ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ κύριο ΦΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗ ΜΑΝΩΛΗ κυρία ΦΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗ ΑΓΓΕΛΙΚΗ του ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ www.orion.du.gr ΘΕΜΑ Α Α. Απόδειξη από τη σελ. 94 του σχολικού βιβλίου A. Ορισµός από τη σελ. 88 του σχολικού βιβλίου Α3. Ορισµός από τη σελ. 59 του σχολικού βιβλίου Α4. α Λ β Σ γ Λ δ Σ ε Σ ΘΕΜΑ B B. 4 4 4 ( 4)( 4) 4( )( ) 4 4 + 6 4 4 4 + 4 3 4 4 Σελίδα από 9
άρα ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του είναι κύκλος µε κέντρο O,, ακτίνα ρ και εξίσωση + y 4. 4 4 B. α) α τρόπος w 4 4 + 4 4 + + + w w w w w Im( w) i Im( w) w β τρόπος 4 w + + 4 + + 4 β) w + + + + + 4 Άρα w 4 Σελίδα από 9
B3. + + w 4 4 4 + + + + + ( AB) 4 ( AΓ) 3 i i + 4 5 ( BΓ) 3 i i i i + 5 Άρα ( ΑΓ) ( ΒΓ), οπότε ΑΒΓ ισοσκελές. ΘΕΜΑ Γ Γ. f συνεχής στο ως πηλίκο συνεχών και παρ/µη µε + + f ( ) + + + ( ) ( + ) ( ) ( + ) f και για θα είναι ( ) ( + ) > > f > f + + Σελίδα 3 από 9
και επειδή f συνεχής στο, θα είναι f γνησίως αύξουσα στο. lim f lim lim + + επειδή lim lim + +, άρα lim + και + + + + lim f ( ) lim lim lim + + + + D.L.H. + D.L.H. + f γνησίως αύξουσα και συνεχής στο πεδίο ορισµού της A, οπότε το σύνολο τιµών θα είναι f A lim f, lim f, +. + Γ. ( 3 ( )) ( 3 f + f ( + ) ) f 5 Επειδή f γνησίως αύξουσα στο θα είναι και, άρα 3 + 3 3 ( + ) ( + ) f 3 3 + 3 f A, +, οπότε υπάρχει τουλάχιστον ένα A, τέτοιο ώστε f( ) 3 και επειδή f, οπότε θα είναι µοναδικό. Άρα η εξίσωση έχει ακριβώς µία πραγµατική ρίζα. Γ3. α τρόπος Fu u Έστω f( tdt ) µε F ( u) f( u) F συνεχής στο [, 4 ] και παραγωγίσιµη στο (, 4 ), οπότε από Θ.Μ.Τ. υπάρχει Σελίδα 4 από 9
τουλάχιστον ένα ξ (, 4) τέτοιο ώστε F ( ξ) f ξ f ξ () () F F4 4 () () 4 4 f t dt f t dt f t dt+ f t dt f ξ 4 () f t dt () 4 f f t dt > 4 < ξ < 4 f ξ < f 4 < f 4 f t dt < f 4 4 Γ4. () () + () 4 f t dt lim g lim f t dt lim f t dt 4 f() t dt f() t dt F4 F lim lim D.L.H. F 4 4 F f ( 4) 4 f ( ) lim lim ( ) 4 4 lim( 4f ( 4) f ( ) ) lim 4 g ( ). ( 4) + ( ) + Άρα g συνεχής στο. Για > g( ) 4 Άρα g συνεχής στο [, + ). () f t dt F4 F συνεχής ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων. Για > g ( ) F4 F Σελίδα 5 από 9
( F( 4) F( ) ) F( 4) F( ) ( ) F 4 4 F F 4 F 4f 4 f F 4 F 4 f 4 + f 4 f f t dt 4 f 4 f + f 4 f t dt > επειδή f < 4 f < f 4 f 4 f > > > άρα f 4 f > 4 και f 4 f t dt > από το Γ3. Οπότε g ( ) > στο (, + ) και g συνεχής στο [, + ), άρα g γνησίως αύξουσα στο (, + ). ΘΕΜΑ. Εξ υποθέσεως ισχύει για κάθε : f( ) f( ) f( ) f( ) f f f + + f( ) f( ) f( ) f( ) Άρα θα ισχύει: f( ) f( ) + c για κάθε. Σελίδα 6 από 9
Για έχουµε: f( ) f( ) f( ) c c c Άρα f( ) f( ) f( ) f( ) f f( ) f( ) f( ) f( ) f( ) + + f( ) + () Θέτουµε f( ) M, Η Μ συνεχής στο ως πράξη συνεχών. M + > για κάθε Από (). Άρα M ( ) για κάθε και Μ συνεχής άρα M( ) για κάθε, οπότε η Μ διατηρεί σταθερό πρόσηµο στο. f( ) M > Άρα M( ) > για κάθε, οπότε από () f( ) M + + f( ) + + για κάθε. Θα δείξουµε ότι + + > για κάθε + + > + > () Αν > ισχύει η σχέση αφού + > > () + > + > > ισχύει Αν Σελίδα 7 από 9
Άρα για κάθε ισχύει + + >. Αφού ln " " f( ) f ln ln + + + + f ln + +,. α) f ( ) ( + ) + + + + + + + + + + + + + + + + + +, Σελίδα 8 από 9