Επανάληψη Έχουμε δει μέχρι τώρα 3 μεθόδους αποδείξεων του Προτασιακού Λογισμού: Μέσω πίνακα αληθείας για τις υποθέσεις και το συμπέρασμα, όπου ελέγχουμε αν υπάρχουν ερμηνείες που ικανοποιούν τις υποθέσεις αλλά όχι το συμπέρασμα. Με Μορφολογική Παραγωγή (ανήκει στα συστήματα παραγωγής), όπου παράγουμε το συμπέρασμα με χρήση συντακτικών κανόνων λογισμού. Με Κατασκευή Μοντέλων (ανήκει στα συστήματα ανασκευής), όπου προκειμένου να δείξουμε ότι {P 1,. P n } C επιχειρούμε να δείξουν ότι το σύνολο {P 1,, P n, C} είναι μη-ικανοποιήσιμο. 1
Άσκηση Αποδείξτε με τη μέθοδο μορφολογικής παραγωγής ότι P Q / (P Q) Λύση (1) P Q (Υπόθεση) (2) Υποπαραγωγή (2.1) P Q (Υπόθεση Υποπαραγωγής) (2.2) P (Από (1) και απαλοιφή ) (2.3) Q (Από (1) και απαλοιφή ) (2.4) Q (Από (2.2),(2.1) και απαλοιφή ) (3) (P Q) (Από (2) και εισαγωγή ) 2
Κανόνες αντικατάστασης για την μέθοδο κατασκευής μοντέλων 3
Άσκηση Αποδείξτε το παρακάτω θεώρημα α) με χρήση της μεθόδου κατασκευής μοντέλων, β) με τη μέθοδο μορφολογικής παραγωγής: /(P Q) ( Q P) α) Ελέγχουμε την ικανοποιησιμότητα του συνόλου: S = { ((P Q) ( Q P))} C0 = { ((P Q) ( Q P))} C1 = { { P Q, ( Q P)}, { (P Q), ( Q P)} } [ ] C2 = { { P Q, Q, P}, { (P Q), Q P} } [ ] C3 = { { P, Q, P}, { Q, Q, P}, { (P Q), Q P} } [ ] C4 = { (P Q), Q P } [del x 2] C5 = { P, Q, Q P } [ ] C6 = { { P, Q, Q }, { P, Q, P } } [ ] C7 = { } [del x 2] Επομένως η εξαγωγή συμπεράσματος είναι έγκυρη. 4
Άσκηση (συνέχεια) β) Μορφολογική παραγωγή (1) Υποπαραγωγή (1.1) P Q (Υπόθεση Υποπαραγωγής) (1.2) Υποπαραγωγή (1.2.1) Q (Υπόθεση Υποπαραγωγής) (1.2.2) Υποπαραγωγή (1.2.2.1) P (Υπόθεση Υποπαραγωγής) (1.2.2.2) P Q (Από (1.1) και επανάληψη) (1.2.2.3) Q (Από (1.2.2.2) και απαλοιφή ) (1.2.2.4) Q (Από (1.2.1) και επανάληψη) (1.2.3) P (Από (1.2.2) και εισαγωγή ) (1.3) ( Q P) (Από (1.2.2) και εισαγωγή ) (2) Υποπαραγωγή (2.1) ( Q P) (Υπόθεση Υποπαραγωγής) (2.2) Υποπαραγωγή (2.2.1) P (Υπόθεση Υποπαραγωγής) (2.2.2) Υποπαραγωγή (2.2.2.1) Q (Υπόθεση Υποπαραγωγής) (2.2.2.2) Q P (Από (2.1) και επανάληψη) (2.2.2.3) P (Από (2.2.2.2) και απαλοιφή ) (2.2.2.4) P (Από (2.2.1) και επανάληψη) (2.2.3) Q (Από (2.2.2) και εισαγωγή ) (2.3) (P Q) (Από (2.2) και εισαγωγή ) (3) (P Q) ( Q P) (Από (1),(2) και εισαγωγή ) 5
Άσκηση Εξετάστε αν η ακόλουθη εξαγωγή συμπεράσματος είναι έγκυρη χρησιμοποιώντας τη μέθοδο κατασκευής μοντέλων: { R ( P S) Q, P R, P Q} / Q (R S) Ελέγχουμε την ικανοποιησιμότητα του συνόλου S= {R ( P S) Q, P R, P Q, (Q (R S))} C0 = { R ( P S) Q, P R, P Q, (Q (R S))} C1 = { R ( P S) Q, P R, P Q, Q, (R S) } [ ] C2 = { R ( P S) Q, P R, P Q, Q, R, S } [ ] C3 = { R ( P S) Q, P R, P Q, Q, R, S} [ ] C4 = {{R ( P S) Q, P R, P, Q, R, S}, {R ( P S) Q, P R, Q, Q, R, S}} [ ] C5 = { R ( P S) Q, P R, P, Q, R, S} [del] C6 = {{ R ( P S) Q, P, P, Q, R, S}, { R ( P S) Q, R, P, Q, R, S } } [ ] C7 = { R ( P S) Q, R, P, Q, R, S } [del] C8 = {{ (R ( P S)), R, P, Q, R, S }, {Q, R, P, Q, R, S }} [ ] C9 = { (R ( P S)), R, P, Q, R, S } [del] C10 = { R, ( P S)), R, P, Q, R, S } [ ] C10 = {} [del] Το τελικό σύνολο είναι κενό που σημαίνει ότι δεν υπάρχει μοντέλο για το S, γεγονός που το καθιστά μη-ικανοποιήσιμο. Επομένως η εξαγωγή συμπεράσματος είναι έγκυρη. 6
Άσκηση Αποδείξτε με τη μέθοδο μορφολογικής παραγωγής ότι P Q, P R, Q R / R Λύση Επειδή δεν έχουμε κάποιο συνδετικό στο δεύτερο μέρος δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε κανόνες εισαγωγής για να «κατασκευάσουμε» το συμπέρασμα. Α τρόπος: με απαλοιφή διάζευξης 7
Άσκηση (συνέχεια) Β τρόπος: Η ιδέα βασίζεται στην χρήση της άρνησης Ξεκινάμε με το R και καταλήγουμε στην άρνησή του, δηλαδή R άρα R Θα χρειαστούμε εμφωλευμένες υποπαραγωγές 8
Απόδειξη παραγωγής χωρίς υποθέσεις (θεώρημα) Αποδείξτε την ταυτολογία P P Άσκηση Ξεκινάμε κατευθείαν μια υποπαραγωγή χωρίς υποθέσεις Εισαγωγή άρνησης 9
Άσκηση 10
Επαναληπτική άσκηση 1. Εξετάστε αν οι ακόλουθες εξαγωγές συμπερασμάτων είναι έγκυρες: (α) { P (Q R), S R } / (P S) Q (β) { P Q, R S, P R } / S Q Λύση: Με πίνακα αλήθειας Η εξαγωγή συμπεράσματος είναι έγκυρη όταν οι υποθέσεις είναι αληθείς και το συμπέρασμα είναι αληθές. 11
Επαναληπτική άσκηση 2. Δείξτε ότι οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναμες με χρήση των γνωστών ισοδυναμιών του Προτασιακού Λογισμού και χωρίς τη χρήση πινάκων αλήθειας: (P Q) ( P Q) και P Q Λύση: (P Q) ( P Q) ( P Q ) ( P Q) ( P Q ) ( P Q) P Q (P Q) (Q P) ( P Q ) ( Q P) ( P Q ) ( P Q ) Άρα ισοδύναμες 12
Επανάληψη Βασικές ισοδυναμίες του ΠΛ για προτάσεις που χρησιμοποιούν τα συνδετικά και : ( χρήσιμα για αποδείξεις ισοδυναμίας ) 14
Επανάληψη Κανονικές Μορφές οποιαδήποτε πρόταση χρησιμοποιεί μόνο και, είναι ισοδύναμη με μια σύζευξη διαζεύξεων και μια διάζευξη συζεύξεων συζευκτική κανονική μορφή (CNF) διαζευκτική κανονική μορφή (DNF) Μια πρόταση είναι σε DNF: είναι διάζευξη από ελάχιστους όρους (γράμμα, άρνηση γράμματος ή σύζευξη) κανένας από τους οποίους δεν απορροφά κανέναν άλλο. Μια πρόταση είναι σε CNF: είναι σύζευξη από μέγιστους όρους (γράμμα, άρνηση γράμματος ή διάζευξη) κανένας από τους οποίους δεν απορροφά κανένα άλλο. Ένας ελάχιστος (μέγιστος) όρος M 1 απορροφά έναν άλλο ελάχιστο (μέγιστο) όρο M 2, αν κάθε γράμμα του M 1 είναι επίσης στο M 2. 15
Μετατροπή Προτάσεων του Π.Λ. σε DNF Επανάληψη (δ) Χρησιμοποιούμε την επιμεριστικότητα της σύζευξης πάνω στη διάζευξη. Διαγράφουμε τις πλεονάζουσες παρενθέσεις. (ε) Αφαιρούμε διπλά γράμματα από μέγιστους όρους, διπλούς μέγιστους όρους, αντικαθιστούμε ταυτολογίες με το T και εφαρμόζουμε απορρόφηση και συνένωση όπου είναι δυνατό 16