Συμπλήρωμα 2 εδαφίου 3.3: Το γενικό μεταβολικό πρόβλημα για συναρτησιακό ολοκληρωτικού τύπου με ολοκληρωτέα συνάρτηση F κατά 2

Transcript

1 ΚΕΦ. 3 Η Αρχή των Ήρωνος-Fermat Συμπλήρωμα 2 δαφίου 3.3: Το νικό μταβολικό πρόβλημα ια συναρτησιακό ολοκληρωτικού τύπου μ ολοκληρωτέα συνάρτηση F κατά 2 τμήματα C, ορισμένο πί καμπυλών που τέμνουν την πιφάνια ασυνέχιας της F Στις μέχρις δώ θωρήσις μας, η ολοκληρωτέα συνάρτηση F F(,y,y,z,z της οποίας ορίζται το συναρτησιακό ( ;, =, δια F, σχέση ( του Συμπληρώματος, 2 έχι υποτθί δύο φορές συνχώς παραωίσιμη (τύπου C. Επί πλέον, οι καμπύλς F ;,, έχουν υποτθί λίς, πί των οποίων ορίζται το συναρτησιακό ( (τύπου C, πράμα στο οποίο αποδικνύται συμβατό μ τις προκύπτουσς ξισώσις Euler-Lagrange (. Στο παρόν Συμπλήρωμα 2, θα χαλαρώσουμ τις συνθήκς λιότητας, υποθέτοντας ότι η ολοκληρωτέα συνάρτηση F ίναι κατά 2 τμήματα C. Ειδικότρα, θα υποθέσουμ ότι υπάρχι μια πιφάνια {(,y,z : ϕ(,y,z } = =, ( κιμένη ξ ολοκλήρου ντός του χωρίου, πί της οποίας η συνάρτηση F παρουσιάζι ασυνέχια πρώτου ίδους. Η πιφάνια υποδιαιρί το χωρίο σ δύο υπο-χωρία, και, έτσι ώστ = και =. Στην πρίπτωση αυτή δν μπορούμ να υποθέσουμ ότι οι καμπύλς {(,y,z : y y(, z z( } = = =, (2 οι οποίς τέμνουν την πιφάνια ίναι λίς. Ως κ τούτου, θα χαλαρώσουμ και τις απαιτήσις λιότητας ι αυτές, υποθέτοντας ότι Οι καμπύλς, οι οποίς τέμνουν την πιφάνια, ίναι κατά τμήματα λίς, μ πιθανά ωνιακά σημία, τα σημία της τομής. Στη συνέχια θα πριορίσουμ τις θωρήσις μας σ καμπύλς οι οποίς τέμνουν την πιφάνια σ ένα μόνο σημίο κάστη, το οποίο θα συμβολίζουμ ως. Βλ. Σχήμα. Προφανώς, κάθ καμπύλη : μπορί να θωρηθί ότι αποτλίται από δύο τμήματα, το τμήμα :, το οποίο κίται στο χωρίο, και το τμήμα :, το οποίο κίται στο χωρίο. Είναι πίσης φανρό ότι, σ κάθ ένα από τα δύο τμήματα και, της καμπύλης, ισχύουν οι ισχυρότρς 2 υποθέσις λιότητας (F ίναι τύπου C στο χωρίο i, και i ίναι τύπου C,i =,, μ τις οποίς ραζόμθα στο Συμπλήρωμα. Το συναρτησιακό μ το οποίο θα ασχοληθούμ στο παρόν Συμπλήρωμα ίναι και πάλι της μορφής ( του Συμπληρώματος. Δδομένου όμως ότι το σημίο ( Δηλαδή, οι ξισώσις αυτές (ξισώσις ακτίνων δέχονται λύσις λιότητας C ή ισχυρότρης.

2 ΚΕΦ. 3 Γνικές αρχές της κυματικής = δν ίναι νωστό a priori και, ως κ τούτου, η μταβολή του θα πηράσι τη νική μταβολή του συναρτησιακού μας, ισάουμ τον ακόλουθο συμβολισμό: όπου ( ;,, = ( ;, ( ;, F F F, (3 F ( ;, = F(,y(,y (,z(,z ( d, και (4α F ( ;, = F(,y(,y (,z(,z ( d. (4β Υπνθυμίζουμ ότι τα ακραία σημία,, της καμπύλης αναπαρίστανται ως και = (,y,z μ y = y (, z = z (, (5α = (,y,z μ y = y (, z = z (. (5β Το ωνιακό σημίο αναπαρίστανται ως = (,y,z μ y y (, z z ( = =. (5 N θ θ y N Σχήμα (3.3.Σ-2: Καμπύλη :, η οποία τέμνι την πιφάνια (ασυνέχιας της συνάρτησης F σ ένα σημίο 5/2/28 :52 M

3 ΚΕΦ. 3 Η Αρχή των Ήρωνος-Fermat Οι συναρτήσις y( και ( z ίναι συνχίς στο σημίο =, αλλά οι παράωοι αυτών δν ίναι (νικώς συνχίς στο σημίο αυτό. Παρά ταύτα, θωρούμ ότι υπάρχουν τα μονόπλυρα όρια ( = ( ( = ( y lim y, y lim y, και (6α ( = ( ( = ( z lim z, z lim z. (6β - Υπολοισμός της πρώτης μταβολής του συναρτησιακού (3 Μ σκοπό να προσδιορίσουμ τη συνθήκη στασιμότητας του συναρτησιακού (3, θα μλτήσουμ τη νική μταβολή ( ;,, = ( ;,, ( ;,, Δ F F F αυτού. Οι καμπύλς, (7 : M M M και : M M M λαμβάνονται να ίναι ιτονικές, μ την έννοια του Ορισμού 3, του δαφίου (κατά τμήματα C, μ τον ίδιο αριθμό ωνιακών σημίων. Γράφοντας τη μταβολή (7 στη μορφή ( ;,, ( ;,, ( ;,, ΔF = F F = ( ;, ( ;, ( ;, ( ;, = F F F F = ( ;, ( ;, ( ;, ( ;, = F F F F, (8 α β Σχήμα 2 (3.3.Σ-2: Γιτονικές διαδρομές της : μπορί να κρατίται σταθρό (α, ή να κινίται (β.. Το ωνιακό σημίο

4 ΚΕΦ. 3 Γνικές αρχές της κυματικής ύκολα διαπιστώνουμ ότι ο υπολοισμός της ανάται πλήρως στον υπολοισμό που πραματοποιήσαμ αναλυτικά στο Συμπλήρωμα. Πράματι, κάθ μια από τις μταβολές και ( ;, = ( ;, ( ;, Δ F F F, (9α ( ;, = ( ;, ( ;, ΔF F F, (9β ντάσσται απολύτως στην πρίπτωση που μλτήθηκ στο προηούμνο Συμπλήρωμα. Μπορούμ λοιπόν να φαρμόσουμ τη σχέση (3 του Συμπληρώματος, ξχωριστά ια κάθ μια από τις μταβολές ΔF ( ;, και ΔF ( ;,. Εύκολα, πίσης, διαπιστώνουμ ότι οι συνοριακοί μταβολικοί όροι της μορφής [ ] δ [ ] δ y [ ] δ z, μφανίζονται τόσο στη μταβολή (9α, όπου το λιτουρί ως τλικό σημίο, όσο και στη μταβολή (9β, όπου το λιτουρί ως αρχικό σημίο. Κατά συνέπια, οι όροι αυτοί μπορούν να νοποιηθούν στην έκφραση της νικής μταβολής του συναρτησιακού (3. Εφαρμόζοντας την ανωτέρω πριραφίσα μθοδολοία, καταλήουμ στην ακόλουθη μορφή της νικής μταβολής ΔF ;,, του συναρτησιακού (3: ( ( ;,, = ( ;,, ( ;,, ΔF F F = ( ;, ( ;, = Δ F Δ F = F d F F d F h( d g ( d y d y z d z = F d F F d F h( d g( d y d y z d z F y z δ δ δ y z F y z δ δ y z δ F y z δ δ δ y z ( 2 ας ταξως O, ( 5/2/28 :52 M

5 ΚΕΦ. 3 Η Αρχή των Ήρωνος-Fermat όπου h( = y ( y( και g( = z ( z(, έχουν την ίδια έννοια όπως και στο προηούμνο Συμπλήρωμα. Τώρα, όμως, οι συναρτήσις (σωτρικές μταβολές h( και g( ανήκουν στο χώρο των συναρτήσων ([ ] ([ ] ([ ] C, C, C,, ( ο οποίος πριλαμβάνι συνχίς συναρτήσις, ορισμένς πί του διαστήματος [, ], μ συνχή πρώτη παράωο στα υπο-διαστήματα [, ] και [, ]. Στα ακραία σημία,, του διαστήματος [, ], καθώς και στα ακραία σημία,, του διαστήματος [, ], οι παράωοι νοούνται ως μονόπλυρα όρια σωτρικών (ως προς το αντίστοιχο διάστημα τιμών. Κατά συνέπια, στο σημίο =, υπάρχουν μν τα πλυρικά όρια h και g ±, σύμφωνα και μ την υπόθση (6, αλλά οι συναρτήσις h( και ( ± ( g( δν έχουν συνχή παράωο κί. Εξ ορισμού, η πρώτη μταβολή του συναρτησιακού F ( ;,, συμβολίζουμ ως δf ( ;,,, την οποία θα, πριλαμβάνι τους πρωτοτάξιους όρους που μφανίζονται στο δξιά μέλος της σχέσης (, δηλαδή, ότι πριέχται στις πέντ πρώτς ραμμές του τλυταίου σκέλους της (. Έχοντας υπολοίσι πλέον την πρώτη μταβολή δf ( ;,,, μπορούμ να ξαάουμ τις διαφορικές συνθήκς, οι οποίς ισοδυναμούν μ το μταβολικό πρόβλημα: ([ ] ([ ] ([ ] h,g C, C, C,, δf ( ;,, = δ i, δ y i, δzi IR, i =,,, τα οποια ικανοποιουν τυχον πριορισμους. (2 Προς τούτο, ακολουθούμ τη συνήθη μθοδολοία, πιλέοντας καταλλήλως τις μταβολές που θωρούμ μηδνικές και αυτές που θωρούμ αυθαίρτς, σ κάθ μας βήμα. Έτσι, πιλέοντας κατ αρχήν δ i = δ yi = δzi =, ια i {,, } και θωρώντας αυθαίρτς σωτρικές μταβολές, βρίσκουμ ότι πρέπι να ισχύουν οι ξισώσις Euler-Lagrange και F d F = y d y F d F και =, [, z d z ], (3α F d F = y d y F d F και =, [, ], (3β z d z

6 ΚΕΦ. 3 Γνικές αρχές της κυματικής ξχωριστά ια τα τμήματα [, ] και [, ] διαστήματα που πριέχουν το σημίο = ως σωτρικό σημίο.. Οι ξισώσις (3 δν ισχύουν σ Σ πλήρη αναλοία μ τις θωρήσις μας στο Συμπλήρωμα, δίδουμ τον ακόλουθο ορισμό: Ορισμός: Κάθ κατά τμήματα C καμπύλη = {(,y,z : y= y(, z= z( } = { }, της οποίας το τμήμα : ανήκι στο χωρίο, το τμήμα : ανήκι στο χωρίο, και η οποία τέμνι την πιφάνια στο (μοναδικό σημίο (στο οποίο νδχομένως χάνι τη λιότητά της, θα λέται καμπύλη στασιμοποίησης του συναρτησιακού F ( ;,,, άν οι συντταμένς συναρτήσις y( και z( ικανοποιούν τις διαφορικές ξισώσις (3α στο τμήμα της, και τις διαφορικές ξισώσις (3β στο C τμήμα της. C Ας υποθέσουμ τώρα ότι πριορίζουμ τις θωρήσις μας στο σύνολο των καμπυλών στασιμοποίησης, δηλαδή σ κίνς τις κατά τμήματα C καμπύλς οι οποίς ικανοποιούν τις ξισώσις Euler-Lagrange (3. Τότ, η πρώτη μταβολή του συναρτησιακού F ( ;,,, ξίσωση (, θα αποτλίται αποκλιστικά από ακραίους όρους, φ όσον οι δύο ολοκληρωτικοί όροι μηδνίζονται. Δηλαδή, το μταβολικό πρόβλημα (2, υπό τους πριορισμούς (3, παίρνι πλέον τη μορφή: F y z δ δ δ y z F y z δ δ y z δ F y z δ δ y δz =. (4 όπου οι μταβολές δ, δ y, δz, i {,, } προβλήματος. i i i, ικανοποιούν τους πριορισμούς του Το σημίο = (,y,z ανήκι στην πιφάνια. Επιλέοντας, προς στιμήν, z δ = δ y = δ =, η ανωτέρω μταβολική ξίσωση (4 παίρνι τη μορφή F y z δ δ δ y z F y z δ δ y δz =, (5 5/2/28 :53 M

7 ΚΕΦ. 3 Η Αρχή των Ήρωνος-Fermat η οποία ίναι ταυτόσημη μ την (6β του Συμπληρώματος. Κατά συνέπια, μ τον ίδιο ακριβώς τρόπο όπως στο προηούμνο Συμπλήρωμα, λαμβάνουμ από τη μταβολική σχέση (5 συνοριακές συνθήκς ια τα σημία και. Όπως ήδη νωρίζουμ, σ κάθ ένα από τα άκρα ακόλουθς συνθήκς: και μπορί να ισχύι οποιαδήποτ από τις - Συνθήκη σταθρού άκρου - Συνθήκη λύθρου άκρου - Συνθήκη καρσιότητας, ξασφαλίζουσα ότι το άκρο κινίται πάνω σ δοθίσα πιφάνια. Οι ακριβίς μαθηματικές σχέσις δια των οποίων υλοποιούνται οι ανωτέρω συνθήκς έχουν δοθί στο Συμπλήρωμα και, ως κ τούτου, δν παναλαμβάνονται δώ. Ας υποθέσουμ, τλικώς, ότι πριοριζόμθα σ κίνο το υποσύνολο των καμπυλών στασιμοποίησης, οι οποίς ικανοποιούν μια από τις ανωτέρω συνοριακές συνθήκς σ κάθ άκρο. Τότ και οι συνοριακοί μταβολικοί όροι, οι οποίοι αναφέρονται στα άκρα,, καθίστανται μηδνικοί (, οπότ το μταβολικό πρόβλημα (2 ανάται στην ακόλουθη μταβολική ξίσωση: F y z δ δ y δz =. (6 Δδομένου ότι το σημίο = (,y,z ανήκι στην πιφάνια, ισχύι η σχέση ϕ,y,z = (, κ της οποίας λαμβάνουμ το διαφορικό σύνδσμο ϕ ϕ δ δ y ϕ δz y z =. (7 Κατά συνέπια, οι μταβολές δ, δ y, δ z, δν ίναι ανξάρτητς μταξύ τους. Δύο ξ αυτών μπορούν να πιλούν αυθαίρτα, οπότ η τρίτη προκύπτι από την ξίσωση (7. Η κατάσταση ίναι και πάλι τλίως παρόμοια μ αυτήν που αντιμτωπίσαμ στο Συμπλήρωμα, όταν μλτήσαμ τις συνθήκς καρσιότητας ια τα ακραία σημία. Βλ., π.χ., τις ξισώσις (9 του Συμπληρώματος και την ανάλυση που ακολουθί. Εραζόμνοι μ τον ίδιο ακριβώς τρόπο καταλήουμ στις συνθήκς: F ϕ / y F =, στο (,y,z =, y ϕ / z z = και (8 F ϕ / F F y z, στο (,y,z, = = = y ϕ / z z ( Υπνθυμίζουμ ότι οι ολοκληρωτικοί μταβολικοί όροι της νικής μταβολής του συναρτησιακού F ίναι πίσης μηδνικοί, φ όσον πριοριζόμθα σ καμπύλς στασιμοποίησης. ( ;,,

8 ΚΕΦ. 3 Γνικές αρχές της κυματικής οι οποίς ίναι οι αντίστοιχς των (2 του Συμπληρώματος. Μ απλούς αλβρικούς μτασχηματισμούς παίρνουμ την ακόλουθη συμμτρική παραλλαή των συνθηκών (8: ϕ ϕ ϕ ϕ F F y z =,, (9α z y z z ϕ ϕ ϕ ϕ F F y z =,. (9β y y z y Ορισμός: Οι συνθήκς (9, οι οποίς ισοδυναμούν μ το μηδνισμό των "νδιαμέσων" μταβολικών όρων που προκύπτουν από τη μταβολή του νδιαμέσου (ωνιακού σημίου των καμπυλών στασιμοποίησης του συναρτησιακού F ( ;,,, υπό την προϋπόθση ότι το σημίο αυτό κινίται πάνω σ δδομένη πιφάνια = {(,y, z : ϕ (,y,z = }, ονομάζονται (ωνιακές συνθήκς Weierstrass-Erdmann. Άσκηση:. Να αποδίξτ ότι, άν η πιφάνια ορίζται από την ξίσωση = ψ y,z, οι συνθήκς Weierstrass-Erdmann (9 ίναι ισοδύναμς μ τις ( συνθήκς και (2β F ψ Fy z =,, (2α y y F ψ Fy z =,. z z = 5/2/28 :53 M