Π Ρ Ο Ο Π Τ Ι Κ Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2015 ΘΕΜΑ Α. Α1. Απόδειξη σελίδα 194. Α2. Ορισμός σελίδα 188. Α3. Ορισμός σελίδα 259

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Π Ρ Ο Ο Π Τ Ι Κ Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2015 ΘΕΜΑ Α. Α1. Απόδειξη σελίδα 194. Α2. Ορισμός σελίδα 188. Α3. Ορισμός σελίδα 259"

Σιμωνίδης Βούλγαρης
6 χρόνια πριν
Προβολές:

ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5 Α. Απόδειξη σελίδα 94 Α. Ορισμός σελίδα 88 Α. Ορισμός σελίδα 59 Α4. α) Λ, β) Σ, γ) Λ, δ) Σ, ε) Σ ΘΕΜΑ Β Β. z yi, yir z 4 z ( 4) yi 4 ( ) yi ( 4) 4( y ) 4 y.

1 ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5 Α. Απόδειξη σελίδα 94 Α. Ορισμός σελίδα 88 Α. Ορισμός σελίδα 59 Α4. α) Λ, β) Σ, γ) Λ, δ) Σ, ε) Σ ΘΕΜΑ Β Β. z yi, yir z 4 z ( 4) yi 4 ( ) yi ( 4) 4( y ) 4 y... y4 Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος C, κέντρου Ο(, ) και ακτίνας ρ =. Β. α) 4 z zz 4 z z 4 4 w z 4 4 z z z z z Β. β) z z w. Τότε: z z z w άρα w IR. z z z w z z z z (4 4) 4 Επειδή ο w πραγματικός τότε w 4 4 w 4

2 Β. z z w 4 4 z z z z () z z z z Άρα οι εικόνες των μιγαδικών z, z είναι συμμετρικές ως προς την αρχή των αξόνων άρα είναι αντιδιαμετρικά σημεία του κύκλου C. Επιπλέον: z z z iz z i 5 z z z iz z i 5 Άρα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με κορυφή το Γ και βάση την ΑΒ. ΘΕΜΑ Γ Γ. Η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο IR ως πηλίκο των παραγωγίσιμων συναρτήσεων,( ) (εκθετική και πολυωνυμική αντίστοιχα) με ( ) '() αφού:,( ),( ). ( ) Άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο IR. Τότε αφού IR (,) θα έχω: ()( IRlim(), lim())(,) όπου: lim() lim lim() lim lim() lim lim lim L' H L' H αφού μπορώ να εφαρμόσω L Hospital λόγω παραγωγίσιμων συναρτήσεων. Γ. (( ))(( ))()( ) 5 : ( ) ()() Το ()(,) IR άρα η () έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο IR και αφού η είναι γνησίως αύξουσα θα είναι και μοναδική. Γ. Έστω h()() t dt συνεχής και παραγωγίσιμη στο (,) αφού η συνεχής στο IR a με h '()(). Από Θ.Μ.Τ. στο διάστημα [, 4] έχω ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (, 4) τέτοια ώστε:

3 4 h(4)() h ()() t dt a h '()() 4 Γ4. a t dt Εξετάζουμε την συνέχεια της συνάρτησης g στο. Είναι : 4 () t dt lim() g lim lim 4(4) () 4() () () g L' H ή άρα g συνεχής στο και επειδή είναι και συνεχής, για κάθε, ως πηλίκων συνεχών, θα είναι συνεχής στο,. Επίσης η g παραγωγίσιμη στο (,) ως γινόμενο παραγωγίσιμων συναρτήσεων με: a a g '()()() 4(4) t dt ()() t dt 4(4) () t dt Όμως: () t dt (4)()(4) t dt () 4(4) ()(4) 4(4) () t dt g '()(4)() '()(4)() g Επιπλέον 4()(4)(4)() και > άρα g '() άρα η g γνησίως αύξουσα στο [,) ΘΕΜΑ Δ Δ., ()()()()()() '() '() '() '() ' ()() Οι συνεχείς στο IR ως διαφορά σύνθεσης συνεχών συναρτήσεων η πρώτη και πολυωνυμική η δεύτερη άρα από το Πόρισμα σταθερής έχω: ()() () c Για = στην () έχω c = άρα ()() Τότε: Η (). ()() () () () ()()()()() ()() συνεχής στο IR και δεν μηδενίζεται σε αυτό αφού σταθερό πρόσημο άρα: άρα διατηρεί

4 () ή για κάθε IR () () ή για κάθε IR () () () Για = στην () έχω = - άτοπο άρα. Όμως άρα () () ln, IR Δ. α) Η παραγωγίσιμη στο IR με '()... Η συνεχής και παραγωγίσιμη στο IR ως πηλίκο σταθερής και άρρητης, που είναι συνεχείς και παραγωγίσιμες συναρτήσεις με ''() () ''() () ''() (). ''()... (). Τότε: Άρα για (,] η κυρτή για [,) η κοίλη και σημείο καμπής το Ο(, ). Δ. β) () =, () =. Τότε, η εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της C στο (, ) θα είναι: y () '()( ) y. Επειδή το ζητούμενο εμβαδόν θα είναι από = μέχρι και = έχω πως στο διάστημα αυτό η είναι κοίλη άρα η εφαπτομένη με εξαίρεση το σημείο επαφής βρίσκεται πάνω από την C άρα (). τότε το ζητούμενο εμβαδόν είναι: ()(())(ln( )) d ln( ) d d d ()'ln( ) d ln( ) d ln ln.. Δ. Για '() ()()() () t dt H παραγωγίσιμη ως σύνθεση των παραγωγίσιμων συναρτήσεων (εκθετική)

5 () t dt και της () t dt αφού η συνεχής. Άρα η παραγωγίσιμη. Η ln () ln(()) παραγωγίσιμη ως σύνθεση των παραγωγίσιμων συναρτήσεων ln (λογαριθμική) και της. Ερχόμαστε στο όριο: () t dt () t dt lim ln(()) lim ln(()) o o όπου: () t dt ()() t dt t dt lim lim() lim lim() L' H lim ln(()) lim ln(()) '() lim lim lim ()() '() L' H Δ4. όπου: L' H lim lim () '() Θεωρώ συνάρτηση ()( ) ()( ) 8t () dt t dt Η () t Η () συνεχής ως σύνθεση των συνεχών, t άρα η. () t dt παραγωγίσιμη. t συνεχής ως σύνθεση των συνεχών t, άρα η () t dt παραγωγίσιμη. Άρα οι (), t 8dt () t dt παραγωγίσιμες άρα η Κ παραγωγίσιμη άρα και συνεχής στο [, ] ως άθροισμα γινομένων παραγωγίσιμων άρα και συνεχών συναρτήσεων. Επιπλέον έχω:. K() 8 (),() t dt () K t dt Από το Δ. β) έχω: ()(). Η συνάρτηση ()() είναι συνεχής και όχι παντού μηδέν στο [, ] τότε: () t t dt ()() t dt t dt t dt 8 () t dt () 8t dt 8 () () t dt K Από το Δ. β) έχω: ()(). Η συνάρτηση ()() είναι συνεχής και όχι παντού μηδέν στο [, ] τότε:

6 () t t dt ()() t dt t dt t dt () t dt () t dt () () t dt K Άρα ()() K K και τότε από Θεώρημα Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα (,) τέτοιο ώστε K() ( ) ()( ) 8 t() dt t dt () 8t () dt t dt () άρα το ρίζα της (). Επιμέλεια Ντολματζή Γεωργία Ανδρονικίδης Ιωάννης Πλιάτσιος Τριαντάφυλλος

Σχετικά έγγραφα

Πανελλαδικές εξετάσεις 2015

Πανελλαδικές εξετάσεις 2015 Πανελλαδικές εξετάσεις 5 Ενδεικτικές απαντήσεις στο μάθημα «MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ» Θέμα Α Α Απόδειξη βιβλίο σχολείου σελ(94) Α Ορισμός βιβλίο σχολείου σελ(88) Α Ορισμός βιβλίο