Ολοκληρώματα Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Ολοκληρώματα τεχνικές 08 ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kglkos.gr / / 0 9 εκδόσεις Καλό πήξιμο
Τα πάντα για τα Ολοκληρώματα Ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων f( ) g ( ) Αν ο βαθμός του αριθμητή είναι μεγαλύτερος ή ίσος με το βαθμό του παρονομαστή τότε κάνε διαίρεση και το μεγαλύτερο μέρος των ασκήσεων πέφτει στην επόμενη κατηγορία Αν ο βαθμός του αριθμητή είναι μικρότερος από παρονομαστή τότε εξετάζω αν λύνεται με τεχνική του θέτω αλλιώς κάνω την τεχνική Α,Β αναλύοντας τον παρονομαστή όσο περισσότερο μπορούμε δημιουργώντας όρους της μορφής : A A B A B G A B...... rctn c rctn c g g...
Θυμίζω Ημίτονο : sin Συνημίτονο : cos Εφαπτομένη : tn Συνεφαπτομένη : cot Τέμνουσα : sec cos Συντέμνουσα : csc sin sine cosine tngent contgent Secnt consecnt sin ' cos cos ' sin t cos cot ' csc sin n ' sec sec ' sec tn cs c ' csc cot sin cos tn rcsin rccos rctn sec tn c cs c cot c rcsin c rcsin c rccos c rctn c rc cot c rcsec c rc csc c
Υπερβολικές συναρτήσεις e sinh e cosh e tnh e e coth e e e e e e e sec h e e csc h e e sinh ' cosh cosh sinh c cosh ' sinh tnh ' sech rcsin h ln rccos h ln rctn h ln coth ' csc sh rc cot h ln sech ' sec h tn rcsec h ln 0 csch ' cs ch cot rc csc h ln 0 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις cos cos sin cos sin sin cos cos sin sin cos tn tn tn sin sin 4sin cos 4cos cos cos cos sin cos sin tn tn tn f θέτω t t tn t rctn t, dt,sin,cos t t t sin,cos
O : O : θέτω t n Περίεργες ρητές μορφές O : Αν Δ>0:τεχνική Α,Β, αν Δ=0 τότε g 4 O, αν Δ<0 τότε rctn c d O : προσπάθησε να κατασκευάσεις στον αριθμητή την παράγωγο του παρονομαστή, g σπάσε το κλάσμα και μετά θα χρειαστείς κάποια μορφή από O O 5 : n 6 : n O, O, O g χρησιμοποιώ τον τύπο : t n dt t t n t c d προσπάθησε να κατασκευάσεις στον αριθμητή την παράγωγο του g παρονομαστή, σπάσε το κλάσμα και μετά θα χρειαστείς μορφή από O 5 n n n dt θέτω sin Άρρητες συναρτήσεις w θέτω tn w θέτω sec w, θέτω... t c d EK,, θέτω... t c d c d 4
... 4. 5. 6. 7. 8. 9. 0.... 4. 5. 6. 7. 8. 4 8 5 6 69 6 65 4 ln 0 (διαίρεσε με 4 4 4 4 45 6 45 Ασκήσεις Υπολόγισε τα ολοκληρώματα 4 και θέσε) 5
9. 0.... 4. 5. 6. 7. 8. 9. 0.... 4. 5. 6. 0 4 4 68 6 4 4 5 45 5 7 4 6 7 6
7. 8. 9. 40. e 0 ln ln 4 e e 4. rcsin (με παραγοντική) 4. rctn (με παραγοντική) 4. ln 44. 45. 46. 47. 5 47 7 4 Καταχρηστικά ολοκληρώματα ου τύπου : f ( ) lim f ( ) c c f ( ) lim f ( ) c c f ( ) f ( ) f ( ) 48. Υπολόγισε τα ολοκληρώματα : dt, dt, sin tdt t t 0 Καταχρηστικά ολοκληρώματα ου τύπου : f ( ) lim f ( ) c c 7
f ( ) lim f ( ) c c 49. Υπολόγισε τα ολοκληρώματα : 50. Υπολόγισε τα ολοκληρώματα : 5. Υπολόγισε τα ολοκληρώματα : 5. Υπολόγισε τα ολοκληρώματα : dt, dt t t 0 0 / t dt, dt, dt 4 t t t t sint 0 0 0, kt, t dt e dt te dt k t 0 0 t t dt, dt, dt, dt t t log t t 0 t Ίχνος καμπύλης : ορίζουμε το σύνολο των σημείων όπου διέρχεται η καμπύλη, δηλαδή το σύνολο των σημείων R, : f ( t), g( t), t, 5. Να βρεις τα ίνχη των σχημάτων : f ( t) cos t, g( t) sin t,0 t 54. Ομοίως : f ( t) cos t, g( t) sin t,0 t 55. Ομοίως : f ( t) cos t, g( t) sin t,0 t 56. Ομοίως : f ( t) t cos t, g( t) t sin t,0 t 57. Ομοίως : f ( t) t, g( t) t, t 58. Ομοίως : f ( t) t, g( t) sin t,0 t 59. Ομοίως : f ( t) cos t, g( t) sin t,0 t Μήκος καμπύληςσε συνάρτηση f( ) ή με d σε σχέση με το : L d, f ( ) c, f ( ) d d c d : L ή αν το εκφράσω το χ Μήκος τόξου καμπύλης με παραμετρικές εξισώσεις : g( u), h( u), u u, u u υπολογίζεται με τύπο : '( ) '( ),, S g u h u du g u g u u τότε f ( ) log cos, 0, μπορώ να κάνω 6 παραμετροποίηση ως εξής : θεωρώ ( t) t, ( t) f ( t) και χρησιμοποιώ τον δεύτερο τύπο Προσοχή : αν ζητηθεί μήκος καμπύλης με 8
Μήκος τόξου καμπύλης με πολικές συντεταγμένες : f,, τότε υπολογίζεται με τύπο : ',, d S d f f d d 60. Υπολόγισε το μήκος του τόξου της 6. Υπολόγισε το μήκος της καμπύλης r cos u 6. Υπολόγισε το μήκος τόξου της καμπύλης 6. Υπολόγισε το μήκος τόξου της καμπύλης : 64. Υπολόγισε το μήκος του τόξου της σπείρας : μεταξύ των σημείων A(0,0), B (4,8) ln μεταξύ των σημείων με =,= 4 t t t t,, 0, 4 r e, 0, 65. Υπολόγισε το μήκος της καμπύλης : f ( t) cos t, g( t) sin t,0 t f ( t) t sin t, g( t) cos t,0 t 66. Ομοίως : 67. Ομοίως : f ( t) cos t, g( t) sin t,0 t 68. Να βρεις μήκος τόξου της 69. Ομοίως, 0, 4, 0, 5 4 70. Ομοίως, 0, 4 8 4 7. Ομοίως t cos t, sin t, t 0, t 7. Ομοίως,(0,0),(,6) 7. Ομοίως ln,, 74. Ομοίως t t e cos t, e sin t, t 0, t 4 Όγκος από περιστροφή συνάρτησης f ( ),, περιστροφή γίνει γύρω από τον : V f ( ) γύρω από : V f ( ) ενώ αν η Όγκος από περιστροφή δύο συναρτήσεων : ( ), ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) f g f g V f g 9
Εμβαδό από περιστροφή f ( ),, γύρω από τότε d E f ( ), ενώ d αν περιστραφεί γύρω από τότε E g( ) d d c όπου η f ( ) λύνεται ως προς χ g( ) και f ( ) c, f ( ) d 75. Να βρεις το εμβαδό της επιφάνειας που παράγεται από την περιστροφή του τόξου 8, 0, γύρω από τον 76. Ομοίως για την, 0, 77. Ομοίως για την ( t sin t), ( cos t), t 0, t 78. Ομοίως για την t t t t t,, 0, 79. Να βρεις τον όγκο του στερεού που παράγεται από την περιστροφή γύρω από τον άξονα του χωρίου που ορίζεται από 80. Ομοίως για την 8. Ομοίως για την 8. Ομοίως για 8. Ομοίως για 84. Ομοίως για 8, 4, 0, 6 t t t t,,0 sin, 0, 6, 4 4, 4 85. Να βρεις τον όγκο του στερεού που παράγεται από την περιστροφή γύρω από τον άξονα Ο της καμπύλης 86. Ομοίως για 8,,, 0 Κέντρο βάρους επίπεδη καμπύλης : M d d, M, d d Κέντρο βάρους επίπεδου χωρίου : M f ( ) ( ) f, M, f ( ) f ( ) 0
Επικαμπύλια ολοκληρώματα ου είδους: (, ) ( ), ( ) '( ) '( ) AB f ds f t t t t dt με παραμετρικές εξισώσεις ( t), ( t). AB η καμπύλη πάνω στην οποία κινούμαστε και α,β η αρχική και τελική χρονική στιγμή. Για παραμετρική παράσταση πάνω σε ευθύγραμμο τμήμα τότε θεωρώ τυχαίο σημείο Μ και χρησιμοποιώ σχέση AM t AB, οπότε δημιουργώ τις παραμετρικές εξισώσεις. Για παραμετρική παράσταση τόξου κύκλου με κέντρο Κ(α,β) και ακτίνα R τότε Rcos t, Rsin t. Για παραμετρική παράσταση τόξου έλλειψης με κέντρο το (0,0) και ημιάξονες α,β τότε cos t, sin t. Προσοχή το t εκφράζει τη γωνία όπου θα κινηθείς f (, ) g(, ) d f ( t), ( t) '( t) dt g ( t), ( t) g '( t) dt AB Μάζα :,, AB Κέντρο μάζας : M f z dl όπου η συνάρτηση εκφράζει την πυκνότητα C c, c, zc, c f,, zdl, c f,, zdl, zc zf,, zdl M AB M AB M AB Έργο δύναμης : W τύπος W L L Fdl f, g, h, d, dz K K L KL Fdl, όπου F...,...,..., dl, d, dz K = οπότε θα σου χρειαστεί ο f (, ) g(, ) h(, ) dz f ( t), ( t) '( t) dt g ( t), ( t) g '( t) dt KL 87. Να υπολογίσεις το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα της t, t, z t, t, t A B 88. Να υπολογίσεις το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα της ΑΒ με Α(,0,0) και Β(,,-) 89. Να υπολογίσεις το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα της, αρχή των αξόνων, ακτίνα που βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο 90. Να υπολογίσεις το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα της f,, z z πάνω στην καμπύλη ΑΒ με f,, z z z πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα f πάνω σε τεταρτοκύκλιο με κέντρο την f, πάνω στη τρίγωνο ΚΑΒΚ με κορυφές Κ(0,0), Α(6,) και Β(,5) (Υπόδειξη: κάνε τρία επικαμπύλια πάνω στις διαδρομές) 9. Δίνεται σύρμα (τόξο) ΑΒ με παραμετρική παράσταση t, t, z t t 0, t πυκνότητα f,, z και γραμμική z, να υπολογίσεις μάζα και κέντρο μάζας 4 9z 9. Να υπολογίσεις το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα της τμήμα ΑΒ, Α(,,) και Β(,,-) A f,, z z πάνω στο ευθύγραμμο 9. Να υπολογίσεις το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα της f, πάνω σε τεταρτοκύκλιο με ακτίνα B
B 94. Να υπολογίσεις ο επικαμπύλιο ολοκλήρωμα της στην καμπύλη t, t, z t, A0,0,0, B,4,4 πάνω I z d 7z dz A (Υπόδειξη : θα αντικαταστήσεις απλά τις μεταβλητές ως συνάρτηση του χρόνου και να μην ξεχάσεις : dt, d dt, dz tdt, η ρίζα '( t) '( t) δε θα σου χρειαστεί και έτσι υπολογίζεις απλά ολοκληρώματα) 95. Να υπολογίσεις το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα της f, πάνω σε τεταρτοκύκλιο με ακτίνα 96. Να υπολογίσεις ο επικαμπύλιο ολοκλήρωμα της z A B,,,,,, 4,8 (υπόδειξη : θέτω t ) 97. Να βρεις το έργο της δύναμης F,, z, z, 98. Λ(,,) 9 I 4 dl AB z πάνω στην καμπύλη για τη μετακίνηση από το σημείο Κ(0,0,0) στο Επικαμπύλια ολοκληρώματα ου είδους : κατά μήκος του τόξου F(, ) dr P(, ) Q(, ) d με διανυσματική συνάρτηση F γίνεται AB AB (, ) ( ) '( ) ( ( ), ( )) '( ) ( ( ), ( )) '( ) AB F dr F r t r t dt P t t t Q t t t dt AB συμβολίζεται : 99. Να βρεις το έργο της δύναμης F,, z, z, ευθύγραμμα στο σημείο Λ(,,) για την μετακίνηση από το σημείο Κ(0,0,0) B 00. Να υπολογίσεις το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα της καμπύλης t t z t A B,,, (0,0,0), (,4,4) I z d 7z dz A 0. Να υπολογίσεις το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα του τμήματος ΑΒ με Α(,),Β(0,) 0. Να υπολογίσεις το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα του 0. με παραμετρική παράσταση cos t, sin t, t 0, κατά μήκος F, i j κατά μήκος του ευθυγράμμου F, i j κατά μήκος του κυκλικού τόξου Αν f (, ) 0 τότε το διπλό ολοκλήρωμα Διπλά ολοκληρώματα : γράφημα της f (, ) και πάνω (μέσα) από το χωρίο (Τ) f (, ) d παριστάνει όγκο που βρίσκεται κάτω από το ( )
Αν f (, ) τότε το διπλό ολοκλήρωμα το χωρίο (Τ) f (, ) d παριστάνει εμβαδό που περικλείεται από ( ) Πρέπει να κάνεις ένα πολύ καλό σχήμα για να μπορέσεις να εκφράσεις το εμβαδό συναρτήσει των χ και και να δεις τον όγκο. Χρήση πολικών συντεταγμένων : πολλές φορές ένα διπλό ολοκλήρωμα υπολογίζεται ευκολότερα με αλλαγή συντεταγμένων από καρτεσιανές σε πολικές : r cos, r sin οπότε f (, ) d f ( r cos, r sin ) rdrd ( ) ( ) ( ) g u v J u v dudv όπου f, g u, v ( D) Αλλαγή μεταβλητών : f (, ) d (, ), J u, v u u v v 04. Να υπολογίσεις το διπλό ολοκλήρωμα από τις ευθείες χ=-,χ=,=,=4 05. Να υπολογίσεις το =,=,=,=4 d ( ) e d ( ) 06. Να σχεδιασθεί ο τόπος ολοκλήρωσης και να υπολογισθεί : 07. Να υπολογίσεις το ολοκλήρωμα : 08. Να υπολογίσεις το ολοκλήρωμα : 09. Να υπολογίσεις το ολοκλήρωμα : 0. Να υπολογίσεις το ολοκλήρωμα :. Να υπολογίσεις το ολοκλήρωμα :. Να υπολογίσεις το ολοκλήρωμα :. Να υπολογίσεις το ολοκλήρωμα : 4. Να υπολογίσεις το ολοκλήρωμα : 5. Να υπολογίσεις το ολοκλήρωμα : :, 4, 0, 0 6. Να υπολογίσεις το ολοκλήρωμα : και όπου (Τ) ο τόπος του επιπέδου που περικλείεται όπου (Τ) ο τόπος που περικλείεται από τις γραμμές I d 0 e d για :, 4, ' e d για :,, ' e d για :,,, 5 e d για :,,, ' e d για :,, ' e d για :, 6, ' e d για :, 4, ' e d για :, 4 e d για e d για
: 4, 0, 0 7. Να γράψεις τα όρια ολοκλήρωσης με τρόπους f (, ) d για :,,, 0, 8. Να υπολογιστεί ο όγκος του πρίσματος που έχει ως βάση το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο που καθορίζεται στο -επίπεδο από τις σχέσεις 0 < <, 0 < < και προς τα άνω φράσσεται από το επίπεδο z=4--. 4 d 4 d... 5 0 0 0 0 9. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα f (, ) da, f, 6, R 0, 6 d... 4 0 R 0. Να υπολογιστεί ο όγκος του πρίσματος του οποίου βάση είναι το τρίγωνο που δημιουργείται στο -επίπεδο από τον -άξονα και τις ευθείες = και = και προς τα άνω φράσσεται από το επίπεδο f (, ) Μπορείς να το δεις με τρόπους : d... ή d... 0 0 0. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα sin f (, ) da, f,, R ',, R sin sin... cos 0 d 0 0. Να γίνει το γράφημα του πεδίου ολοκλήρωσης του 4 d Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα 0 αφού πρώτα γίνει αλλαγή της σειράς ολοκλήρωσης. Προφανώς η περιοχή που θα δουλέψεις : 0< <, < < 4 4 d 4 d... 8 0 0. Να βρεθεί το εμβαδόν της περιοχής του -επιπέδου που περικλείεται από την = και την = στο πρώτο τεταρτημόριο. 4
0 d... 6 ή 0 d... 6 4. Να βρεθεί το εμβαδόν της περιοχής του -επιπέδου που περικλείεται από την =+ και την =. 9 d... 9 d d... ή 4 0 5. Να βρεθεί το εμβαδόν της περιοχής του πρώτου τεταρτημορίου του -επιπέδου που περικλείεται από την = και την =. 0 d... 0 ή 0 d... 0 6. Να βρεθεί το εμβαδόν της περιοχής του πρώτου τεταρτημορίου του -επιπέδου που περικλείεται από την = και την = και το <. 0 d... ή d d... 0 7. Να υπολογιστεί το e ολοκλήρωσης d με αλλαγή της σειράς 0 9 e e d e d... 6 0 0 0 8. Να υπολογίσεις το ολοκλήρωμα : 9. Να υπολογίσεις το ολοκλήρωμα : 0. Να υπολογίσεις το ολοκλήρωμα : d για :, e d για :,,, 4 d για :,,, 4 5
. Να υπολογίσεις το ολοκλήρωμα :με αλλαγή μεταβλητών :,, 0 Υπόδειξη: u v u Θα λύσεις το σύστημα.... v u v u f (, ) e... e g u, v J u, v u v u v u v κάνε σχήμα στην παρακάτω περιοχή D: u v, u 0, u : e d για u u u 4 Οπότε θα βρεις το διπλό ολοκλήρωμα e dudv... e dvdu... e ( D) 0 0 4 u. Να υπολογίσεις το ολοκλήρωμα :με αλλαγή μεταβλητών : v :,,,. Δίνεται 0 d Να σχεδιάσεις τόπο ολοκλήρωσης Να το υπολογίσεις d για Να υπολογίσεις το ολοκλήρωμα με αλλαγή των ορίων ολοκλήρωσης z 4. Να βρεις τον όγκο του στερεού που έχει τις έδρες του στο επίπεδο, c,, 0 και στα c επίπεδα : z 0, z : 0, z : 0 Λύση : Με διπλό ολοκλήρωμα : z z c c c. Θα βρω την προβολή πάνω στο επίπεδο c O : για z 0 άρα το χ θα πάρει τιμές από 0 έως α και το από 0 έως c c Άρα V f (, ) d zd c d ( ) 0 0 0 0 6
Με τριπλό ολοκλήρωμα : f (,, z) ddz ddz ( V) ( V) Οπότε κάνοντας ένα καλό σχήμα : c c c V ddz dzd... ( V ) 0 0 0 5. Να βρεις τον όγκο που περικλείεται από το επίπεδο z 0 και τα επίπεδα συντεταγμένων 6. Να βρεις τον όγκο στερεού που περικλείεται από τα επίπεδα z 0, 0,,, z 7. Να υπολογίσεις το ολοκλήρωμα : d για : 4, 4, 0 8. Να υπολογίσεις το ολοκλήρωμα : 4 d για : 4 9. Να υπολογίσεις το ολοκλήρωμα : d για :, 40. Να υπολογίσεις το ολοκλήρωμα : d για :,, 0 4. Να υπολογίσεις το ολοκλήρωμα : d για την ευθεία που διέρχεται από Α(,0) και Β(0,) και την :, 0 περιοχή 4. Να υπολογίσεις το ολοκλήρωμα : d για :,, 4 4. Να υπολογίσεις το ολοκλήρωμα : d για : 44. Να υπολογίσεις το ολοκλήρωμα : sin d για : 0,, 45. Να υπολογίσεις το ολοκλήρωμα : 46. Να υπολογίσεις το ολοκλήρωμα : d για :,,, 0 d για :,,,4 47. Να βρεις το εμβαδό με διπλό ολοκλήρωμα για :, 48. Να βρεις το εμβαδό με διπλό ολοκλήρωμα για : ln, ln, e, e 4 49. Να βρεις το εμβαδό με διπλό ολοκλήρωμα για : 0, 4 8, 6 7
Το τριπλό ολοκλήρωμα ( V ) Τριπλά ολοκληρώματα : f (,, z) ddz είναι χρήσιμο για υπολογισμό όγκων, μαζών, ροπών στερεών σωμάτων. Έστω ένα στερεό το οποίο φράσσεται από τις επιφάνειες z g(, ), z h(, ) και (Τ) η προβολή του στο επίπεδο O, τότε Αν f (,, z) τότε το τριπλό ολοκλήρωμα από το χωρίο (Τ) h(, ) f (,, z) ddz f (,, z) dzd ( V ) ( ) g(, ) f (,, z) ddz παριστάνει όγκο που περικλείεται ( V ) Πρέπει να κάνεις ένα πολύ καλό σχήμα για να μπορέσεις να εκφράσεις το εμβαδό συναρτήσει των χ και, z και να δεις τον όγκο. Χρήση κυλινδρικών συντεταγμένων : πολλές φορές ένα τριπλό ολοκλήρωμα υπολογίζεται ευκολότερα με αλλαγή συντεταγμένων από καρτεσιανές σε κυλινδρικές : r cos, r sin, z z οπότε f (,, z) ddz f ( r cos, r sin, z) rdrd dz ( V) ( V') Χρήση σφαιρικών συντεταγμένων : πολλές φορές ένα τριπλό ολοκλήρωμα υπολογίζεται ευκολότερα με αλλαγή συντεταγμένων από καρτεσιανές σε σφαιρικές : r sin cos, r sin sin, z r cos οπότε f (,, z) ddz f ( rsin cos, rsin sin, rcos ) r sin drd d ( V) ( V') 50. Να βρεις τον όγκο στερεού που βρίσκεται στο πρώτο ογδοημόριο και περικλείεται από φράσσεται από πάνω από το επίπεδο z 0 4 και 5. Να βρεις τον όγκο στερεού που βρίσκεται στο πρώτο ογδοημόριο και περικλείεται πάνω από την z 4 και κάτω από το επίπεδο z z 5. Να βρεις τον όγκο του στερεού που έχει τις έδρες του στο επίπεδο, c,, 0 και στα c επίπεδα : z 0, z : 0, z : 0 Λύση : z c c Με διπλό ολοκλήρωμα : z c. Θα βρω την προβολή πάνω στο επίπεδο c O : για z 0 άρα το χ θα πάρει τιμές από 0 έως α και το από 0 έως c c Άρα V f (, ) d zd c d ( ) Με τριπλό ολοκλήρωμα : 0 0 0 0 f (,, z) ddz ddz ( V) ( V) 8
Οπότε κάνοντας ένα καλό σχήμα : c c c V ddz dzd... ( V ) 0 0 0 5. 54. 9