Γενικά Μαθηματικά ΙΙΙ Πέμπτο σετ ασκήσεων, Λύσεις
Άσκηση 1 Το θεώρημα Gauss γενικά διατυπώνεται ως: F dv = ( F η)dσ (1) V Για την άσκηση όπου μας δίνεται η σφαίρα x + y + z 4 = Φ, το κάθετο διάνυσμα η, μπορεί να υπολογιστεί ως: η = Φ Φ η = x i + y j + z k () οπότε από το ολοκλήρωμα της άσκησης έχουμε ότι: F η = a x +b y +c z (P i+q j+r ( x i + y j + z k) k ) = a x +b y +c z όπου F = P i + Q j + R k. Άρα από τα παραπάνω έχουμε: x P = a x P = a x y Q = b y Q = b y z R = c z R = c z P x = a Q y = b R z = c άρα θα είναι F = (a + b + c ), οπότε το ολοκλήρωμα της άσκησης με την χρήση του θεωρήματος Gauss είναι: I = (a + b + c ) dv (3) και επειδή ο τόπος ολοκλήρωσης είναι σφαίρα με ακτίνα ίση με ρ =, τότε έχουμε ότι η τιμή του ολοκληρώματος είναι: I = (a +b +c ) V V dv = 4πρ3 3 (a +b +c ) I = 64π 3 (a + b + c ) 1
Άσκηση α) Εφόσον η επιφάνεια είναι σφαίρα το διάνυσμα θέσης θα δίνεται ως r = x i + y j + z k, και το ολοκλήρωμα της άσκησης μπορεί να υπολογιστεί με την βοήθεια του θεωρήματος Gauss, οπότε έχουμε: r = 3 (4) και επιπλέον γνωρίζοντας ότι η ολοκλήρωση γίνεται σε όγκο ο οποίος είναι σφαίρα με ακτίνα ρ = a, το ολοκλήρωμα της άσκησης γίνεται: r ηdσ = rdv = 3 dv = 3 4π 3 ρ3 V V r ηdσ = 4πa 3 (5) β) Το ολοκλήρωμα του παρόντος ερωτήματος το υπολογίζουμε με την χρήση αυτού που υπολογίσαμε στο πρώτο ερώτημα, οπότε έχουμε: r r ηdσ = 1 r ηdσ = 1 r a 4πa3 r ηdσ = 4πa (6) r γ) Για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος αυτού χρειάζεται να βρούμε το κάθετο διάνυσμα, οπότε έχουμε: και επίσης: η = r η = i + j + k (7) r η = (y z) i + (x z) j + (x y) k (8) ( r η) = (9) οπότε τελικά και από το θεώρημα Gauss, τολοκλήρωμα της άσκησης είναι: r ηdσ = (1)
Άσκηση 3 Αν αρχικά χρησιμοποιήσουμε την απλή καμπύλη r = x i + y j + z k και επίσης γνωρίζοντας όρι το διάνυσμα a είναι σταθερό άρα θα έχει την μορφή a = a 1 i + a j + a 3 k, μπορούμε εργαζόμενοι με το δεύτερο ολοκλήρωμα να αποδείξουμε ότι είναι ίσο με το πρώτο. Αρχικά μπορούμε να υπολογίσουμε το εξωτερικό γινόμενο των δύο παραπάνω διανυσμάτων και έχουμε: i j k F = a r = a 1 a a 3 x y z F = (a z a 3 y) i (a 1 z a 3 x) j + (a 1 y a x) k και επειδή στην συνέχεια θα χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα tokes, κάνουμε τον παρακάτω υπολογισμό: i j k F = x y z F = a (a z a 3 y) (a 1 z a 3 x) (a 1 y a x) Με βάση τα παραπάνω, το ολοκλήρωμα της άσκησης γίνεται: ( a r)d r = c ( F ) ηdσ a ηdσ = ( a r)d r (11) c 3
Άσκηση 4 Αρχικά πρέπει να αναφέρουμε ότι η γενική μορφή του θεωρήματος tokes είναι: F d r = ( F ) ηdσ (1) c Για να επιβεβαιώσουμε το θεώρημα tokes, θα υπολογίσουμε ξεχωριστά τα δύο παραπάνω ολοκληρώματα, με βάση τα δεδομένα της άσκησης και αν αυτά είναι ίσα, τότε το θεώρημα tokes επιβεβαιώνεται. Επιπλέον από το ολοκλήρωμα της άσκησης έχουμε την συνάρτηση F, η οποία είναι ίση με: F = P i + Q j + R k F = (y z) i + (z x) j + (x y) k (13) Υπολογισμός επικαμπύλιου ολοκληρώματος Ο τρόπος που θα υπολογίσουμε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα για την άσκηση είναι να παραμετροποιήσουμε πρώτα την καμπύλη κατά μήκος της οποίας θα γίνει η ολοκλήρωση. Για την παραμετροποίηση χρησιμοποιούμε τις εξισώσεις x = ρ cos θ, y = ρ sin θ και x + y = ρ, με παραγώγους x = ρ sin θ και y = ρ cos θ. Η εξισώσεις για την παραμετροποίηση είναι αυτές του κύκλου, καθώς η κλειστή καμπύλη ολοκλήρωσης είναι κύκλος στο επίπεδο z = b, του οποίου η ακτίνα μπορεί να υπολογιστεί από τις πλευρές του τριγώνου που σχηματίζεται από το άξονα Oz, την ακτίνα της σφαίρας η οποία είναι ίση με a και την πλευρά που βρίσκετε πάνω στον κύκλο που ζητούμε την ακτίνα. Οπότε η ακτίνα του κύκλου πάνω στον οποίο υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα, την υπολογίζουμε ως: a = ρ + z z=b === a>b> ρ = a b (14) έτσι με την χρήση των παραμετρικών εξισώσεων και των παραγώγων αυτών και γνωρίζοντας ότι ρ = a + b, z = b και ż =, το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα υπολογίζεται ως: I 1 = π (ρ sin θ b)ẋ + (b ρ cos θ)ẏ = π ( ρ + bρ(cos θ + sin θ))dθ I 1 = π(a b ) (15) 4
Υπολογισμός διπλού ολοκληρώματος Για την ολοκλήρωση της επαλήθευσης του θεωρήματος πρέπει να υπολογίσουμε και το διπλό ολοκλήρωμα. Για την υπολογισμό του ολοκληρώματος, αρχικά υπολογίζουμε την στροφή της συνάρτησης F ως εξής: i j k F = x y z F = ( i + j + k) (16) (y z) (z x) (x y) Στην συνέχεια μπορούμε να υπολογίσουμε το κάθετο διάνυσμα η, από την επιφάνεια που δίνεται στην άσκηση, η οποία είναι σφαίρα με ρ = a. Η επιφάνεια έχει την μορφή Φ = x +y +z a =, οπότε το διάνυσμα η υπολογίζεται ως εξής: η = Φ Φ η = x i + y j + z k a (17) με Φ = a, το οποίο θα χρειαστεί σε επόμενους υπολογισμούς. Επιπλέον χρειαζόμαστε και το στοιχειώδες εμβαδό και επειδή η επιφάνεια είναι στην μορφή Φ =, έχουμε: dσ = dxdy Φ 1 z Φ dσ = a dxdy (18) z Από τα παραπάνω στοιχεία υπολογίζουμε τα εξής, τα οποία θα χρειαστούμε για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος: ( F ) η = a ( i+ j+ k) (x i+y j+z k) ( F ) η = (x + y + z) a επιπρόσθετα αν γνωρίζουμε ότι z = 4 x y, τότε το διπλό ολοκλήρωμα παίρνει την παρακάτω μορφή: ( I = ( F x + y ) ηdσ = )dxdy 4 x y + 1 (19) Επειδή ο τόπος ολοκλήρωσης είναι σφαίρα, της οποίας η προβολή στον επίπεδο xy είναι κύκλος, μπορούμε να κάνουμε αλλαγή μεταβλητών σε πολικές συντεταγμένες στο παραπάνω διπλό ολοκλήρωμα για να το υπολογίσουμε. Οι παραμετρικές εξισώσεις των πολικών συντεταγμένων έχουν δοθεί στο πρώτο σκέλος όπου υπολογίσαμε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα, απλά πρέπει να αναφέρουμε ότι 5
το στοιχειώδες εμβαδό στις πολικές συντεταγμένες είναι dσ = ρdρdθ. Εφόσον η σφαιρική επιφάνεια ολοκλήρωσης βρίσκεται μεταξύ των επιπέδων z = a και z = b, τότε τα όρια ολοκλήρωσης για την ακτίνα είναι a ρ b και για την γωνία είναι θ π, καθώς ολοκληρώνουμε σε όλη την περιφέρεια του κύκλου. Με βάση την προηγούμενη ανάλυση το ολοκλήρωμα παίρνει την παρακάτω μορφή όπου και υπολογίζεται: I = π b ( ) π ρ(cos θ + sin θ) +1 ρdρdθ = a ρ (cos θ+sin θ)dθ b ρ a ρ dρ a a I = π(a b ) () Ετσι με όλη την προηγούμενη ανάλυση προέκυψε ότι I 1 = I, δηλαδή τα ολοκληρώματα είναι ίσα και όπως είπαμε στην αρχή αυτό επαληθεύει το θεώρημα tokes. 6
Άσκηση 5 Αν πούμε ότι το ολοκλήρωμα της άσκησης έχει την μορφή: F d r (1) c τότε αν d r = i + j + k, η συνάρτηση F έχει την μορφή: F = P i + Q j + R k F = (z + x) i + (z + y) j + z k () και έτσι η στροφή της συνάρτησης F είναι: i j k F = x y z F = (z + y) i + (z + x) j (z + x) (z + y) z Συνεχίζοντας το διάνυσμα η και το στοιχειώδες εμβαδό dσ μπορούν να υπολογιστούν με την χρήση της επιφάνειας x + z = Φ = x + z = ως εξής: η = Φ Φ η = 1 ( i + k) (3) 5 και τελικά έχουμε: dσ = dxdy Φ 1 z Φ dσ = 5 dxdy (4) ( F ) ηdσ = ( (z + y) i + (z + x) j) ( 1 5 ( i + ) 5 k) dxdy = = (z + y)dxdy x z= === ( F ) ηdσ = 1 (x y )dxdy (5) οπότε από το θεώρημα tokes το ολοκλήρωμα της άσκησης γίνεται: I = 1 (x y )dxdy (6) και επειδή στο επίπεδο xy, όπου θα γίνει και η ολοκλήρωση, η καμπύλη είναι κύκλος με ακτίνα ρ = 1, μπορούμε να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα σε πολικές 7
συντεταγμένες, χρησιμοποιώντας τις γνωστές σχέσεις για την παραμετροποίηση, οπότε έχουμε: I = 1 π 1 (ρ(cos θ sin θ) )ρdρdθ = 1 π [ 1 3 (cos θ sin θ) 1 ] dθ I = π (7) Από τα παραπάνω τελικά προέκυψε ότι η τιμή του ολοκληρώματος για την άσκηση είναι I = π. 8
Άσκηση 6 Επειδή οι επιφάνειες είναι σφαίρες, λόγω της συμμετρίας που υπάρχει, μπορούμε να κάνουμε την εξής υπόθεση. Εστω ότι λαμβάνουμε την προβολή των επιφανειών στο επίπεδο xy και θέλουμε να βρούμε την διαδρομή από ένα τυχαίο σημείο της επιφάνειας της μίας σφαίρας στην επιφάνεια της άλλης, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε οποιαδήποτε διαδρομή ενώνει τα σημεία αυτά. Αντίστοιχα γίνεται και αν προβάλουμε τις σφαίρες και στα άλλα επίπεδα, οπότε για να είναι ποιο εύκολη η απόδειξη του ζητούμενου, θα προβάλουμε τις σφαίρες στο επίπεδο xy και για ον υπολογισμό του ολοκληρώματος θα παραμετροποιήσουμε της δεδομένες σχέσεις, με την χρήση των παραμετρικών σχέσεων για τον κύκλο όπου έχουμε x = ρ cos θ και y = ρ sin θ, όπου και η γωνία και η ακτίνα είναι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση και αυτό το αναφέρουμε διότι θα χρειαστεί παρακάτω. Από τα προηγούμενα οι σχέσεις της άσκησης για την προβολή των επιφανειών στο επίπεδο xy, δηλαδή για z =, γίνονται: r = (x + y + z ) 1/ r = ρ (8) r = x i + y j + z k r = ρ cos θ i + ρ sin θ j (9) F = 5r 3 r F = 5ρ 4 (cos θ i + sin θ j) (3) και επιπλέον έχουμε: d r = (x ρ dρ + x θ dθ) i + (y ρ dρ + y θ dθ) i d r = (cos θdρ ρ sin θdθ) i + (sin θdρ + ρ cos θdθ) j (31) οπότε συνολικά από τα παραπάνω έχουμε ότι: F d r = 5ρ 4 dρ (3) Από όλη την προηγούμενη ανάλυση έχουμε για το ολοκλήρωμα το παρακάτω: b F d r = 5 ρ 4 dρ F d r = b 5 a 5 (33) c a c όπου αποδείχθηκε το ζητούμενο. 9
Άσκηση 7 α) Αρχικά θεωρούμε ότι το κέντρο του ομογενούς κυκλικού δίσκου είναι το σημείο (, ) και επίσης γνωρίζουμε ότι έχει ακτίνα ρ = a. Εφόσον υπολογίζουμε την ροπή αδράνειας σε κυκλικό δίσκο, μπορούμε να πούμε ότι όλη η μάζα είναι συγκεντρωμένη στην επιφάνειά του, οπότε η ροπή αδράνειας δίνεται ως γνωστόν από την παρακάτω σχέση: di = r dm = r λdσ di = λ(x + y )dσ (34) η οποία υπολογίζεται ως προς το κέντρο. Άρα το ολοκλήρωμα για τον υπολογισμό της ροπής αδράνειας ως προς το κέντρο του κυκλικού δίσκου, το οποίο θα υπολογιστεί με την χρήση πολικών συντεταγμένων, έχει ως εξής: I c = D λ(x + y )dσ = λ π a ρ 3 dρdθ I c = λπa4 (35) β) Αν θέσουμε r = y = ρ cos θ, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε την ροπή αδράνειας του κυκλικού δίσκου ως προς τον άξονα x x, και έτσι έχουμε: di = r dm = r λdσ di = λy dσ (36) και κάνοντας την ίδια διαδικασία με πριν, το ολοκλήρωμα υπολογίζεται ως εξής: I x = D π λy dσ = λ a sin θdθ ρ 3 dρ I x = λπa4 4 (37) 1