Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (h>p://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1
Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγη στο Χώρο Κατάστασης Μοντελοποίηση στο Χώρο Κατάστασης Ανάλυση Συστημάτων στο Χώρο Κατάστασης Δομικές Ιδιότητες Συστημάτων Ελεγξιμότητα Παρατηρησιμότητα Ευστάθεια Σχεδίαση Συστημάτων Ελέγχου Ποιοτικά Κριτήρια Σχεδίασης Ανατροφοδότηση Κατάστασης Εισαγωγή στον Βέλτιστο Έλεγχο Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση σε χώρουν πεπερασμένων και απείρων διαστάσεων. Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών Βέλτιστος Έλεγχος μέσω Λογισμού των Μεταβολών Αναγκαίες Συνθήκες Βελτίστου Ελέγχου Προβληματα τύπου «Γραμμικού Ρυθμιστή» Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 2
Βέλτιστος Έλεγχος Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 3
Ακρότατα Συναρτησιακών μίας Συνάρτησης Στα πλαίσια ευρέσεως των αναγκαίων συνθηκών που πρέπει να ικανοποιούνται από ένα ακρότατο του συναρτησιακού όπου ο αρχικός χρόνος t 0 και αρχική τιμή x(t 0 )=x 0 είναι καθορισμένα ενώ ο τελικός χρόνος t f και η τελική τιμή x(t f )=x f είναι «ελεύθερα» (ακαθόριστα). Αποδείχθηκε ότι αναγκαίες συνθήκες ύπαρξης ακροτάτων είναι: Εξίσωση Euler Οριακές Συνθήκες Εξετάσαμε τις ειδικές περιπτώσεις όπου: τόσο ο τελικός χρόνος t f όσο και η τελική τιμή x(t f )=x f είναι «καθορισμένα» και, ο τελικός χρόνος t f ειναι «καθορισμένος» και η τελική τιμή x(t f )=x f είναι «ελέυθερη» Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 51
Το Πρόβλημα Ελευθέρων Αρχικών & Τελικών: Χρόνου & Οριακών Συνθηκών Αλήθεια ΓΙΑΤΙ μας ενδιαφέρει κάτι τέτοιο? Ντετερμινιστικά Καθορισμένη Τροχιά Σελήνης tf,x(tf) ti,x(ti) ΓΗ Μετάβαση από Γή στη Σελήνη με Ελάχιστη Ενέργεια tf min P ( x ( t ), x! ( t ),t ) dt ti Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ Ισχύς 52
Ακρότατα Συναρτησιακών μίας Συνάρτησης: Πρόβλημα - 3 Τελικός χρόνος t f «ελεύθερος» - τελική τιμή x(t f )=x f καθορισμένη Η εύρεση του ακροτάτου γίνεται με την επίλυση της Διαφορικής Εξισώσεως... Εξίσωση Euler... και οι σταθερές ολοκληρώσεως θα προκύψουν από την ικανοποίηση των... Οριακές Συνθήκες... λαμβανομένης υπόψη και και της καθορισμένης τελική τιμή x(t f ) = x f Παράδειγμα: Για x(1)=4, x(t f )=4 και t f > 1 «ελεύθερο» να ευρεθεί το ακρότατο της Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 53
Ακρότατα Συναρτησιακών μίας Συνάρτησης: Πρόβλημα - 3 Euler ( ) = 2x t g x( t),!x ( t),t ( ) + 1 ( 2!x2 t) Αρχική / Τελική Συνθήκη Οριακή Συνθήκη Οριακές Συνθήκες Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 54
Ακρότατα Συναρτησιακών μίας Συνάρτησης: Πρόβλημα 4α Τελικός χρόνος t f «ελεύθερος» - τελική τιμή x(t f ) «ελεύθερη» : ΑΣΥΣΧΕΤΙΣΤΑ Η εύρεση του ακροτάτου (συνάρτηση) γίνεται με την επίλυση της Διαφ. Εξισ.... Εξίσωση Euler... και οι σταθερές ολοκληρώσεως θα προκύψουν από την ικανοποίηση των... Οριακές Συνθήκες Δηλαδη Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 55
Ακρότατα Συναρτησιακών μίας Συνάρτησης: Πρόβλημα 4b Τελικός χρόνος t f «ελεύθερος» - τελική τιμή x(t f ) «ελεύθερη» : ΣΥΣΧΕΤΙZOMENA π.χ. Το πρόβλημα με τη «κινούμενη σελήνη» Η εύρεση του ακροτάτου γίνεται με την επίλυση της Διαφορικής Εξισώσεως... Εξίσωση Euler... και οι σταθερές ολοκληρώσεως θα προκύψουν από την ικανοποίηση των... Οριακές Συνθήκες Ο συσχετισμός τελικής τιμής και τελικού χρόνου είναι της μορφής Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 56
Ακρότατα Συναρτησιακών μίας Συνάρτησης: Πρόβλημα 4b Παράδειγμα: Να ευρεθεί η συνάρτηση x(t) που είναι ακρότατο του συναρτησιακού. και ξεκινά από την αρχή των αξόνων και καταλήγει στην καμπύλη Λύση: Euler Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 57
Ακρότατα Συναρτησιακών πολλών Συναρτήσεων Θέλουμε να βρούμε την αναγκαία συνθήκη που πρέπει να ικανοποιείται από ένα ακρότατο του συναρτησιακού όπου ο αρχικός χρόνος t 0 και αρχική τιμή x(t 0 )=x 0 είναι καθορισμένα και ο τελικός χρόνος t f και τελική τιμή x(t f )=x f είναι «ελέυθερα» (ακαθόριστα). Όπως και για τη περίπτωση μίας συνάρτησης, από την ολικη μεταβολή ΔJ(x) οδηγούμαστε στην πρώτη μεταβολή δj(x) και εφαρμόζοντας το Ακρογωνιαίο Θεώρημα Λογισμού των Μεταβολών... T T T
Ακρότατα Συναρτησιακών πολλών Συναρτήσεων Να σημειωθεί ότι, στις προηγούμενες (και επόμενες) σχέσεις, εφόσον το x είναι n- διάστατο διάνυσμα τα θα είναι n- διάστατα διανύσματα («στήλες»). g x, g!x Αποδεικνύεται ότι η παραπάνω σχέση, και στην n- διάστατη περίπτωση, οδηγεί στις αντίστοιχες n+1 σχέσεις Εξίσωση Euler T Οριακές Συνθήκες T Όπως και στη μονοδιάστατη, ανάλογα με τις τελικές οριακές συνθήκες οι παραπάνω σχέσεις εξειδικεύονται όπως φαίνονται στον επόμενο πίνακα: Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 59
Ακρότατα Συναρτησιακών πολλών Συναρτήσεων T T + Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 60
Παράδειγμα: καθορισμένα οριακά σημεία Example 4.3-2 KIRK Example 4.3-3 KIRK g x 1 d dt g x 2 d dt g!x 1 = 0 g!x = 0 2 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 61
Παράδειγμα: καθορισμένα οριακά σημεία (συνεχ.) Example 4.3-2 KIRK Example 4.3-3 KIRK Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 62
Παράδειγμα: Ελεύθερα (μερικώς) οριακά σημεία Example 4.3-2 KIRK Example 4.3-3 KIRK g x 1 d dt g x 2 d dt g!x 1 = 0 g!x 2 = 0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 63
Παράδειγμα: Ελεύθερα (μερικώς) οριακά σημεία (συνεχ.) E Example 4.3-3 KIRK Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 64
Παράδειγμα: Ελεύθερα (μερικώς) οριακά σημεία (συνεχ.) Since c 3 =0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 65
Ασκήσεις εξάσκησης για το σπίτι c Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 66
Παράδειγμα late Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 67
Παράδειγμα late Τ g!x t=t f =2 = 0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 68
Παράδειγμα late g x( t),!x ( t),t ( ) g!x Τ!x t=t f = 0 x( t ) f = z f = 5 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 69