ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2018 Β ΦΑΣΗ

Transcript

1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8 Ε_3.ΜλΓΑ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Ημερομηνία: Σάββατο Απριλίου 8 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Απόδειξη σχολικού βιβλίου σελίδα 34 Α. (α) ln e θ = θ (β) ln e θ = θ (γ) ln = (δ) ln ln ln e e = = = ln e = ln e = ln e = 4 (ε) Α3. (α) Λάθος (β)σωστό (γ) Σωστό (δ) Λάθος (ε) Σωστό ΘΕΜΑΒ Β. Εφόσον η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο A( 3,3) Επίσης 3π f( 3π ) = 3 α βηµ = 3 α+β= 3 () π f( π ) = α βηµ = α β= () Επομένως έχουμε το σύστημα των εξισώσεων (, ) π ισχύει: ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ 7

2 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8 Ε_3.ΜλΓΑ(α) Β. Η συνάρτηση γίνεται α+β= 3 β +β= 3 β= 4 β= α β= α=β α=β α= f = ηµ με πεδίο ορισμού A = ω= π Έχει περίοδο T= = 4πκαι για κάθε ισχύει ότι ω ηµ ηµ f 3 Επομένως η μέγιστη τιμή της είναι το 3 και η ελάχιστη τιμή της το - εφόσον Β3. Η εξίσωση f 4 4f = και f 3π 3 f π = + = ισοδύναμα γίνεται ( ) f 4f + 4= f = f = ηµ = π π = κπ 4 6 = κπ 3 π ηµ = ηµ = ηµ ή ή, κ,, 4π 6 7π 7π = κπ + = 4κπ Αναζητάμε τις λύσεις στο διάστημα [,4π ] π 4π 4κπ 4π 4κ [ ] 3 κ κ 3 κ Επειδή κ η μόνη τιμή του ακεραίου κ που βρίσκεται στο διάστημα 3, είναι η κ= επομένως η λύση είναι π 4 π = π = 3 3 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ 7

3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8 Ε_3.ΜλΓΑ(α) 7π 7 4π 4κπ+ 4π 4κ κ+ 7 7 κ 5 κ Επειδή κ η μόνη τιμή του ακεραίου κ που βρίσκεται στο διάστημα 7, είναι η κ= επομένως η λύση είναι 7π = 3 Β4. H εξίσωση γίνεται: 39π π π f = ηµ e f = ηµ π e ηµ = ηµ e e ηµ = e ηµ = + Ισχύει ημ για κάθε πραγματικό αριθμό επομένως η εξίσωση είναι αδύνατη. ΘΕΜΑ Γ Γ. Συμπληρώνοντας το σχήμα Horner έχουμε ότι α 8 4 β α α 8 α+ 4 α α α 8 α+ 4 α α +β Επομένως με βάση το αρχικό ελλιπές σχήμα Horner α 8 4 β 5 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 3 ΑΠΟ 7

4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8 Ε_3.ΜλΓΑ(α) Προκύπτει: και α+ 4 = 5 α= α +β= +β= β= 9 Οπότε για α= και β= 9το πολυώνυμο γίνεται 4 3 f = Γ. Εφόσον το είναι ρίζα του πολυωνύμου τότε με τη βοήθεια του σχήματος Horner έχουμε Άρα f ( )( 7 5 9) = + () Παραγοντοποιώντας το με το σχήμα Horner έχουμε Έχουμε = ( )( 6 + 9) Αντικαθιστώντας στην () έχουμε: = ( )( )( + ) = ( ) ( ) f Από την τελευταία προκύπτει: f για κάθε Οπότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης f δεν βρίσκεται κάτω από τον άξονα ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 4 ΑΠΟ 7

5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8 Ε_3.ΜλΓΑ(α) Γ3. (i) Για να ορίζεται η συνάρτηση πρέπει και αρκεί και 3 Επομένως A = (,) (,3) ( 3, + ) h (ii) Για να βρούμε τα κοινά τους σημεία θα λύσουμε την εξίσωση h = με και 3 ( ) ( ) f 3 h = + = = = 3= = 4 Άρα το κοινό τους σημείο είναι το A( 4,4 ) Γ4. Για την επίλυση της εξίσωσης, υπολογίζουμε τις τιμές της συνάρτησης =, f = και f 9 f 4 = 9 f + 3 f 4 = 4 f = = Θέτουμε στην τελευταία 9 =ω> οπότε μετασχηματίζεται ως εξής: 3ω 4ω+ = Η τελευταία έχει ρίζες τους αριθμούς και 3 επομένως 9 = 9 = 9 = = = = = ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 5 ΑΠΟ 7

6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8 Ε_3.ΜλΓΑ(α) ΘΕΜΑΔ Δ. (i) Για την συνάρτηση f πρέπει και αρκεί: e > e > > e < e < < e > e > e - + e + + Άρα το πεδίο ορισμού της είναι A = (,) (, + ) (ii) Για την συνάρτηση g πρέπει και αρκεί: e > e > > > > > > > A =, + Άρα το πεδίο ορισμού της είναι e e f f = ln e e + 3 ln ln ln = ln e e + 3 ln e ( e )( e + ) e e + 3 ln ln = ( e e + 3) ln ln = ln e ( e ) e + e e + 3 e + e e + 3 ln = ln = e 3e + = Δ. Θέτουμε e = y> άρα η εξίσωση γίνεται f g y 3y + = ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 6 ΑΠΟ 7

7 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8 Ε_3.ΜλΓΑ(α) Η τελευταία έχει ρίζες τους αριθμούς και Επομένως e = = απορρίπτεται εφόσον πρέπει και e ln = = δεκτή Δ3. Η ανίσωση ορίζεται για εκείνα τα για τα οποία ισχύει Af και Ag > > και > Δηλαδή πρέπει > άρα e f + ln > g + ln ln + ln > g + ln Δ4. Άρα (,) ln e ln + ln > ln e ln + ln > ln e > ln e > > (i) Αρκεί να αποδείξουμε ότι f f = e e e e f f ( ) = ln ln = ln ln e e e e ln ln ln ln ln e e e e = = = = = = e e f f = όπου = 8 παίρνουμε (ii) Αντικαθιστώντας στην σχέση Άρα f ( 8) > f ( 8) f ( 8) f ( 8) = 8 > ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 7 ΑΠΟ 7