Β 1 α τρόπος Έστω z=x+yi. Τότε για την δοσμένη σχέση έχουμε:

Transcript

1 Θέμα Α Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 94 Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 88 Α 3. Σχολικό βιβλίο σελίδα 59 Α 4. Λ, Σ,Λ,Σ,Σ Θέμα Β Πανελλαδικές Εξετάσεις Μαθηματικά Κατεύθυνσης 5 Μαΐου 5 Β α τρόπος Έστω z=+yi. Τότε για την δοσμένη σχέση έχουμε: z 4 z ( 4) y ( ) y ( 4) y 4 ( ) y y 4 άρα οι εικόνες των z ανήκουν στον κύκλο κέντρου (, ) και ακτίνας ρ=. β τρόπος Από την δοσμένη σχέση έχομε: z 4 z z 4 z 4 4 z z zz 4z 4z 6 4zz 4z 4z 4 3zz z άρα οι εικόνες των z ανήκουν στον κύκλο κέντρου (, ) και ακτίνας ρ=. B α) Ισχύει: z 4 =4 z z 4 z για κάθε z του παραπάνω z ερωτήματος. 4 4 z z z z z z Άρα: w z 4 4 z z z z z w z z. z z Ισχύει: w w w w Im(w)i Im(w) w R Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα

2 β) Από τριγωνική ανισότητα έχουμε: z z z z z z z z z z z z w 4 Άρα w 4-4 w 4 (wr). z z z z Β 3 w=-4 =-4 z z z z z z zz z z zz (z z ) z z =. Άρα οι εικόνες τους είναι συμμετρικές ως προς την αρχή των αξόνων. Έχουμε: z z 3 = z iz = z -i = 5 και ισχύει: z =-z άρα z z 3 = -z iz = z --i = 5. Τελικά z z 3 = z z 3 ΑΓ=ΒΓ άρα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. Θέμα Γ Γ Η συνάρτηση f( ) έχει πεδίο ορισμού όλο το D f= R και είναι συνεχής ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων. Επίσης είναι παραγωγίσιμη με ( ) ( ) f '() με το = να ισχύει μόνο για =. ( ) ( ) Επειδή η f είναι και συνεχής στο, προκύπτει ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. Συνεπώς το σύνολο τιμών της είναι f ( D ) ( lim f ( ), lim f ( )) (, ) διότι: lim lim lim lim lim DLH DLH. f Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα

3 Γ Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα άρα είναι και -. Η εξίσωση γίνεται : f f ( ( )) f () ( ) f ( ). Όμως 3 f( Df ) (, ), άρα υπάρχει Df οποίο είναι και μοναδικό αφού η f είναι -. τέτοιο ώστε 3 f( ), το Γ f ( t) f ( t) f ( t) f (4 ) f ( t) f ( t) f (4 ) f (4 ) Θεωρώ την συνάρτηση G() f (u) du,. Επειδή η f είναι συνεχής στο R η G ( ) θα είναι παραγωγίσιμη και G'( ) f (), G''( ) f '( ) με το = να ισχύει μόνο για =. Οπότε η G'( ) είναι γνησίως αύξουσα και G ( ) γνησίως αύξουσα. u Για κάθε > η G(u) f (t), συνεχής στο [, 4] και παραγωγίσιμη στο (, 4). Άρα σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. υπάρχει ένα τουλάχιστον (, 4 ) τέτοιο ώστε : 4 G(4 ) G( ) f ( t) f ( t) G '( ). 4 Όμως 4. G'. ύ f ( t) f ( t) 4 G '( ) G '(4 ) f (4 ) Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 3

4 Γ 4 Για κάθε > g ( ) 4 f ( t) f ( t) θα είναι παραγωγίσιμη ως πηλίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων μιας και ο αριθμητής είναι διαφορά παραγωγίσιμων συναρτήσεων αφού η f είναι συνεχής στο. 4 4 [4 (4 ) ( )] ( ) 4 (4 ) ( ) ( ) '( ) f f f t f f f t g ( f (4 ) f( )) f(4 ) f ( t) Για > f 4 διότι: 4 f ( ) f (4 ) f ( ) f (4 ) ( f (4 ) f()) () Από το Γ.3 f ( t ) f (4 ) f (4 ) f ( t ) () Προσθέτοντας κατά μέλη τις (),() προκύπτει ότι : 4 ( f (4 ) f()) f(4) f ( t ) άρα g'( ) για κάθε >. Όμως 4 άρα η f () t 4 f (4 ) f ( ) lim g( ) lim lim f () g(). DLH g είναι συνεχής στο οπότε είναι γνησίως αύξουσα στο [, ) Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 4

5 Θέμα Δ f ()[ f() + f() ] =, f() = Δ. Από την δοσμένη σχέση έχουμε: f ( ) f ( ) f '( ) f '( ) f f f ( ) f ( ) '( ) '( ) f ( ) f ( ) ' ' Αφού οι παραπάνω συναρτήσεις είναι συνεχείς από το πόρισμα των συνεπειών του ΘΜΤ θα έχουμε ότι υπάρχει ένα πραγματικός αριθμός c τέτοιος ώστε: f ( ) f ( ) c () Για = έχουμε: c =. Οπότε η () γίνεται: f ( ) f ( ) f ( ) ( ) f f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Όμως + f, οπότε και () ( ) f ( ) Έστω g() = f(). H g είναι συνεχής στο R και διαφορετική από το, όποτε θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο πεδίο ορισμού της. Παρατηρούμε ότι: g() = >. Άρα η g() θα είναι θετική για κάθε R Οπότε η σχέση () γίνεται: f ( ) f ( ), ά R Οπότε f ( ) ln Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 5

6 Δ. (α) Η συνάρτηση f( ) έχει πεδίο ορισμού όλο το D f = R και είναι συνεχής ως πηλίκο σύνθεση συνεχών συναρτήσεων. Επίσης είναι παραγωγίσιμη με f '( ), με δεύτερη παράγωγο f ''( ). 3 + f + f H f είναι κυρτή στο (, ] και κοίλη στο [,+ ). Η f είναι παραγωγίσιμη στο, όποτε παρουσιάζει σημείο καμπής στο Μ(,f()) Μ(,). (β) Το ζητούμενο εμβαδόν δίνεται από την σχέση: E f ( ) d Η εφαπτομένη της C f στο σημείο Μ(,) είναι η ε: y =. Οπότε αφού η f είναι κοίλη στο (,+ ) έπεται ότι f(), με την ισότητα να ισχύει μόνο για =. Άρα προκύπτει ότι f(). E f ( ) d f ( ) d f ( ) d ln d ln d ln ln Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 6

7 Δ 3. H f() > σε μια περιοχή κοντά στο + διότι f() = και f γνησίως αύξουσα, όποτε και f () t. Οπότε το δοσμένο όριο γίνεται: () f t f () t lim ln f ( ) lim ln f( ) Η f() είναι συνεχής, όποτε η συνάρτηση ολοκλήρωμα f () t f () t είναι πραγωγίσιμη. Οπότε η συνάρτηση είναι πραγωγίσιμη ως σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων. Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη ως σύνθεση ln f( ) παραγωγίσιμων συναρτήσεων. Οπότε ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος D.L.H. άρα το όριο γίνεται: ( ) f t f ( t) 3 f ( ) f ( )ln f ( ) lim lim f '( ) f '( ) f( ) ln f( ) f () t f () t f ( ) ( )ln ( ) ( ) lim f f f lim lim f ( )ln f ( ) Αφού: lim f '( ) f '( ) f () t f () f '( ) f '( ) ή y f ( ) ln y y lim ln lim lim lim y y lim f ( )ln f ( ) y y y y y y y Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 7

8 Δ 4. 3 ( ) 83 ( ) f t f t 3 f ( t ) 3 83 f ( t) 3 Έστω h( ) 3 f ( t ) f ( t) H h είναι συνεχής στο [,3] () 83 ( ) h f t h(3) 3 f ( t ) Στο ερώτημα Δβ αποδείξαμε ότι f(), οπότε έχουμε: 3 f ( ) f ( ) f ( ) d d f ( ) d 3 f ( ) d f ( ) f ( ) f ( ) d d f ( ) d 3 f ( ) d 3 άρα h() h(3) <. Οπότε από το θεώρημα Bolzno υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ε(,3) τέτοιο ώστε h(ξ) = 3 f ( t ) f ( t) 3 ( ) 83 ( ) f t f t 3 Τις απαντήσεις επιμελήθηκαν οι καθηγητές: Γασπαράτος Ανδρέας Ίμπος Χρήστος Λυζάρδου Κατερίνα Νταντίνος Γιώργος Παπαθανασίου Νίκος Σιταρίδης Σπύρος Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 8

9 Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 9