ΘΕΜΑ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Πραγματικοί Αριθμοί Εξισώσεις //05 Απαντήσεις.Α) Σχολικό βιβλίο : σελίδα 90.Β) α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ.Γ) α) ii β) iii γ) ii δ) v ΘΕΜΑ ο.α) α) β) 3 3 3 : : : 8 4 4 ( )( ) 4 4 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 4 6 9 3 3 3 ( ) ( 9)( ) ( 3 )( ) ( 3) ( )( ) 3 ( 3)( 3)( ) 3.Β) Για την () ισχύει ότι α=, β= - 3 και γ= α) Από τους τύπους του Vieta ισχύει για την () : 3 3 a β) Από τους τύπους του Vieta ισχύει για την () : 4 γ) Τώρα χρησιμοποιώντας το (α) και το (β) θα βρω το ( ),( ) ( ) (3) 4 9 4 5 Φροντιστήρια Σ ΥΣ Τ ΗΜΑ Σελίδα
.Γ) Με τη βοήθεια της συνθήκης που μας δίνει η άσκηση θα κατασκευάσω τα εσωτερικά των απολύτων της παράστασης για να βρω αν είναι θετικά ή αρνητικά. ( ) 4 4 4 8 4 8 6 0 () ( ) 4 ( ) 4 ( ) 4 4 3 0 () 3 ( 4) 43 3 43 6 3 64 3 4 4 8 3 4 3 4 0 (3) Άρα θα έχουμε (),(),(3) 3 3 4 9 [ ( )] 3(3 4) 9 9 4 9 4 ΘΕΜΑ 3 ο 3.Α) Με τη βοήθεια των συνθηκών που μας δίνονται θα κατασκευάσω την παράσταση : 5 5 4 54 5 8 50 () Στην παραπάνω ανίσωση μπορώ και υψώνω στο τετράγωνο αφού όλοι οι όροι της ανίσωσης είναι θετικοί αριθμοί. ( ) 4 y 4 ( ) y ( ) 4 y y 4 ( y) 4 4 y 6 ( 3) 4 ( 3) 3y 6 ( 3) 3y 48 48 3y () Στην παραπάνω ανίσωση μπορώ και υψώνω στο τετράγωνο αφού πρώτα πολλαπλασιάζω με το (-) όλους τους όρους έτσι ώστε να γίνουν όλοι θετικοί αριθμοί. Τώρα αφού και η () και η () έχουν ίδια φορά μπορώ να τις προσθέσω : () () 8 48 3y 50 40 3y 38 40 3y 38 38 3y 40 Άρα ( 3y ) ( 38, 40) Φροντιστήρια Σ ΥΣ Τ ΗΜΑ Σελίδα
3.Β) α) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 43 4 ( ) 4 4 ( ) 3( ) 8 8 6 6 8 8 8 8 6 8 0 0 Άρα είναι αόριστη. β) Πρώτα παίρνω περιορισμούς για τον κάθε παρονομαστή. Πρέπει 0 Πρέπει 0 Πρέπει 0 ( ) 0 0 Συνοψίζοντας ΠΡΕΠΕΙ 0 Στη συνέχει βρίσκω το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών αφού πρώτα τους παραγοντοποιήσω : Ε.Κ.Π.(,, ( ) )= ( ) ( Όπου ( ) ) Και κάνω απαλοιφή παρονομαστών : 3 3 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( 3) 0 4 3 0, 0 4 ( ) 4 ( ) 8 9 Άρα = - ( ) 9 3 3 4 ί 3 ή Φροντιστήρια Σ ΥΣ Τ ΗΜΑ Σελίδα 3
3.Γ) ( ) ( ) 4 4 ( 4) ( ) () η Περίπτωση : Αν 4 0 4 4 ( 4) ( ) ( ) Τότε () ( 4) ( 4) ( )( ) Η οποία είναι μοναδική λύση της εξίσωσης (). η Περίπτωση : Αν λ= Τότε () ( 4) () 0 0 Άρα η εξίσωση () είναι αόριστη. 3 η Περίπτωση : Αν λ=- Τότε () [( ) 4] ( ) 0 8 Άρα η εξίσωση () είναι αδύνατη. ΘΕΜΑ 4 ο 4.Α) Πρώτα υπολογίζω τη διακρίνουσα της εξίσωσης. 4 ( ) 4 3 4 () α) Για να έχει η εξίσωση δύο άνισες ρίζες πρέπει () 4 0 4 0 4 3 3 Και 0 για να είναι εξίσωση δευτέρου βαθμού. Άρα (,0) (0, ) 3 β) Για να έχει η εξίσωση μια μοναδική ρίζα πρέπει η εξίσωση από δευτεροβάθμια να γίνει πρωτοβάθμια, άρα πρέπει λ=0. γ) Για να έχει η εξίσωση μια διπλή ρίζα πρέπει 4 0 4 0 4 3 Άρα 3 Φροντιστήρια Σ ΥΣ Τ ΗΜΑ Σελίδα 4
4.Β) α) 4 6 3 6 4 3 6 3 4 6 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 0 0 0 ( 0 3) 0 0 0 6 0 6 0 0 0 3 0 0 ( 0 3)( 0 3) 0 0 3 0 9 0 ( 0 6) 0 0 6 6 β) Αφού α=3 και β= - 6 τότε έχω : a 5 3 3 5 6 3 3 5 6 3 3 6 5 3 9 8 ή 8 3 5 ( 6 3) 3 5 6 3 3 6 5 3 3 8 3 γ) Αφού α=3 τότε έχω : 4 4 a 4 0 3 4 0 ( ) 3 4 0 () Θέτω y () τότε έχω : () y 3y 4 0 4 ( 3) 4 ( 4) 9 6 5 ( 3) 5 3 5 y, 3 5 8 y 4 35 y Για y 4 έχω : Για y έχω : () 4 4 () που είναι αδύνατη. Άρα οι ρίζες της εξίσωσης είναι = ή = - Φροντιστήρια Σ ΥΣ Τ ΗΜΑ Σελίδα 5
δ) Αρχικά έχω για το ω : () Στη συνέχεια απλοποιώ την παράσταση που μας δίνει η άσκηση κατασκευάζοντας μέσα στις ρίζες τις ταυτότητες : ) 4 4 3 4 4 6 9 ( ) ( 3) 3 () Τα απόλυτα εμφανίζονται αφού μετά την απλοποίηση των τετραγώνων δεν γνωρίζω τι πρόσημο έχουν οι υπόριζες ποσότητες. Μέσω της () θα διώξω και τα απόλυτα. ( ) 3 0 (3) 3 3 3 3 3 4 3 0 (4) Άρα έχω (3)(4) () ( ) 3 3 5 Τις απαντήσεις επιμελήθηκαν οι καθηγητές: Μαυριόπουλος Νίκος Νίκου Δημήτρης Παλτσόκας Παναγιώτης Παπαθανασίου Νίκος Χωνιανάκης Αντώνης Φροντιστήρια Σ ΥΣ Τ ΗΜΑ Σελίδα 6