτων και λογικών συνθηκών μας δίνει τη δυνατότητα να εκφράσουμε τη λειτουργία του συστήματος με λιγότερες παραδοχές και υποθέσεις. 4) Όταν διεξάγεται έρευνα πεδίου στο αληθινό σύστημα, δεν υπάρχει πάντα η δυνατότητα επανάληψης του πειράματος σε πραγματικό χρόνο και μάλιστα κάτω από τις ίδιες ακριβώς συνθήκες. Η επανάληψη ενός πραγματικού πειράματος κάτω από τις ίδιες ακριβώς συνθήκες είναι δύσκολο να πραγματοποιηθεί όταν ένα φυσικό πείραμα γίνεται στο πραγματικό σύστημα, ενώ μέσω ενός μοντέλου προσομοίωσης είναι εφικτό. Δηλαδή, αν έχουμε στη διάθεσή μας ένα μοντέλο προσομοίωσης για το πρόβλημα, τότε είναι δυνατό να πραγματοποιηθούν πολλές εκτελέσεις (runs) του προγράμματος (μοντέλου) με σκοπό, για παράδειγμα, να μελετηθούν και να συγκριθούν οι εναλλακτικές διαμορφώσεις ή οι πολιτικές λειτουργίας του συστήματος. Επιπλέον έχουμε τη δυνατότητα προσωρινής διακοπής της προσομοίωσης με σκοπό τον ενδιάμεσο έλεγχο των αποτελεσμάτων και της συνέχισής της από το σημείο διακοπής. Αυτό είναι πολύ δύσκολο και συνήθως αδύνατο να στο πραγματικό σύστημα («πάγωμα χρόνου και συνέχεια»). ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 1.51

Πλεονεκτήματα της Προσομοίωσης (5-6-7) 5) Κατά τη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου προσομοίωσης, μπορούμε να εντοπίσουμε ή να συμπεριλάβουμε κι άλλες πηγές μεταβλητότητας του συστήματος οι οποίες πιθανόν να μη γίνονται αντιληπτές κατά τη λειτουργία του ή να εμφανίζονται σπάνια. Επιπλέον, δίνεται η δυνατότητα ελέγχου σπάνιων και ίσως επικίνδυνων αλλά όχι αμελητέων σεναρίων για τα οποία θα ήταν δύσκολο ή αδύνατο να πραγματοποιηθεί κάτι τέτοιο σε πραγματικές συνθήκες χωρίς να προκαλέσει ανεπιθύμητες συνέπειες στο σύστημα. 6) Η χρήση ενός μοντέλου προσομοίωσης δεν προκαλεί καμία παρενόχληση στο πραγματικό σύστημα ή τουλάχιστον αυτή περιορίζεται, όπως για παράδειγμα κατά τη συλλογή των προκαταρκτικών δεδομένων εισόδου. Η εκτέλεση πειραμάτων στο πραγματικό σύστημα, αν και συχνά είναι απαραίτητη ιδίως στις φυσικές επιστήμες, μπορεί να προκαλέσει ανεπιθύμητα αποτελέσματα. Επίσης, η δυνατότητα ελέγχου ενδιάμεσων αποτελεσμάτων ενός πειράματος ή ακόμα και η προσωρινή παύση και επανεκκίνηση δίνει τη δυνατότητα να δοκιμάζονται αποτελεσματικότερα οι διάφορες στρατηγικές διοίκησης και να αναπροσαρμόζονται σε πραγματικό χρόνο χωρίς απρόσμενες συνέπειες για το αληθινό σύστημα. 7) Το κόστος που προκύπτει από τη διεξαγωγή πειραμάτων στο πραγματικό σύστημα είναι μεγαλύτερο, σε σύγκριση με πειράματα (δοκιμές) σε ένα μοντέλο προσομοίωσης. Για παράδειγμα, είναι προβληματικό να διακόπτονται οι καθημερινές δραστηριότητες μιας επιχείρησης προκειμένου να δοκιμαστούν κάποιες νέες προτεινόμενες ιδέες λειτουργίας (αν και αυτό μπορεί να συμβεί όταν πια θέλουμε να εφαρμόσουμε ένα νέο σύστημα, αφού πρώτα το έχουμε δοκιμάσει στον υπολογιστή μας). ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 1.52

Πλεονεκτήματα της Προσομοίωσης (8-9-10) 8) Με τη χρήση ενός μοντέλου προσομοίωσης, η δειγματοληψία απαλλάσσεται ευκολότερα από πιθανό σφάλμα (δειγματοληψίας) και κυρίως από συστηματικά σφάλματα, κάτι που συμβαίνει συχνά σε ένα πραγματικό πείραμα. Βέβαια, υπόκειται σε άλλα προβλήματα που πρέπει να προσέξουμε όπως είναι η αυτό-συσχέτιση (θα τα συζητήσουμε στο Κεφάλαιο 6). 9) Η προσομοίωση χρησιμοποιείται συχνά και μπορεί να αποτελέσει ένα εξαιρετικό εργαλείο εκπαίδευσης. Έχουμε ήδη αναφερθεί στους προσομοιωτές (ή εξομοιωτές) πτήσεων για τα πληρώματα αεροσκαφών οι οποίοι συνδυάζουν λογισμικό και υλικό σε ένα μοντέλο που μπορεί να μεταφέρει το πλήρωμα, με απόλυτη ασφάλεια, σε ελεγχόμενες «πραγματικές» συνθήκες πτήσης. Επίσης, ίσως γνωρίζετε, για τα διοικητικά παίγνια τα οποία χρησιμοποιούνται για την εκπαίδευση φοιτητών και στελεχών επιχειρήσεων σε εικονικά επιχειρηματικά εγχειρήματα. 10) Είναι προφανές ότι η διεξαγωγή πειραμάτων σε ένα σύστημα προϋποθέτει την ύπαρξή του. Ωστόσο, σε πολλές περιπτώσεις είναι απαραίτητη η διεξαγωγή πειραμάτων σε ένα σύστημα που δεν υπάρχει (π.χ. δοκιμές αντοχής υλικού, καινούργια γραμμή παραγωγής, μεταφορικά μέσα, οπλικά συστήματα κ.λπ.), ενώ σε άλλες περιπτώσεις μπορεί το πείραμά μας να αφορά σενάρια που ίσως να μην εμφανιστούν ποτέ στην πράξη (π.χ. σχέδια αντιμετώπισης μιας ενδεχόμενης τρομοκρατικής ενέργειας, αντιμετώπιση φυσικών καταστροφών, πειράματα για την εξέλιξη του σύμπαντος κ.ά.). ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 1.53