ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 211: Θωρία Υπολογισμού Ενδιάμση Εξέταση Ημρομηνία : Πέμπτη, 14 Μαρτίου 2019 Διάρκια : 09.00 10.30 Διδάσκουσα : Άννα Φιλίππου ΠΡΟΧΕΙΡΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Πρόβλημα 1 [35 μονάδς] (α) [7 μονάδς] Θωρήστ το πιο κάτω μη νττρμινιστικό αυτόματο. 2 3 1 6 4 5 Να παρουσιάστ το αυτόματο μ τον τυπικό του ορισμό θωρώντας ότι το αλφάβητό του ίναι το σύνολο {,}. Να δίξτ ότι το αυτόματο αποδέχται τη λέξη παρουσιάζοντας τη σχτική ακολουθία καταστάσων που οδηγί σ αποδοχή. Τυπικός ορισμός αυτομάτου: (Q, Σ, δ, qinit, F) όπου Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Σ = {, } δ όπως τον πίνακα που ακολουθί δ 1 {} {} {2,4} 2 {3} {} {} 3 {} {3} {6} 4 {4} {5} {6} 5 {} {} {4,6} 6 {} {} {} qinit = 1 F = {6} Το αυτόματο αποδέχται τη λέξη ως ξής: 1 4 5 4 4 4 5 4 5 6
(β) [13 μονάδς] Να μτατρέψτ το NFA αυτόματο από το μέρος (α) σ ένα ισοδύναμο νττρμινιστικό αυτόματο (DFA) χρησιμοποιώντας την κατασκυή που μλτήσαμ στο μάθημα. {1,2,4} {3,4,6} {4,5,6} {3,4,5.6} {4} (γ) [12 μονάδς] Να κατασκυάστ αυτόματο που να αποδέχται τη γλώσσα A B όπου A η γλώσσα του αυτομάτου M1 και Β η γλώσσα του αυτομάτου Μ2, τα οποία φαίνονται πιο κάτω. 1, 2 3 4 A B, Γ Μ1 Μ 2 1,A 2,B 3,Γ 1,Γ 2,Γ 4,Γ,
(δ) [3 μονάδς] Μ βάση το αυτόματο που κατασκυάσατ στο σκέλος (γ), να αποφασίστ κατά πόσο οι γλώσσς Α και Β ικανοποιούν τη σχέση Α Β. Παρατηρούμ ότι το αυτόματο που κατασκυάσαμ στο σκέλος (γ) δν διαθέτι καμιά τλική κατάσταση. Αυτό συνπάγται ότι η γλώσσα Α Β, δηλαδή,δν υπάρχι καμιά λέξη που να ανήκι στο Α και να μην ανήκι στο Β. Επομένως, Α Β. Πρόβλημα 2 [45 μονάδς] Θωρήστ τη γλώσσα L = { x#yx R z x, y {,}* και z {,} + } Για παράδιγμα, οι λέξις #, και # ανήκουν στη γλώσσα, νώ οι λέξις ##, # και # δν ανήκουν στη γλώσσα. [Υπνθύμιση: Για κάθ λέξη w = 12 n, η λέξη w R ίναι η λέξη που προκύπτι όταν αναστρέψουμ τη σιρά των συμβόλων της, δηλαδή, w R = n 21.] (α) [15 μονάδς] Να αποδίξτ ότι η γλώσσα L δν ίναι κανονική συμπληρώνοντας κατάλληλα τα κνά στην πιο κάτω λλιπή απόδιξη: Υποθέτουμ για να φτάσουμ σ αντίφαση ότι η L ίναι κανονική. Από το Λήμμα της Άντλησης για Κανονικές Γλώσσς, συνπάγται ότι υπάρχι ακέραιος p, το μήκος άντλησης της γλώσσας, τέτοιος ώστ κάθ λέξη w L, μ μήκος w p, μπορί να γραφτί ως w = xyz έτσι ώστ (i) xy p, (ii) y > 0 και (iii) για κάθ ακέραιο i 0, η λέξη xy i z L. Επιλέγουμ τη λέξη w = p # p. Προφανώς w = 2p+2 p. Από τις συνθήκς (i) και (ii) έπται ότι x = κ, y = λ, z = μ # p, όπου κ+λ+μ=p και λ>0. Επιλέγουμ i = 2. Τότ xy i z = p+λ # p. Παρατηρούμ ότι η λέξη αυτή δν έχι τη μορφή x#yx R z αφού θα έπρπ x = p+λ και x R = p+λ, κάτι που προφανώς δν ισχύι αφού οι λέξις p+λ και p έχουν διαφορτικό μήκος. Αυτό μας οδηγί σ αντίφαση και πομένως η γλώσσα L ίναι μη κανονική.
(β) [15 μονάδς] Να αποδίξτ ότι η γλώσσα L ίναι ασυμφραστική πιδικνύοντας ασυμφραστική γραμματική που να την παράγι. Να ξηγήστ τη λιτουργία της γραμματικής σας άτυπα αλλά μ σαφήνια. Μια γραμματική για τη γλώσσα έχι ως ξής: S WZ Z Z Z W W W R R #Y Y Y Y H γραμματική διαχωρίζι τη δημιουργία των λέξων στα τμήματα x#yx R (μταβλητή W) και z (μταβλητή Ζ). Μ τη σιρά της, η μταβλητή W «κτίζι» λέξις από έξω προς τα μέσα τοποθτώντας ζυγάρια όμοιων συμβόλων από τα δύο άκρα της λέξης προς το κέντρο (δύο πρώτοι κανόνς). Μ αυτό τον τρόπο διασφαλίζται ότι η λέξη στο δύτρο μισό θα ίναι η ανάστροφη της λέξης στο πρώτο μισό. Στη συνέχια (τρίτος κανόνας W), η δημιουργία της λέξης ανατίθται στη μταβλητή R, η οποία τοποθτί το σύμβολο # και, τέλος, δξιά από αυτό, μέσω της μταβλητής Y δημιουργίται η λέξη y. (γ) [15 μονάδς] Να αποδίξτ ότι η γλώσσα L ίναι ασυμφραστική πιδικνύοντας ένα αυτόματο στοίβας που να την αναγνωρίζι. Να κτίστ το αυτόματο κατυθίαν και όχι μέσω μτατροπής της ασυμφραστικής γραμματικής από το σκέλος (β).,,,,,,,, 0, $ #,, 1 2 3,, 4 $, 5 Το πιο πάνω αυτόματο, αφού τοποθτήσι το σύμβολο $ στη στοίβα έτσι ώστ να αναγνωρίζι τον πάτο της, στην κατάσταση 1 διαβάζι μια λέξη (το τμήμα x στον ορισμό της γλώσσας) και την καταγράφι στη στοίβα. Στη συνέχια, αφού διαβάσι το σύμβολο #, στην κατάσταση 2 διαβάζι μια ακολουθία συμβόλων που αντιστοιχί στο τμήμα y στον ορισμό της γλώσσας. Από την κατάσταση 3 πιχιρί να διαβάσι το τμήμα x R αναμένοντας κάθ σύμβολο που διαβάζι να συμπίπτι μ το στοιχίο κορυφής της στοίβας το οποίο και ανασύρι. Τέλος, κατά τη μτάβαση 3 4 καθώς και τον κύκλο 4 4, το αυτόματο διαβάζι το τμήμα z της λέξης, το οποίο οφίλι να πριέχι τουλάχιστον ένα σύμβολο. Αν η στοίβα έχι αδιάσι, το αυτόματο ίναι σ θέση να αποδχθί τη λέξη ισόδου.
Πρόβλημα 3 [20 μονάδς] Έστω δύο γλώσσς A και B. Όπως γνωρίζουμ, η συναρμογή των δύο γλωσσών, AB, ορίζται ως η πιο κάτω γλώσσα: AB = { xy x A, y B } (α) Θωρήστ τα πιο κάτω αυτόματα στοίβας Ρ1 και Ρ2., 1,1, 1 c,1 q 1, q 2, s 1 s 2 Ρ1 Ρ 2 (i) [4 μονάδς] Να πριγράψτ μ σαφήνια τη γλώσσα του κάθ αυτομάτου. Γλώσσα του Ρ1: { m n m n } Γλώσσα του Ρ2: { m c n m n } (ii) [8 μονάδς] Συνδυάζοντας κατάλληλα τα αυτόματα στοίβας Ρ1 και Ρ2, να παρουσιάστ αυτόματο στοίβας Ρ το οποίο να αποδέχται τη γλώσσα L1L2, όπου L1 η γλώσσα του αυτομάτου Ρ1 και L2 η γλώσσα του αυτομάτου Ρ2. Ακολουθί μια πρόταση για το ζητούμνο αυτόματο., 1,1, 1 c,1, q 1 q 2, $, s 1 s 2 Παρατηρούμ ότι το προτινόμνο αυτόματο αποτλί τη σύνθση των πιμέρους αυτομάτων μ ένωση της τλικής κατάστασης του πρώτου (η οποία παύι να ίναι τλική) μ την αρχική κατάσταση του δύτρου. Το σημίο που πρέπι να χιριστούμ κατά τη δημιουργία της συναρμογής έχι να κάνι μ τη στοίβα, η οποία χρησιμοποιίται και από τα δύο αυτόματα και ίναι δυνατόν στοιχία που θα παραμίνουν στη στοίβα κατά την πξργασία του πρώτου αυτομάτου να ανασυρθούν κατά την πξργασία του δύτρου. Για αποφυγή αυτού του φαινομένου μπορούμ π.χ. (1) να αδιάσουμ τη στοίβα πριν από την κτέλση του δύτρου αυτομάτου, (2) να χρησιμοποιήσουμ διαφορτικό αλφάβητο στοίβας κατά την πξργασία κάθ αυτομάτου, ή, (3) όπως φαίνται στην πιο πάνω λύση, να τοποθτήσουμ ένα σύμβολο μτά από την ολοκλήρωση της κτέλσης του πρώτου αυτομάτου, έτσι ώστ διαχωρίσουμ τα σύμβολα που θα απομίνουν από την κτέλση του πρώτου αυτομάτου, από αυτά που θα γγραφούν κατά την κτέλση του δύτρου. (β) [8 μονάδς] Γνικύστ τις παρατηρήσις σας από το μέρος (α) για να πιχιρηματολογήστ ότι αν δύο γλώσσς A και B ίναι ασυμφραστικές τότ η γλώσσα AB ίναι ασυμφραστική.
Έστω ασυμφραστικές γλώσσς Α και Β. Από την ασυμφραστικότητα των γλωσσών, γνωρίζουμ ότι υπάρχουν αυτόματα στοίβας που τις αναγνωρίζουν. Έστω Μ1 = (Q1, Σ, Γ1, δ1, q1, F1) ένα PDA αυτόματο που αναγνωρίζι τη γλώσσα Α και Μ2 = (Q2, Σ, Γ2, δ2, q2, F2) ένα PDA αυτόματο που αναγνωρίζι τη γλώσσα Β. Θα δίξουμ ότι υπάρχι αυτόματο στοίβας που αναγνωρίζι τη γλώσσα ΑΒ. Το αυτόματο αυτό ίναι το αυτόματο P = (Q1 Q2, Σ, Γ1 Γ2 {$}, δ, q1, F2), όπου θωρούμ ότι το $ ίναι ένα σύμβολο που δν ανήκι στα αλφάβητα στοίβας των δύο αυτομάτων και όπου,,,,,,, ή,,,$,,, Μ λόγια, το αυτόματο συνδυάζι σιριακά τα δύο αυτόματα μ την προσθήκη μιας μτάβασης από τις τλικές καταστάσις του πρώτου αυτομάτου προς την αρχική κατάσταση του δύτρου αυτομάτου κατά την οποία γράφι το σύμβολο $ στη στοίβα. Μπορούμ να αποδίξουμ ότι το PDA Ρ αποδέχται μια λέξη w αν και μόνο αν w ΑΒ: Ας υποθέσουμ λοιπόν ότι w L(Ρ). Τότ η w μπορί να γραφτί στη μορφή w = w1w2 wm όπου κάθ wi Σ, και υπάρχι ακολουθία καταστάσων r0, r1,, rm Q1 Q2 και ακολουθία λέξων (στοίβς) s0, s1,, sm (Γ1 Γ2 {$}) * που να ικανοποιούν τις συνθήκς: r0 = και s0 = Για κάθ i = 0,,m 1,, δ,,, όπου si = t και si+1=t για κάποια, Γ και t (Γ1 Γ2 {$}) *, και rm F2 Τότ, από τον ορισμό του Ρ, r1,, rk Q1, rk+1,, rm Q2, r1 η αρχική κατάσταση του αυτόματου Μ1 και rk F1, rk+1 η αρχική κατάσταση του αυτόματου Μ2 και rm F2. Αυτό συνπάγται ότι: w1w2 wk L(A) (1) Επιπρόσθτα παρατηρούμ ότι sk+1 = $sk και αφού το σύμβολο $ δν ανήκι στο αλφάβητου στοίβας του Μ2, για κάθ στοίβα sm μ m > k+1, sm = um$sk. Αυτό συνπάγται ότι για rk+1,, rm Q2, και ακολουθία λέξων uk+1,, um (Γ1 Γ2 {$}) * ικανοποιούνται οι συνθήκς: rk+1= και uk+1 = Για κάθ i = k+1,,m 1,, δ,,, όπου ui = t και ui+1=t για κάποια, Γ και t (Γ1 Γ2 {$}) *, και rm F2 Επομένως wk+1 wm L(B) (2) Από (1) και (2) συμπραίνουμ ότι w ΑΒ. Η αντίθτη κατύθυνση, σύμφωνα μ την οποία αν w ΑΒ τότ w L(P) ακολουθί όμοια πιχιρήματα.