Συστήματα Κώστας Γλυκός Άλγεβρα κεφάλαιο 1 70 ασκήσεις και τεχνικές σε 6 σελίδες ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllkos..gr 0 / 7 / 0 1 8 εκδόσεις Καλό πήξιμο
Τα πάντα για τα συστήματα Συστήματα 45. Να λυθoύν τα συστήματα : 46. 47. 48. 49. 50. 51. 5. 3 4 4 9 6.6 10 54 0.3 7 0.7 39 4 0 3 8 5 1,, 1 6 5 1 5 6 1, 6,7 5 3 6 9 3 3 4 5 3 5 1 50,51,53,57,58,59,61, 6,65,66,67,68,7,74 Να λυθεί το σύστημα : Λύση: Μέθοδος αντικατάστασης : Λύσε την πιο εύκολη εξίσωση ως προς έναν άγνωστο και αντικατέστησε στην άλλη Μέθοδος αντιθέτων συντελεστών : Στοχεύω σε έναν άγνωστο και πολ/ζω την πάνω εξίσωση με το συντελεστή του κάτω αγνώστου και την κάτω εξίσωση με τον συντελεστή του πάνω αγνώστου (το νου σου, ίσως χρειαστεί να αλλάξεις πρόσημα σε μία απ τις δύο) και προσθέτεις κατά μέλη Μέθοδος γραφική : Σχεδίασε τις δύο εξισώσεις και βρες τα κοινά σημεία στο σχήμα Μέθοδος οριζουσών : Αναλύεται παρακάτω 1
53. 5 0 0 5 3 7 10 0, 0 7, 0,0,, 0,0 54. Συμπλήρωσε την εξίσωση που λείπει ώστε να είναι αδύνατο το σύστημα : 1 1... 54 10 3 3 5,...,... 55. Συμπλήρωσε την εξίσωση που λείπει ώστε να έχει άπειρες λύσεις το σύστημα (να βρεις τις άπειρες λύσεις): 1 1... 54 10 3 3 5,...,... 56. Συμπλήρωσε την εξίσωση που λείπει ώστε να έχει μοναδική λύση το σύστημα : 1 1... 54 10 3 3 5,...,.... 57. 58. 59. 1 6 5, 1,,, 3 3 1 4 5, 3,1 1 3 3,,3 Μη γραμμικά
60. 61. 6. 63. 3 5 4 3 1 5,, 1 4 5 7, 1, 3 5 3 7, ύ 64. 65. 66. 67. 68. 69. 3 3 5,, 3 6 13,,3,, 3, 3,, 3, 5,,1,, 1, 1,, 1, 3 10, 1,3, 1, 3, 3,1, 3, 1 1 1,,,, 3 3
70. 71. 7. 73. 74. 75. 76. 77. 78. 8 6 3,, 1, 1, 4 1, 3,, 1, 6 1 4 3 11 1,, 3 3 4 5 6 1, 1, 1 3 1 9 1 1,,3 3 4 5 6 1 5 5 7 1 1 0 3 4
79. 80. 81. 8. 83. 84. 85. 86. 87. 88. 3 5 3 0 6 0 6 3 0 3 4 5 6 3 13 5 0 3 5 3 16 3 3 4 4 6 1 5 8 3 3 5 3 8 1 3 3 1 1 6 3 4 6 89. 1 3 5 1 4 1 1 5
Προβλήματα 90. Ορθογώνιο τρίγωνο έχει υποτείνουσα 5 και εμβαδό 6. Να βρεις τις κάθετες πλευρές του τριγώνου 91. Ορθογώνιο τρίγωνο έχει υποτείνουσα 13 και περίμετρο 30. Να βρεις τις κάθετες πλευρές του τριγώνου 9. Να βρεις τα κοινά σημεία της ευθείας και του κύκλου με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα 93. Να βρεις τα κοινά σημεία της ευθείας 3 1 και του κύκλου με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα 5 A. Να λυθούν τα παραμετρικά συστήματα : a3 5 a 3 aa a ( a) aa1 ( a ) a 5 3aa3 ( a 1) 3 6 ( a1) a B. Να λυθούν τα παραμετρικά συστήματα : a 4 a a, m m m m 1, Ορίζουσες a 5 C. Να βρεις για ποια τιμή του α έχει άπειρες λύσεις το σύστημα 5 1 7 1 D. Να βρεις για ποιες τιμές του α είναι αδύνατο το σύστημα : a 7 3 a E. Να βρεις για ποιες τιμές του α το σύστημα έχει μοναδική λύση 6 1 Σύστημα με ορίζουσες D 5 Για την ορίζουσα ενός συστήματος ισχύει : 0 Να δείξεις ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση 10D Οι ορίζουσες ενός ομογενούς συστήματος ικανοποιούν τη συνθήκη : Υπολόγισε D, D, D D0 M.. D, D D D D 0, D 0ήD 0 αδύνατο D D D 0 άπειρες Να βρεις το α ώστε να είναι αδύνατο ή άπειρες λύσεις. Λύση: Απαιτώ D=0, υπολογίζω την παράμετρο α και αντικαθιστώ το α στο αρχικό σύστημα οπότε επιλέγω με μία ματιά αυτό που δίνει αδύνατο ή άπειρες λύσεις 6
D D D 10. Να λύσεις το σύστημα. H. Αν ένα γραμμικό σύστημα * που είναι αδύνατο, έχει ορίζουσα D,να λύσετε το σύστημα D 1 1 3 3 I. 4D 3D 7D Σε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με αγνώστους χ,ψ ισχύει 3D 5D 7D J. a Αν ο αριθμός α είναι ακέραιος, να αποδείξετε ότι το σύστημα,,έχει πάντοτε μοναδική a 5 3a λύση την οποία και να βρείτε. K. Eστω οι ευθείεςa 1 b 1, a 1 b 4 αν τέμνονται στο k,3 των α,β. L. Αν α,β είναι ρίζες της εξίσωσης 1 1 ab 5, a b a b 5 a b 3 0 να λύσετε το σύστημα, M. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν αριθμοί α,β για τους οποίους το σύστημα, a 1 3b 1 3 b a, a b 1 b a έχει μοναδική λύση τη, 1, N. Σε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων με δυο αγνώστους ισχύει.να δείξετε ότι D D D 10D 4D 9 να βρείτε τις τιμές D 5 D D 0 και να λύσετε το Σ O. Δίνεται ένα γραμμικό χ σύστημα για το οποίο ισχύει D D 3D D D D 0,να λυθεί. P. Η εξίσωση a 5 3b έχει ρίζες τους αριθμούς -1,-3 να βρεθούν τα α,β. 3 a a a 4 Q. Για ποιες τιμές του α το σύστημα 5 a a 1 a είναι αδύνατο έχει άπειρες λύσεις και να τις βρείτε. a 6a 5a 1 R. Για ποιες τιμές του α το σύστημα a 0 είναι αδύνατο έχει άπειρες λύσεις. a 1 8 4a S. Για ποιες τιμές του α το σύστημα a a 3 3a 1 έχει Μ.Λ. έχει Μ.Λ 0, 0 που να ικανοποιεί την 0 0 1, αδύνατο 7
άπειρες λύσεις. T. Για ποιες τιμές των α,β τα συστήματα είναι συγχρόνως αδύνατα έχει Μ.Λ. έχει Μ.Λ 0, 0 που να ικανοποιεί την 0 30 3, αδύνατο a 1 10 b 3 4 5 V. k () m k k m Ν.δ.ο. αν το σύστημα έχει λύση (,)(6,1) k m () m k 3 1 m τότε θα έχει άπειρες λύσεις W. k ( 1) 3 Να βρεις τα κ.λ ώστε να έχουν συγχρόνως άπειρες λύσεις τα συστήματα : 3 3, k 9 3 3 1 X. Αν D 3D 9 D, D D D, να λύσεις το σύστημα Y. Αν D D D D D, να βρεις τα, Z. Να λύσεις το σύστημα όπου D 1 D 0 AA. a b 1 7, 3 6 5 m m 1 U. Για ποιες τιμές του α το σύστημα m m Να λύσεις το σύστημα όπου D D D 0 8