ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τρισδιάστατες κινήσεις Οι µονοδιάστατες κινήσεις είναι εύκολες αλλά ζούµε σε τρισδιάστατο χώρο Θα δούµε λοιπόν τώρα πως θα αντιµετωπίζοµε την κίνηση υλικού σηµείου στις τρεις διαστάσεις Ας θεωρήσοµε τρισδιάστατο ορθογώνιο σύστηµα αξόνων και υλικό σηµείο µάζας στην τυχούσα θέση που έχει συντεταγµένες Ορίζοµε το διάνυσµα θέσης του υλικού σηµείου ως j k όπου j k είναι τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων αντιστοίχως Αν το υλικό σηµείο κινείται οι συντεταγµένες είναι συναρτήσεις του χρόνου Επειδή οι άξονες είναι σταθεροί τα µοναδιαία διανύσµατα j k είναι σταθερά Έτσι αν παραγωγίσοµε την εξίσωση για να πάροµε την ταχύτητα του υλικού σηµείου θα έχοµε t t t t u t j k Αν στο υλικό σηµείο ασκείται δύναµη ο εύτερος Νόµος του Νεύτωνα µας λέει a ή u ή 3 Σελίδα από
όπου a είναι η επιτάχυνση του υλικού σηµείου Η δύναµη µπορεί να εξαρτάται από τον χρόνο τη θέση την ταχύτητα κλπ Αντικαθιστώντας την στην τελευταία από τις σχέσεις 3 και λαµάνοντας υπόψη ότι το διάνυσµα της δύναµης έχει τρεις συνιστώσες ας πούµε έχοµε j k j k 4 ή i j k 5 Για να ισχύει η εξίσωση αυτή πάντοτε πρέπει να έχοµε ή ή ή 6 Ανεξαρτησία των κινήσεων Εκ πρώτης όψεως φαίνεται ότι το πρόληµα της τρισδιάστατης κίνησης υλικού σηµείου είναι ισοδύναµο µε τρεις µονοδιάστατες κινήσεις Αυτό όµως είναι σωστό αν η συνιστώσα εξαρτάται µόνο από τα t u και όχι από τα u u Οµοίως για τα και Σε τέτοια περίπτωση λέµε ότι έχοµε ανεξαρτησία των κινήσεων Έτσι για τη δύναµη a 3 i b j ck όπου a b c είναι σταθερές έχοµε ανεξαρτησία των κινήσεων ενώ για τη δύναµη a 3 b j c k όπου a b c είναι σταθερές δεν έχοµε ανεξαρτησία των κινήσεων διότι για να ρούµε την κίνηση στον άξονα πρέπει να ξέροµε την κίνηση στον άξονα Σ αυτή την περίπτωση πρέπει να λύσοµε και τις τρεις διαφορικές εξισώσεις ταυτοχρόνως δηλαδή να τις λύσοµε ως σύστηµα Παράδειγµα : Υλικό σηµείο µάζας που ρίσκεται στην αρχή των αξόνων άλλεται υπό γωνία θ < π / ως προς το οριζόντιο επίπεδο µε αρχική ταχύτητα u > Θεωρείστε ότι το πεδίο αρύτητας είναι σταθερό µε επιτάχυνση g και ότι δεν υπάρχει τριή αέρα Α Να γραφεί η διανυσµατική εξίσωση κίνησης του υλικού σηµείου Σελίδα από
Β Θεωρώντας ότι η ολή γίνεται στο επίπεδο να γραφούν οι εξισώσεις κίνησης για τις δυο κινήσεις στους άξονες και Γ Να ρεθεί η ταχύτητα και η θέση του υλικού σηµείου για t > Να δείξετε ότι: τα αποτελέσµατά σας ικανοποιούν τις αρχικές συνθήκες όλοι οι όροι στα αποτελέσµατά σας έχουν τις σωστές διαστάσεις και 3 στο όριο t τα αποτελέσµατά σας δίνουν λογικά και αναµενόµενα αποτελέσµατα Λύση: v u Α gk v v όπου u u u j u k Ας γράψοµε και τις αρχικές συνθήκες παρ ότι δεν ζητούνται θεωρώντας ότι η ολή γίνεται στο επίπεδο : v και v u u cos θ i sinθ k u Β u g Γ Για την κίνηση στον άξονα έχοµε: u u c όπου c είναι πραγµατική σταθερά Από αυτήν έχοµε Σελίδα 3 από
c ct c όπου c είναι πραγµατική σταθερά Εφαρµόζοντας τις αρχικές συνθήκες ότι και u u cosθ έχουµε: t u u cosθ και t u cosθ t Για την κίνηση στον άξονα έχουµε: u g u g u g A u gt A όπου A είναι πραγµατική σταθερά Από αυτήν έχοµε g t A gt A gt A B όπου B είναι πραγµατική σταθερά Τέλος έχοµε t gt At B Εφαρµόζοντας τις αρχικές συνθήκες ότι u u sinθ και έχουµε: u t gt u sin θ t gt u sinθ t Άρα η λύση του δοθέντος προλήµατος είναι t t i t k θ Αυτήν την τροχιά θα ακολουθήσει το υλικό σηµείο u t cosθ gt u sin t k Παρατηρούµε ότι: Οι αρχικές συνθήκες ικανοποιούνται Όλοι οι όροι έχουν τις σωστές διαστάσεις 3 Στον άξονα η ταχύτητα είναι σταθερή και η θέση αυξάνεται γραµµικά µε τον χρόνο διότι η ασκούµενη δύναµη στο υλικό σηµείο δεν έχει συνιστώσα Στον άξονα έχοµε ελεύθερη πτώση στο σταθερό πεδίο αρύτητας µε αρχική ταχύτητα προς τα πάνω Παράδειγµα : Υλικό σηµείο µάζας που ρίσκεται στην αρχή των αξόνων άλλεται υπό γωνία θ < π / ως προς το οριζόντιο επίπεδο µε αρχική ταχύτητα Σελίδα 4 από
u > Η τριή τού αέρα είναι ανάλογη της ταχύτητας του υλικού σηµείου µε σταθερά αναλογίας Θεωρείστε το πεδίο αρύτητας σταθερό µε επιτάχυνση g Α Να γραφεί η διανυσµατική εξίσωση κίνησης του υλικού σηµείου Β Θεωρώντας ότι η ολή γίνεται στο επίπεδο να γραφούν οι εξισώσεις κίνησης για τις δυο κινήσεις στους άξονες και Γ Να ρεθεί η ταχύτητα και η θέση του υλικού σηµείου για t > Να δείξετε ότι: τα αποτελέσµατά σας ικανοποιούν τις αρχικές συνθήκες όλοι οι όροι στα αποτελέσµατά σας έχουν τις σωστές διαστάσεις και 3 στο όριο t τα αποτελέσµατά σας δίνουν λογικά και αναµενόµενα αποτελέσµατα Λύση v u v Α gk u όπου u v v Ας γράψοµε και τις αρχικές συνθήκες παρ ότι δεν ζητούνται θεωρώντας ότι η ολή γίνεται στο επίπεδο : και v u u cos θ j sinθ k u Β u u g u Γ Για την κίνηση στον άξονα έχοµε: Σελίδα 5 από
u u u u c u u όπου c είναι αυθαίρετη πραγµατική σταθερά Συνεπώς ln u t / c t / t c u e e u ce όπου τη θετική σταθερά σταθερά c c e µε αυθαίρετο πρόσηµο τη γράψαµε ως πραγµατική Για την προολή της κίνησης στον άξονα δηλαδή για το t έχοµε t / c e t / t / ce ce c t / t ce c Εφαρµόζοντας τις αρχικές συνθήκες ότι και u u cosθ έχοµε u t t / u u θ e cosθ t / και t e cos Για την κίνηση στον άξονα έχοµε u u u g u A g u / g u / όπου A είναι αυθαίρετη πραγµατική σταθερά Συνεπώς ln g u / t A ln g u / t / A/ g t / A / t / u / e e g u / Be A όπου τη θετική σταθερά e / µε αυθαίρετο πρόσηµο τη γράψαµε ως πραγµατική σταθερά B Συνεπώς έχοµε για την προολή της ταχύτητας στον άξονα u t t / Be g Για την προολή της κίνησης στον άξονα δηλαδή για το t έχοµε Σελίδα 6 από
t / t / t / Be g Be g Be g C όπου C είναι αυθαίρετη πραγµατική σταθερά Συνεπώς t / g t Be t C Εφαρµόζοντας τις αρχικές συνθήκες ότι u u sinθ και έχοµε u t g e u sinθ e g t / t / t / g e t u sinθ t g Άρα η λύση του δοθέντος προλήµατος είναι t t j t k t / u g e sinθ b t j g e t k u cos θ / Αυτήν την τροχιά θα ακολουθήσει το υλικό σηµείο Παρατηρούµε ότι: Οι αρχικές συνθήκες ικανοποιούνται Όλοι οι όροι έχουν τις σωστές διαστάσεις Οι εκθέτες είναι αδιάστατοι όπως πρέπει 3 Στον άξονα η ταχύτητα µηδενίζεται για t αφού µόνο δύναµη τριής ασκείται Αφού η ταχύτητα µηδενίζεται εκθετικά η θέση τείνει σε οριακή τιµή Στον άξονα για t η δύναµη τριής εξουδετερώνει τη δύναµη της αρύτητας και η ταχύτητα τείνει σε οριακή τιµή Το τείνει στο όπως αναµένεται Παράδειγµα 3: Για ποιό από τα παρακάτω πεδία δυνάµεων µπορούµε να πούµε ότι ισχύει η ανεξαρτησία των κινήσεων στους τρεις άξονες και γιατί; Α j k σταθερά Β i j k σταθερές Γ i j k σταθερές Σελίδα 7 από
Σελίδα 8 από k j i σταθερές Ε k j i σταθερές ΣΤ k j i σταθερές Ζ 4 4 4 k j i σταθερές Λύση: Ας θεωρήσοµε το πιο γενικό πεδίο δυνάµεων k j i Η διανυσµατική εξίσωση κίνησης υλικού σηµείου µάζας υπό την επίδραση της ως άνω δύναµης είναι η οποία υπό µορφή συνιστωσών γράφεται Είναι προφανές ότι δεν µπορούµε να λύσοµε µόνη της την πρώτη εξίσωση ως προς αν η εξαρτάται από τα και Οµοίως για τη δεύτερη και την τρίτη εξίσωση Άρα το πιο γενικό πεδίο για το οποίο µπορούµε να πούµε ότι ισχύει η ανεξαρτησία των κινήσεων στους τρεις άξονες είναι k j i Με αυτό υπ όψιν συµπεραίνοµε ότι για τα πεδία δυνάµεων Α Β και Ε έχοµε ανεξαρτησία των κινήσεων ενώ για τα υπόλοιπα δεν έχοµε
Εύρεση δύναµης από την τροχιά Μέχρι τώρα έχοµε δει ότι αν µας δίνεται η δύναµη που ασκείται σε ένα υλικό σηµείο τότε από τον εύτερο Νόµο του Νεύτωνα και τις αρχικές συνθήκες ρίσκοµε την τροχιά που θα κάνει το υλικό σηµείο Τώρα θα αντιστρέψοµε το πρόληµα Έστω ότι µας δίνεται η τροχιά t που ακολουθεί ένα υλικό σηµείο Μπορούµε να ρούµε τη δύναµη που ασκείται στο υλικό σηµείο; Η απάντηση είναι ναι πολύ εύκολα Αρκεί να παραγωγίσοµε την εξίσωση της τροχιάς δυο φορές ως προς τον χρόνο και να πολλαπλασιάσοµε µε τη µάζα του υλικού σηµείου Παράδειγµα 4: Θεωρείστε ότι υλικό σηµείο µάζας κάνει κυκλική τροχιά ακτίνας R στο οριζόντιο επίπεδο µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω Τι δύναµη ασκείται στο υλικό σηµείο; Λύση: Ας θεωρήσοµε σύστηµα συντεταγµένων περιφέρεια κύκλου ακτίνας R µε κέντρο την αρχή των αξόνων καθώς και υλικό σηµείο µάζας που κινείται µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω στην περιφέρεια του κύκλου Την τυχούσα χρονική στιγµή t το υλικό σηµείο έχει συντεταγµένες που ικανοποιούν τη σχέση στιγµή t είναι R Η διανυσµατική ακτίνα του υλικού σηµείου την τυχούσα χρονική j R cosθ R sinθ j όπου θ είναι η γωνία που σχηµατίζει η διανυσµατική ακτίνα µε τον άξονα Επειδή το υλικό σηµείο κινείται µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα θ / ω σταθερά έχοµε ότι θ θ t ωt όπου θεωρήσαµε ότι για t το υλικό σηµείο ήταν στον άξονα στη θέση R Έτσι η διανυσµατική ακτίνα του υλικού σηµείου την τυχούσα χρονική στιγµή t είναι t t t j R cosω t R sinωt j Από τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα έχοµε ότι R cosωt Rsinωt j [ R t R t j] R t ω sinω ω cosω ω cosω Rω sinωt j ω R cosωt Rsinωt j ω Αποδείξαµε λοιπόν ότι η δύναµη είναι κεντροµόλος και έχει µέτρο ω ω R Παράδειγµα 5: Θεωρείστε ότι υλικό σηµείο µάζας κάνει κυκλική τροχιά ακτίνας R στο οριζόντιο επίπεδο µε µη σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω ωt Τι δύναµη ασκείται στο υλικό σηµείο; Σελίδα 9 από
Λύση: Όπως και στο προηγούµενο παράδειγµα η διανυσµατική ακτίνα του υλικού σηµείου την τυχούσα χρονική στιγµή t είναι j R cosθ R sinθ j όπου θ είναι η γωνία που σχηµατίζει η διανυσµατική ακτίνα µε τον άξονα Επειδή το υλικό σηµείο κινείται µε µη σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω ωt έχοµε t θ / ω t θ t ω t όπου θεωρήσαµε ότι για t το υλικό σηµείο ήταν στον άξονα στη θέση R Έτσι η διανυσµατική ακτίνα του υλικού σηµείου την τυχούσα χρονική στιγµή t είναι t t t j R cosθ t Rsinθ t j Από τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα έχοµε ότι R cosθ Rsinθ j θ R θ sin R cosθ θ j [ Rω sinθ Rω cosθ j ] Για να συνεχίσοµε τις πράξεις πρέπει να προσέξοµε ότι τόσο το θ όσο και το ω είναι συναρτήσεις του χρόνου Έτσι γράφοµε άσει του κανόνα παραγώγισης γινοµένου ω R θ R ω R θ sinθ ω cosθ cosθ j Rω sinθ j Rα sinθ Rω cosθω Rα cosθ j Rω sinθω j ω Rcosθ sinθ j Rα sinθ cosθ j όπου τη γωνιακή επιτάχυνση ω / τη συµολίσαµε µε α Το διάνυσµα που είναι στην πρώτη παρένθεση είναι το µοναδιαίο ακτινικό διάνυσµα R Rcosθ sinθ j R cosθ sinθ j ενώ το διάνυσµα που είναι στη δεύτερη παρένθεση είναι το µοναδιαίο επιτρόχιο διάνυσµα θ sinθ cosθ j Για να εαιωθούµε ότι είναι έτσι ας εξετάσοµε την κατεύθυνση του διανύσµατος θ για διάφορες τιµές της γωνίας θ Σελίδα από
Για θ έχοµε θ j j Είναι παράλληλο προς τον άξονα δείχνει προς τα θετικά του δηλαδή κάθετο στον άξονα άρα είναι εφαπτόµενο του κύκλου Για θ π / έχοµε θ î Είναι παράλληλο προς τον άξονα δείχνει προς τα αρνητικά του δηλαδή κάθετο στον άξονα άρα είναι εφαπτόµενο του κύκλου Για θ π έχοµε θ ĵ Είναι παράλληλο προς τον άξονα δείχνει προς τα αρνητικά του δηλαδή κάθετο στον άξονα άρα είναι εφαπτόµενο του κύκλου Για θ 3π / έχοµε θ î Είναι παράλληλο προς τον άξονα δείχνει προς τα θετικά του δηλαδή κάθετο στον άξονα άρα είναι εφαπτόµενο του κύκλου Για τυχούσα γωνία θ αν κάνοµε παράλληλη µετατόπιση του θ στην αρχή των αξόνων και υπολογίσοµε τις συνιστώσες του στους άξονες και ρίσκοµε ότι αυτές είναι sinθ και cos θ αντιστοίχως Έτσι η δύναµη που ασκείται στο υλικό σηµείο είναι ω R Rαθ ηλαδή έχει ακτινική συνιστώσα µε µέτρο ω R και επιτρόχια συνιστώσα µε µέτρο R α Η ακτινική συνιστώσα κεντροµόλος το κρατάει σε κυκλική τροχιά και η επιτρόχια συνιστώσα το επιταχύνει ή το επιραδύνει ανάλογα µε το πρόσηµο του α Προσοχή: Όπως είπαµε παραπάνω θ / ω t θ t ω t t Έτσι αν πχ ω t ω όπου ω t είναι σταθερές έχοµε t t θ t ω ω t t και όχι ω t t!!! t Άσκηση : Χρησιµοποιώντας τον εύτερο Νόµο του Νεύτωνα Α δείξτε ότι αν ένα υλικό σηµείο µάζας εκτελεί κίνηση στον άξονα η οποία περιγράφεται από τη σχέση t Asin ω t B cos ω t όπου A B ω k / είναι πραγµατικές σταθερές η δύναµη που ασκείται στο υλικό σηµείο είναι δύναµη ελατηρίου σταθεράς k Β Τι διαφορά υπάρχει µεταξύ του παραπάνω t του t C sin ω t φ όπου C φ είναι πραγµατικές σταθερές και του µιγαδικές σταθερές; t iωt t Ce C e iωt όπου C C είναι Άσκηση : Σε µονοδιάστατα προλήµατα κίνησης υλικού σηµείου µάζας και δυναµικής ενέργειας V η ταχύτητα του υλικού σηµείου δίνεται από τη σχέση u [ E V ] όπου E είναι η σταθερή ολική ενέργεια Χρησιµοποιώντας Σελίδα από
τον εύτερο Νόµο του Νεύτωνα να ρείτε το πεδίο δυνάµεων αν λ > V λ Άσκηση 3: Θεωρείστε τον Ήλιο µάζας M σαν σηµείο στην αρχή των αξόνων Η Γη µε µάζα θεωρείστε την σαν σηµείο κινείται γύρω από τον Ήλιο Α Να γραφεί η διανυσµατική εξίσωση κίνησης της Γης καθώς και οι εξισώσεις κίνησης για τους άξονες και Β Υπάρχει ανεξαρτησία των κινήσεων; Γ είξτε ότι οι εξισώσεις κίνησης επιτρέπουν στη Γη να κάνει κύκλο ακτίνας R αν 3 η γωνιακή ταχύτητά της είναι ω GM / R Σελίδα από