- PDF ΔΩΡΕΑΝ Λήψη

Διακριτά Μαθηματικά Γιάννης Εμίρης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών http://eclass.uoa.gr/ Οκτώβριος 2018

Οργάνωση και περιεχόμενα Μαθήματος Προτασιακή Λογική, Αποδείξεις Κατηγορήματα και ποσοδείκτες Συνεπαγωγή Αποδείξεις Σύνολα, Συναρτήσεις, Ακολουθίες, Αθροίσματα Πράξεις συνόλων Συναρτήσεις Πληθικός αριθμός Συνόλου Ακολουθίες, αθροίσματα

Οργάνωση και περιεχόμενα Μαθήματος Προτασιακή Λογική, Αποδείξεις Σύνολα, Συναρτήσεις, Ακολουθίες, Αθροίσματα

Οργάνωση Μαθήματος Σύγγραμμα: "Διακριτά Μαθηματικά και Εφαρμογές", του Kenneth Rosen, 7η έκδοση (εκδ. Τζιόλα). Αμφιθέατρο: Δευτέρα 11 πμ 1 μμ, Πέμπτη 3 5 μμ, Φροντιστήρια (κ. Φουρτουνέλλη). Ξεκινούν την 3η βδομάδα (θα ανακοινωθεί στο eclass): Δευτέρα 1-3, ΑΜ mod4 = 0, Δευτέρα 3-5, ΑΜ mod4 = 1, Παρασκευή 1-3, ΑΜ mod4 = 2. Παρασκευή 3-5, ΑΜ mod4 = 3. Φοιτητές παλαιών ετών: περιττοί ΑΜ: Δευτ. 3-5, άρτιοι ΑΜ: Παρασκ. 1-3.

Βαθμολόγηση Ασκηση ανά 3 εβδομάδες στο Φροντιστήριο: Βαθμολόγηση: ελλειπώς (0), καλώς (1), άριστα (2). Στο τέλος του εξαμήνου όποιος έχει: 70% των βαθμών, παίρνει +1.5 βαθμό στον τελικό 50%, παίρνει + 1 βαθμό στον τελικό βαθμό. 30%, παίρνει + 0,5 στον τελικό βαθμό. Βαθμός Εξέτασης Φεβρουαρίου: min{10, Εξέταση (άριστα το10) + μονάδες ασκήσεων} Βαθμός εξέτασης Σεπτεμβρίου: Γραπτή εξέταση μόνο.

Τι είναι τα Διακριτά Μαθηματικά; Είναι η μελέτη διακριτών μαθηματικών αντικειμένων: σύνολα, π.χ. {α,ε,η,ι,ο,υ,ω}, ακέραιοι αριθμοί και υποσύνολά τους: {0, 2, 4, 8, 16,... }, αριθμητικές συναρτήσεις: με πεδίο ορισμού τους ακεραίους, πρώτοι αριθμοί 2,3,5,7,11,13,..., γράφοι. Αναπαρίστανται με απόλυτη ακρίβεια στον Υπολογιστή! Τι ΔΕΝ εξετάζουμε; Συνεχή αντικείμενα, Αριθμητική ανάλυση.

Αντιστοιχία διακριτών/συνεχών αντικειμένων Διακριτά αντικείμενα Συνεχή αντικείμενα Z, Q R, C σύνολο {0, 1, 2, 3}, ακολουθία (0, 1, 2, 3) διάστημα [0, 3] ή (0, 3) άθροισμα N k=0 k = N(N+1) 2 = N2 2 + N 2 ολοκλήρωμα N 0 t dt = t2 N 2 0 = N2 2 διακριτή πιθανότητα συνεχής πιθανότητα γεγονός δειγματικό χώρο = {K, Γ} = [0, 1]

Γιατί μελετάμε τα Διακριτά Μαθηματικά ; Α. Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα: ανάλυση πολυπλοκότητας μέσω αριθμητικών συναρτήσεων, πιθανοκρατικοί αλγόριθμοι: αποφεύγουν χείριστη περίπτωση, βελτιστοποίηση στην επιχειρησιακή έρευνα, π.χ. δρομολόγια αεροπορικών εταιριών, γεωμετρικοί αλγόριθμοι, π.χ. κυρτό περίβλημα, διάγραμμα Voronoi. δομές και βάσεις δεδομένων.

Γιατί μελετάμε τα Διακριτά Μαθηματικά; Β. Κρυπτογραφία, κωδικοποίηση, ασφάλεια: πρώτοι αριθμοί, π.χ. πιστωτικές κάρτες, bitcoin. Γ. Τηλεπικοινωνιακά δίκτυα: αλγόριθμοι σε γράφους, συνδυαστική και πιθανότητες. Δ. Λογική σχεδίαση και Γλώσσες προγραμματισμού / μεταγλωττιστές λογικές προτάσεις, θεωρία συνόλων.

Στην καθημερινότητα Πώς θα μάθω την αλήθεια χωρίς να ξέρω αν αυτός που απαντά είναι ψεύτης ή όχι; Ποιος είναι ο αποδοτικότερος αλγόριθμος για να αντιμετωπίσει μαζικά δεδομένα; Ποια η πιθανότητα η φίλη μου να είναι έγκυος αν έχει θετικό αποτέλεσμα σε τεστ με ποσοστό επιτυχίας 80% ; Γεωμετρία: Πόσα ευθύγραμμα τμήματα ορίζονται πάνω στις διαγωνίους 10-γώνου;

Περιεχόμενα μαθήματος 1. Λογική, Προτάσεις 2. Σύνολα 3. Ασυμπτωτική πολυπλοκότητα αλγορίθμων 4. Επαγωγή 5. Απαρίθμηση: συνδυασμοί και μεταθέσεις 6. Διακριτή Πιθανότητα 7. Εγκλεισμός-Αποκλεισμός

Οργάνωση και περιεχόμενα Μαθήματος Προτασιακή Λογική, Αποδείξεις Κατηγορήματα και ποσοδείκτες Συνεπαγωγή Αποδείξεις Σύνολα, Συναρτήσεις, Ακολουθίες, Αθροίσματα

Λογική και Σύνολα Rosen, Κεφ. 1, 2

Μαθηματικές / λογικές προτάσεις [Rosen 1.1, 1.2] Ορισμός (Αριστοτελική λογική). (Μαθηματική ή λογική) πρόταση είναι μια φράση η οποία είναι είτε αληθής είτε ψευδής, αλλά όχι και τα δύο. Παράδειγμα. Η Ουάσιγκτον είναι η πρωτεύουσα των Η.Π.Α. Παράδειγμα. 2 + 2 = 3 ΟΧΙ. Τι ώρα γίνεται το μάθημα των Διακριτών;

Είδη προτάσεων Ορισμός. Ταυτολογία καλείται κάθε πρόταση που είναι πάντα αληθής (συμβολίζεται 1, A ή T ). Ορισμός. Αντίφαση καλείται κάθε πρόταση που είναι πάντα ψευδής (συμβολίζεται 0, Ψ ή F ).

Πράξεις και Πίνακες Αληθείας άρνηση της p: p ή p, διάζευξη (ή): p q αληθής αν μία ή 2 προτάσεις ισχύουν, αποκλειστική διάζευξη (είτε-είτε): p q αληθής αν ακριβώς μία αρχική πρόταση αληθεύει, σύζευξη (και): p q αληθής αν και οι 2 προτάσεις ισχύουν, ισοδυναμία (αν και μόνον αν): p q είναι αληθής αν οι δυο προτάσεις έχουν τους ίδιους πίνακες αληθείας, p q p q p q p q p q F F F F F Τ F T T T F F T F T T F F T T T F T T

Συνεπαγωγή Αν p τότε q: p q. Παράδειγμα. Αν κάποιος είναι επισκέπτης, τότε φοράει κονκάρδα. p q p q F F T F T T T F F T T T Παράδειγμα. Αν αντιγράψεις από τον διπλανό σου, τότε μηδενίζεσαι.

Σύνθετες προτάσεις συνεπαγωγών Οι πράξεις επί ατομικών/απλών προτάσεων ορίζουν σύνθετες προτάσεις: Εστω πρόταση p q. Ανάστροφη: q p Αντιθετοαντίστροφη: q p p q p q q p Ισοδύναμη με την αρχική: Αντίστροφη: p q 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1

Σύνθετες προτάσεις: ισοδυναμία Ορισμός. Ο συμβολισμός p q εκφράζει την πρόταση p αν και μόνο αν q. Ασκηση. Η πρόταση (p q) είναι ισοδύναμη με τη σύνθετη πρόταση [(p q) (q p)]. ΑΠΟΔΕΙΞΗ:

Σύνθετες προτάσεις: ισοδυναμία Ορισμός. Ο συμβολισμός p q εκφράζει την πρόταση p αν και μόνο αν q. Ασκηση. Η πρόταση (p q) είναι ισοδύναμη με τη σύνθετη πρόταση [(p q) (q p)]. ΑΠΟΔΕΙΞΗ: p q p q p q q p [......] F F T T Τ T F T F T F F T F F F T F T T T T T T

Iσοδυναμίες [Rosen 1.3] Ορισμός. Λογικά ισοδύναμες είναι 2 προτάσεις με τον ίδιο πίνακα αλήθειας Εκτός του α β υπάρχουν εναλλακτικά το σύμβολο και ο συμβολισμός α β. Διαβάζεται αν και μόνο αν" και το γράφουμε ανν" (if and only if ή iff). Στην ισοδυναμία ισχύουν τα εξής: το α είναι επαρκής συνθήκη για το β, δηλ. β εάν α: α β. το α είναι αναγκαία συνθήκη για το β, δηλ. β μόνο αν α: α β.

Ιδιότητες Ορισμένες ιδιότητες (όπως οι παρακάτω των οποίων η απόδειξη αφήνεται ως άσκηση) απλοποιούν τις αποδείξεις και αποφεύγουν την κατασκευή ενός εξαντλητικού πίνακα αληθείας. Ταυτολογία: x x. Προσεταιριστική ιδιότητα: (p q) r p (q r) και (p q) r p (q r). Επιμεριστική ιδιότητα: (p q) r (p r) (q r) και (p q) r (p r) (q r).

Ασκηση Ν.δ.ό. [(p q) ( p q)] [(p q) ( p q)]. Απόδειξη. [(p q) ( p q)] [(p q) p] [(p q) q] : επιμεριστικότητα [(p p) (q p)] [(p q) (q q)] : επιμεριστ. (p p) (q p) (p q) (q q) : προσεταιρ. (q p) (p q) : ταυτολογία x x

Ιδιότητες De Morgan Να δειχτεί ότι: (p q) p q, (p q) p q. Απόδειξη. Πίνακες Αληθείας p q p q p q p q p q 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0

Παράδειγμα Νδό: p q [((p q) ( p q)) p]. Απόδειξη. p q p q p q ( p q) p 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1

Γρίφος Υπάρχουν δύο φυλές, η μία λέει πάντα αλήθεια, η άλλη ποτέ. Ερώτηση: Υπάρχει χρυσός στο νησί;

Γρίφος Υπάρχουν δύο φυλές, η μία λέει πάντα αλήθεια, η άλλη ποτέ. Ερώτηση: Υπάρχει χρυσός στο νησί; Απάντηση ιθαγενούς Ι: Υπάρχει ανν λέω την αλήθεια. Λύση. Πρόταση A: "ο Ι λέει αλήθεια", πρόταση X: " χρυσός". Ο ιθαγενής απάντησε,

Γρίφος Υπάρχουν δύο φυλές, η μία λέει πάντα αλήθεια, η άλλη ποτέ. Ερώτηση: Υπάρχει χρυσός στο νησί; Απάντηση ιθαγενούς Ι: Υπάρχει ανν λέω την αλήθεια. Λύση. Πρόταση A: "ο Ι λέει αλήθεια", πρόταση X: " χρυσός". Ο ιθαγενής απάντησε, A X. A X απάντηση A X υπόθεση A (A X) 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1

Γρίφος Υπάρχουν δύο φυλές, η μία λέει πάντα αλήθεια, η άλλη ποτέ. Ερώτηση: Υπάρχει χρυσός στο νησί; Απάντηση ιθαγενούς Ι: Υπάρχει ανν λέω την αλήθεια. Λύση. Πρόταση A: "ο Ι λέει αλήθεια", πρόταση X: " χρυσός". Ο ιθαγενής απάντησε, A X. A X απάντηση A X υπόθεση A (A X) 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 Αφού ισχύει η υπόθεση, υπάρχει χρυσός (περιπτώσεις 2,4).

Γρίφος (συνέχεια) Εναλλακτικά θέτουμε την έρωτηση σε κάποιον ιθαγενή: "Τι θα απαντήσει ένας ιθαγενής της άλλης φυλής ως προς την ύπαρξη χρυσού;" Ασκηση. Δείξτε πως υπάρχει χρυσός ανν η απάντηση είναι ΟΧΙ. Και εδώ, μαθαίνω για τον χρυσό χωρίς να ανακαλύπτω την φυλή του ιθαγενούς.

Ιδιότητες προτασιακής λογικής Ασκηση. p p p q q q p q p q p q q p p q p q p q (p q) p q (p q) (q p) p q p q Πλήρεις πίνακες ιδιοτήτων στους Πίνακες 6-8 του Rosen.

Παράδοξο Η θεωρία μας των προτάσεων (και συνόλων) δεν περιγράφει κάθε δυνατό σύστημα. Π.χ. Εστω άνθρωποι που λένε είτε αλήθεια είτε ψέμματα. Ο Χ λέει: "Είμαι ψεύτης". Η πρόταση δεν είναι ούτε Α ούτε Ψ. Π.χ. "Ολοι οι Κρητικοί είναι ψεύτες", είπε ο Κ ο Κρητικός. Π.χ. πρόταση Π: "αν η Π ισχύει τότε υπάρχει Θεός". Πρόβλημα αυτοαναφοράς [Επιμενίδης].

Κατηγορήματα και ποσοδείκτες [Rosen 1.4] Ορισμός. Το κατηγόρημα είναι μια πρόταση της οποίας η λογική τιμή εξαρτάται από την τιμή μίας ή περισσότερων μεταβλητών. Παράδειγμα. Η προτασιακή συνάρτηση P(x) : x > 3 έχει μεταβλητή x, κατηγόρημα: x > 3.

Ποσοδείκτες Εστω μεταβλητή x σε ένα πεδίο ορισμού (ή πεδίο). Υπαρξιακή πρόταση: x : P(x) (υπάρχει x τέτοιο ώστε το κατηγόρημα P να είναι αληθές για το x). Π.χ. " x R : x Q", ισχύει για x = π. Πρόκειται ουσιαστικά για μια συνεπαγωγή: x : Y (x) συνεπάγεται P(x). Αποδεικνύεται αν βρεθεί x = a : Y (a) P(a). Π.χ. " x στο σύνολο {1, 2, 3, 4} : x 2 > 10", ισχύει για x = 4. Καθολική πρόταση: x : Y (x) τότε P(x). Αποδεικνύεται αν δειχθεί Y P γενικά. Π.χ. n περιττός, το n 2 περιττός: (2k + 1) 2 = 4k 2 + 4k + 1

Αρνηση ποσοτικοποιημένων συνεπαγωγών Υπαρξιακή πρόταση συνεπαγωγής: x : Y (x) P(x). Καταρρίπτεται αν x : αν ισχύει Y (x), τότε δεν ισχύει P(x). Αρνηση της υπαρξιακής πρότασης είναι η καθολική: " x τ.ώ. η Y (x) ισχύει, τότε ισχύει P(x)". Καθολική πρόταση: x : Y (x) τότε P(x). Καταρρίπτεται με αντιπαράδειγμα x = a : Y (a) =T, P(a) = F Π.χ. " n N, ο n! + 1 πρώτος" ψευδής: n = 4, 4! + 1 = 25. Η άρνηση είναι η υπαρξιακή πρόταση: x : Y (x) και P(x).

Αρνηση ποσοτικοποιημένων εκφράσεων Οι κανόνες De Morgan για ποσοδείκτες: Αρνηση ( x : P(x)) ( x : P(x)) Ισοδύναμη πρόταση x : P(x) x : P(x)

Ποσοτικοποίηση δύο μεταβλητών [Rosen 1.5] Πρόταση: x y : P(x, y) ισοδύναμη με: y x : P(x, y). Αληθής αν η P(x, y) αληθεύει για κάθε ζεύγος x, y. Ψευδής αν υπάρχει ζεύγος x, y για το οποίο η P(x, y) είναι ψευδής. Πρόταση: x y : P(x, y). Αληθής αν, για κάθε x, υπάρχει y για το οποίο η P(x, y) αληθεύει. Ψευδής αν υπάρχει x τ.ώ. η P(x, y) είναι ψευδής για κάθε y, δηλαδή: x y : P(x, y).

Φωλιασμένοι ποσοδείκτες Αν υπάρχουν ποσοδείκτες δύο ειδών, η σειρά τους έχει σημασία. Εστω x, y, z R. x, y, z : x = y + z : αληθής, διότι z = x y. y, z : x, x = y + z : ψευδής, διότι y, z, x = y + z + 1 y + z Π.χ. n N, πρώτος p τ.ώ. n < p n! + 1. Απόδειξη. Αν ο n! + 1 είναι πρώτος, η απόδειξη έληξε με p = n! + 1. Αλλιώς, πρώτος q n! + 1, 2 q < n! + 1. Αν q > n, θέτω p = q. Αλλιώς 2 q n, τότε q n!. Επίσης q n! + 1: άτοπο. Ψευδές: πρώτος p : n N, n < p n! + 1.

Κανόνες συνεπαγωγής [Rosen 1.6] Ορισμός. Επιχείρημα καλείται μια ακολουθία προτάσεων: όλες εκτός της τελευταίας καλούνται υποθέσεις, ενώ η τελευταία καλείται συμπέρασμα. Ενα επιχείρημα είναι ορθό αν η αλήθεια των υποθέσεων συνεπάγεται την αλήθεια του συμπεράσματος. Ορθά επιχειρήματα / Κανόνες / Tαυτολογίες: Modus ponens: (p (p q)) q. Modus tollens: ( q (p q)) p. Υποθετικός συλλογισμός: ((p q) (q r)) (p r). Διαζευτικός συλλογισμός: ((p q) p)) q. Επίλυση: ((p q) ( p r)) (q r).

Συνεπαγωγή και ισοδυναμία α β σημαίνει: α αν και μόνον αν β, δηλ. η α είναι αναγκαία και επαρκής συνθήκη για την β, δηλ. ισχύουν τα εξής: Επαρκής συνθήκη: α β (ισχύει β όταν / εάν ισχύει α). Π.χ. x = 3 x 2 = 9. Δεν είναι όμως και αναγκαία! (x = 3 x 2 = 9). Ισοδύναμα β α. Αναγκαία συνθήκη: α β (ισχύει β μόνο αν ισχύει α). Π.χ. x 2 > 4 x > 2. Δεν είναι όμως και επαρκής! (x 2 > 4 x > 2). Ισοδύναμα α β.

Κανόνες συνεπαγωγής Παράδειγμα. Δείξτε ότι οι προτάσεις "Δεν έχει ήλιο σήμερα και ο καιρός είναι κρύος" και "Θα πάμε για μπάνιο μόνο αν έχει ήλιο" συνεπάγονται την πρόταση "Δεν θα πάμε για μπάνιο".

Κανόνες συνεπαγωγής Παράδειγμα. Δείξτε ότι οι προτάσεις "Δεν έχει ήλιο σήμερα και ο καιρός είναι κρύος" και "Θα πάμε για μπάνιο μόνο αν έχει ήλιο" συνεπάγονται την πρόταση "Δεν θα πάμε για μπάνιο". Λύση. Θέτουμε τις εξής προτάσεις: H K M "Εχει ήλιο σήμερα" "Ο καιρός είναι κρύος" "Θα πάμε για μπάνιο" Ισχύουν οι H K και M H από υπόθεση.

Κανόνες συνεπαγωγής Παράδειγμα. Δείξτε ότι οι προτάσεις "Δεν έχει ήλιο σήμερα και ο καιρός είναι κρύος" και "Θα πάμε για μπάνιο μόνο αν έχει ήλιο" συνεπάγονται την πρόταση "Δεν θα πάμε για μπάνιο". Λύση. Θέτουμε τις εξής προτάσεις: H K M "Εχει ήλιο σήμερα" "Ο καιρός είναι κρύος" "Θα πάμε για μπάνιο" Ισχύουν οι H K και M H από υπόθεση. Από modus tollens έχουμε ( H (M H)) M.

Κανόνες συνεπαγωγής με ποσοδείκτες Καθολική εφαρμογή: xp(x) άρα ισχύει P(c), όπου c ένα συγκεκριμένο μέλος του πεδίου ορισμού. Καθολική γενίκευση / απόδειξη πρότασης: αν ισχύει P(c) για c αυθαίρετο, τότε ισχύει xp(x). Υπαρξιακή εφαρμογή: αν xp(x) τότε ισχύει P(c) για κάποιο συγκεκριμένο c (που όμως δεν γνωρίζω ποιο είναι). Υπαρξιακή γενίκευση / απόδειξη πρότασης: αν ισχύει P(c) για κάποιο c τότε ισχύει η πρόταση: xp(x).

Κανόνες συνεπαγωγής με ποσοδείκτες Παράδειγμα. Οι προτάσεις "Οσοι είναι 1ο έτος Πληροφορικής παρακολουθούν Διακριτά" και "Η Μ είναι πρωτοετής φοιτήτρια Πληροφορικής" οδηγούν στο συμπέρασμα "Η Μ παρακολουθεί Διακριτά". Λύση.

Κανόνες συνεπαγωγής με ποσοδείκτες Παράδειγμα. Οι προτάσεις "Οσοι είναι 1ο έτος Πληροφορικής παρακολουθούν Διακριτά" και "Η Μ είναι πρωτοετής φοιτήτρια Πληροφορικής" οδηγούν στο συμπέρασμα "Η Μ παρακολουθεί Διακριτά". Λύση. Εστω p(x) : "ο x είναι πρωτοετής", q(x) : "ο x παρακολουθεί Διακριτά" και P(x) : p(x) q(x).

Κανόνες συνεπαγωγής με ποσοδείκτες Παράδειγμα. Οι προτάσεις "Οσοι είναι 1ο έτος Πληροφορικής παρακολουθούν Διακριτά" και "Η Μ είναι πρωτοετής φοιτήτρια Πληροφορικής" οδηγούν στο συμπέρασμα "Η Μ παρακολουθεί Διακριτά". Λύση. Εστω p(x) : "ο x είναι πρωτοετής", q(x) : "ο x παρακολουθεί Διακριτά" και P(x) : p(x) q(x). Κανόνας καθολικής εφαρμογής: Από υπόθεση x(p(x) q(x)), τότε p(μ) q(μ).

Αποδείξεις [Rosen 1.7] Απόδειξη μιας (μαθηματικής) πρότασης P καλείται η τεκμηρίωση της αλήθειας της P, η οποία στηρίζεται σε αξιώματα ή υποθέσεις Y και χρησιμοποιεί λογικούς συλλογισμούς για να καταδείξει την ισχύ της P δηλ. τεκμηριώνει τη συνεπαγωγή Y P.

Μέθοδοι αποδείξεων 1. Ευθέως/άμεσα με: Y Q P, ή με "αντίστροφο" συλλογισμό P Q, Y Q, όπου αρκούσε να δειχθεί P Q Y. 2. Εμμεση απόδειξη / με απαγωγή σε άτοπο / μέσω αντιθετοαντίστροφου P Y. 3. Υπαρξιακή απόδειξη, ή απόδειξη με αντιπαράδειγμα. 4. Επαγωγικά, εφόσον η πρόταση P(n), n n 0 είναι συνάρτηση του ν N: Δείχνουμε την P(n 0 ) και την P(n) υποθέτοντας P(k). [Rosen, κεφ. 5]

Στρατηγικές Αποδείξεων [Rosen 1.8] Στρατηγική 1α: Απαρίθμηση περιπτώσεων και Εξαντλητικές αποδείξεις [(p 1 p n ) q] [(p 1 q) (p n q)] Παράδειγμα. n Z n 2 n. Απόδειξη. Τρεις (μη-επικαλυπτόμενες) περιπτώσεις: Περίπτωση 0. n = 0 τότε 0 0 ισχύει. Περίπτωση 1. n > 0 τότε n 1 n 2 n ισχύει. Περίπτωση 2. n < 0 τότε n 1 a = n 1: a > 0 ανάγεται στην Περίπτωση 1.

Στρατηγική 1β. Αντίστροφος συλλογισμός Παράδειγμα. Για δύο διαφορετικούς θετικούς ακέραιους, ο αριθμητικός μέσος είναι μεγαλύτερος του γεωμετρικού μέσου: x y N, (x + y)/2 > xy. Απόδειξη. Χρήση ισοδυναμίας: (x + y)/2 > xy (x + y) 2 /4 > xy x 2 + 2xy + y 2 > 4xy (x y) 2 > 0.

Στρατηγική 2. Εις άτοπον απαγωγή Παράδειγμα. Σε μια ομάδα 37 ατόμων υπάρχουν τουλάχιστον 4 που έχουν γεννηθεί τον ίδιο μήνα. Απόδειξη. Εστω ότι έως 3 έχουν γεννηθεί τον ίδιο μηνα. Αρα η ομάδα μπορεί να αποτελείται από το πολύ 3 12 = 36 άτομα. Ατοπο.

Στρατηγική 3α: Υπαρξιακή απόδειξη Για προτάσεις τύπου x P(x): κατασκευαστικές ή μη. Παράδειγμα. x N που γράφεται ως άθροισμα κύβων με δύο τρόπους. 1729 = 10 3 + 9 3 = 12 3 + 1 3 (ελάχιστος). Παράδειγμα. Νδό. x, y R Q : x y Q. Γνωρίζουμε πως 2 Q. Εστω ο 2 2. Αν είναι ρητός, αποδείχθηκε η πρόταση. Αλλιώς x = 2 2, y = 2, x y = 2.

Στρατηγική 3β: Αντιπαράδειγμα Παράδειγμα. x N γράφεται ως άθροισμα τριών τετραγώνων; Απόδειξη. Παρατηρώ πως 1 = 0 + 0 + 1, 2 = 0 + 1 + 1 κλπ. Ομως ο 7 δεν γράφεται ως άθροισμα τριών τετραγώνων εκ των 0, 1, 4.

Οργάνωση και περιεχόμενα Μαθήματος Προτασιακή Λογική, Αποδείξεις Σύνολα, Συναρτήσεις, Ακολουθίες, Αθροίσματα Πράξεις συνόλων Συναρτήσεις Πληθικός αριθμός Συνόλου Ακολουθίες, αθροίσματα

Ορισμός συνόλου [Rosen 2.1] Σύνολο είναι μια συλλογή διακεκριμένων (δηλ. διαφορετικών) αντικειμένων. Π.χ. {α, β}, N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,... }, [0, 1] R. Π.χ. A = {a R : 0 a 1}. Π.χ. {1, 2, 4, 8, 16... } = {x = 2 k : k = 0, 1, 2, 3, 4,... }. Τα αντικείμενα που συνθέτουν το σύνολο καλούνται στοιχεία ή μέλη του συνόλου. Συμβολίζουμε a {a, b}, c {a, b}. Ενα οποιοδήποτε αντικείμενο είτε ανήκει σε δεδομένο σύνολο είτε δεν ανήκει (αλλά ποτέ και τα δύο).

Τρόπος ορισμού Ενα σύνολο ορίζεται με απαρίθμηση όλων των στοιχείων του, π.χ. A = {1, 2, 3}, με περιγραφή των στοιχείων του, π.χ. A = {α Z : 1 a 3}, μέσω πράξεων σε σύνολα που έχουμε ήδη ορίσει (π.χ. ένωση, τομή). Π.χ. A = Z [0.5, 3.14]. Τα στοιχεία ενός συνόλου: δεν επαναλαμβάνονται, δηλ. το {α, α, β} ΔΕΝ έχει νόημα (εκτός απο ειδικές περιπτώσεις), δεν είναι ταξινομημένα, δηλ. {α, β} = {β, α}, μπορεί να είναι διαφορετικού είδους, ακόμη και σύνολα, π.χ. {α, 1, 3 4, {K, Γ}, {}, "Περσεφόνη"}.

Υποσύνολα Ορισμός. Ενα σύνολο P καλείται υποσύνολο του Q, και συμβολίζεται P Q ή P Q, αν p P ισχύει πως p Q. Π.χ. {α} {α, β}, {α, c} {α, β}. Παρατήρηση. Για κάθε σύνολο A, ισχύει A A. Μπορεί να ισχύει A B και A B, π.χ. A = {α, β}, B = {α, β, {α, β}}. Γνήσιο υποσύνολο A B καλείται το υποσύνολο A αν A B. Ισοδύναμα, A B (A B & A B).

Ισότητα Συνόλων Ορισμός. P = Q ανν τα δύο σύνολα περιέχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία. Ορισμός. P = Q (P Q & Q P) (p P p Q). Π.χ. {a R : 0 a 1} = [0, 1]. Π.χ. {1, 2, 4, 8, 16... } = {x = 2 k : k = 0, 1, 2, 3, 4,... }. Π.χ. {α, β} {α, β, }.

Κενό σύνολο Ορισμός. Κενό καλείται το σύνολο {}, που δεν περιέχει κανένα στοιχείο, συμβολίζεται με. Ισοδύναμα, για κάθε α ισχύει α. Παράδειγμα: {x Q x 2 2 = 0} = Θεώρημα. P, για κάθε σύνολο P. Απόδειξη: Ο ορισμός του υποσυνόλου ικανοποιείται τετριμμένα. Ασκ. ΔΕΝ ισχύει πως, για κάθε σύνολο P, P. Απόδειξη με αντιπαράδειγμα: Υπάρχει σύνολο {α, β} όπου δεν ανήκει το.

Πληθικός αριθμός Το πλήθος των στοιχείων συνόλου καλείται πληθικός αριθμός. Π.χ. {α, β} = 2, [0, 1] =, = 0. Καμιά φορά χρησιμοποιούμε την γραφή #A για τον πληθικό αριθμό του A.

Καρτεσιανό γινόμενο Το Καρτεσιανό γινόμενο δύο συνόλων ονομάζεται το σύνολο όλων των διατεταγμένων ζευγών (a, b), όπου a A και b B. Ορίζεται ως εξής: A B = {(a, b) : a A b B}. Ο πληθικός του αριθμός είναι το γινόμενο των πληθικών αριθμών: A B. Π.χ. {a, b} {c} = {(a, c), (b, c)} {c} {a, b}. R R είναι το καρτεσιανό επίπεδο, A =, A.

Δυναμοσύνολο Ορισμός. Δεδομένου συνόλου A, το δυναμοσύνολο του A είναι το σύνολο όλων των υποσυνόλων του A και συμβολίζεται P(A) ή 2 A : P(A) := {B : B A} = 2 A. Π.χ. P( ) = { }. Π.χ. P({a, b}) = {, {a}, {b}, {a, b}}. Π.χ. A = {a, b, c} 2 A = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {c, b}, {a, c}, A}. Π.χ. A = {1, 2, 3, 4} 2 A = {, {1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}, A}.

Πληθικός αριθμός δυναμοσυνόλου Θεώρημα. P(A) = 2 A. Θα αποδειχτεί με επαγωγή αργότερα. Κάθε στοιχείο του P(A) αντιστοιχεί σε μια επιλογή στοιχείων του A. Κάθε επιλογή αντιστοιχεί σε μια συνάρτηση A {0, 1}. Υπάρχουν 2 A διαφορετικές συναρτήσεις/απεικονίσεις. Εναλλακτικά, όπου n = A : n k=0 ( ) n = (1 + 1) n = 2 n. k Γιαυτό χρησιμοποιείται ο συμβολισμός 2 A.

Ορισμός ένωσης και τομής συνόλων [Rosen 2.2] P Q := {a : a P ή a Q}, P Q := {a : a P και a Q}. Π.χ. {α, β} {α, c} = {α, β, c}, {α, β} {α, c} = {α}, {0, 2, 4, 6, 8,... } {a : a = 2k + 1, k N} =. Επέκταση ορισμών ένωσης/τομής σε οποιοδήποτε (ακόμη και άπειρο) πλήθος συνόλων, π.χ. A i := {i}, i=0 A i = N.

Ιδιότητες ένωσης και τομής συνόλων A, A A = A, A A = A, A B (A B = B, A B = A), A A B, A B A, B, A, B C A B A B C, (A B, A C) A B C B C.

Διαφορές συνόλων Διαφορά. P Q := {p P : p / Q}, ή P \ Q. Καλείται και συμπλήρωμα του Q ως προς P. Για το σύμπαν (ή σύνολο αναφοράς) Ω, το σύνολο A := Ω A καλείται απλώς συμπλήρωμα του A. Ιδιότητες: A = A, A A =. Π.χ. {a, b} {a, d} = {b}, {a, b} {a, b, d} =.

Διαφορές συνόλων Συμμετρική διαφορά. P Q := {p P Q : p / P Q}. Αντιστοιχεί στην αποκλειστική διάζευξη προτάσεων (xor). Αντιμεταθετικότητα: P Q = Q P. Θεώρημα. P Q = (P Q) (P Q) = (P Q) (Q P). Π.χ. {a, b} {a, d} = {b, d}, {a, b} {a, b, d} = {d}.

Διαγράμματα Venn διαφορών A B A B.

Ιδιότητες ένωσης και τομής συνόλων Οι πράξεις ένωσης και τομής είναι προσεταιριστικές, δηλ. A 1 (A 2 ( (A k 1 A k ) )) = A 1 A 2 A k, A 1 (A 2 ( (A k 1 A k ) )) = A 1 A 2 A k, είναι αντιμεταθετικές, δηλ. A B = B A, A B = B A, έχουν ουδέτερο στοιχείο: A = A, A Ω = A, όπου το σύμπαν Ω (σύνολο αναφοράς) εξαρτάται από την συγκεκριμένη εφαρμογή, είναι επιμεριστική η μία ως προς την άλλη, δηλ. (A B) C = (A C) (B C), (A B) C = (A C) (B C).

Επιμεριστικότητα (A B) C = (A C) (B C), (A B) C = (A C) (B C)

(P Q) R = (P R) (Q R) Απόδειξη. Εστω A := (P Q) R, B 1 := P R, B 2 := Q R, B := B 1 B 2. Πρέπει να δείξουμε A = B. [B A] B 1 P B 1 P Q, B 1 R άρα B 1 A. Ομοίως B 2 A. Συνεπώς B = B 1 B 2 A. [A B] a A a P Q & a R. Αν a P, επειδή a R, έπεται a P R. Αλλιώς a P, κι επειδή a P Q, a Q; άρα a Q R. Τελικά, a B άρα A B.

Συναρτήσεις [Rosen 2.3] Ορισμός. Συνάρτηση A B καλείται μια ανάθεση ακριβώς ενός στοιχείου του B σε κάθε στοιχείο του A. Δηλ. πρόκειται για μια μονοσήμαντη απεικόνιση του A στο B. Το A καλείται πεδίο ορισμού και το B πεδίο τιμών. Αν f (a) = b B τότε το b καλείται εικόνα του a.

Είδη συναρτήσεων Η συνάρτηση f : A B είναι επί αν b B, a A : f (a) = b. H συνάρτηση f : A B είναι 1-1 αν a a A f (a) f (a ). Κάθε συνάρτηση που είναι 1 1 και επί ονομάζεται αμφιμονοσήμαντη. Οπότε και ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση στο f (A): f 1 : f (A) A : f 1 (b) = a b = f (a).

Παραδείγματα συναρτήσεων Συνάρτηση Επί

Αντιστροφή και Σύνθεση Ορισμός. Εστω αμφιμονοσήμαντη f : A B. Η αντίστροφη ειναι μια νέα συνάρτηση f 1 : B A τ.ώ. f 1 (b) = a f (a) = b. Ορισμός. Εστω συναρτήσεις g : A B, f : B C. Η σύνθεση των f και g είναι μια νέα συνάρτηση f g : A C : (f g)(a) = f (g(a)).

Δάπεδο, Οροφή, Παραγοντικό Ακέραιο μέρος ή δάπεδο: x R x = a Z ανν max Z {a x}. Π.χ. 3.5 = 3, 0.5 = 1. Οροφή: x R x = a Z ανν min Z {a x}. Π.χ. 3.5 = 4, 0.5 = 0. Παραγοντικό: n N n! = 1 2 3 (n 1) n. Stirling: n! 2πn(n/e) n.

Πληθικός αριθμός συνόλου [Rosen 2.5] Πληθικότητα ενός πεπερασμένου συνόλου καλείται το πλήθος των στοιχείων του. Θα επεκτείνουμε την έννοια στα μη πεπερασμένα σύνολα. Τα σύνολα A και B έχουν την ίδια πληθικότητα, αν και μόνον αν (ανν) υπάρχει μία αντιστοιχία (συνάρτηση και αντίστροφη) ανάμεσα στο A και το B, δηλ. συνάρτηση A B ένα-προς-ένα και επί, οπότε γράφουμε A = B. Αν υπάρχει μία συνάρτηση ένα-προς-ένα από το A στο B, τότε A B. Αν επιπλέον τα A και B έχουν διαφορετική πληθικότητα, τότε A < B.

Πεπερασμένα σύνολα Ορισμός. Το σύνολο A καλείται πεπερασμένο αν ο πληθικός του αριθμός είναι πεπερασμένος. Αλλιώς καλείται άπειρο. Π.χ: πεπερασμένο: {α, β}, άπειρο: Z. Θεώρημα. Το A είναι πεπερασμένο ανν N N και υπάρχει 1-1 συνάρτηση f : A N : [ a N : a n, n N]. Δηλαδή (i) υπάρχει 1-1 απεικόνιση από το A σε κάποιο N και (ii) υπάρχει ένας συγκεκριμένος φυσικός a που είναι άνω φράγμα για όλα τα στοιχεία του N. Π.χ. f : {, } {1, 2, 3, 4}, a = 67. Γενικά, a A, εφόσον N N.

Μετρήσιμα / Αριθμήσιμα σύνολα Ορισμός. Το A είναι αριθμήσιμο αν 1-1 συνάρτηση f : A N. Π.χ. { περιττοί φυσικοί αριθμοί } N : 2k + 1 k 0. Θεώρημα. Το Z είναι αριθμήσιμο. Απόδειξη. f : Z N : { x 2x, αν x 0, x 2x 1, αν x < 0 Η f είναι συνάρτηση δηλαδή μία μονοσήμαντη απεικόνιση στο N. Δείχνω πως είναι 1-1 ως εξής: Εστω x x : αν x, x 0, έστω x > x 2x > 2x, αν x, x < 0, έστω x > x 2x 1 < 2x 1, αλλιώς xx 0 f (x) f (x ) (άρτιος και περιττός).

Κατηγορίες συνόλων Παρατήρηση. Αν το σύνολο A είναι πεπερασμένο τότε είναι και αριθμήσιμο. Το αντίθετο δεν ισχύει, π.χ. N. Θεώρ. Υπάρχουν μη-αριθμήσιμα (άπειρα) σύνολα, π.χ. R, [0, 1]. Κατηγορίες: Πεπερασμένα σύνολα, π.χ. {α, β},. Αριθμήσιμα, π.χ. N, Z, Q (πλήθος ℵ 0 ). Μη αριθμήσιμα, π.χ. (0, 1), R, R n (πλήθος 2 ℵ 0). Υπόθεση του Συνεχούς [Cantor] Δεν υπάρχει σύνολο με πληθικό αριθμό ανάμεσα στον πληθικό αριθμό του N (ℵ 0 ) και του R (ℵ 1 ).

Μη αριθμήσιμο σύνολο Θεώρημα. Το (0, 1) R είναι μη αριθμήσιμο. Ομοίως το (0, 1) Q. Απόδειξη. Διαγώνιο επιχείρημα (διαγωνιοποίηση), απαγωγή σε άτοπο. Αριθμήσιμο τα στοιχεία του (0, 1) ταξινομούνται: a 1 = 0, a 11 a 12 a 13... a 2 = 0, a 21 a 22 a 23... a 3 = 0, a 31 a 32 a 33.... χωρίς άπειρη ακολουθία μηδενικών: 0, 15000 = 0, 14999... (μπορούμε να { εξαιρέσουμε τους ρητούς). 9, αν aii {0, 1,..., 8} Θέτω b i := b 1, αν a ii = 9 i a ii b := 0, b 1 b 2 b 3 (0, 1) αλλά b a i, i: άτοπο.

Ακολουθίες [Rosen 2.6] Ορισμός. Ακολουθία ονομάζεται μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα υποσύνολο των φυσικών αριθμών (πεπερασμένο ή όχι) σε ένα σύνολο S f : A N S Συχνά χρησιμοποιούμε τον συμβολισμό a n για να αναπαραστήσουμε την τιμή της ακολουθίας στον ακέραιο n, που ονομάζεται (n-οστός) όρος της ακολουθίας. Π.χ. Αριθμητική πρόοδος a, a + d, a + 2d,..., a + nd,.... Π.χ. Γεωμετρική πρόοδος a, ar, ar 2,..., ar n,....

Αναδρομικές σχέσεις Εστω η ακολουθία {a n } με τύπο a n = 1 n. Οι πρώτοι όροι της ακολουθίας είναι: a 1 = 1, a 2 = 1 2, a 3 = 1 3, a 4 = 1 4, a 5 = 1 5. Mια ακολουθία ορίζεται από μια αναδρομική σχέση εφόσον o όρος a n εκφράζεται βάσει κάποιων από τους προηγούμενους όρους, δηλ. των a 0, a 1, a 2,..., a n 1, και μιας αρχικής συνθήκης. Παράδειγμα η ακολουθία Fibonacci: f n = f n 1 + f n 2, f 0 = 0, f 1 = 1.

Κλειστή σχέση Λύνοντας την αναδρομική σχέση με τις αρχικές συνθήκες, υπολογίζουμε μια ρητή κλειστή σχέση που εκφράζει τους όρους της ακολουθίας. Π.χ. [Rosen, παράδ. 5] a n = a n 1 + 3, n 1, a 1 = 2. Δύο τρόποι: a 2 = 2 + 3 a 3 = 2 + (3 + 3) a 4 = 2 + (3 + 3 + 3). a n = 2 + 3(n 1) = 3n 1. a n = a n 1 + 3 = a n 2 + (3 + 3) = a n 3 + (3 + 3 + 3). = a n (n 1) + 3(n 1) = 3n 1.

Αθροίσματα [Rosen 2.7] Αν a, r R, r 0 τότε { n ar j = ar j = 0 j n j=0 n k 2 = k=1 k=0 ar n+1 a r 1, αν r 1, (n + 1)a, αν r = 1. n(n + 1)(2n + 1). 6 x k = 1, x < 1. 1 x