Μαθηµατικά για τον διαγωνισµό Θαλή

Μαθηµατικά για τον διαγωνισµό Θαλή Λυγάτσικας Ζήνων Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο Βαρβακείου Σχολής 15 Οκτωβρίου 01 1 Ανισότητες και µέθοδοι επίλυσης Θα δούµε µερικές ϐασικές ανισότητες που ϑα µας ϐοηθήσουν να επιλύσουµε τις πρώτες σηµαντικές ανισώσεις. 1.1 Συνδυασµοί 1. Να αποδειχθεί ότι : 4 < 6 + 6 + 6 + 3 6 + 3 6 + 3 6 < 5. Να αποδειχθεί ότι για κάθε πραγµατικό x ισχύει : x + x + 1 > 0 και x x + 1 > 0. 3. Εστω α, β, γ, δ ΙR. Να αποδειχθεί ότι µεταξύ των αριθµών α β, β γ, γ δ, δ α τουλάχιστον ένας είναι µικρότερος ή ίσος του 1 4. 4. (Θαλής 003/4) Αν x, y, α, β ΙR + και x y, x y, y x, α ±3β και x y α + 3β = y x = λ, τοτε : α 3β (α ) x + y = λα και x y = λβ (ϐ ) x + y x y 1. Εύρεση οριακών τιµών 1. (Θαλής 001/) Να προσδιορίσετε το µεγαλύτερο πραγµατικό αριθµό M, ο οποίος έχει την ιδιότητα : για όλους τους ϑετικούς πραγµατικούς αριθµούς ( α, β µε α + β = 1, ισχύει ότι : 1 + 1 )( 1 + 1 ) M. α β LaTEX c:\... \ articltex\ztex \problem books\ coursalyc.tex 1

.1 Αθροισµα τετραγώνων n 1. (Αξίωµα στο ΙR): x i 0. Το ίσον ισχύει όταν x i = 0 για κάθε i. i=1. (α ) x + y xy x (ϐ ) y + y, x, y > 0 x (γ ) x + 1 x, x > 0 (δ ) x + y (ε ) min(x, y) για x, y > 0. x + y xy x + y xy x + y x + y max(x, y), 3. x +, x ΙR. x + 1 4. Για όλους τους πραγµατικούς αριθµούς x, y ισχύει η ακόλουθη ανισότητα : x + y + x y 3xy + 1 0 5. Για όλους τους αριθµούς α, β, γ ισχύει η ακόλουθη ανισότητα 1 : α + β + γ αβ + αγ + βγ Για όλους τους πραγµατικούς α, β, γ 0 ισχύουν τα παρακάτω : (α ) (ϐ ) αβ γ + βγ α + αγ β α + β + γ α β + β γ + γ α α γ + β α + γ α 6. (Θαλής 006/7) είξτε ότι για όλους τους πραγµατικούς α, β, γ 0 ισχύει : ( α β + β γ + γ α ) 3 ( α γ + γ β + β α) 1 ώστε τρείς αποδείξεις. Να εισαχθεί µια διάταξη µεταξύ των α, β, γ, π.χ. α β γ δείξτε ότι η ανισότητα είναι ισοδύναµη µε την (α γ)(α β) + (β γ) 0.

. Ανισότητα Cauchy-Schwartz 1. (Ανισότητα Andrescu) Για οποιουσδήποτε ϑετικούς αριθµούς x, y και αυ- ϑαίρετους αριθµούς α, β, ισχύει η ακόλουθη ανισότητα : α x + β (α + β) y x + y. Για οποιουσδήποτε ϑετικούς αριθµούς x, y, z και αυθαίρετους αριθµούς α, β, γ, ισχύει η ακόλουθη ανισότητα : α x + β y + γ (α + β + γ) z x + y + z 3. (Ταυτότητα Lagrange) Για οποιουσδήποτε αυθαίρετους αριθµούς α 1, β 1, γ 1, α, β, γ, α 3, β 3, γ 3, ισχύει η ταυτότητα : (α 1 + α + α 3)(β 1 + β + β 3) (α 1 β 1 + α β + α 3 β 3 ) = = (α 1 β α β 1 ) + (α β 3 α 3 β ) + (α 1 β 3 α 3 β 1 ) 4. (Ανισότητα Cauchy-Schwartz) Για οποιουσδήποτε αυθαίρετους αριθµούς α 1, β 1, γ 1, α, β, γ, α 3, β 3, γ 3, ισχύει η ακόλουθη ανισότητα : (α 1 β 1 + α β + α 3 β 3 ) (α 1 + α + α 3)(β 1 + β + β 3) 5. Για όλους τους πραγµατικούς α, β, γ ισχύει : (α + β + γ) 3(α + β + γ ) 6. Για όλους τους ϑετικούς α, β, γ ισχύει η παρακάτω ανισότητα : α β + γ + β α + γ + γ α + β α + β + γ 7. (Ανισότητα Nesbitt) Για όλους τους ϑετικούς α, β, γ ισχύει η παρακάτω ανισότητα : α β + γ + β α + γ + γ α + β 3 8. Για όλους τους ϑετικούς πραγµατικούς ισχύει : α 3 β + β 3 γ + γ 3 α αβγ(α + β + γ) 9. (Ανισότητα Schur) Για όλους τους ϑετικούς πραγµατικούς ισχύει : x(x y)(x z) + y(y z)(y x) + z(z x)(z y) 0 3

3 Θεωρία αριθµών - αρχή Dirichlet 1. (Θαλής 98/99) Να ϐρεθούν όλοι οι ακέραιοι ν για του οποίους ο αριθµός ν + 1 διαιρεί τον αριθµό ν + ν 1.. (Θαλής 99/00) Το άθροισµα δύο ακεραίων είναι 6, ενώ αν διαιρέσουµε το µεγαλύτερο µε το µικρότερο ϐρίσκουµε πηλίκο 4 και υπόλοιπο 1. Να ϐρεθούν οι αριθµοί. 3. (Θαλής 99/00) Αν α περιττός ακέραιος, να δειχθεί ότι ο αριθµός α 4 +6α 7 είναι πολλαπλάσιο του 18. 4. (Θαλής 0/03) Μπορούµε να παραστήσουµε τον αριθµό 00 ως άθροισµα ενός τριψήφιου αριθµού και του κύβου του αθροίσµατος των ψηφίων του αριθµού αυτού 5. (Θαλής 03/04) Να ϐρεθούν οι ακέραιοι α, β για τους οποίους ισχύει η ισότητα αβ + αβ + α = β + 4β + 3 6. (Θαλής 04/05) Οι ϑετικοί ακέραιοι x, y µε x > y είναι τέτοιοι ώστε x 3 y 3 + x y xy = 49(x y) Να προσδιορίσετε τους αριθµούς x, y. 7. (Θαλής 06/07) Να αποδειχθεί ότι ο αριθµός 003 005 3 004 00 3 είναι κύβος ακεραίου αριθµού. 8. (Θαλής 06/07) Ν απλοποιηθεί η παράσταση 13 + 30 + 9 + 4 9. (Θαλής 07/08) Να ϐρεθούν οι ϑετικοί ακέραιοι x, y που ικανοποιούν τη σχέση x 6 + x 3 y + 3x 3 + y 4 + 3y 40 = 0 10. (Θαλής 08/09) Να προσδιορίσετε τους ακεραίους x, y και z που είναι τέτοιοι ώστε : { 0 x y z xyz + xy + yz + zx + x + y + z = 44 11. Γράφουµε 009 ϕορές τον αριθµό 009, τον έναν δίπλα στον άλλο ώστε να σχηµατιστεί ένας µεγάλος αριθµός. 009 }{{} 009 }{{}... 009 }{{}}{{} 009 ϕορές Αυτού του µεγάλου αριθµού προσθέτουµε εκείνα τα ψηφία τα οποία είναι περιττός αριθµός που ο επόµενός τους αριθµός στη σειρά είναι άρτιος. Πόσο είναι το άθροισµα που ϑα ϐρούµε ; 4

1. Να λυθεί στο ΙΝ η εξίσωση : 1 x + y 3 z = 1. 3.1 Αρχή Dirichlet Αρχή Dirichlet 1 Αν m αντικείµενα διανέµονται σε n οµάδες, όπου m > n, τότε τουλάχιστον µια οµάδα περιέχει τουλάχιστον δύο απο τα αντικείµενα. Η αρχή αυτή λέγεται στην Ελλάδα αρχή του περιστερώνα, στην Γαλλία αρχή των συρταριών, στην Αγγλία αρχή του περιστερώνα, στη Ρωσία αρχή του Dirichlet. Η αρχή είναι µια πρόταση ύπαρξης, δεν προτείνει έναν αλγόριθµο εύρεσης της οµάδας µε την ιδιότητα να περιέχει τουλάχιστον δύο απο τα αντικείµενα. 1. Υπάρχουν 367 µαθητές σε ένα σχολείο. είξτε ότι τουλάχιστον δύο απο αυτούς έχουν επέτειο γενεθλίων την ίδια ηµέρα.. Απο την ανατοµία είναι γνωστό ότι το πλήθος όλων των τριχών στο κεφάλι ενός ανθρώπου είναι λιγότερο απο 00.000. είξτε ότι στην Αθήνα υπάρχουν τουλάχιστον δύο άτοµα µε το ίδιο αριθµό τριχών στα κεφάλια τους. 3. Εστω α, β και γ ακέραιοι αριθµοί. είξτε ότι το γινόµενο είναι πολλαπλάσιο του 6. αβγ(α + β + γ)(β + α)(α + γ)(γ + β) 4. Να τεθεί η τιµή του ακόλουθου κλάσµατος εάν τα διαφορετικά γράµµατα αντιστοιχούν σε διαφορετικά ψηφία : D I R I C H L E T P R I N C I P L E Gustav Lejeune-Dirichlet (1805-1859). Γερµανός Μαθηµατικός. 5

4 Αλγεβρα 1. (Θαλής 1998) Να ϐρεθούν οι λύσεις της εξίσωσης : x + x = 4 x + x + 1. (Θαλής 1998) Εστω ότι για ϑετικούς πραγµατικούς αριθµούς α, β, γ ισχύει ( α + β ) ( β + γ ) ( γ + α ) αβ γ + βγ α + γα β = 0 Να αποδειχθεί ότι α = β = γ. 3. (Θαλής 000) Το τριπλάσιο ενός αριθµού αυξηµένου κατα 18 ισούται µε το τετράγωνο ενός αριθµού. Να ϐρεθεί ο αριθµός. 4. (Θαλής 001) Αν για τους πραγµατικούς αριθµούς x, y, z ισχύει ότι xyz = 1, να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης : 1 K = y + 1 y x + 1 5. (Θαλής 001) Να λυθεί η εξίσωση 1 + z + 1 z y + 1 1 + x + 1 x z + 1 3(1 + α + α 4 )x = (1 + α + α ) x + α 5 + α 4 + α 3 α α 1 ως προς x, ϑεωρώντας το α ως παράµετρο. 6. (Θαλής 00) Θεωρούµε τετράγωνο πλευράς α, µε α > 1. Το τετράγωνο που έχει πλευρά κατα 1 µικρότερη του α, έχει περίµετρο ίση αριθµητικά προς το εµβαδόν του αρχικού τετραγώνου. Να ϐρεθεί η πλευρά α. 7. (Θαλής 00) Οι αριθµοί x, y, z, w έχουν την ιδιότητα : Αν προσθέσουµε τρείς οποιουσδήποτε απο αυτούς και απο το άθροισµά που ϑα προκύψει αφαιρέσουµε τον αριθµό 5 προκύπτει πάντοτε ο αριθµός 00. Να υπολογίσετε το άθροισµα x + y + z + w. 8. (Θαλής 003) Το τετράγωνο ενός αριθµού ισούται µε τον αριθµό αυξηµένο κατα 7. Επιπλέον, αν απο το 60 αφαιρέσουµε το διπλάσιο του αριθµού λαµβάνουµε αριθµό λαµβάνουµε αριθµό µικρότερο του 5. Να ϐρεθεί ο αριθµός. 9. (Θαλής 004) Το τετράγωνο ενός αριθµού x ισούται µε το διπλάσιο του αριθ- µού αυξηµένου κατα 8. Επιπλέον το διπλάσιο του αριθµού είναι µεγαλύτερο του. Να ϐρεθεί ο αρθµός x. 10. (Θαλής 004) Αν το τετράγωνο του αθροίσµατος των πραγµατικών αριθµών x, y και z ισούται µε το τριπλάσιο του αθροίσµατος των τετραγώνων τους και επιπλέον ισχύει x + y + 3z = 60, να ϐρείτε τους αριθµούς x, y και z. 6

11. (Θαλής 005) Ν απλοποιηθεί η παράσταση : 13 + 30 + 9 + 4 1. (Θαλής 005) Να αναλυθεί το πολυώνυµο : x 6 x 5 +x x σε γινόµενο τριών πολυωνύµων ϑετικού ϐαθµού (;). 13. (Θαλής 006) Να λυθεί η εξίσωση : λ(λx + 3) = λ 3 + λx 14. (Θαλής 007) Αν α, β, γ ΙR µε (α β)(β γ)(γ α) 0 τότε να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης A = (α 1)(α + 1) (β 1)(β + 1) (γ 1)(γ + 1) + + (α β)(α γ) (β α)(β γ) (γ α)(γ β) 15. (Θαλής 008) Αν στο 1 8 ενός αριθµού x προσθέσουµε το 1 του αριθµού 4 αυτού προκύπτει αριθµός µικρότερος κατα 155 του αριθµού x. Να ϐρεθεί ο αριθµός. 7

5 Γεωµετρία Β Λυκείου Επίπεδο 1. Στο παρακάτω σχήµα να ϐρείτε το άθροισµα των γωνιών α + β + γ + δ οι οποίες ορίζονται απο τις δύο παράλληλες ευθείες, δες σχήµα 1. Σχήµα 1: Άσκηση 1.. Εστω σηµείο M το µέσο της πλευράς BΓ του τριγώνου ABΓ, (AB < AΓ) και έστω AΛ η διχοτόµος της γωνίας A. Μια ευθεία η οποία περνά απο το σηµείο M και είναι κάθετη στην ευθεία AΛ τέµνει την πλευρά AB στο σηµείο. Να αποδείξετε ότι A = 1 (AB + AΓ), δες σχήµα. Σχήµα : Άσκηση. 3. Στο τετράγωνο ABΓ η γωνία α είναι ίση µε 15 o. Να αποδείξετε ότι το 8

τρίγωνο ABE είναι ισόπλευρο, δες σχήµα 3. Σχήµα 3: Άσκηση 3. 4. ίδεται παραλληλόγραµµο ABΓ. Παίρνουµε σηµεία E και Z πάνω στις πλευρές AB και Γ αντίστοιχα, έτσι ώστε ΓZ = AE και σηµεία H και H και I πάνω στις πλευρές A και ΓB αντίστοιχα, έτσι ώστε ΓI = AH. Να αποδείξετε ότι το σηµείο τοµής των διαγωνίων του τετραπλεύρου ABΓ είναι το ίδιο σηµείο µε το σηµείο τοµής των διαγωνίων του τετραπλεύρου EIZH. 5. ίδεται τετράπλευρο ABΓ. Μια ευθεία (ε) που ενώνει τα µέσα των διαγωνίων B και AΓ τέµνει τις πλευρές A και BΓ στα σηµεία E και Z. Να αποδείξετε ότι : AE E = ΓZ, δες σχήµα 4. BZ Σχήµα 4: Άσκηση 5. 9

6. ίνεται τρίγωνο ABΓ έτσι ώστε Â = θ και I είναι το κέντρο του εγγεγραµ- µένου κύκλου του ABΓ. Εάν ΓA + AI = BΓ, να ϐρείτε την γωνία B συναρτήσει θ, δες σχήµα 5. Σχήµα 5: Άσκηση 6. 7. ίνεται κυρτό τετράπλευρο ABΓ µε A Γ > 90 o, B Γ > 90 o. Εστω E το σηµείο το οποίο η ευθεία AΓ τέµνει την παράλληλο ευθεία στην A που περνά απο το σηµείο B και έστω Z το σηµείο στο οποίο η ευθεία B τέµνει την παράλληλη ευθεία προς την BΓ που περνά απο το A. Να δείξετε ότι η EZ είναι παράλληλη µε την Γ, δες σχήµα 6. Σχήµα 6: Άσκηση 7. 8. ίδεται τρίγωνο ABΓ και M µέσο της πλευράς του BΓ. Αν BAM = ÂΓB και MAΓ = 15 o να υπολογίσετε την γωνία ÂΓB, δες σχήµα 7. 9. ίνονται δύο σηµεία και E πάνω σε ηµικύκλιο µε διάµετρο AB. Κατασκευάζουµε παραλληλόγραµµο A ΓE. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες E και BΓ είναι παράλληλες. 10

Σχήµα 7: Άσκηση 8. 10. ίνεται τρίγωνο ABΓ µε B = 60 o, Γ = 40 o και σηµείο O µέσα στο τρίγωνο, έτσι ώστε OBΓ = 0 o και OΓB = 30 o. Να αποδείξετε ότι : (α ) BO = BA (ϐ ) OA = OΓ 11. Τρία ίσα τετράγωνα είναι τοποθετηµένα όπως στο σχήµα 8. Αποδείξτε ότι : α + β + γ = 90 o. Σχήµα 8: Άσκηση 11. 11

1. (Θαλής 04/05) Θεωρούµε τραπέζιο ABΓ µε Â = B = 90 o, A = α, BΓ = α και Γ = 3α, του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές τέµνονται στο E. (α ) Να αποδειχθεί ότι η A είναι διχοτόµος της γωνίας B E. (ϐ ) Να υπολογισθεί το εµβαδόν του τρεπεζίου ABΓ και το λόγο : E(EBΓ) E(ABΓ ) 13. (Θαλής 03/04) Σε τραπέζιο ABΓ, AB Γ, οι διαγώνιες τέµνονται στο E. Αν είναι (ABE) = 7m και (Γ E) = 50m, να υπολογίσετε το εµβαδόν του τραπεζίου ABΓ. Σχήµα 9: Άσκηση 14. 14. (Θαλής 0/03) Στο παρακάτω σχήµα ϕαίνεται οικόπεδο ABΓ σχήµατος ορθογωνίου µε πλευρές AB = α και BΓ = β. Απο το οικόπεδο ϑα κοπούν δύο δρόµοι EZHΘ και AIKΛ. Ο δρόµος EZHΘ σχήµατος ορθογωνίου έχει πλάτος ZH = y, ενώ ο δρόµος AIKΛ σχήµατος παραλληλογράµµου έχει πλάτος AI = x. (α ) Να εκφράσετε το εµβαδόν του οικοπέδου που αποµένει µετά την αποκοπή των δύο δρόµων ως συνάρτηση των α, β, x και y. (ϐ ) Να εκφράσετε το πλάτος d του δρόµου AIKΛ ως συνάρτηση του x αν είναι γνωστό ότι : AΛ = 30 o 15. (Θαλής 01/0) Θεωρούµε ευθύγραµµο τµήµα AΓ και το σηµείο B στο ε- σωτερικό του. Κατασκευάζουµε ισόπλευρα τρίγωνα AB και BΓE προς το ίδιο µέρος του ευθυγράµµου τµήµατος. Αν οι AE και Γ τέµνονται στο Z, να ϐρείτε τη γωνία AZ. 1

16. (α ) Να αποδείξετε ότι το άθροισµα των γωνιών ενός τετραπλεύρου ABΓ είναι 360 o. (ϐ ) Τετραπλεύρου ABΓ οι εξωτερικές γωνίες Âεξ, Bεξ, Γ εξ, εξ είναι ανάλογες προς τους αριθµούς 6,8,10 και 1, αντιστοίχως. Να ϐρεθεί το είδος του τετραπλεύρου. 17. ίδεται παραλληλόγραµµο ABΓ. Απο την κορυφή A ϕέρω κάθετες στις πλευρές BΓ και Γ. ίξτε ότι τα τρίγωνα MAN και ABΓ είναι όµοια. Απόδειξη : Σχήµα 10: Άσκηση 17. Θα δείξουµε προφανώς ότι όλες οι γωνίες είναι ίσες. (α ) Οι γωνίες MAN = ÂBΓ, γιατί έχουν τις πλευρές τους κάθετες. (ϐ ) ANM = ÂΓN, γιατί το τετράπλευρο ANΓM είναι εγγράψιµµο. (γ ) Οι άλλες γωνίες είναι ίσες σαν συνέπεια του αθροίσµατος των γωνιών τριγώνου. 18. ίδεται παραλληλόγραµµο ABΓ. Κατασκευάζουµε εξωτερικά δύο ισόπλευρα τρίγωνα BAE και BΓZ. είξτε ότι το τρίγωνο EZ είναι ισόπλευρο. Απόδειξη : Τα τρίγωνα A E και BEZ είναι ίσα : 1) BE = AE, υπόθεση. 13

Σχήµα 11: Άσκηση 18. ) BZ = BΓ = A, υπόθεση. 3) AE = 60 o + [ AB και ] ( ) 180 o AB + 10 o EBZ = 360 o = 60 o + AB. Άρα, AE = EBZ Άρα, E = EZ. Οµοίως, τα τρίγωνα ΓZ και BEZ είναι ίσα, εποµένως Z = EZ. Άρα, E = Z = EZ. 19. Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο η ϐάση BΓ είναι ίση µε τα 1 της περιµέτρου του 4 τριγώνου. Απο ένα σηµείο της ϐάσης ϕέρω παράλληλες στις δυο πλευρές του ισοσκελούς τριγώνου. Ποιά είναι η σχέση της περιµέτρου του παραλληλογράµµου µε την περίµετρο του ισοσκελούς τριγώνου. Απόδειξη : Αν τ η περίµετρος του ισοσκελούς τριγώνου µε ίσες πλευρές µήκους α και ϐάση β και T η περίµετρος του παραλληλογράµµου, δείξτε ότι T = α. Τότε απο τη σχέση α + β = τ, έχουµε T = 3 4 τ. 0. Εστω τετράπλευρο ABΓ και M εσωτερικό σηµείο του έτσι ώστε το ABM να είναι παραλληλόγραµµο. Αν ΓBM = Γ M, δείξτε ότι AΓ = BΓM. Απόδειξη : 14

Σχήµα 1: Άσκηση 0. Φέρω NB MΓ και ΓN BM. Τότε, το ANΓ είναι παραλληλόγραµµο γιατί Άρα, AN Γ. Επίσης, NΓB = A = MB = ΓN ΓBM = Γ M = NAB Άρα, ABNΓ εγγεγραµµένο και : ÂΓ = ΓAN = NBΓ = MΓB 1. Εστω τρίγωνο ABΓ µε H το ορθόκεντρό του. Κατασκευάζω το παραλληλόγραµµο BHΓ, δείξτε ότι BA = ΓAH. Απόδειξη : Το ABZE είναι εγγράψιµµο, άρα, ĤAΓ = ΓBE (1). Το DBHΓ είναι παραλληλόγραµµο, άρα, ΓBE = BΓ (). Αλλά, BAΓ + B Γ = BHΓ + B Γ = 180 o. Εποµένως το AB Γ είναι εγγράψιµµο. Τότε : BA = BΓ (3). 15

Σχήµα 13: Άσκηση 1. Εποµένως ĤAΓ = ΓBE = BΓ = BA. 16