ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΙΝΑΚΕΣ Στο Κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούε ε το ορισό και τις στοιχειώδεις ιδιότητες τω πιάκω, που είαι ορθογώιες παρατάξεις αριθώ ή άλλω στοιχείω Οι πίακες εφαίζοται στη θεωρία τω γραικώ συστηάτω, στη θεωρία τω γραικώ απεικοίσεω και σήερα πλέο χρησιοποιούται σε όλους τους κλάδους τω αθηατικώ Θα ορίσουε τις πράξεις εταξύ τω πιάκω και θα ελετήσουε τις ιδιότητές τους Οι πίακες που θα θεωρήσουε στη συέχεια έχου στοιχεία πραγατικούς ή ιγαδικούς αριθούς Ότα ααφερόαστε στο σώα Κ, εοούε ότι Κ= ή Κ= 2 Βασικοί ορισοί Ορισός 2 Μία ορθογώια παράταξη στοιχείω από το σώα Κ σε οριζότιες σειρές, που λέγοται γραές, και σε κατακόρυφες σειρές, που λέγοται στήλες, της ορφής α α2 α 2 22 α α α 2 α α2 α λέγεται πίακας τύπου Συήθως συβολίζεται ε έα από τα κεφαλαία γράατα ή ε το γεικό στοιχείο α σε παρέθεση, δηλαδή γράφουε Α= ( α ή ( α Α=, α ο τύπος του πίακα είαι γωστός Οι αριθοί α λέγοται στοιχεία του πίακα Α και οι δείκτες i και j δηλώου τη γραή και τη στήλη, ατίστοιχα, που αήκει το στοιχείο α Για παράδειγα, οι πίακες 2 3 2 Α=, Β= 2 0 5 4 5 είαι τύπου 2 3 και 2 2, ατίστοιχα, και έχουε
8 Κεφάλαιο 2 Πίακες α =, α2 = 2, α23 = 5, β 2 = 4, β 22 = 5, κλπ Ότα είαι =, τότε ο πίακας λέγεται τετραγωικός Έας πίακας τύπου (ατ, λέγεται πίακας-γραή (ατ, πίακας - στήλη Το σύολο όλω τω πιάκω τύπου ε στοιχεία από το σώα Κ συ- βολίζεται ε Μ ( Κ ή Μ τω τετραγωικώ πιάκω συβολίζεται ε (, α το σώα Κ θεωρείται γωστό Το σύολο Μ Μ Κ ή απλά Τα στοιχεία α, α22,, α ορίζου τη κύρια διαγώιο του τετραγωικού πίακα Α= ( α Ο τετραγωικός πίακας ( α Α= λέγεται τριγωικός άω, α όλα τα στοιχεία του που βρίσκοται κάτω από τη κύρια διαγώιο είαι 0, δηλαδή είαι α = 0, για i j Α= α λέγεται > Οοίως ο πίακας ( τριγωικός κάτω, α όλα τα στοιχεία του που βρίσκοται πάω από τη κύρια διαγώιο είαι 0, δηλαδή ισχύει ότι α = 0, για i < j Η σχέση της ισότητας στο σύολο ( ( β Β=, ορίζεται ως εξής: Μ Κ, α είαι ( α Α=Β α = β, για κάθε i =, 2,,, j =, 2,, Α= και 22 Πράξεις στο σύολο τω πιάκω Η πρόσθεση πιάκω Ορισός 2 2 Στο σύολο Μ τω πιάκω ε στοιχεία στο σώα Κ= ή η πρόσθεση είαι ία εσωτερική πράξη, που ορίζεται ως εξής: ( a b + : Μ Μ Μ,( Α, Β Α+Β : = +, όπου Α= ( a και Β= ( b Ο πίακας Α +Β λέγεται άθροισα τω πιάκω Α, Β και κάθε του στοιχείο προκύπτει ως άθροισα τω ατίστοιχω στοιχείω τω πιάκω Α και Β Για παράδειγα, α είαι 0 2 Α= 3 3, Β= 3 4 5 2 3, τότε Α+Β= 4 4 3 4 0
22 Οι πράξεις στο σύολο τω πιάκω 9 Θεώρηα 22 Η πράξη της πρόσθεσης ικαοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες: (i Α+Β=Β+Α, για κάθε ΑΒ Μ, (ατιεταθετική ιδιότητα (ii ( Α+Β +Γ=Α+ ( Β+Γ, για κάθε ΑΒΓ Μ,, (προσεταιριστική ιδιότητα (iii Υπάρχει το ουδέτερο στοιχείο για τη πρόσθεση και είαι ο ηδεικός πίακας Ο= (0, που όλα τα στοιχεία του είαι 0 Ισχύει ότι (iv Για κάθε πίακα ( a Α +Ο=Ο+Α=Α, για κάθε Α Μ Α= υπάρχει ο ατίθετος πίακας Α = ( a που είαι τέτοιος ώστε Α+ ( Α = ( Α +Α=Ο Έτσι, το σύολο Απόδειξη Μ γίεται αβελιαή προσθετική οάδα Α= Β=, (i Σύφωα ε το ορισό της πρόσθεσης, α είαι ( a, ( b έχουε Α+Β= ( a + b = ( b a + =Β+Α (ii Α Α= ( a, Β= ( b και Γ= ( c είαι ( a b c ( a b c (iii Α Α= ( a τότε: Ο+Α=Α+Ο= ( a + 0 = ( a =Α (iv Α Α= ( a τότε: ( ( (( a a ( 0 πίακες, τότε ( Α+Β +Γ= ( + + = + ( + =Α+ ( Β+Γ Α+ Α = Α +Α= + = =Ο Η πράξη της αφαίρεσης στο σύολο Μ ορίζεται έσω της πρόσθεσης από τη ισότητα Α Β : =Α+ ( Β Από το ορισό και τις ιδιότητες της πρόσθεσης εύκολα προκύπτει ότι το άθροισα τριώ ή περισσότερω πιάκω του ιδίου τύπου είαι το ίδιο ε οποιαδήποτε σειρά και α εκτελεστού οι επιέρους προσθέσεις Για παράδειγα, ισχύει Α+Β+Γ+Δ= ( Α+Β + ( Γ+Δ = [( Α+Β +Γ ] +Δ=Δ+ [ Β+ ( Γ+Α ] Η εξίσωση πιάκω Α+Χ=Β έχει οαδική λύση Χ =Β Α, αφού Α+Χ=Β Α+ ( Α+Χ = ( Α +Β [( Α +Α ] +Χ =Β+ ( Α Ο+Χ=Β Α Χ=Β Α
20 Κεφάλαιο 2 Πίακες Ο πολλαπλασιασός αριθού ε πίακα Ορισός 2 2 2 Στο σύολο Μ τω πιάκω ε στοιχεία στο σώα Κ= ή ο πολλαπλασιασός αριθού ε πίακα είαι ία εξωτερική πράξη ε συτελεστές στο σώα Κ, που, α Α= ( a και λ Κ, ορίζεται ως εξής: λ Α= ( λa Συήθως γράφουε λα, ατί του τυπικού συβόλου λ Α Για παράδειγα, α είαι Θεώρηα 2 2 2 Για κάθε, ισχύου: (i λ ( Α+Β = λ Α+ λ Β, (ii ( λ + Α= λ Α+ Α, (iii λ ( Α = ( λ Α, 0 2 Α= 3 3, τότε 4 0 8 4 Α= 2 4 2 Α = a, Β= b Μ ( Κ λ Κ και ( ( (iv Α=Α, όπου είαι η οάδα τω πραγατικώ αριθώ Απόδειξη λ ( Α+Β = λ( a + b = λa + λb = λa + λb = λ Α+ λ Β (i ( ( ( ( (ii ( (( a ( a a ( a ( a (iii λ ( Α = λ ( a ( ( ( ( = λ a = λ a = ( λ Α (iv ( a ( a λ + Α = λ + = λ + = λ + = λ Α+ Α Α= = =Α Παρατήρηση Το σύολο Μ ( Κ εφοδιασέο ε τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασού αριθού ε πίακα, όπως θα άθουε στο κεφάλαιο 8, αποκτά τη δοή διαυσατικού χώρου πάω στο σώα Κ Πολλαπλασιασός πιάκω Η πράξη του πολλαπλασιασού πιάκω δε είαι εσωτερική πράξη στο σύολο Μ ( Κ, είαι όως εσωτερική πράξη στο σύολο Μ ( Κ Η αφετηρία του ορισού του πολλαπλασιασού πιάκω είαι η θεωρία τω γρα-
22 Οι πράξεις στο σύολο τω πιάκω 2 ικώ απεικοίσεω που θα ελετήσουε στο κεφάλαιο 9 Θα δούε ότι σε κάθε γραική απεικόιση ατιστοιχίζεται έας πίακας και ατιστρόφως Επιπλέο, α οι πίακες Α και Β είαι ατίστοιχοι τω γραικώ απεικοίσεω f και g, τότε ο πίακας που ορίζουε ως γιόεο ΑΒ είαι ο ατίστοιχος της απεικόισης f g Έτσι οδηγούεθα στο ακόλουθο ορισό: Α= Μ ( Κ, Β= Μ ( Κ, το γιόεο Ορισός 223 Α ( a ( b ρ Α Β ή απλά ΑΒ είαι έας πίακας τύπου ρ ε γεικό στοιχείο c a b a b a b a b = + + + =, i j i2 2 j i j ik kj k = που προκύπτει από το πολλαπλασιασό τω στοιχείω της i- γραής του πίακα Α ε τα ατίστοιχα στοιχεία της j στήλης του πίακα Β και άθροιση τω γιοέω που προκύπτου 0 2 Για παράδειγα, α Α= 2 3 2 4, Β= 2, τότε ΑΒ = 2 9 25 20 5 6, εώ ορίζεται και ο πίακας 2 + ( 3 2 2 0 + ( 3 2 2 + ( 3 4 4 3 8 ΒΑ = + 2 2 0 + 2 2 + 2 4 = 5 2 0 5 + 6 2 50 + 6 52 + 6 4 7 6 34 Παρατηρήσεις Το γιόεο ΑΒ ορίζεται όο ότα ο αριθός τω στηλώ του πίακα Α ισούται ε το αριθό τω γραώ του πίακα Β Σχηατικά έχουε Α Β ΑΒ, ρ ρ εώ για τους παραπάω πίακες το γιόεο ΒΑ ορίζεται, όο ότα = ρ και ε γέει έχουε ΑΒ ΒΑ Θεώρηα 2 2 3 Α οι πίακες Α, ΒΓ, είαι κατάλληλου τύπου, ώστε α ορίζοται οι πράξεις που εφαίζοται, τότε ισχύου: (i ( ΑΒ Γ = Α( ΒΓ (προσεταιριστική ιδιότητα ΑΒ+Γ ( =ΑΒ+ΑΓ ii, (επιεριστικές ιδιότητες ( Β+Γ Α=ΒΑ+ΓΑ (iii ΑΒ = Ο Α =Οή Β= Ο
22 Κεφάλαιο 2 Πίακες Απόδειξη (i Α είαι ( a, ( b, ( c Α= Β= Γ=, και γράψουε ρ ρ τ το γεικό στοιχείο του πίακα Α ως a ( Α = κλπ, τότε έχουε ρ ρ ρ ( ΑΒ Γ = ( ΑΒ ik c kj = a i σbσ k c kj = a i σ bσ k c kj k= k= σ= σ= k= = a i σ( ΒΓ σ j = Α( ΒΓ σ = (ii Α είαι ( a, ( b, ( c Α= Β= Γ=, τότε έχουε ρ ρ ΑΒ+Γ ( = a ( b + c = a b + a c =ΑΒ+ΑΓ ik kj kj ik kj ik kj k= k= k= Οοίως, α Α= ( a, Β= ( b, Γ= ( c, τότε έχουε ρ ( Β+Γ Α= ( b + c a = b a + c a =ΒΑ+ΓΑ ik ik kj ik kj ik kj k= k= k= (iii Αρκεί α βρούε έα ατιπαράδειγα ε πίακες για τους οποίους ισχύει ότι ΑΒ = Ο ε Α Ο και Β Ο Τέτοιοι είαι, για παράδειγα, οι πίακες Α= και Β= 2 2 3 Ο οαδιαίος πίακας Ο πίακας Ι 0 0 0 0 = ( δ =, όπου δ 0 0, α i = = 0, α i j j είαι η συάρτηση δέλτα του Kronecker, οοάζεται οαδιαίος πίακας και έχει τις ιδιότητες: ΑΙ =ΙΑ = Α, για κάθε πίακα Α τύπου, ΑΙ = Α,για κάθε πίακα Α τύπου, Ι Α=Α, για κάθε πίακα Α τύπου ρ
22 Οι πράξεις στο σύολο τω πιάκω 23 Ο ατίστροφος πίακας Ορισός 224 Α ο πίακας Α είαι τετραγωικός τύπου και υπάρχει πίακας Χ τέτοιος ώστε ΑΧ = ΧΑ = Ι, τότε λέε ότι ο πίακας Α είαι ατιστρέψιος και ο πίακας Χ είαι ο ατίστροφος πίακας του Α Γράφουε τότε Χ =Α Θεώρηα 224 Α οι πίακες Α, Β είαι ατιστρέψιοι, τότε ισχύου: (i ( Α = Α (ii ( ΑΒ =Β Α Απόδειξη (i Από το ορισό 224 έχουε ότι ΑΑ = Α Α =Ι, οπότε προκύπτει άεσα το ζητούεο (ii ( ΑΒ( Β Α = Α( ΒΒ Α = ΑΙ Α = ΑΑ = Ι και οοίως αποδεικύεται ότι: ( Β Α ( ΑΒ =Ι Στα επόεα κεφάλαια θα θεωρήσουε δύο τρόπους εύρεσης του ατίστροφου εός πίακα, α αυτός υπάρχει Σηειώουε ότι δε έχου όλοι οι τετραγωικοί πίακες ατίστροφο πίακα Στο παρό κεφάλαιο θα δώσουε έα τύπο για το υπολογισό του ατίστροφου εός 2 2 πίακα 2 Α είαι Α= a a a2 a 22 και Χ= x y z w είαι ο ζητούεος ατίστροφος του πίακα Α,τότε από τις ισότητες ΑΧ =ΧΑ=Ι 2 και τη επίλυση τω γραικώ συστηάτω ε δύο εξισώσεις και δύο αγώστους που προκύπτου, ε τη προϋπόθεση ότι aa22 a2a2 0, λαβάουε: a a2 a22 a2 Χ= a a = a a a a a a 2 22 22 2 2 2 Οι δυάεις εός πίακα Για κάθε τετραγωικό πίακα Α ορίζουε τις δυάεις του ως εξής: 0 Α =Ι, Α =Α και n Α = Α n Α, για κάθε * n ε 2 n
24 Κεφάλαιο 2 Πίακες Επιπλέο, α πίακας Α είαι ατιστρέψιος, τότε ορίζουε ( Α n * Α =, για κάθε n Με βάση τις ιδιότητες που ικαοποιεί η πράξη του πολλαπλασιασού πιάκω προκύπτου αέσως οι ιδιότητες: m n n m m+ n Α Α = Α Α = Α, για κάθε mn, m 2 ( n mn n Α = Α, για κάθε mn, λα = λ Α, για κάθε n 3 ( n n n n < απαιτείται η ισότητα ( λ λ (Για 0 4 ( Α ( Α =, για κάθε n n n 2 2 2 Α = Α, για κάθε λ 0 5 ( Α+Β = ( Α+Β ( Α+Β =Α +ΑΒ+ΒΑ+Β 6 Α ΑΒ = ΒΑ, τότε ισχύου: 2 2 2 ( Α±Β =Α ± 2ΑΒ+Β 3 3 2 2 3 ( Α±Β =Α ± 3Α Β+ 3ΑΒ ±Β 2 2 ( Α+Β ( Α Β =Α Β n n n n k k * ( Α+Β = Α Β k = 0 k, για κάθε n Ο αάστροφος πίακας Ορισός 2 2 5 Α ( a Α= Μ, τότε ο πίακας που προκύπτει από το Α ε εαλλαγή εταξύ γραώ και στηλώ του λέγεται αάστροφος πίακας του Α και συβολίζεται ε Α, έχουε δηλαδή Α = a Μ Για παράδειγα, α είαι ( ji 2 Α= 3, 0 5 Β = 2, τότε 3 Α = 3 0 2 5 και [ 2 3] Β = Από το ορισό του αάστροφου πίακα άεσα προκύπτου οι ιδιότητες:
22 Οι πράξεις στο σύολο τω πιάκω 25 ( Α+Β =Α +Β, γιακάθε Α, Β Μ, 2 ( λα = λα, για κάθε λ Κ, Α Μ, 3 ( ΑΒ = Β Α, για κάθε Α Μ, Β Μ, 4 Ι =Ι, 5 ( Α = Α, για κάθε Α Μ και 6 ( Α = ( Α ρ Απόδειξη Η απόδειξη τω περισσοτέρω από τις παραπάω ιδιότητες είαι απλή εφαρογή του ορισού Ειδικότερα για τη 3, α ε ( Α συβολίσουε το γεικό στοιχείο του πίακα Α, έχουε : (( ΑΒ = ( ΑΒ ( ( ( ji = ajkbki = Β ik Α kj = Β Α Για τη 6 έχουε k= k= ( ( ( ( ΑΑ = Α Α = Ι ΑΑ = Α Α = Ι Α Α = Α Α = Ι, οπότε, λόγω της οαδικότητας του ατίστροφου εός πίακα, θα ισχύει ότι ( ( Ορισός 226 Ο τετραγωικός πίακας Α = ( a (i συετρικός, α (ii ατισυετρικός, α i, j =,2,, Για παράδειγα, από τους πίακες Α = Α Α = Α, δηλαδή, α a aji, Μ λέγεται: Α = Α, δηλαδή α ji 2 4 0 2 Α= 2 3, Β= 2 0, 4 0 0 = για κάθε i, j =,2,,, a = a, για κάθε ο Α είαι συετρικός, εώ ο Β είαι ατισυετρικός Παρατηρούε ότι τα στοιχεία της κυρίας διαγωίου του πίακα Β είαι όλα ηδέ Αυτό δε είαι τυχαίο, αλλά ισχύει σε κάθε ατισυετρικό πίακα, αφού από τη ισότητα a = aji για i= j προκύπτει ότι a ii = 0, για κάθε i =, 2,,
26 Κεφάλαιο 2 Πίακες 2 3 Ειδικοί τύποι πιάκω Κατ αρχή σηειώουε ότι, σε ία γραή που δε έχει όλα τα στοιχεία της 0 (η ηδεική γραή, το ηγετικό στοιχείο της είαι το πρώτο, από αριστερά προς τα δεξιά, η ηδεικό στοιχείο της Ορισός 2 3 (α Ο πίακας ( a Α= Μ λέγεται κλιακωτός ή κλιακωτής ορφής, ότα ισχύου τα ακόλουθα: (i οι ηδεικές γραές, α υπάρχου, βρίσκοται στη σειρά ετά τις η ηδεικές γραές και (ii α γ, γ2,, γκ, κ είαι οι η ηδεικές γραές του πίακα Α, τότε το ηγετικό στοιχείο της γ i + - γραής βρίσκεται δεξιότερα από το ηγετικό στοιχείο της γ i -γραής (β Ο πίακας ( a Α= Μ λέγεται αηγέος κλιακωτός ή αηγ- έης κλιακωτής ορφής, α ισχύου τα ακόλουθα: (i είαι κλιακωτός, (ii το ηγετικό στοιχείο κάθε η ηδεικής γραής είαι και (iii σε ία στήλη που περιέχει το ηγετικό στοιχείο κάποιας γραής, όλα τα άλλα στοιχεία της είαι 0 Για παράδειγα, οι παρακάτω πίακες είαι κλιακωτοί 3 0 2 0 2 3 4 0 2 3 4 0 0 2 3 Α= και Β=, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 εώ αηγέοι κλιακωτοί είαι οι πίακες 0 0 2 0 0 2 0 0 Γ= 0 2 και Δ= 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 Στοιχειώδεις πράξεις και πίακες Στο σύολο τω πιάκω θεωρούε απεικοίσεις της ορφής τ: Μ Μ, Α τ( Α, που λέγοται στοιχειώδεις πράξεις γραώ ή γραοπράξεις Ο πίακας τ ( Α προκύπτει από το πίακα Α ε εφαρογή ιας από τις ακόλουθες διαδικασίες:
23 Ειδικοί τύποι πιάκω 27 γ γ, εαλλαγή της i γραής ε τη j γραή I i j II γ λγ, λ 0, πολλαπλασιασός της i γραής επί λ 0 i i III γ γ + λγ, λ 0, ατικατάσταση της i γραής από το άθροισα i i j αυτής και του λ πλασίου της j γραής Οι πίακες Α και τ ( Α λέγοται γραοϊσοδύαοι Όοια, ορίζοται και οι στοιχειώδεις πράξεις στηλώ ή στηλοπράξεις και συβολίζοται ε σ: Μ Μ, Α σ( Α σ σ, σ λσ, σ σ + λσ, λ 0 i j i i i i j Σε κάθε ία από τις στοιχειώδεις πράξεις γραώ (ατίστοιχα, στηλώ ατιστοιχίζουε έα στοιχειώδη πίακα Έτσι, στη στοιχειώδη πράξη γραώ τ που εφαρόζεται σε πίακα, ατιστοιχίζουε το στοιχειώδη πίακα τ ( Ι που προκύπτει από τη εφαρογή της τ στο οαδιαίο πίακα Ι, εώ στη στοιχειώδη πράξη στηλώ σ που εφαρόζεται σε πίακα, ατιστοιχίζουε το στοιχειώδη πίακα σ ( Ι που προκύπτει από τη εφαρογή της σ στο οαδιαίο πίακα Ι Για παράδειγα, στις στοιχειώδεις πράξεις γ γ2, σ2 3 σ2, γ3 γ3 + 2γ, ότα εφαρόζοται σε 3 4 πίακα, ατιστοιχίζοται οι παρακάτω στοιχειώδεις πίακες: 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0,, 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 4 Ααγωγή πίακα σε αηγέο κλιακωτό Θεωρούε έα πίακα ( a Α= Μ Αυτός ε διαδοχική εφαρογή στοιχειωδώ πράξεω γραώ αάγεται αρχικά σε κλιακωτό και στη συέχεια σε αηγέο κλιακωτό πίακα Η διαδικασία ααγωγής είαι αλγοριθική (αλγόριθος τω Gauss-Jordan και περιγράφεται ως εξής:
28 Κεφάλαιο 2 Πίακες Ι Με εαλλαγή γραώ, α είαι αάγκη, κάουε το πρώτο στοιχείο της πρώτης η ηδεικής στήλης διάφορο του 0 Το στοιχείο αυτό το οοάζουε βασικό (pivot, όπως και το ηγετικό στοιχείο κάθε η ηδεικής γραής ΙΙ Με εφαρογή της γραοπράξης γ ( a γ το στοιχείο a γίεται ίσο ε Στη συέχεια ε εφαρογή τω γραοπράξεω γ γ a γ,, γ γ a γ 2 2 2 ηδείζουε όλα τα στοιχεία της πρώτης στήλης εκτός του βασικού Α όλα τα στοιχεία της πρώτης στήλης είαι 0, τότε εφαρόζουε τη διαδικασία που περιγράψαε στη πρώτη από τις επόεες στήλες που έχει η ηδεικά στοιχεία, κοκ ΙΙΙ Αγοώτας τη πρώτη γραή και τη πρώτη στήλη του πίακα που έχει προκύψει, επααλαβάουε τη παραπάω διαδικασία για α κάουε το στοιχείο a22 ίσο ε και τα στοιχεία a32,, a 2 της δεύτερης στήλης που βρίσκοται κάτω από το a 22 ίσα ε 0 Συεχίζουε τη ίδια διαδικασία έχρις ότου ο πίακας Α γίει κλιακωτός και ε τα ηγετικά στοιχεία τω γραώ του ίσα ε ΙVΜε στοιχειώδεις πράξεις γραώ τύπου ΙΙΙ ετατρέπουε τα η ηδεικά στοιχεία κάθε στήλης που περιέχει το ηγετικό ιας γραής σε ηδεικά αρχίζοτας από αυτή που είαι δεξιότερα Παρατηρήσεις Με τα βήατα Ι και ΙΙ ο πίακας ετατρέπεται σε κλιακωτό, χωρίς α είαι ααγκαίο α γίου τα ηγετικά στοιχεία τω γραώ ίσα ε Γεικά ο κλιακωτός πίακας που προκύπτει δε είαι οαδικός έχει όως πάτοτε το ίδιο αριθό η ηδεικώ γραώ Ο αριθός αυτός έχει εγάλη σηασία για έα πίακα και στα επόεα κεφάλαια θα δούε ότι οοάζεται βαθός του πίακα 2 Ο αηγέος κλιακωτός πίακας που προκύπτει ε το παραπάω αλγόριθο είαι οαδικός 3 Τα τρία πρώτα βήατα της παραπάω εθόδου αποτελού τη έθοδο απαλοιφής του Gauss, εώ η πλήρης έθοδος είαι η έθοδος απαλοιφής τω Gauss-Jordan Η ααγωγή πίακα σε αηγέο κλιακωτό είαι πολύ χρήσιη για τη εύρεση του βαθού πίακα, αλλά και για τη επίλυση γραικώ συστηάτω Παράδειγα 24 Να ετατραπεί σε αηγέο κλιακωτό ο πίακας 0 4 8 4 2 4 6 8 Α= 0 2 5 3 8 0 7
24 Ααγωγή πίακα σε αηγέο κλιακωτό 29 Λύση Ο πίακας Α γίεται: 0 4 8 4 0 2 5 0 2 5 2 4 6 8 2 4 6 8 3 2 2 2 0 4 2 8 γ γ γ γ γ γ4 γ4 3γ 0 2 5 0 4 8 4 0 4 8 4 3 8 0 7 3 8 0 7 0 8 6 8 0 2 5 0 2 5 3 ( 4 γ γ3 0 2 γ3 γ3 4γ 0 2 2 γ2 γ3 γ4 γ4 8γ2 0 4 2 8 0 0 0 4 0 8 6 8 0 0 0 0 0 2 5 0 2 5 γ3 γ 0 2 4 γ4 γ4 0γ 0 2 3 γ3 ( γ3 4 ( 0 0 0 0 γ 4 γ4 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 2 0 0 0 0 γ2 γ2 γ 0 2 0 4 2 2 2 0 0 0 γ γ + γ3 γ γ+ 5γ4 γ γ 2γ3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Στη συέχεια θα δούε ερικές προτάσεις σχετικές ε τις στοιχειώδεις πράξεις, τους στοιχειώδεις πίακες και τη εύρεση του ατίστροφου εός πίακα Πρόταση 24 (α Α τ : Μ Μ είαι ία στοιχειώδης πράξη γραώ και Α Μ, τότε ( τ( Α = τ Ι Α (β Α σ : Μ Μ είαι ία στοιχειώδης πράξη στηλώ και Α Μ, τότε σ( Α =Ασ( Ι Απόδειξη (α Θα εξετάσουε όο τις στοιχειώδεις πράξεις τύπου Ι, ( γ i γ j Οι άλλες δύο περιπτώσεις και το ερώτηα (β αποδεικύοται αάλογα Ο στοιχειώδης πίακας που ατιστοιχεί στη γραοπράξη τ ( γi γ j είαι
30 Κεφάλαιο 2 Πίακες όπου ( ii jj ji, τ Ι =Ι Ε Ε +Ε +Ε Ε είαι πίακας που έχει το στοιχείο του ίσο ε και όλα τα υπόλοιπα στοιχεία του είαι 0 Έστω ότι ο πίακας ( a γραές γ = a a 2 a, k Τότε θα είαι Επίσης έχουε k k k k i jγ i+, j i j+ τ( Α = γ γ γ γ γ γ γ τ ( Ι Α = ( Α= έχει ii jj ji ii jj ji Ι Ε Ε +Ε +Ε Α=Α Ε Α Ε Α+Ε Α+Ε Α γ 0 0 0 0 γ γi γ 0 a i j 0 γ j = + + = = τ ( Α γ j 0 γ j 0 γ i γ i γ 0 a γ 0 γ Παρατήρηση Σηειώουε ότι οι στοιχειώδεις πίακες που ατιστοιχίζοται στις στοιχειώδεις πράξεις γ i λγ i και γ γ + λγ, λ 0 είαι οι diag(,, λ, και Ι + λε, ατίστοιχα i i j Πρόταση 242 Κάθε στοιχειώδης πίακας είαι ατιστρέψιος Απόδειξη Έστω P και Q οι στοιχειώδεις πίακες που ατιστοιχού σε ία γραοπράξη τ και στη ατίστροφή της, έστω τ Σύφωα ε τη πρόταση 24 έχουε ( ( ( ( ( τ τ τ τ Ι = Ι = PΙ = Q PΙ = QP, ( ( ( Ι = τ τ Ι = QΙ = P QΙ = PQ Άρα έχουε τη ισότητα PQ = QP =Ι, οπότε ο πίακας P είαι ατιστρέψιος ε P = Q
25 Εύρεση του ατίστροφου πίακα 3 2 5 Εύρεση του ατίστροφου πίακα Από τις προτάσεις 24 και 242 έπεται ότι ο πίακας που προκύπτει ε διαδοχική εφαρογή γραοπράξεω σε έα πίακα Α είαι της ορφής PΑ, όπου ο P είαι ατιστρέψιος πίακας ως γιόεο στοιχειωδώ πιάκω Ειδικότερα, για τετραγωικούς πίακες έχουε: Πρόταση 2 5 Έστω ότι ο πίακας Α Μ ( Κ ε διαδοχική εφαρογή γραοπράξεω τ, τ2,, τ s ε ατίστοιχους στοιχειώδεις πίακες P,, P2 ετασχηατίζεται στο αηγέο κλιακωτό πίακα Α R Τότε ισχύου:, P s I Α ο Α R έχει ία τουλάχιστο ηδεική γραή, τότε ο πίακας Α είαι η ατιστρέψιος II Α ο Α R δε έχει ηδεικές γραές, τότε Α R =Ι, ο πίακας Α είαι ατιστρέψιος και Α = P PPΙ s 2 Απόδειξη Ι Έστω ότι ο πίακας Α R έχει ία τουλάχιστο ηδεική γραή και ας υποθέσουε ότι ο πίακας Α είαι ατιστρέψιος Τότε θα υπάρχει πίακας Χ τέτοιος ώστε ΑΧ = ΧΑ = Ι ( Από τη πρόταση 24, θα υπάρχει ατιστρέψιος πίακας P = Ps PP 2 τέτοιος, ώστε α ισχύει P PPΑ = PΑ = Α (2 s 2 Από τις ( και (2 έχουε Ι = PP = PΑΧ P = Α Χ P R R Ι = ΧΑ = ΧP PΑ = ΧP Α R, από τις οποίες προκύπτει ότι ΑR ( Χ P = ( ΧP Α =Ι, δηλαδή ο πίακας Α R είαι ατιστρέψιος, που είαι άτοπο, γιατί ο πίακας Α R έχει ία τουλάχιστο ηδεική γραή και το γιόεό του ε οποιοδήποτε πίακα θα περιέχει επίσης ία τουλάχιστο ηδεική γραή και έτσι δε πορεί α είαι ο οαδιαίος πίακας Άρα ο πίακας Α δε είαι ατιστρέψιος
32 Κεφάλαιο 2 Πίακες ΙΙ Α ο πίακας Α R δε έχει ηδεική γραή, τότε αυτός θα περιέχει ηγετικά καταεηέα σε η ηδεικές γραές, που το καθέα βρίσκεται δεξιότερα από το ηγετικό της προηγούεης γραής, οπότε θα είαι Α =Ι Επιπλέο θα ισχύει R s 2 R s 2 P PPΑ= PΑ=Α =Ι Α = P PP = P Κ το οαδιαίο πίακα Ι και εφαρόσουε και στους δύο ταυτόχροα τις ίδιες στοιχειώδεις πράξεις γραώ, ώστε ο πίακας Α α ετασχηατιστεί στο αηγέο κλιακωτό πίακα Α, τότε θα έχουε Α γράψουε δίπλα στο πίακα Α Μ ( R [ ] Α Ι ΑR Β Από τη πρόταση 25 συπεραίουε ότι: Α ΑR Ι, τότε ο πίακας Α δε ατιστρέφεται Α Α R =Ι, τότε ο πίακας Α ατιστρέφεται και Α =Β Παράδειγα 2 5 Να βρεθεί ο ατίστροφος του πίακα 2 3 Α= 2 3 4 3 4 6 Λύση Έχουε 2 3 0 0 2 3 0 0 2 2 2 [ Α Ι γ γ γ 3] = 2 3 4 0 0 0 2 2 0 γ3 γ3 3γ 3 4 6 0 0 0 2 3 3 0 2 3 0 0 2 0 2 6 3 γ3 γ3 2γ2 γ2 γ2 2γ3 0 2 2 0 0 0 0 3 2 γ2 ( γ2 γ γ 3γ3 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 γ γ 2γ2 0 0 0 3 2 = Ι3 Β 0 0 2 Άρα ο πίακας Α είαι ατιστρέψιος και ο ατίστροφός του είαι ο 2 0 Α =Β= 0 3 2 2
26 Εισαγωγή στα γραικά συστήατα 33 2 6 Εισαγωγή στα γραικά συστήατα Κάθε εξίσωση της ορφής λx+ λ2x2 + + λx = β, (,,, όπου λ, λ2,, λ, β Κ = ή και x x2 x άγωστοι αριθοί από το σώα Κ, λέγεται γραική εξίσωση ε αγώστους Ο αριθός β λέγεται σταθερός όρος της εξίσωσης, εώ οι αριθοί λ, λ2,, λ λέγοται συτελεστές τω αγώστω Λύση της γραικής εξίσωσης ( λέγεται κάθε διατεταγέη -άδα ω, ω,, ω Κ τέτοια ώστε ( 2 λω+ λ2ω2 + + λω = β, δηλαδή επαληθεύεται η εξίσωση, α θέσουε xi = ωi, i =,2,, Γραικό σύστηα ε εξισώσεις και αγώστους ή - γραικό σύστηα είαι έα (πεπερασέο πλήθος γραικώ εξισώσεω ε αγώστους, δηλαδή έχει τη ορφή αx + α2x2 + + α x = β 2x 22x2 2x α + α + + α = β2 α x+ α2x2+ + αx = β Α θεωρήσουε τους πίακες (2 α α2 α 2 22 α α α2 Α=, α α2 α x β x β 2 2 Χ=, Β= x β τότε το γραικό σύστηα (2 γράφεται ως ία εξίσωση πιάκω ΑΧ =Β, (3 όπου ο πίακας Α είαι πίακας τω συτελεστώ, ο πίακας Χ είαι ο πίακας τω αγώστω και ο πίακας Β είαι πίακας τω σταθερώ όρω Λύση της γραικού συστήατος (2 λέγεται κάθε διατεταγέη -άδα (,,, 2 ξ ξ ξ Κ που επαληθεύει και τις εξισώσεις του συστήατος (2
34 Κεφάλαιο 2 Πίακες Το γραικό σύστηα (2 λέγεται συβιβαστό, α έχει ία τουλάχιστο λύση, εώ λέγεται αδύατο, α δε έχει λύση Για λόγους συβατότητας ε τους συβολισούς ας θα συβολίζουε τη λύση ( ξ, ξ2,, ξ και ε το πίακα-στήλη [ ] ξ ξ ξ2 ξ = Δύο γραικά συστήατα ε εξισώσεις και αγώστους ΑΧ=Β και 2 2 Α Χ=Β, λέγοται ισοδύαα, α έχου ακριβώς τις ίδιες λύσεις Η επίλυση εός γραικού συστήατος, δηλαδή η διαδικασία εύρεσης όλω τω λύσεω του συστήατος, βασίζεται στη εύρεση άλλω γραικώ συστηάτω ισοδυάω προς το αρχικό, αλλά απλούστερης ορφής Α ο πίακας Β τω σταθερώ όρω είαι ο ηδεικός πίακας, δηλαδή α είαι Β= [ 0 0 0], τότε το γραικό σύστηα γίεται ΑΧ =Ο (4 και λέγεται οογεές Ο πίακας ΑΒ Μ ( + που είαι ο πίακας Α συπληρωέος ε ία τελευταία στήλη, αυτή που ορίζει ο πίακας Β τω σταθερώ όρω λέγεται επαυξηέος πίακας του συστήατος ΑΧ =Β 2 7 Η έθοδος απαλοιφής του Gauss Η βασική έθοδος επίλυσης του γραικού συστήατος ΑΧ =Β, (Σ όπου Α= ( α Μ, Χ= [ x x2 x ], Β= β β2 β, είαι η έθοδος απαλοιφής του Gauss Η έθοδος αυτή ουσιαστικά συίσταται στο ετασχηατισό του επαυξηέου πίακα ΑΒ του συστήατος (Σ σε αηγέο κλιακωτό ε χρήση όο στοιχειωδώ πράξεω γραώ, ακολουθώτας το αλγόριθο τω Gauss-Jordan που περιγράψαε παραπάω στη παράγραφο 24, ως εξής: Ι Με εαλλαγή γραώ, α είαι αάγκη κάουε το πρώτο στοιχείο της πρώτης η ηδεικής στήλης διάφορο του 0 Το στοιχείο αυτό το οοάζουε βασικό (pivot, όπως και το ηγετικό στοιχείο κάθε η ηδεικής γραής
27 Η έθοδος απαλοιφής του Gauss 35 ΙΙ Με εφαρογή της γραοπράξης γ ( a γ το στοιχείο a γίεται ίσο ε Στη συέχεια ε εφαρογή τω γραοπράξεω γ γ a γ,, γ γ a γ, 2 2 2 ηδείζουε όλα τα στοιχεία της πρώτης στήλης εκτός του βασικού Α όλα τα στοιχεία της πρώτης στήλης είαι 0, τότε η διαδικασία που περιγράψαε εφαρόζεται στη πρώτη από τις επόεες στήλες που έχει η ηδεικά στοιχεία, κοκ III Αγοώτας τη πρώτη γραή και τη πρώτη στήλη του πίακα που έχει προκύψει, επααλαβάουε τη παραπάω διαδικασία για α κάουε το στοιχείο a22 ίσο ε και τα στοιχεία a32,, a 2 της δεύτερης στη- λης που βρίσκοται κάτω από το a 22 ίσα ε 0 Συεχίζουε τη ίδια διαδικασία έχρις ότου ο πίακας Α γίει κλιακωτός και ε τα ηγετικά στοιχεία τω γραώ του ίσα ε IV Με στοιχειώδεις πράξεις γραώ τύπου ΙΙΙ ετατρέπουε τα η ηδεικά στοιχεία κάθε στήλης που περιέχει το ηγετικό ιας γραής σε ηδεικά, αρχίζοτας από αυτή που είαι δεξιότερα Είαι φαερό ότι ε διαδοχική εφαρογή στοιχειωδώ πράξεω γραώ στο επαυξηέο πίακα του συστήατος (Σ, τα προκύπτοτα συστήατα έχου εξισώσεις που είαι γραικοί συδυασοί τω εξισώσεω του αρχικού συστήατος (Σ Έτσι, τα συστήατα που προκύπτου είαι ισοδύαα προς το αρχικό σύστηα, δηλαδή έχου το ίδιο σύολο λύσεω ε το σύστηα (Σ Μετά τη ααγωγή του επαυξηέου πίακα [ Α Β ] σε αηγέο κλιακωτό διακρίουε τις περιπτώσεις: Α στο αηγέο κλιακωτό πίακα υπάρχει γραή της ορφής 0 0 0 β, β 0, τότε το σύστηα είαι αδύατο Α δε υπάρχου γραές της ορφής 0 0 0 β, β 0 και έχουε συολικά κ η ηδεικές γραές, κ min{, }, τότε θεωρούε τους κ αγώστους που ατιστοιχού σε στήλες του αηγέου κλιακωτού πίακα, που δε περιέχου κάποιο από τα ηγετικά, ως αυθαίρετους και εκφράζουε τους υπόλοιπους αγώστους ως συαρτήσεις τω αυθαίρετω αγώστω Παράδειγα Να προσδιορίσετε το σύολο τω λύσεω του γραικού συστήατος: x+ 2y+ 3z+ w= 3, y z+ 2w= 4, x+ 3y+ 2z+ 3w= 7 { }
36 Κεφάλαιο 2 Πίακες Λύση Με στοιχειώδεις πράξεις γραώ ετασχηατίζουε το επαυξηέο πίακα του συστήατος σε αηγέο κλιακωτό Έχουε: 2 3 3 2 3 3 γ3 3 0 2 4 γ γ 0 2 4 3 2 3 7 0 2 4 2 3 3 0 5 3 5 γ3 γ3 γ2 γ γ 2γ2 0 2 4 0 2 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Από τη ορφή του αηγέου κλιακωτού πίακα που προκύπτει συπεραίουε ότι το σύστηα είαι συβιβαστό Οι άγωστοι z και w που ατιστοιχού στις δύο τελευταίες στήλες, οι οποίες δε περιέχου κάποιο από τα ηγετικά τω η ηδεικώ γραώ, επιλέγοται ως αεξάρτητοι (αυθαίρετοι άγωστοι, εώ οι άγωστοι x και y που ατιστοιχού στις δύο πρώτες στήλες, οι οποίες περιέχου τα ηγετικά τω η ηδεικώ γραώ, είαι οι εξαρτηέοι άγωστοι Έτσι έχουε το ισοδύαο σύστηα x+ 5z 3w= 5 x = 5 5z+ 3w y z + 2w = 4 y = 4 + z 2 w, z, w Εποέως, η τυχούσα από τις άπειρες λύσεις του συστήατος είαι ( xyzw,,, = ( 5 5κ + 3 λ,4+ κ 2 λ, κ, λ = ( 5, 4, 0, 0 + κ( 5,,, 0 + λ(3, 2, 0,, κ, λ, εώ το σύολο τω λύσεω του συστήατος είαι το Λ= ( 5 5κ+ 3 λ,4+ κ 2 λκλ,, : κλ, { } Παράδειγα 2 Να προσδιορίσετε το σύολο τω λύσεω του οογεούς συστήατος: x+ 2x2 + 3x3 + 4x4 = 0 x + 3x + 4x + 5x = 0 2 3 4 Λύση Ο επαυξηέος πίακας του συστήατος γίεται : 2 3 4 0 γ2 γ 2 3 4 0 2 γ 3 4 5 0 0 0 γ γ 2γ 0 2 0 2 0 0 και το σύστηα είαι ισοδύαο ε το
27 Η έθοδος απαλοιφής του Gauss 37 x + x + 2x = 0 x = x 2x 3 4 3 4 x2 + x3 + x4 = 0 x2 = x3 x4, x3, x4 Εποέως το σύολο τω λύσεω του δεδοέου οογεούς συστήατος είαι Λ= ( κ 2 λ, κ λκλ,, : κλ, { } { κ λ κ λ } = (,,, 0 + ( 2,, 0,:, Παράδειγα 3 Να προσδιορίσετε τις τιές της παραέτρου a για τις οποίες έχει λύση το σύστηα x+ 3y+ 5z = 2x+ 4z = x y+ z = a, a και στη συέχεια α βρείτε τη λύση του συστήατος Λύση Ο επαυξηέος πίακας του συστήατος γίεται: 3 5 3 5 γ2 γ2 2γ ΑΒ = 2 0 4 0 6 6 γ3 γ3 γ a 0 4 4 a 3 5 0 2 2 γ2 γ2 6 γ3 γ3+ 4γ2 0 0 6 γ γ 3γ2 6 0 4 4 a 0 0 0 a 3 Εποέως το σύστηα είαι συβιβαστό, ότα a = 0 a = 3 3 Για a =, το σύστηα είαι ισοδύαο ε το σύστηα 3 x+ 2z = x = z 2 2, z y+ z = y = z 6 6 οπότε το σύολο τω λύσεω του είαι Λ= c, c, c : c 2 6
38 Κεφάλαιο 2 Πίακες 28 Η LU παραγοτοποίηση πίακα Όπως ξέρουε, η έθοδος απαλοιφής του Gauss για τη επίλυση του γραικού συστήατος ΑΧ =Β (Σ βασίζεται στη ετατροπή του επαυξηέου πίακα [ Α Β ] σε αηγέο κλιακωτό Στη παράγραφο αυτή θα περιγράψουε ία διαφορετική εθοδο επίλυσης του γραικού συστήατος (Σ η οποία βασίζεται στη παραγοτοποίηση του πίακα Α τω συτελεστώ σε γιόεο δύο πιάκω, εός κάτω τριγωικού και εός κλιακωτού πίακα Η έθοδος αυτή είαι ιδιαίτερα χρήσιη ότα έχουε α λύσουε πολλά γραικά συστήατα ε το ίδιο πίακα συτελεστώ και διαφορετικό πίακα σταθερώ όρω, είαι κατάλληλη για ηλεκτροικούς υπολογιστές και αποτελεί τη βάση πολλώ υπολογιστικώ πακέτω Ας υποθέσουε ότι έχουε α λύσουε το γραικό σύστηα (Σ και ότι έχουε παραγοτοποιήσει το πίακα Α Μm n( Κ, Κ = ή τω συτελεστώ σε γιόεο δύο πιάκω της ορφής Α = LU, ( όπου ο L είαι m m κάτω τριγωικός ε τα στοιχεία της κυρίας διαγωίου ίσα ε, εώ ο U είαι κλιακωτός m n πίακας Έχουε ΑΧ=Β ( LU Χ=Β L( U Χ =Β, οπότε, α θέσουε Y = U Χ, τότε έχουε α επιλύσουε τα απλά γραικά συστήατα ε πίακα κλιακωτής ορφής L Y =Β και U Χ = Y Επιλύουε το σύστηα L Y =Β ε ατικατάσταση προς τα επρός και στη συέχεια επιλύουε το σύστηα U Χ = Y ε ατικατάσταση προς τα πίσω Για παράδειγα, ας υποθέσουε ότι έχουε προς λύση το σύστηα x 2 0 2 x2 ΑΧ = 4 3 0 2 = = Β x 3 2 2 9 8 3 x4 και ότι έχουε βρει τη παραγοτοποίηση 2 0 0 0 2 0 Α= 4 3 0 2 = 2 00 2 2 = LU 2 2 9 8 3 0 0 2 2 Επιλύουε πρώτα το σύστηα
28 Η LU- παραγοτοποίηση πίακα 39 y y 0 0 2 2 2 0 y2 = Y= y2 = 3 3 y 3 7 3 y 3 Στη συέχεια προκύπτει το σύστηα x x 7,75 + 0,5α 2 0 2 x2 x 2 0 0 2 2 = 3 Χ = =, α x 3, 5 3 x + α 3 0 0 2 2 7 x4 x α 4 Ο αλγόριθος της LU -παραγοτοποίησης Θεωρούε πίακα Α Μ ( m n Κ και ε διαδοχικές στοιχειώδεις πράξεις γραώ, χωρίς α κάουε εαλλαγή γραώ, ετατρέπουε το πίακα σε κλιακωτό, οπότε έχουε Ρs Ρ2ΡΑ = U, (2 όπου Ρ, Ρ2, Ρ s είαι οι ατίστοιχοι στοιχειώδεις πίακες Επειδή όλοι οι στοιχειώδεις πίακες είαι ατιστρέψιοι έχουε Α=Ρ U LU Ρ2 Ρ s =, (3 όπου έχουε θέσει L =Ρ Ρ2 Ρ s Επιπλέο λαβάουε Ρs Ρ2Ρ L =Ι, (4 οπότε παρατηρούε ότι οι ίδιες γραοπράξεις ετατρέπου το πίακα L στο οαδιαίο πίακα Για παράδειγα, ας θεωρήσουε το πίακα 2 0 Α= 4 3 0 2 2 2 9 8 τω συτελεστώ του συστήατος που λύσαε προηγουέως Έχουε 2 0 2 0 γ2 γ2 γ 4 3 0 2 2 0 2 2 γ3 γ3 γ 2 2 9 8 0 3 8 8 Μέχρι τώρα χρησιοποιήσαε ως βασικό (pivot στοιχείο το a = 2 (συβολίζεται ε παχύ αύρο και παρατηρούε ότι οι ίδιες στοιχειώδεις πράξεις δίου
40 Κεφάλαιο 2 Πίακες 0 0 0 0 2 2 2 0 γ γ 2γ 0 0 γ3 γ3 γ * 0 * Στη συέχεια έχουε 2 0 2 0 γ3 γ2+ γ2 0 2 2 3 0 2 2 = U, 0 3 8 8 0 0 2 2 όπου χρησιοποιήσαε ως βασικό το στοιχείο a 22 = Παρατηρούε ότι η ίδια στοιχειώδης πράξη δίει 0 0 0 0 3 3 3 2 0 0 γ γ + γ 0 0, 0 3 0 0 οπότε πλέο είαι φαερό ότι ο κατάλληλος πίακας L που ε τις ίδιες γραοπράξεις ετατρέπεται στο οαδιαίο πίακα είαι ο 0 0 L = 2 0 3 Μπορούε πλέο α περιγράψουε τη διαδικασία παραγοτοποίησης του πίακα Α ως εξής: (i (ii Μετατρέπουε το πίακα Α ε στοιχειώδεις πράξεις γραώ, χωρίς εαλλαγές γραώ, σε κλιακωτό, οπότε προκύπτει ο πίακας U Διαορφώουε κάθε στήλη του Α που έχει βασικό στοιχείο, κάθε φορά που εφαίζεται, ε ηδεικά πάω από το βασικό στοιχείο και διαιρώτας τα υπόλοιπα στοιχεία της ε το βασικό στοιχείο Οι στήλες που διαορφώοται αζί ε ία τελευταία στήλη της ορφής [ 0 0 ] αποτελού τις στήλες του πίακα L 29 Διαερίσεις πιάκω Θεωρούε πίακα ( a Α= και τους φυσικούς αριθούς, 2,, r,, 2,, s έτσι, ώστε + 2 + + r = και + 2 + + s =
29 Διαερίσεις πιάκω 4 Στη συέχεια ε διακεκοέες οριζότιες και κατακόρυφες γραές απoκόβουε τις πρώτες γραές ετά τις 2 επόεες γραές κοκ, τις πρώτες στήλες κοκ Έτσι από το πίακα Α σχηατίζουε rs πίακες, έστω Α, κ =, 2,, r, λ = κλ, 2,, s, τύπου κ λ Οι πίακες Α κλ αποτελού ία r s διαέριση του πίακα Α που ατιστοιχεί στους αριθούς (, 2,, και ( r, 2,, s Συβολικά γράφουε Α= ( Α κλ r s Για παράδειγα, ο 3 5 πίακας 2 3 5 Α= 2 0 2 4 0 πορεί α διαεριστεί σε 6 υποπίακες ως εξής 2 3 5 Α Α2 Α3 Α= ( Αλ = 2 0 2 4 2 3 = Α2 Α22 Α 23 0 Ας θεωρήσουε τώρα το 5 4πίακα Β ε ία 3 2 διαέριση 2 0 3 0 Β Β2 4 Β= Β2 Β22 = 0 2 0 Β 2 2 3 Β 32 0 0 6 Το γιόεο τω δύο πιάκω Α και Β είαι ο πίακας 0 2 26 3 ΑΒ = ΑikΒkj = 0 5 9 0 k = 2 2 2 6 4 Σηειώουε ότι για α είαι γεικά δυατός ο παραπάω πολλαπλασιασός διαερισέω πιάκω πρέπει και αρκεί α είαι δυατός ο πολλαπλασιασός όλω τω ατίστοιχω υποπιάκω Α ik και Β kj Με κατάλληλη επιλογή τω διαερίσεω, συήθως γίεται ευκολότερα ο πολλαπλασιασός δύο πιάκω Στο προηγούεο παράδειγα, ατί α κάουε απ ευθείας το πολλαπλασιασό τω δύο πιάκω, πολλαπλασιάζουε υποπίακες που έχου ικρότερο αριθό γραώ και στηλώ Αυτό
42 Κεφάλαιο 2 Πίακες είαι σηατικό, κυρίως ότα οι δεδοέοι πίακες έχου εγάλο αριθό γραώ και στηλώ Μία ιδιαίτερη περίπτωση έχουε, ότα ο πίακας Α πορεί α διαεριστεί σε υποπίακες Α, Α2,, Α r, πιθαώς διαφορετικώ τάξεω, έτσι ώστε Α Ο Ο Ο Α2 Ο Α= = diag ( Α, Α2,, Αr Ο Ο Α r Επιπλέο, α [ ], Α= Α Α Β= 2 Β 2 Β, τότε ΑΒ =ΑΒ +Α2Β 2, ότα βέβαια ορίζοται οι πολλαπλασιασοί και οι προσθέσεις υποπιάκω που εφαίζοται, π χ 3 4 2 4 2 3 4 4 2 5 = + 0 0 5 0 2 5 5 0 2 3 2 3 5 3 6 0 8 2 5 2 6 = + = 2 5 0 0 5 2 5 6 0 2 0 0 0 2 0 0 2 και = + = 0 3 0 0 5 3 0 3 0 0 0 3 4 20 Πίακες ε στοιχεία συαρτήσεις [ ] Πολλές φορές θεωρούε πίακες ε στοιχεία συαρτήσεις ιας ή περισσοτέρω πραγατικώ εταβλητώ, όπως οι πίακες a( t a2 ( t a ( t x ( t a2( t a22 ( t a2 ( t x2 ( t Α ( t =, Χ ( t = a( t a2( t a( t x ( t
20 Πίακες ε στοιχεία συαρτήσεις 43 Ορισός 2 0 (i Ο πίακας ( t ( a ( t Α = είαι συεχής για t = t0, α κάθε συάρτηση a ( t είαι συεχής για t = t0 Ο πίακας Α ( είαι συεχής στο διάστηα [ α, β ], α είαι συεχής σε κάθε σηείο του διαστήατος [ α, β ] (ii Ο πίακας ( t ( a ( t Α = είαι παραγωγίσιος στο διάστηα [ α, β ], α κάθε ία από τις συαρτήσεις a ( t είαι παραγωγίσιη στο διάστηα [ α, β ] και η παράγωγός του είαι ο πίακας dα Α ( t : = ( a ( t dt (iii Όοια ορίζουε το ολοκλήρωα του πίακα Α ( t = ( a ( t β β α Α ( tdt: = ( α a ( tdt Για παράδειγα, ο πίακας t 2t Α e e t = ( cos t sin t είαι συεχής στο και ισχύει 2π t 2t e e 2e Α ( t = sin t cos t και e π π Α( tdt = 2 0 0 2 Μερικές από τις βασικές ιδιότητες της παραγώγισης πιάκω ε στοιχεία συαρτήσεις παραθέτουε παρακάτω, όπου ( a ( t, ( b ( t ( c ( t Α= Β= και Γ= (σταθερός πίακας είαι πίακες κατάλληλου τύπου, ώστε α ορίζοται οι εφαιζόεες πράξεις πιάκω : d dα dt dt d dα dβ dt dt dt ( ΓΑ = Γ 3 ( 2 ( Α+Β = + 4 ( d dα dβ ΑΒ = Β + Α dt dt dt d dα Α = Α Α dt dt t