ΔΟΚΙΜΗ ΛΥΓΙΣΜΟΥ 1. Γενικά Κατά τη φόρτιση μιας ράβδου από θλιπτική αξονική δύναμη και με προοδευτική αύξηση του μεγέθους της δύναμης αυτής, η αναπτυσσόμενη τάση θλίψης θα περάσει από το όριο αναλογίας θα φθάσει στο όριο πλαστικότητας και τελικά έχουμε την αστοχία της ράβδου, όταν η τάση υπερβεί την αντοχή της, δηλαδή την τάση θραύσης. Το φαινόμενο αυτό θα συμβεί αν το μήκος της ράβδου δεν είναι μεγαλύτερο από τις διαστάσεις της διατομής της. Στη περίπτωση όμως που το μήκος της ράβδου είναι κατά πολύ μεγαλύτερο από τις διαστάσεις της διατομής της, το φαινόμενο εξελίσσεται διαφορετικά. Από ένα όριο φόρτισης και πέρα το οποίο λέγεται κρίσιμο φορτίο, η ράβδος μεταβαίνει από την ευσταθή κατάσταση της θλίψης στην ασταθή κατάσταση του λυγισμού. Το βέλος κάμψης που παρουσιάζει η ράβδος όταν έλθει σε κατάσταση λυγισμού, έχει ως αποτέλεσμα το φορτίο να δρα πλέον έκκεντρα ως προς το κέντρο βάρος της διατομής της. Τότε αναπτύσσονται ροπές κάμψης οι οποίες αυξάνουν ακόμα περισσότερο την καμπυλότητα της με την αύξηση του φορτίου, ώσπου επέρχεται η θραύση της ράβδου με την υπέρβαση του ορίου αντοχής του υλικού της. Ονομάζουμε λυγισμό το φαινόμενο όταν σε μια ελαστική ράβδο με ευθύγραμμο άξονα την υποβάλλουμε σε κεντρική θλίψη με αυξανόμενη ένταση, οπότε θα μεταπέσει η ράβδος από ένα όριο φόρτισης και μετά σε μια ασταθή κατάσταση ισορροπίας τέτοια που για μια μικρή αιτία, η ράβδος θα φύγει από την ευθύγραμμη μορφή της και θα σχηματίσει βέλος κάμψης. Στο σχήμα 1, φαίνονται παραδείγματα φαινομένου λυγισμού. Σχήμα 1 : Κοιλοδοκοί από αλουμίνιο σε δοκιμή λυγισμού Εξετάζοντας το φαινόμενο του λυγισμού, ανακαλύπτουμε διάφορες αιτίες που μπορεί να οδηγήσουν στην εκδήλωση του φαινομένου, στην κατάσταση ασταθούς ισορροπίας. Τέτοιες αιτίες μπορεί να είναι : α. Η από κατασκευή ελαφρά καμπυλότητα της ράβδου, δηλαδή η μη τέλεια ευθυγραμμία της. β. Η επίσης από κατασκευή αδυναμία μετάδοσης της θλιπτικής δύναμης τελικά κεντρικά, κατά τον ιδεατό δηλαδή άξονα της ράβδου. γ. Η ανομοιόμορφη διανομή των τάσεων στις διάφορες εγκάρσιες διατομές. δ. Η γενική ελαττωματικότητα του υλικού της ράβδου. ε. Οι διάφορες ατέλειες στην κατασκευή της ράβδου. Σελίδα 1 από 7
στ. Διάφορες άλλες εξωτερικές δυνάμεις που μπορεί να επενεργήσουν κάθετα προς τον άξονα της ράβδου που δεν μπορούμε από πριν ούτε να τις προβλέψουμε, αλλά ούτε να τις προϋπολογίσουμε. Από τη στιγμή που η ράβδος ξεφύγει από την ευθύγραμμη κατάσταση, το θλιπτικό φορτίο πάνω στις εγκάρσιες διατομές θα ασκείται έκκεντρα, με συνέπεια να αναπτυχθούν στη ράβδο ροπές κάμψης. Αυτές αυξάνουν ακόμα περισσότερο τις εκκεντρότητες, που με τη σειρά τους επιδρούν στις ροπές κάμψης, έτσι ώστε γρήγορα να δημιουργηθεί μεγάλη καμπυλότητα και τέλος αστοχία του υλικού. Κρίσιμο φορτίο λυγισμού ονομάζεται εκείνο το θλιπτικό φορτίο που βάζει ένα σαφές διαχωριστικό όριο μεταξύ της ευσταθούς ισορροπίας στην κατάσταση της απλής θλίψης και της ασταθούς στην κατάσταση του λυγισμού. Δηλαδή δε θα πρέπει να υπερβούμε το επιτρεπόμενο φορτίο θλίψης που έχει μια ορισμένη για την περίπτωση τιμή διαφορετική από την τιμή της απλής θλίψης. Το φαινόμενο λυγισμού επηρεάζεται : 2. Τρόποι Στήριξης Ράβδου α. Από το θλιπτικό φορτίο που επενεργεί στο καταπονούμενο δοκίμιο. β. Από τις ελαστικές ιδιότητες του υλικού του καταπονούμενου δοκιμίου. γ. Από το σχήμα της εγκάρσιας διατομής του δοκιμίου. δ. Από τον τρόπο που στηρίζεται στα άκρα το δοκίμιο. Οι τρόποι κατά τους οποίους μπορεί να στηριχθεί στα άκρα του ένα δοκίμιο, σε καταπόνηση λυγισμού, είναι οι παρακάτω : α. Αμφιαρθρωτή στήριξη : Είναι η θεμελιώδης περίπτωση λυγισμού, όπου τα δυο άκρα μπορούν να περιστρέφονται ελεύθερα, αλλά μπορούν να μετακινηθούν μόνο κατά την αρχική διεύθυνση του άξονα του δοκιμίου. β. Ελεύθερο το ένα άκρο και πακτωμένο το άλλο : Είναι για παράδειγμα οι στύλοι στήριξης για τη μεταφορά ηλεκτρικής ενέργειας. γ. Πάκτωση στο ένα άκρο και άρθρωση στο άλλο. δ. Πάκτωση και στα δυο άκρα (αμφίπακτη ράβδος) : Όταν το δοκίμιο καταπονείται σε λυγισμό μπορούν και τα δυο άκρα να κινηθούν το καθένα προς το μέρος του άλλου κατά τη διεύθυνση του αρχικού άξονα του δοκιμίου χωρίς περιστροφή. Οι παραπάνω τρόποι στήριξης φαίνονται στα σχήματα 2 και 3. Σχήμα 2 : Τρόποι στήριξης ράβδου σε λυγισμό Σελίδα 2 από 7
Ελεύθερο ή ανηγμένο μήκος λυγισμού Lα, ονομάζουμε την απόσταση μεταξύ δυο διαδοχικών σημείων καμπής της ελαστικής γραμμής κατά την έναρξη του λυγισμού. Τα σημεία καμπής, για τις τέσσερεις περιπτώσεις στήριξης είναι τα Α και Β, ενώ το L είναι το πραγματικό μήκος της ράβδου σε κάθε περίπτωση (σχήμα 3). Σχήμα 3 : Τρόποι στήριξης ράβδου σε λυγισμό με πραγματικό και ανηγμένο μήκος λυγισμού 3. Κρίσιμο Φορτίο Λυγισμού Θα εξετάσουμε τη θεμελιώδη περίπτωση λυγισμού κατά την οποία τα δυο άκρα της ράβδου συνδέονται με άρθρωση. Θεωρούμε μια αμφιαρθρωτή ράβδο στην οποία ασκείται κατακόρυφο φορτίο Ρ, ικανό να προκαλέσει λυγισμό Στη απλή θεωρία της κάμψης σε μία αμφιαρθρωτή ράβδο ΑΒ (σχήμα 4), που κάμπτεται με την επίδραση φορτίου Ρ, το οποίο δρα έκκεντρα ως προς ουδέτερο άξονα της δοκού (γεωμετρικό τόπο του κέντρου βάρους των εγκάρσιων διατομών) με εκκεντρότητα υ, μεταβάλλει το σχήμα και η αναλυτική εξίσωση της ελαστικής γραμμής μετά την κάμψη, δίδεται από τη σχέση : Ε Ι y = -Μ (1) όπου : Ε : Το μέτρο ελαστικότητας του υλικού της ράβδου Ι : Η ροπή αδράνειας της εγκάρσιας διατομής της Μ : Η ροπή κάμψης y : Τα βέλη κάμψης της ελαστικής γραμμής στις διάφορες θέσεις Η σχέση (1), σύμφωνα με τα δεδομένα και λαμβάνοντας υπόψη το σχήμα 4, γράφεται : d 2 y 2 = - Ρ(y+e) dx Ε Ι (2) Η καμπτική ροπή Μ = Ρ (y+e), εξαρτάται σε κάθε θέση από το βέλος κάμψης y της ελαστικής γραμμής. Η λύση της διαφορικής εξίσωσης (2), είναι γνωστό από τη μαθηματική ανάλυση δίδεται από τη σχέση : y+e = C1 sin Kx + C2 cos Kx (3) όπου : C1 και C2 οι συντελεστές που θα πρέπει να προσδιορίσουμε από τις συνθήκες του προβλήματος και Κ = (Ρ/Ε Ι) 1/2. Ως αρχή του συστήματος των αξόνων να ληφθεί υπόψη το άκρο Α της ράβδου, οι οριακές συνθήκες που θα μας καθορίσουν τους συντελεστές C1 και C2, είναι : Σελίδα 3 από 7
Για το σημείο Α έχουμε : x = 0 & y = 0 Για το σημείο Β έχουμε : x = L & y = 0 Α y Β e Σχήμα 4 : Λυγισμός αμφιαρθρωτής ράβδου Στις αρθρώσεις Α και Β έχουμε μηδενισμό της καμπτικής ροπής, ενώ στα σημεία αυτά είναι σημεία καμπής της ελαστικής γραμμής. Με διαδοχική αντικατάσταση των παραπάνω οριακών συνθηκών στη σχέση (3), προκύπτει : C 1 = e(1 coskl) sinkl (4) C2 = e (5) Η λύση της διαφορικής εξίσωσης (2), παίρνει τη μορφή : y + e = e(1 coskl) sinkx + e coskx (6) sinkl Ζητάμε να προσδιορίσουμε τη συνθήκη για την οποία το συνολικό βέλος κάμψης της δοκού y+e γίνεται πολύ μεγάλο σε σχέση με την εκκεντρότητα e του φορτίου, γεγονός που γίνεται όταν μεταβαίνουμε από την ευσταθή κατάσταση ισορροπίας στην ασταθή κατάσταση λυγισμού. Ο δεύτερος όρος e coskx της σχέσεως (6), μπορεί να πάρει το πολύ την τιμή e όταν coskx = 1. Όμως ο συντελεστής e (1 coskl) παίρνει το πολύ την τιμή 2e όταν coskl = -1. Άρα αυτό που μένει είναι κατά πόσο το κλάσμα sinkx/sinkl είναι δυνατό να πάρει πολύ μεγάλες τιμές, έτσι ώστε το βέλος κάμψης y+e να γίνεται μεγάλο σε σχέση με την εκκεντρότητα. Αν το x μπορεί να πάρει τιμές 0 x L, ο αριθμητής του κλάσματος της σχέσης (6) θα έχει πάντα πεπερασμένη τιμή. Το μόνο που μένει είναι να μηδενιστεί ο παρανομαστής sinkl, οπότε η οριακή τιμή που θα προκύψει για το φορτίο θα δίνει το κρίσιμο φορτίο λυγισμού Ρκ. Σελίδα 4 από 7
Για να είναι sinkl = 0, θα πρέπει ή KL = 0 ή KL = ±n π (n = 1,2,3..). Η περίπτωση KL = 0, αποκλείεται γιατί θα έπρεπε ή το μήκος της ράβδου να είναι μηδέν ή ο συντελεστής K = (P/E I) 1/2 να είναι μηδέν, γεγονός που θα σήμαινε ή το φορτίο είναι μηδέν ή ότι το μέτρο ελαστικότητας Ε ή η ροπή αδράνειας της διατομής γίνεται άπειρο. Άρα μένει η σχέση KL = ± n π, που για n = 1 δίνει KL = π, δηλαδή: P E I L = π (7) Από αυτή προσδιορίζεται το κρίσιμο φορτίο λυγισμού : Ρ κ = π2 Ε Ι L 2 (8) Η παραπάνω σχέση ονομάζεται και τύπος Euler και γράφεται στη γενική της μορφή : Ρ κ = π2 Ε Ι L α 2 (9) όπου Lα το ανηγμένο μήκος λυγισμού για κάθε περίπτωση στήριξης. Κρίσιμη τάση λυγισμού σκ, ονομάζουμε την τάση : σ κ = Ρ κ = π2 Ε Ι S L 2 α S (10) όπου S το εμβαδό της εγκάρσιας διατομής της ράβδου. 4. Είδη Ισορροπίας (Περιπτώσεις Κρίσιμου Φορτίου) Η διερεύνηση της τιμής του κρίσιμου φορτίου λυγισμού μας οδηγεί στις τρείς παρακάτω επιμέρους περιπτώσεις : α. Αν Ρ < Ρκ. Η ισορροπία χαρακτηρίζεται ως ευσταθής, (δεν έχουμε κάμψη), δηλαδή αν η ράβδος ωθηθεί προς τα πλάγια και έπειτα αφεθεί ελεύθερη, αυτή θα επανέλθει στην κατακόρυφη αρχική της θέση. β. Αν Ρ = Ρκ. Στην περίπτωση αυτή διατηρείται η ισορροπία παίρνοντας το χαρακτηρισμό της αδιάφορης ή ουδέτερης. Αν ασκηθεί ώθηση προς τα πλάγια στη ράβδο, όταν αυτή αφεθεί ελεύθερη, θα διατηρήσει μια μικρή απόκλιση. γ. Αν Ρ > Ρκ. Σε αυτή την περίπτωση αν ασκηθεί στη ράβδο μια οποιαδήποτε μικρή ώθηση προς τα πλάγια, θα έχει ως συνέπεια την απροσδιόριστη αύξηση της απόκλισης, ώστε η ισορροπία να χαρακτηρίζεται πλέον ως ασταθής και το φαινόμενο θα εξελιχθεί δυναμικά και πολύ γρήγορα να έχουμε το φαινόμενο της θραύσης. Οι τρείς παραπάνω περιπτώσεις της ευσταθούς, αδιάφορης και ασταθούς ισορροπίας για το φυσικό ανάλογο μιας σφαίρας, φαίνονται στο σχήμα 5. 5. Λυγηρότητα Θεωρία Euler Από τις διάφορες τιμές της ροπής αδράνειας Ι της διατομής ως προς διάφορους κεντρικούς άξονες της θα πρέπει να εκλέξουμε την ελάχιστη που δίνει τη μικρότερη τιμή για την κρίσιμη τάση σκ και άρα δυσμενέστερη για το ενδεχόμενο του λυγισμού. Αν θεωρήσουμε την ελάχιστη ακτίνα αδράνειας imin της διατομής (i 2 min = Imin/S), τότε η σχέση (10) γράφεται : Σελίδα 5 από 7
σ κ = π2 2 Ε i min L2 (11) α Σχήμα 5 : Τα τρία είδη ισορροπίας Ο λόγος λ = Lα/imin, ονομάζεται λυγηρότητα και δίνει ένα μέτρο της λεπτότητας της ράβδου και άρα και της ευαισθησίας της σε λυγισμό. Από τη σχέση (11), συμπεραίνεται ότι : λ = π Ε σ κ (12) Διαπιστώθηκε από τα διάφορα πειράματα του λυγισμού ότι ο τύπος του Euler δίνει αποτελέσματα σύμφωνα με τα δεδομένα του πειράματος, εφόσον η λυγηρότητα είναι μεγαλύτερη από μια οριακή, ορισμένη για κάθε υλικό, τιμή γεγονός που είναι το ίδιο, μόνο εφόσον το μήκος της ράβδου είναι μεγαλύτερο κάθε φορά από ένα ορισμένο πολλαπλάσιο της ακτίνας αδράνειας. Από τη σχέση (12), έχουμε : σ κ = π2 Ε λ2 (13) Ως συμπέρασμα έχουμε ότι ο τύπος του Euler δίνει ικανοποιητικά αποτελέσματα για σχετικά λεπτές ράβδους, όπου αν η σκ είναι μικρότερη της τάσης αναλογίας σα του υλικού, η τιμή της λυγηρότητας είναι μεγαλύτερη της αντίστοιχης οριακής τιμής : λ Α = π Ε σ Α (14) Η σχέση (14) ως συνάρτηση σκ = f(λ), παριστάνεται από την καμπύλη του σχήματος 6, που είναι κλάδος υπερβολής και ονομάζεται καμπύλη Euler. Περιοχή ελαστικού λυγισμού ονομάζεται η περιοχή όπου για τα σκ και λ, ισχύουν οι σχέσεις σκ σα και λ λα (σχήμα 6), όπου ο τύπος του Euler προέκυψε από τη θεωρία της κάμψης για την οποία δεχόμαστε ότι ισχύει ο νόμος του Hooke. Για χάλυβες St 37, όπου Ε = 2x10 6 at και σα = 20 Kp/mm 2, για να ισχύει ο τύπος του Euler θα πρέπει να είναι λ 100. Ισχύει ο τύπος του Euler για την καμπύλη ΑΒ του σχήματος 6, ενώ για την περιοχή της ευθείας ΓΔ, η ράβδος αστοχεί εξαιτίας της διαρροής, πριν από την εκδήλωση του φαινομένου του λυγισμού. Για τις ενδιάμεσες τιμές της λυγηρότητας λδ < λ < λα, η καμπύλη Euler μπορεί να συμπληρωθεί είτε από την ευθεία ΒΓ, είτε από κάποια άλλη καμπύλη (διακεκομμένη καμπύλη σχήματος 6). Στο σχήμα 6 υπάρχει ένα πλήρες διάγραμμα από το οποίο μπορούμε για κάθε τιμή της λυγηρότητας να υπολογίσουμε την τάση αστοχίας της ράβδου, είτε η ράβδος αστοχεί σε διαρροή, είτε σε λυγισμό, είτε σε συνδυασμό των δυο. Σελίδα 6 από 7
Διακρίνουμε τρεις παραδοχές στο διάγραμμα, όπου οι ράβδοι που αναφέρονται σε αυτές ανάλογα της λυγηρότητας διακρίνονται σε μακριές ή λεπτές για λ 100, μέσες για 60 < λ < 100 και βραχείες για λ 60. Η θεωρία του Euler εφαρμόζεται για λεπτές ράβδους. Η περιοχή ΒΓ του σχήματος 6 αντιστοιχεί στον ελαστοπλαστικό λυγισμό, όπου έχουν διατυπωθεί δυο θεωρίες για τη μελέτη της συμπεριφοράς των υλικών σε λυγισμό. Σχήμα 6 : Καμπύλη Euler Η πρώτη από τον Engesser και σύμφωνα με αυτόν και τον τύπο του Euler (σχέση 9), το μέτρο ελαστικότητας Ε αντικαθίσταται από το εφαπτομενικό μέτρο ελαστικότητας Εε, που είναι διαφορετικό για κάθε σημείο του διαγράμματος τάσεων παραμορφώσεων μεταξύ του ορίου αναλογίας και του ορίου διαρροής, οπότε η σχέση 9, γράφεται : Ρ κ = π2 Εε Ι L α 2 (15) Η παραπάνω σχέση ονομάζεται και τύπος Euler Engesser και ισχύει τόσο στην ελαστοπλαστική, όσο και στην καθαρά ελαστική περιοχή, ενώ ταυτόχρονα λαμβάνει υπόψη της και τον τρόπο στήριξης της λυγιζόμενης ράβδου. Η δεύτερη θεωρία διατυπώθηκε από τον Karman και ονομάζεται και θεωρία του διπλού ή ανηγμένου μέτρου. Ο Karman παρατήρησε ότι κατά την κάμψη της δοκού, ένα τμήμα της εγκάρσιας διατομής υποβάλλεται σε ελαττούμενη τάση και άρα το τμήμα αυτό μπορεί να θεωρηθεί ότι βρίσκεται στην ελαστική περιοχή. Όπου ισχύει το μέτρο ελαστικότητας Ε. Ο Karman εισήγαγε και τα δυο μέτρα ελαστικότητας Ε και Εε στον τύπο του Euler καταλήγοντας σε ένα διπλό ή ανηγμένο μέτρο. Το μέτρο αυτό είναι πάντα μεγαλύτερο από την αντίστοιχη τιμή του εφαπτομενικού μέτρου και έτσι το κρίσιμο φορτίο λυγισμού είναι πάντα μεγαλύτερο από το κρίσιμο φορτίο που υπολογίζεται από τη θεωρία του Engesser. Βιβλιογραφία [1] Ν. Ανδριανοπουλος, Ε. Κυριαζή, Κ. Λιακόπουλος, Πειραματική Αντοχή των Υλικών, Εκδόσεις Συμεών, Αθήνα 1991. [2] Π.Α. Βουθούνης, Τεχνική Μηχανική, Αντοχή των Υλικών, Εκδόσεις ιδίου, Αθήνα 2011, (Έκδοση Ζ ). Σελίδα 7 από 7