Λύσεις των θεμάτων στα Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2015

Transcript

1 Λύσεις των θεμάτων στα Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 5 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΚΑΙ ΕΠΑ.Λ. ΟΜΑΔΑ Β ) ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ, 5 ΜΑIOY ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 94 του σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, ορισμός στη σελίδα 88 του σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, ορισμός στη σελίδα 59 του σχολικού βιβλίου. Α4. α. Λάθος. β. Σωστό. γ. Λάθος. δ. Σωστό. ε. Σωστό. ΘΕΜΑ Β Β. Έχουμε διαδοχικά: Β. α. Αφού οι μιγαδικοί, ικανοποιούν το ερώτημα Β θα είναι: Έχουμε διαδοχικά: w 4 4 w Μαθηματικός Περιηγητής

2 Λύσεις των θεμάτων στα Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 5 Άρα w w και επομένως ο w είναι πραγματικός αριθμός. β. Έχουμε διαδοχικά: w Επομένως: w 44 w 4 Β. Για τη σχέση των, έχουμε: w 4 4 Για το τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε: i i i 5 i i i 5 Επομένως το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές, αφού (ΑΓ)=(ΒΓ). ΘΕΜΑ Γ Γ. Η συνάρτηση, f ( ), f είναι παραγωγίσιμη στο με Είναι f ( ),,, και επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο, και στο, δηλαδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο. Τ σύνολο τιμών της συνάρτησης f είναι lim f, lim f αφού η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο. Έχουμε: lim f lim lim f lim lim lim Άρα το σύνολο τιμών της συνάρτησης f είναι το διάστημα,. Μαθηματικός Περιηγητής

3 Λύσεις των θεμάτων στα Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 5 Γ. Επειδή η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο στο θα έχουμε διαδοχικά: f f f 5 f ( ) Όμως,, δηλαδή ο αριθμός ανήκει στο σύνολο τιμών της συνάρτησης f και επομένως, σύμφωνα με το Θ.Ε.Τ. υπάρχει ένα τουλάχιστον : f ( ). Το αυτό είναι μοναδικό αφού η συνάρτηση f είναι είναι «-» (ως γνησίως αύξουσα στο ). Γ. Θεωρούμε τη συνάρτηση H ( u) u f ( t), u, 4 διαφορικού λογισμού. Η H ( u ) είναι συνεχής στο συνεχής στο ). Η H ( u ) είναι παραγωγίσιμη στο και εφαρμοζουμε το Θ.Μ.Τ του, 4, (ως παραγωγίσιμη στο, αφού η f είναι,4 με H ( u) f ( u), u, 4 Επομένως υπάρχει ένα τουλάχιστον, 4 τέτοιο, ώστε: 4 4 H (4 ) H( ) H f f f f ( t) f ( t) f ( t) f ( t) 4 4 f ( t) Ακόμα έχουμε H ( ) f ( ), και άρα η συνάρτηση H ( u) f ( u) είναι γνησίως αύξουσα στο, άρα είναι γνησίως αύξουσα και στο διάστημα,4. Τώρα έχουμε διαδοχικά για κάθε : H ( ) H ( ) H (4 ) f ( ) f (4 ) f (4 ) 4 f ( t) f ( t) f ( t) f 4 Γ4. Η συνάρτηση g είναι συνεχής για (ως γινόμενο και σύνθεση συνεχών συναρτήσεων). Αρκεί να αποδείξουμε ότι είναι συνεχής και στο. Έχουμε: αφού ( f () ). 4 f ( t) 4 f (4 ) f ( ) lim g( ) lim lim 4 f () f () f () g() Για κάθε η g είναι παραγωγίσιμη με Μαθηματικός Περιηγητής

4 Λύσεις των θεμάτων στα Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης g ( ) f ( t) f ( t) f ( t) 4 f (4 ) f ( ) f ( t) 4 f (4 ) f ( ) f 4 4 f (4 ) f ( ) f (4 ) f ( ) f (4 ) f ( ), Όμως για κάθε είναι 4 και αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο θα είναι: 4 f (4 ) f ( ) f (4 ) f ( ) Επομένως g ( ), για κάθε και άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα,. ΘΕΜΑ Δ Δ. Έχουμε διαδοχικά: Άρα f f f f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) f ( ) c, όπου c μία σταθερά. Είναι c c και άρα: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) () f ( ) Θέτοντας ( ), έχουμε ότι η ( ) για κάθε, γιατί αν υπήρχε ένα f ( ) τουλάχιστον με ( ) ( ά ). Επομένως η συνάρτηση ( ) διατηρεί σταθερό πρόσημο και επειδή ( ),. f ( ) Άρα η σχέση () γίνεται. Τώρα έχουμε διαδοχικά: () () f θα έχουμε f ( ) f ( ) f ( ) ln, Δ. α) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο με συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο με : f ( ),.Ακόμα η Έχουμε: f ( ) Μαθηματικός Περιηγητής 4

5 Λύσεις των θεμάτων στα Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 5 Επομένως: f ( ) f ( ) f ( ) Η συνάρτηση f στέφει τα κοίλα κάτω στο διάστημα [, ) Η συνάρτηση f στέφει τα κοίλα άνω στο διάστημα (,] Η συνάρτηση f έχει σημείο καμπής το A, f (), δηλαδή το, A. β) Το ζητούμενο εμβαδόν είναι E f ( ) d (Ι). Θα διερευνήσουμε το πρόσημο της f ( ),,. Η εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο A (,) είναι: y f () f ()( ) y και επειδή η f στέφει τα κοίλα κάτω στο,, είναι f ( ),, ή f ( ),, και άρα η σχεση (Ι) δίνει: θα ( ) ( ) ln ln ln d E f d f d d d ln d ln d ln ln ln. Μαθηματικός Περιηγητής 5

6 Λύσεις των θεμάτων στα Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 5 Δ. Έχουμε: f ( t) f ( t ) A lim ln f ( ) lim ln f ( ) ( II) f ( t) f ( t ) f ( ) lim lim f ln f ( ) B lim ln f ( ) lim ln f ( ) lim li ln f ( ) m f ( ) f ( ) f ( ) lim lim lim lim ( III ) f ( ) f ( ) f ( ) lim lim lim lim f ( ) f ( ) B lim lim f ( ) A Χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι το f ( t ) είναι συνεχής συνάρτηση, αφού και η f, άρα και η f, είναι συνεχείς συναρτήσεις (Όταν χρειάστηκε παραπάνω χρησιμοποιήσαμε τον κανόνα του D Hospital όπου είχαμε απροσδιοριστία και ). Δ4. Θεωρούμε τη συνάρτηση: K( ) f ( t) 8 f ( t),, Και εφαρμόζουμε το θεώρημα του Bolano στο διάστημα,. Έχουμε: Η συνάρτηση K( ) είναι συνεχής στο διάστημα, (ως γινόμενο, σύνθεση και άθροισμα συνεχών συναρτήσεων). K() 8 f ( t) K() f ( t ) Μαθηματικός Περιηγητής 6

7 Λύσεις των θεμάτων στα Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 5 Επειδή: Ακόμα: f ( ),, f ( t) t, t, θα είναι διαδοχικά: f ( t) t f ( t) t f ( t) t f ( t) t f ( t) t t 8 f ( t) f ( t) f ( t) 8 K () (Η συνάρτηση (η συνάρτηση f ( t ) t είναι συνεχής και δεν είναι παντού μηδέν στο, ) f t t f t t t ( ) ( ),, t f ( t ) t f ( t ) t f ( t ) f ( t ) f ( t ) K() f ( t ) t είναι συνεχής και δεν είναι παντού μηδέν στο, ) Άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον,, ώστε: f t f t ( ) ( ) 8 ( ) f ( t ) 8 f ( t) Δηλαδή η δοθείσα εξίσωση έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα,. Επιμέλεια λύσεων: Καραγιάννης Β. Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 7